一、選擇題
1．復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
2．拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，設(shè)事件“第一枚硬幣正面朝上”，事件“第二枚硬幣反面朝上”，則A與B的關(guān)系為( )
A.互斥B.相互對(duì)立C.相互獨(dú)立D.相等
3．在杭州亞運(yùn)會(huì)期間，共有1.8萬(wàn)多名賽會(huì)志愿者參與服務(wù)，據(jù)統(tǒng)計(jì)某高校共有本科生4400人，碩士生400人，博士生200人參與志愿者服務(wù).現(xiàn)用分層抽樣的方法從該高校志愿者中抽取部分學(xué)生了解服務(wù)心得，其中博士生抽取了10人，則本科生抽取的人數(shù)為( )
A.250B.220C.30D.20
4．在中，若，則( )
A.B.C.D.
5．已知，，與的夾角為，則在上的投影向量是( )
A.B.C.D.
6．若數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為3，方差為4，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是( )
A.數(shù)據(jù)，，，的平均數(shù)為13
B.數(shù)據(jù)，，，的方差為12
C.
D.
7．已知對(duì)任意平面向量，把繞其起點(diǎn)沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角得到向量，叫做點(diǎn)B繞點(diǎn)A沿逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)角得到點(diǎn)P.已知平面內(nèi)點(diǎn)，點(diǎn)，把點(diǎn)B繞點(diǎn)A沿順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到點(diǎn)P，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為( )
A.B.C.D.
8．已知正方體的棱長(zhǎng)為2，P為底面ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，直線與平面ABCD所成角為，E為正方形的中心，點(diǎn)M為線段上一動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為( )
A.B.C.D.
二、多項(xiàng)選擇題
9．已知復(fù)數(shù)，，則下列說(shuō)法正確的是( )
A.B.存在實(shí)數(shù)a，使得為實(shí)數(shù)
C.若為純虛數(shù)，則D.
10．如圖，連接正方體各個(gè)面的中心得到一個(gè)每個(gè)面都是正三角形的八面體，如果四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，則( )
A.異面直線與所成角的大小為
B.二面角的平面角的余弦值為
C.平面平面
D.此八面體的外接球表面積為
11．已知點(diǎn)P在所在的平面內(nèi)，則下列命題正確的是( )
A.若P為的垂心，且，則
B.若，則的面積與的面積之比為
C.若，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡經(jīng)過(guò)的外心
D.若E，F(xiàn)，G分別為，，的中點(diǎn)，且，，則的最大值為
三、填空題
12．已知事件A與事件B發(fā)生的概率分別為，，且，則________.
13．已知某圓臺(tái)的上底面和下底面的面積之比為，軸截面面積為6，母線長(zhǎng)為上底面半徑的倍，則該圓臺(tái)的體積為________.
14．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若，則的最大值是________.
四、解答題
15．某市高一年級(jí)36000名學(xué)生參加了一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽，為了解本次競(jìng)賽情況，隨機(jī)抽取了500名學(xué)生的成績(jī)，并根據(jù)這500名學(xué)生成績(jī)，繪制頻率分布直方圖如圖所示.
(1)求a的值，并估計(jì)該市高一年級(jí)的及格（60分以上）人數(shù)；
(2)估計(jì)該市高一年級(jí)學(xué)生成績(jī)的分位數(shù).
16．已知向量，.
(1)若，求k的值；
(2)若，求的最小值.
17．甲、乙兩人進(jìn)行象棋比賽，已知每局比賽甲獲勝的概率為，乙獲勝的概率為，且各局比賽的勝負(fù)互不影響.有兩種比賽方案供選擇，方案一：三局兩勝制（先勝2局者獲勝，比賽結(jié)束）；方案二：五局三勝制（先勝3局者獲勝，比賽結(jié)束）.
(1)用拋擲骰子的方式?jīng)Q定比賽方案，拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，觀察兩枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)，若兩枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值不大于1，則選擇方案一，否則選擇方案二.試判斷哪種方案被選擇的可能性更大，并說(shuō)明理由；
(2)若選擇方案一，求甲獲勝的概率.
18．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，其中，且，，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱，的中點(diǎn).
(1)若平面平面，
①求證：；
②求三棱錐的體積；
(2)若，請(qǐng)作出四棱錐過(guò)點(diǎn)B，E，F(xiàn)三點(diǎn)的截面，并求出截面的周長(zhǎng).
