(1)函數(shù)單調(diào)性定義中的x1，x2 具有以下三個(gè)特征：一是任意性，即“任意兩數(shù)x1，x2∈D”，“任意”兩字絕不能丟；二是有大小，即x1x2)；三是同屬一個(gè)單調(diào)區(qū)間，三者缺一不可.
(2)函數(shù) f(x)在給定區(qū)間上的單調(diào)性，是函數(shù)在此區(qū)間上的整體性質(zhì)，不一定代表在整個(gè)定義域上有此性質(zhì).
【名師點(diǎn)睛】函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論
(1)閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)一定存在最大值和最小值，當(dāng)函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)時(shí)，最值一定在端點(diǎn)處取到.(2)開區(qū)間上的“單峰”函數(shù)一定存在最大值(或最小
1.(多選題)下列說法錯(cuò)誤的是(
C.對于函數(shù) y＝f(x)，若 f(1)0，且a≠1)在[1,2]
上的最大值與最小值之和為 lga2＋6，則 a 的值為(
解析：f(x)＝ ax＋lgax在[1,2]上是單調(diào)函數(shù)，所以f(1)＋f(2)＝lga2＋6，則a＋lga1＋a2＋lga2＝lga2＋6，即(a－2)(a＋3)＝0，又 a>0，所以 a＝2.答案：C
則 f(f(－3))＝________，f(x)的最小值是________.
【題后反思】求函數(shù)最值的 5 種常用方法及思路(1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值.(2)圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，求出最值.
(3)基本不等式法：先對解析式變形，使之具備“一正、二定、三相等”的條件后用基本不等式求出最值.(4)導(dǎo)數(shù)法：先求導(dǎo)，然后求出在給定區(qū)間上的極值，
最后結(jié)合端點(diǎn)值，求出最值.
(5)換元法：對比較復(fù)雜的函數(shù)可通過換元轉(zhuǎn)化為熟悉
的函數(shù)，再用相應(yīng)的方法求最值.
考點(diǎn)三 函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用考向 1 利用單調(diào)性比較大小
通性通法：比較函數(shù)值的大小時(shí)，若自變量的值不在同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，要利用其函數(shù)性質(zhì)，轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)進(jìn)行比較，對于選擇題、填空題能數(shù)形結(jié)合的盡量用圖象法求解.
A.c>a>bC.a>c>b
B.c>b>aD.b>a>c
解析：由于函數(shù) f(x)的圖象向左平移 1 個(gè)單位長度后得到的圖象關(guān)于 y 軸對稱，故函數(shù) y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1 對稱，
當(dāng)x2>x1>1時(shí)，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)a>c.
考向 2 解函數(shù)不等式
通性通法：求解含“f ”的函數(shù)不等式的解題思路
先利用函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)將不等式轉(zhuǎn)化為 f(g(x))＞f(h(x))的形式，再根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性去掉“f ”，得到一般的不等式g(x)＞h(x)(或 g(x)＜h(x)).此時(shí)要特別注意函數(shù)的定義域.
考向 3 求參數(shù)的值或取值范圍
通性通法：利用單調(diào)性求參數(shù)的范圍(或值)的方法(1)視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù).(2)需注意若函數(shù)在區(qū)間[a，b]上是單調(diào)的，則該函數(shù)
在此區(qū)間的任意子集上也是單調(diào)的.
(2)若f(x)＝x3－6ax的單調(diào)遞減區(qū)間是(－2,2)，則a的
取值范圍是(A.(－∞，0]B.[－2,2]C.{2}D.[2，＋∞)
A.(－1,0)∪(0,1)B.(－1,0)∪(0,1]C.(0,1)D.(0,1]
解析：因?yàn)?f(x)＝－x2＋2ax 在[1,2]上單調(diào)遞減，所以
a≤1，又因?yàn)?g(x)＝
在[1,2]上單調(diào)遞減，所以 a＞0，
所以 0＜a≤1.故選 D.
A.(－∞，－1)∪(2，＋∞)B.(－∞，－2)∪(1，＋∞)C.(－1,2)D.(－2,1)
解析：因?yàn)楫?dāng) x＝0 時(shí)，兩個(gè)表達(dá)式對應(yīng)的函數(shù)值都為零，所以函數(shù)的圖象是一條連續(xù)的曲線.因?yàn)楫?dāng) x≤0 時(shí)，函數(shù) f(x)＝x3 單調(diào)遞增，當(dāng) x＞0 時(shí)，f(x)＝ln(x＋1)也單調(diào)遞增，所以函數(shù) f(x)是定義在 R 上的增函數(shù).因此，不等式f(2－x2)＞f(x)等價(jià)于2－x2＞x，即x2＋x－2＜0，解得－2＜x＜1.故選 D.
A.f(a)＞f(b)＞f(c)B.f(b)＞f(a)＞f(c)C.f(c)＞f(a)＞f(b)D.f(c)＞f(b)＞f(a)
⊙抽象函數(shù)中的單調(diào)性應(yīng)用問題
[例 5]已知定義在 R 上的函數(shù) f(x)滿足：①f(x＋y)＝f(x)
＋f(y)＋1，②當(dāng) x＞0 時(shí)，f(x)＞－1.
(1)求 f(0)的值，并證明 f(x)在 R 上是增函數(shù)；
(2)若 f(1)＝1，解關(guān)于 x 的不等式 f(x2＋2x)＋f(1－x)＞4.
解：(1)令 x＝y(tǒng)＝0，得 f(0)＝－1.
證明：在R上任取x1＞x2，則x1－x2＞0，f(x1－x2)＞－1.又f(x1)＝f[(x1－x2)＋x2]＝f(x1－x2)＋f(x2)＋1＞f(x2)，所以函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù).(2)由f(1)＝1，得f(2)＝3，f(3)＝5.由f(x2＋2x)＋f(1－x)＞4得f(x2＋x＋1)＞f(3)，又函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，故x2＋x＋1＞3，解得x＜－2或x＞1，故原不等式的解集為{x|x＜－2或x＞1}.
【題后反思】求解抽象函數(shù)問題的切入點(diǎn)與關(guān)鍵點(diǎn)切入點(diǎn)：(1)對于抽象函數(shù)的單調(diào)性的證明，只能考慮用定義證明；(2)將不等式中的抽象函數(shù)符號(hào)“f ”運(yùn)用單調(diào)性“去掉”.
關(guān)鍵點(diǎn)：(1)根據(jù)單調(diào)性定義，賦值構(gòu)造出f(x2)－f(x1)，并與 0 比較大??；(2)根據(jù)已知條件，將所求的不等式轉(zhuǎn)化為 f(M)＜f(N)的形式，從而利用單調(diào)性求解.
2.已知函數(shù) f(x)的定義域?yàn)閧x|x∈R，且 x≠0}，對定義域內(nèi)的任意x1，x2，都有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，且當(dāng)x＞1時(shí)，f(x)＞0.
(1)求證：f(x)是偶函數(shù)；
(2)求證：f(x)在(0，＋∞)上單調(diào)遞增.
證明：(1)因?yàn)閷Χx域內(nèi)的任意x1，x2都有f(x1·x2)＝
f(x1)＋f(x2)，
令x1＝x，x2＝－1，則有f(－x)＝f(x)＋f(－1).又令x1＝x2＝－1，得2f(－1)＝f(1).再令x1＝x2＝1，得f(1)＝0，從而f(－1)＝0，于是有f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函數(shù).

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