一、選擇題
1．若復(fù)數(shù)z滿足,則z的虛部是( )
A.B.C.1D.
2．設(shè)集合,集合,,則( )
A.B.C.D.
3．已知函數(shù)是定義在R上的偶函數(shù),則( )
A.1B.-1C.0D.2
4．已知,,且,則的最大值為( )
A.1B.C.D.
5．已知等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,則( )
A.B.C.D.
6．某商家為了吸引顧客,促銷(xiāo)商品,推出消費(fèi)滿額砸金蛋的活動(dòng).某顧客共獲得2次砸金蛋的機(jī)會(huì),若該顧客砸金蛋時(shí)還剩9個(gè)金蛋,其中只有3個(gè)金蛋有獎(jiǎng)券,則該顧客砸出獎(jiǎng)券的概率為( )
A.B.C.D.
7．有些家用電器（如冰箱等）使用了氟化物,氟化物的釋放破壞了大氣上層的臭氧層,使臭氧含量Q隨時(shí)間t（單位：年）呈指數(shù)函數(shù)型變化,當(dāng)氟化物排放量維持某種水平時(shí),具有關(guān)系式,其中是臭氧的初始量,估計(jì)臭氧含量減少需要（?。? )
A.276年B.552年C.414年D.483年
8．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,則的取值范圍是( )
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．已知,函數(shù)與的圖象可能是( )
A.B.
C.D.
10．設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且,,則下列結(jié)論正確的是( )
A.是等差數(shù)列B.是等差數(shù)列
C.D.對(duì)任意,都有
11．已知函數(shù)下列結(jié)論正確的是( )
A.在上單調(diào)遞減
B.的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)
C.曲線與x軸相切
D.的值域?yàn)?br>12．在一款色彩三原色（紅、黃、青）的顏色傳輸器中,信道內(nèi)傳輸紅色、黃色、青色信號(hào),信號(hào)的傳輸相互獨(dú)立.當(dāng)發(fā)送紅色信號(hào)時(shí),顯示為黃色的概率為,顯示的青色的概率為；當(dāng)發(fā)送黃色信號(hào)時(shí),顯示為青色的概率為,顯示為紅色的概率為；當(dāng)發(fā)送青色信號(hào)時(shí),顯示為紅色的概率為,顯示為黃色的概率.考慮兩種傳輸方案：?jiǎn)未蝹鬏敽蛢纱蝹鬏?單次傳輸是指每個(gè)信號(hào)只發(fā)送1次,兩次傳輸是指每個(gè)信號(hào)重復(fù)發(fā)送2次.顯示的顏色信號(hào)需要譯碼,譯碼規(guī)則如下：當(dāng)單次傳輸時(shí),譯碼就是顯示的顏色信號(hào)；若兩次顯示的顏色信號(hào)相同,則譯碼為顯示的顏色.例如：若顯示的顏色為（紅,黃）,則譯碼為青色,若顯示的顏色為（紅,紅）,則譯碼為紅色.則下列結(jié)論正確的是( )
A.采用單次傳輸方案,若依次發(fā)送紅色、黃色、青色信號(hào),則依次顯示為青色、青色、紅色的概率為
B.采用兩次傳輸方案,若發(fā)送紅色信號(hào),則依次顯示黃色、黃色的概率為
C.采用兩次傳輸方案,若發(fā)送紅色信號(hào),則譯碼為紅色的概率為
D.對(duì)于任意的,若發(fā)送紅色信號(hào),則采用兩次傳輸方案譯碼為青色的概率小于采用單次傳輸方案譯碼為青色的概率
三、填空題
13．在中,,,,則_____________.
14．函數(shù)在區(qū)間上的最大值為_(kāi)____________,
15．已知,,則______________.
16．某迷宮隧道貓爬架如圖所示,B,C為一個(gè)長(zhǎng)方體的兩個(gè)頂點(diǎn),A,B是邊長(zhǎng)為3米的大正方形的兩個(gè)頂點(diǎn),且大正方形由完全相同的9小正方形拼成.若小貓從A點(diǎn)沿著圖中的線段爬到B點(diǎn),再?gòu)腂點(diǎn)沿著長(zhǎng)方體的棱爬到C點(diǎn),則小貓從A點(diǎn)爬到C點(diǎn)可以選擇的最短路徑共有_______________條.