19．當(dāng)?shù)娜齻€(gè)內(nèi)角均小于時(shí)，使得的點(diǎn)M為的“費(fèi)馬點(diǎn)”；當(dāng)有一個(gè)內(nèi)角大于或等于時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為的“費(fèi)馬點(diǎn)”.已知在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，P是的“費(fèi)馬點(diǎn)”.
(1)若，，.
①求A；
②設(shè)的周長(zhǎng)為，求的值；
(2)若，，求實(shí)數(shù)t的最小值.
參考答案
1．答案：D
解析：復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，
故復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限，
故選：D
2．答案：C
解析：拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，按順序共出現(xiàn)（正正）（正反）（反正）（反反）這4種情況，
事件A包括（正正）（正反），事件B包括（正反）（反反），故不相等，故D錯(cuò)誤，
由于事件A與事件B能同時(shí)發(fā)生，所以不為互斥事件，也不為對(duì)立事件，故AB錯(cuò)誤；
因?yàn)槭录嗀是否發(fā)生與事件B無(wú)關(guān)，事件B是否發(fā)生也與事件A無(wú)關(guān)，故事件A和事件B相互獨(dú)立，故C正確.
故選：C.
3．答案：B
解析：設(shè)本科生抽取的人數(shù)為x人，由分層抽樣每層中抽取樣本比例相同，
可得，解得.
故選：.
4．答案：A
解析：若，則由正弦定理得，
可設(shè)，，，
由余弦定理得.
故選：A.
5．答案：D
解析：在上的投影向量為.
故選：D.
6．答案：B
解析：依題意，，，
對(duì)于A，，A正確；
對(duì)于B，依題意，，所以數(shù)據(jù)，，，的方差為：
，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，，C正確；
對(duì)于D，由，
解得，D正確.
故選：B
7．答案：C
解析：因?yàn)椋?br>所以，
將向量順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，即逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，
得到
化簡(jiǎn)得，
所以P點(diǎn)坐標(biāo)為；
故選：C.
8．答案：B
解析：
因?yàn)橹本€與平面ABCD所成角為，
又因?yàn)槊?br>所以為直線與平面所形成的角，即，
又，所以，
所以P點(diǎn)的軌跡為以D為圓心，2半徑的圓落在四邊形內(nèi)的部分，即四分之一圓弧.
分析可知，P點(diǎn)為和圓弧的交點(diǎn)時(shí)，最小.
此時(shí)可將面沿著翻折到面所在平面.
根據(jù)長(zhǎng)度關(guān)系，翻折后的圖形如圖所示，其中，分別為正方體上下底面的中心，
當(dāng)，M，P三點(diǎn)共線時(shí)，最小.因?yàn)?，，所以最小值?br>故選：B.
9．答案：AC
解析：因?yàn)?，所以，A正確；
因?yàn)?，無(wú)實(shí)數(shù)解，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
因?yàn)闉榧兲摂?shù)，則，即，C選項(xiàng)正確；
當(dāng)時(shí)，，，
則，，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：AC.
10．答案：ACD
解析：由題可知E，B，F(xiàn)，D四點(diǎn)共面，又，
所以四邊形為菱形，
所以，故異面直線與所成角即為異面直線與所成角，
又每個(gè)面都是正三角形，故異面直線與所成角的大小為，故A項(xiàng)正確；
對(duì)于B項(xiàng)，連接，，，Q為BE中點(diǎn)，
又每個(gè)面都是正三角形，所以，，
所以為二面角的平面角，
所以，，
由余弦定理得，
所以二面角的平面角的余弦值為，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；
由于E，O，F(xiàn)三點(diǎn)共線，O在直線上，故B，F(xiàn)，D，E四點(diǎn)共面.
又由于，，兩兩垂直，且，在平面內(nèi)交于點(diǎn)O，
故平面.
而在平面內(nèi)，故平面平面，C正確；
由于該八面體的每個(gè)面都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，
故，，
所以點(diǎn)O為幾何體外接球的球心，且外接球的半徑為，
從而外接球的表面積為，D正確.
故答案為：ACD.
