一、選擇題
1．已知全集,,則集合B為( )
A.B.C.D.
2．已知直線l、m、n與平面、,下列命題正確的是( )
A.若,,,則B.若,,則
C.若,,則D.若,,則
3．若拋物線上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離是,則p的值為( )
A.B.C.D.
4．在黨的二十大報(bào)告中,習(xí)近平總書(shū)記提出要發(fā)展“高質(zhì)量教育”,促進(jìn)城鄉(xiāng)教育均衡發(fā)展.某地區(qū)教育行政部門(mén)積極響應(yīng)黨中央號(hào)召,近期將安排甲、乙、丙、丁4名教育專(zhuān)家前往某省教育相對(duì)落后的三個(gè)地區(qū)指導(dǎo)教育教學(xué)工作,則每個(gè)地區(qū)至少安排1名專(zhuān)家的概率為( )
A.B.C.D.
5．蚊香具有悠久的歷史,我國(guó)蚊香的發(fā)明與古人端午節(jié)的習(xí)俗有關(guān).如圖為某校數(shù)學(xué)社團(tuán)用數(shù)學(xué)軟件制作的“蚊香”.畫(huà)法如下：在水平直線上取長(zhǎng)度為1的線段,作一個(gè)等邊三角形,然后以點(diǎn)B為圓心,為半徑逆時(shí)針畫(huà)圓弧交線段的延長(zhǎng)線于點(diǎn)（第一段圓?。?再以點(diǎn)為圓心,為半徑逆時(shí)針畫(huà)圓弧交線段的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,再以點(diǎn)A為圓心,為半徑逆時(shí)針畫(huà)圓弧……以此類(lèi)推,當(dāng)?shù)玫降摹拔孟恪鼻『糜?5段圓弧時(shí),“蚊香”的長(zhǎng)度為( )
A.B.C.D.
6．已知圓,直線與圓C交于A,B兩點(diǎn).若為直角三角形,則( )
A.B.C.D.
7．現(xiàn)有甲、乙兩組數(shù)據(jù),每組數(shù)據(jù)均由六個(gè)數(shù)組成,其中甲組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為3,方差為5,乙組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5,方差為3.若將這兩組數(shù)據(jù)混合成一組,則新的一組數(shù)據(jù)的方差為( )
A.3.5B.4C.4.5D.5
8．“曼哈頓距離”是十九世紀(jì)的赫爾曼·閔可夫斯基所創(chuàng)詞匯,定義如下：在直角坐標(biāo)平面上任意兩點(diǎn),的曼哈頓距離為：.已知點(diǎn)M在圓上,點(diǎn)N在直線上,則的最小值為( )
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．設(shè)集合,,則下列圖象能表示集合P到集合Q的函數(shù)關(guān)系的有( )
A.B.C.D.
10．已知二項(xiàng)展開(kāi)式,下列說(shuō)法正確的有( )
A.的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是56
B.的展開(kāi)式中的各項(xiàng)系數(shù)之和為0
C.的展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù)最大值是70
D.,其中i為虛數(shù)單位
11．在中,若,則( )
A.對(duì)任意的,都有B.對(duì)任意的,都有
C.存在n,使成立D.存在n,使成立
三、填空題
12．已知單位向量,滿足,則____________.
13．定義兩個(gè)點(diǎn)集S、T之間的距離集為,其中表示兩點(diǎn)P、Q之間的距離,已知k,,,,若,則t的值為_(kāi)_____________.
14．已知,過(guò)點(diǎn)傾斜角為的直線l交C于A、B兩點(diǎn)（A在第一象限內(nèi)）,過(guò)點(diǎn)A作軸,垂足為D,現(xiàn)將C所在平面以軸為翻折軸向紙面外翻折,使得,則幾何體外接球的表面積為_(kāi)___________.
四、解答題
15．已知函數(shù).
（1）當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
（2）當(dāng)時(shí),求函數(shù)的最大值.
16．設(shè)為數(shù)列的前n項(xiàng)和,已知是首項(xiàng)為、公差為的等差數(shù)列.
（1）求的通項(xiàng)公式;
（2）令,為數(shù)列的前n項(xiàng)積,證明：.
17．最新研發(fā)的某產(chǎn)品每次試驗(yàn)結(jié)果為成功或不成功,且每次試驗(yàn)的成功概率為.現(xiàn)對(duì)該產(chǎn)品進(jìn)行獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),若試驗(yàn)成功,則試驗(yàn)結(jié)束;若試驗(yàn)不成功,則繼續(xù)試驗(yàn),且最多試驗(yàn)8次.記X為試驗(yàn)結(jié)束時(shí)所進(jìn)行的試驗(yàn)次數(shù),X的數(shù)學(xué)期望為.
（1）證明：;
（2）某公司意向投資該產(chǎn)品,若,每次試驗(yàn)的成本為元,若試驗(yàn)成功則獲利元,則該公司應(yīng)如何決策投資？請(qǐng)說(shuō)明理由.