四、解答題
17．第31屆世界大學(xué)生夏季運(yùn)動(dòng)會(huì),是中國(guó)西部第一次舉辦世界性綜合運(yùn)動(dòng)會(huì),共設(shè)籃球、排球、田徑、游泳等18個(gè)大項(xiàng)、269個(gè)小項(xiàng).該屆賽事約有來(lái)自170個(gè)國(guó)家和地區(qū)的1萬(wàn)余名運(yùn)動(dòng)員及官員赴蓉參加,該屆賽事于2023年7月28日至8月8日在中國(guó)四川省成都市舉行.為了了解關(guān)注該賽事是否與性別有關(guān),某體育臺(tái)隨機(jī)抽取2000名觀眾進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得到如下2×2列聯(lián)表.
（1）在所有女觀眾中,試估計(jì)她們關(guān)注該賽事的概率（結(jié)果用百分?jǐn)?shù)表示）;
（2）根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn),能否認(rèn)為是否關(guān)注該賽事與性別有關(guān)聯(lián)?
附：,其中.
18．在中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若,.
（1）求;
（2）若,求的面積.
19．定義在R上的函數(shù)對(duì)任意x,,都有,當(dāng)時(shí),.
(1)求的值;
(2)試判斷在R上的單調(diào)性,并說(shuō)明理由;
(3)解不等式.
20．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為,且.
（1）求的通項(xiàng)公式;
（2）若,設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為,證明：.
21．已知函數(shù).
（1）求曲線在點(diǎn)處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積;
（2）證明：.
22．踢毽子在我國(guó)流傳很廣,有著悠久的歷史,是一項(xiàng)傳統(tǒng)民間體育活動(dòng).某次體育課上,甲、乙、1丙、丁四人一起踢毽子.毽子在四人中傳遞,先從甲開(kāi)始,甲傳給乙、丙、丁的概率均為;當(dāng)乙接到毽子時(shí),乙傳給甲、丙、丁的概率分別為,,;當(dāng)丙接到毽子時(shí),丙傳給甲、乙、丁的概率分別為,,;當(dāng)丁接到毽子時(shí),丁傳給甲、乙、丙的概率分別為,,.假設(shè)毽子一直沒(méi)有掉地上,經(jīng)過(guò)n次傳毽子后,毽子被甲、乙、丙、丁接到的概率分別為,,,,已知.
（1）記丁在前2次傳毽子中,接到毽子的次數(shù)為X,求X的分布列;
（2）證明為等比數(shù)列,并判斷經(jīng)過(guò)150次傳毽子后甲接到毽子的概率與的大小.
參考答案
1．答案：A
解析：,故z的虛部是.
2．答案：B
解析：,又,所以.
3．答案：C
解析：由題意可得,則,可得.
4．答案：C
解析：,解得,當(dāng)且僅當(dāng),時(shí),等號(hào)成立.
5．答案：D
解析：根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)可得,,成等比數(shù)列.
設(shè),則,,,,.
6．答案：D
解析：所求概率為.
7．答案：B
解析：由題意可得,,,,,.
估計(jì)臭氧含量減少需要552年.
8．答案：A
解析：當(dāng)時(shí),.
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增,所以,解得.
當(dāng)時(shí),,因?yàn)?所以.
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減,所以且,解得,又,所以的取值范圍是.
9．答案：AB
解析：因?yàn)?所以.當(dāng)時(shí),,A符合.
當(dāng)時(shí),,B符合.
10．答案：ABD
解析：設(shè)的公差為d,,所以是以為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列,A正確.
,所以是以為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列,B正確.
,即,C錯(cuò)誤.
因?yàn)?,所以當(dāng)時(shí),取得最大值,故對(duì)任意,恒有,D正確.
11．答案：BCD
解析：，令, 解得或, 令, 解得 或,
所以在，上單調(diào)遞減, 在 ，上單調(diào)遞增, A錯(cuò)誤.,曲線 在處的切線方程為,即曲線與x軸相切,C正確.,,的值域?yàn)?D正確.,所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng),B正確.