11．答案：ACD
解析：A選項(xiàng)，，故A正確；
B選項(xiàng)，設(shè)中點(diǎn)為M，中點(diǎn)為N，
，即，
所以點(diǎn)P為中位線靠近點(diǎn)N的三等分點(diǎn)，所以，故B錯(cuò)；
C選項(xiàng)，設(shè)中點(diǎn)為H，則，
結(jié)合題設(shè)
所以，所以，
又的中點(diǎn)為H，所以P在的中垂線上，
所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡經(jīng)過(guò)的外心，故C正確；
D選項(xiàng)，設(shè)中點(diǎn)為O，
因?yàn)椋渣c(diǎn)P的軌跡為以為直徑的圓，
結(jié)合上圖，
，
當(dāng)為直徑時(shí)最大，最大為，故D正確.
故選：ACD.
12．答案：0.7/
解析：因?yàn)槭录嗀與事件B發(fā)生的概率分別為
，，且，
所以.
故答案為：0.7.
13．答案：
解析：如圖所示，設(shè)圓臺(tái)的上下底面中心分別為，，為其軸截面.
由題意得，設(shè)，則，，
在軸截面中過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)E，則，，，
故，
由勾股定理，
軸截面的面積為，解得，
故圓臺(tái)上底面半徑，下底面半徑，高，
故該圓臺(tái)的體積為.
故答案為：
14．答案：/
解析：如圖：
過(guò)C作于D.
因?yàn)椋?
設(shè)，則
設(shè)，則
若，則；若，則；
當(dāng)時(shí)，
（當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“”）.
所以
故答案為：
15．答案：(1)；32400
(2)85
解析：（1）由題意，，
解得，
高一年級(jí)的及格的頻率為，
則估計(jì)該市高一年級(jí)的及格（60分以上）人數(shù)為人；
（2）因?yàn)椋?br>，
所以高一年級(jí)學(xué)生成績(jī)的分位數(shù)在區(qū)間上，設(shè)為x，
則，解得，
所以估計(jì)該市高一年級(jí)學(xué)生成績(jī)的分位數(shù)為85.
16．答案：(1)；
(2)
解析：（1）由，，
得，，
因?yàn)?，所以?br>即，解得；
（2），
則，
當(dāng)時(shí)，取得最小值.
17．答案：(1)方案二被選擇的可能性更大，理由見解析；
(2)
解析：（1）拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)向上的點(diǎn)數(shù)為，則共有36種情況，如下：
，
，
，
其中兩枚骰子向上的點(diǎn)數(shù)之差的絕對(duì)值不大于1的情況有：
，共16種情況，
故選擇方案一的概率為，則選擇方案二的概率為，
因?yàn)椋苑桨付贿x擇的可能性更大；
（2）若甲在前兩局獲勝，概率為，
若第一局，第三局獲勝，概率為，
若第二局，第三局獲勝，概率為，
三種情況互斥，故選擇方案一，甲獲勝的概率為.
18．答案：(1)①證明見解析.②
(2)
解析：（1）①因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平?br>又因?yàn)榈酌鏋橹苯翘菪?，其?br>所以，又因?yàn)槊妫?br>所以面.又因?yàn)槊?，所?br>②由①知面，取的中點(diǎn)設(shè)為Q，連結(jié)，則，則面，
則點(diǎn)E到面的距離為.
又因?yàn)樵谥苯翘菪沃?，?br>解得，所以在等腰三角形中
三棱錐的體積.
（2）取線段的中點(diǎn)H，連接，，
因?yàn)?，且?br>所以四邊形為平行四邊形，
所以，又E，H分別為線段，，
所以，
所以，則四邊形為四棱錐過(guò)點(diǎn)B，E及棱中點(diǎn)的截面，
則，，，
在中，，，，
所以，
則，
所以截面周長(zhǎng)為.
19．答案：(1)①；②；
(2)
解析：（1）①，，，
，
，，
，
，，，，
則，，
②設(shè)，，.
而，
在中，由余弦定理得:.
同理有，，，
則.
在中由余弦定理知:，即.
又則
，，，
又等面積法知：
，
則，，，
故.
（2）因?yàn)椋?br>所以，
所以，
所以，所以為直角三角形，，
點(diǎn)P為的費(fèi)馬點(diǎn)，則，
設(shè)，，，，
則由得；
由余弦定理得，
，
，
故由得，
即，而，，故，
當(dāng)且僅當(dāng)，結(jié)合，解得時(shí)，等號(hào)成立，
又，即有，解得或（舍去），
故實(shí)數(shù)t的最小值為.

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