學(xué)習重難點
教材分析
本課利用多項式乘法法則推導(dǎo)了(a+b)2和(a+b)3的展開式，然后利用多項式運算法則和計數(shù)原理推導(dǎo)出(a+b)4 及(a+b)n 的展開式，然后將多項式乘積展開的問題轉(zhuǎn)化為一個計數(shù)問題，用計數(shù)原理的知識去解決多項式乘積展開的問題是跨領(lǐng)域知識的運用，幫助學(xué)生轉(zhuǎn)換看問題的角度，建立不同領(lǐng)域知識之間的聯(lián)系，靈活運用數(shù)學(xué)知識.然后借助二項式系數(shù)的應(yīng)用問題探究二項式系數(shù)的各種性質(zhì)和一般規(guī)律并提出提出了 4 條二項式系數(shù)的性質(zhì).
學(xué)情分析
上幾節(jié)課學(xué)生已學(xué)習了兩個基本計數(shù)原理，排列組合的定義及應(yīng)用，大多數(shù)學(xué)生能正確運用，學(xué)生具備了一定的分析問題的能力，探究問題的能力.
教學(xué)工具
教學(xué)課件
課時安排
2課時
教學(xué)過程
作為計數(shù)原理與排列組合的一個應(yīng)用，二項式定理研究的是的展開式. 本節(jié)我們一起來探索二項式定理的推導(dǎo)過程，研究二項展開式的特征，了解二項展開式的通項公式及二項式系數(shù)的性質(zhì).
（一）創(chuàng)設(shè)情境，生成問題
根據(jù)多項式乘法法則，
(a+b)2=(a+b)(a+b)=a×a+a×b+b×a+b×b=a2+2ab+b2.
(a+b)3=(a+b)(a+b)(a+b)
= a×a×a + a×a×b+ a×b×a+ a×b×
b+b×a×a + b×a×b+ b×b×a+ b×b×b
=a3+3a2b+3b2a+b3.
照這個方法，能否求出的展開式呢？
【設(shè)計意圖】創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)思考.
（二）調(diào)動思維，探究新知
首先以(a+b)4為例，分析按多項式乘法展開的規(guī)律．
(a+b)4 =(a+b)(a+b)(a+b)(a+b).
可以看到， (a+b)4 是4個(a+b)相乘. 根據(jù)多項式乘法法則，其結(jié)果中的每一項都是由 4個(a+b)中各取一項相乘得到的，均為4 次式.按所含字母a的次數(shù)降冪排列為
a4，a3b，a2b2，ab3，b4.
4 個(a+b)中都不選b的選法有種，得到a4的系數(shù)為種；4 個(a+b)中有1個選b，3個選a的選法有種,得到a3b的系數(shù)為；4個(a+b)中有2個選b，2個選a的選法有種，得到a2b2的系數(shù)為；4個(a+b)中有3個選b， 1個選a的選法有種，得到ab3的系數(shù)為；4個(a+b)中都選b的選法有種，得到b4的系數(shù)為.
因此
一般地，對于任意實數(shù)a、b和任意正整數(shù)n，有
上述公式稱為二項式定理.
公式右端稱為二項展開式，其中 (k∈{0,1,2,…,n})稱為二項式系數(shù)，式中的第k+1項稱為二項展開式的通項，記作，即 .
【設(shè)計意圖】關(guān)鍵是要明確兩件事：一是多項式相乘如何轉(zhuǎn)化為計數(shù)問題；二是用組合知識確定展開式每
一項的形式和系數(shù)
（三）鞏固知識，典例練習
【典例1】(1) 寫出(a+b) 7 的展開式；
(2) 寫出(1+x)n 的展開式.
解：（1）因為所以
（2）在二項式定理中，令a=1，b=x，可得
【設(shè)計意圖】第二問考查了二項展開式的特例.
【典例2】 (1) 求(2x-1)7 的展開式的第4 項的系數(shù)；
(2) 求的展開式中含x3 的二項式系數(shù)；
解：(1) (2x-1)7 的展開式的第4 項是
(2) 的展開式的通項是
依題意，得5-2=3.
解得 k=1.
即二項展開式中含 x3 的項為第 2 項，此項的二項式系數(shù)為
【設(shè)計意圖】目的在于熟悉二項展開式及其通項公式，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)
溫馨提示
一個二項展開式中某一項的系數(shù)與這一項的二項式系數(shù)是兩個不同的概念. 求解二項展開式的某項或某項系數(shù)相關(guān)問題時，通常先化簡通項的表達式，根據(jù)題設(shè)要求確定k的取值，再代人寫出該項.
【典例3】求的展開式中常數(shù)項
解： 的展開式中通項是
依題意得 4-k=0.
解得 k=4.
所以二項展開式中第5項是常數(shù)項，為
【設(shè)計意圖】是二項式中的典型問題，要注意符號和系數(shù)
探究與發(fā)現(xiàn)
二項展開式的項數(shù)、各項的次數(shù)和二項式系數(shù)具有怎樣的關(guān)系？
（四）鞏固練習，提升素養(yǎng)
1. 求下列各式的展開式.
（1） （2）
2. 求 的展開式的第4 項，并指出這項的二項式系數(shù)及系數(shù).
3. 求的展開式中含x3 的項及常數(shù)項.
【設(shè)計意圖】通過練習及時掌握學(xué)生的知識掌握情況，查漏補缺
（五）課堂小結(jié)，反思感悟
1.知識總結(jié)：
2.自我反思：
（1）通過這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識？


（2）在解決問題時，用到了哪些數(shù)學(xué)思想與方法？


（3）你的學(xué)習效果如何？需要注意或提升的地方有哪些？


【設(shè)計意圖】培養(yǎng)學(xué)生反思學(xué)習過程的能力
（七）作業(yè)布置，繼續(xù)探究
(1)讀書部分： 教材章節(jié)8.3.1；
(2)書面作業(yè)： P122習題8.3的3，4.
（八）教學(xué)反思

知識
能力與素養(yǎng)
經(jīng)歷二項式展開式的推導(dǎo)過程，會展開一個二項式，會用二項展開式的通項公式求展開式中的某一項.
通過猜想、證明、歸納，體會化歸思想，形成科學(xué)嚴謹?shù)膽B(tài)度，養(yǎng)成認真規(guī)范、注重細節(jié)的思維習慣.經(jīng)歷合作學(xué)習的過程，培養(yǎng)團隊協(xié)作的意識．
重點
難點
二項式定理及其運用.
二項式定理及其運用.

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中職數(shù)學(xué)高教版（2021）拓展模塊二 下冊電子課本

8.3.1 二項式定理

版本： 高教版（2021）

年級： 拓展模塊二 下冊

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