12．答案：BD
解析：對(duì)于A,依次發(fā)送紅色、黃色、青色信號(hào),則依次顯示青色、青色、紅色的事件是發(fā)送紅色信號(hào)顯示青色、發(fā)送黃色信號(hào)顯示青色、發(fā)送青色信號(hào)顯示紅色的3個(gè)事件的積,它們相互獨(dú)立,
所以所求概率為,A錯(cuò)誤；
對(duì)于B,兩次傳輸,發(fā)送紅色信號(hào),相當(dāng)于依次發(fā)送紅色、紅色信號(hào),則依次顯示黃色、黃色的事件是發(fā)送紅色信號(hào)接收黃色信號(hào)、發(fā)送紅色信號(hào)接收黃色信號(hào)的2個(gè)事件的積,它們相互獨(dú)立,
所以所求概率為,B正確；
對(duì)于C,兩次傳輸,發(fā)送紅色信號(hào),則譯碼為紅色的事件是依次顯示黃色、青色或青色、黃色的事件的和,它們互斥,
所以所求的概率為,故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D,若采用兩次傳輸,發(fā)送紅色信號(hào),則譯碼為青色的概率,
若單次傳輸發(fā)送紅色信號(hào),則譯碼為青色的概率,
因此,即,D正確
故選：BD.
13．答案：
解析：.
14．答案：
解析：,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減,.
15．答案：
解析：因?yàn)?所以.
,所以.
.
因?yàn)?所以,,所以,故.
16．答案：120
解析：小貓要從A點(diǎn)爬到C點(diǎn),需要先從A點(diǎn)爬到B點(diǎn),需要走3橫3豎,則可選的路徑共有條,再?gòu)腂點(diǎn)爬到C點(diǎn)的路徑共6條,用分步乘法計(jì)數(shù)原理可得小貓可以選擇的最短路徑有條.
17．答案：（1）
（2）小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn),推斷不成立,即認(rèn)為是否關(guān)注該賽事與性別有關(guān)聯(lián)
解析：（1）女觀眾關(guān)注該賽事的概率約為：.
（2）零假設(shè)為：是否關(guān)注該賽事與性別無(wú)關(guān)聯(lián).
根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù),
經(jīng)計(jì)算得到,
根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn),推斷不成立,即認(rèn)為是否關(guān)注該賽事與性別有關(guān)聯(lián).
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）因?yàn)?,所以.
因?yàn)?所以,
則,即,
所以.
（2）,,.
由,,可得,.
.
19．答案：（1）-2
（2）在R上單調(diào)遞增
（3）
解析：（1）令,可得,解得.
（2）在R上單調(diào)遞增,理由如下：
設(shè),則,
,
因?yàn)楫?dāng)時(shí),,所以,
則,即.
故在R上單調(diào)遞增;
（3）,
即,
因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增,所以,解得,
故原不等式的解集為.
20．答案：（1）
（2）見(jiàn)解析
解析：（1）當(dāng)時(shí),,解得.
當(dāng)時(shí),,相減得,即,
所以數(shù)列是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列,
故
（2）證明：.
,①
.②
①-②得.
所以.
.
因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增,
所以.
21．答案：（1）
（2）見(jiàn)解析
解析：（1）,,.
曲線在點(diǎn)處的切線方程為,即.
切線與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為,.
所求三角形面積為.
（2）證明：.
令函數(shù),則,所以在上單調(diào)遞減.
,,所以在上有且只有一個(gè)零點(diǎn),使得.
當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞增;
當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減.
.
因?yàn)?所以,,
即.
.
當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí),等號(hào)成立.
因?yàn)?所以,即.
故.
22．答案：（1）見(jiàn)解析
（2）
解析：（1）X的所有可能取值為0,1,
,
,
所以X的分布列為
（2）當(dāng)時(shí),.
當(dāng)時(shí),,,,
所以,
因?yàn)?所以,
所以,所以,
因?yàn)?,所以,所以.
所以是首項(xiàng)為,公比的等比數(shù)列,
所以,即,
所以,
故經(jīng)過(guò)150次傳毽子后甲接到毽子的概率大于.
男
女
合計(jì)
關(guān)注該賽事
600
300
900
不關(guān)注該賽事
400
700
1100
合計(jì)
1000
1000
2000
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
X
0
1
P

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