18．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、,離心率為,經(jīng)過(guò)點(diǎn)且傾斜角為的直線l與橢圓交于A、B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在x軸上方）,的周長(zhǎng)為8.
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
（2）如圖,將平面xOy沿x軸折疊,使y軸正半軸和x軸所確定的半平面（平面）與y軸負(fù)半軸和x軸所確定的半平面（平面）互相垂直.
（1）若,求異面直線和所成角的余弦值;
（2）是否存在,使得折疊后的周長(zhǎng)為？若存在,求的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
19．已知定義域?yàn)镽的函數(shù)滿足：對(duì)于任意的,都有,則稱函數(shù)具有性質(zhì)P.
（1）判斷函數(shù),是否具有性質(zhì)P;（直接寫(xiě)出結(jié)論）
（2）已知函數(shù),判斷是否存在,,使函數(shù)具有性質(zhì)P？若存在,求出,的值;若不存在,說(shuō)明理由;
（3）設(shè)函數(shù)具有性質(zhì)P,且在區(qū)間上的值域?yàn)?
函數(shù),滿足,且在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn).
參考答案
1．答案：C
解析：
2．答案：D
解析：
3．答案：A
解析：
4．答案：B
解析：
5．答案：D
解析：
6．答案：A
解析：
7．答案：D
解析：
8．答案：D
解析：
9．答案：BD
解析：
10．答案：BC
解析：
11．答案：AD
解析：
12．答案：
解析：
13．答案：
解析：
14．答案：
解析：
15．答案：（1）在上為增函數(shù);在上為減函數(shù)
（2）的遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為,
解析：（1）的定義域?yàn)?
當(dāng)時(shí),,
當(dāng),解得：,
當(dāng),解得：.
在上為增函數(shù);在上為減函數(shù);
（2）的定義域?yàn)?
當(dāng)時(shí),令,得,
令時(shí),得,
的遞增區(qū)間為,遞減區(qū)間為,.
16．答案：（1）
（2）
解析：（1）由是首項(xiàng)為、公差為的等差數(shù)列,
故,
即,
當(dāng)時(shí),,
故,
當(dāng)時(shí),,符合上式,故;
（2）由,
故,
則,
由,故,
則.
17．答案：（1）
（2）元
解析：（1）由題意,
故,,
分布列如下：
所以X的數(shù)學(xué)期望,
記
,
作差可得,,
則
（2）由（1）可知,則試驗(yàn)成本的期望小于元.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）由橢圓的定義知：,
所以的周長(zhǎng),所以,
又橢圓離心率為,所以,
所以,
由題意,橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為;
（2）①由直線與,
聯(lián)立求得,（因?yàn)辄c(diǎn)A在x軸上方）以及,
再以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),折疊后原y軸負(fù)半軸,原x軸,原y軸正半軸所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則
,,,,,.
記異面直線和所成角為,則;
②設(shè)折疊前,,折疊后A,B在新圖形中對(duì)應(yīng)點(diǎn)記為,,,,
由,,
故,
將直線l方程與橢圓方程聯(lián)立,
得,
,
在折疊后的圖形中建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,
,
所以,（i）
又
所以,（ii）
由（i）（ii）可得,
因?yàn)?
所以,
即,
所以,解得,
因?yàn)?所以.
19．答案：（1）不具有性質(zhì)P
（2）存在,使函數(shù)具有性質(zhì)P
（3）見(jiàn)解析
解析：（1）因?yàn)?則,
又,
所以,
故函數(shù)具有性質(zhì)P;
因?yàn)?則,
又,
,
故不具有性質(zhì)P.
（2）若函數(shù)具有性質(zhì)P,則,
即,
因?yàn)?所以,所以;
若,不妨設(shè),由,
得,
只要k充分大時(shí),將大于1,而的值域?yàn)?
故等式不可能成立,所以必有成立,
即,因?yàn)?所以,
所以,則,此時(shí),
則,
而,
即有成立,
所以存在,使函數(shù)具有性質(zhì)P.
（3）證明：由函數(shù)具有性質(zhì)P及（2）可知,,
由可知函數(shù)是以為周期的周期函數(shù),
則,
即,所以,;
由,以及題設(shè)可知,
函數(shù)在的值域?yàn)?
所以且;
當(dāng),及時(shí),均有,
這與在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)矛盾,
因此或;
當(dāng)時(shí),,函數(shù)在的值域?yàn)?
此時(shí)函數(shù)的值域?yàn)?
而,于是函數(shù)在的值域?yàn)?
此時(shí)函數(shù)的值域?yàn)?
函數(shù)在當(dāng)時(shí)和時(shí)的取值范圍不同,
與函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)矛盾,
故,即,命題得證.
X
1
2
3
4
5
6
7
8
P
p

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