一、選擇題
1．已知一組數(shù)據(jù)：4，6，7，9，11，13，則這組數(shù)據(jù)的第65百分位數(shù)為( )
A.6B.7C.9D.11
2．下列方程中表示圓心在直線上，半徑為，且過原點(diǎn)的圓的是( )
A.B.
C.D.
3．已知首項(xiàng)為1的等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若，則( )
A.24B.12C.20D.15
4．如圖所示的沙漏由兩個(gè)完全相同的圓錐組成，且圓錐的底面半徑和高均為2.若沙漏的起始狀態(tài)為上方圓錐中充滿了沙子，下方圓錐中沒有沙子，上方圓錐的沙子勻速漏到下方圓錐中，需要54分鐘全部漏完，則經(jīng)過52分鐘后，沙漏上方圓錐中沙子的高度為( )
A.B.C.D.
5．已知，則( )
A.B.C.D.
6．若正數(shù)a，b滿足，則的最小值為( )
A.3B.6C.9D.12
7．已知正方體的棱長為2，點(diǎn)N為側(cè)面四邊形的中心，則四面體的外接球的表面積為( )
A.B.C.D.
8．在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)M是橢圓C上異于，的點(diǎn)，N為平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足，過點(diǎn)N作直線的垂線與直線交于點(diǎn)P，則( )
A.12B.16C.24D.32
二、多項(xiàng)選擇題
9．已知復(fù)數(shù)z，在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)分別為M，N，且點(diǎn)M，N均在以坐標(biāo)原點(diǎn)O為圓心.2為半徑的圓上，點(diǎn)M在第四象限，則( )
A.點(diǎn)N在第一象限B.C.D.
10．已知函數(shù)，則( )
A.函數(shù)的最小正周期為
B.函數(shù)的圖象為中心對稱圖形
C.函數(shù)在上單調(diào)遞增
D.關(guān)于x的方程在上至多有3個(gè)解
11．已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，其圖象關(guān)于中心對稱，若，則( )
A.B.
C.為奇函數(shù)D.為偶函數(shù)
三、填空題
12．已知集合，，若，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________.
13．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線l與拋物線C交于M，N兩點(diǎn)，若，則直線l的斜率為________.
14．在銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________.
四、解答題
15．已知雙曲線的實(shí)軸長為，點(diǎn)在雙曲線C上.
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點(diǎn)P且斜率為的直線與雙曲線C的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，求.
16．如圖，在直四棱柱中，底面四邊形為梯形，，，，.
(1)證明：;
(2)若直線與平面所成角的正弦值為，點(diǎn)M為線段上一點(diǎn)，求點(diǎn)M到平面的距離.
17．某自助餐廳為了鼓勵消費(fèi)，設(shè)置了一個(gè)抽獎箱、箱中放有8折、8.5折、9折、9.5折的獎券各3張，每張獎券的形狀都相同，每位顧客可以從中任取3張獎券，最終餐廳將在結(jié)賬時(shí)按照3張獎券中最優(yōu)惠的折扣進(jìn)行結(jié)算.
(1)求一位顧客抽到的3張獎券的折扣均不相同的概率；
(2)若自助餐的原價(jià)為100元/位，記一位顧客最終結(jié)算時(shí)的價(jià)格為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.
18．已知函數(shù).
(1)若，求函數(shù)的極值；
(2)若曲線與曲線有唯一的交點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
19．定義：已知數(shù)列為有窮數(shù)列，①對任意i，j（，），總存在，使得，則稱數(shù)列為“乘法封閉數(shù)列”；②對任意i，j（，），總存在，使得，則稱數(shù)列為“除法封閉數(shù)列”，
(1)若，判斷數(shù)列是否為“乘法封閉數(shù)列”.
(2)已知遞增數(shù)列1，，，8，為“除法封閉數(shù)列"，求和.
(3)已知數(shù)列是以1為首項(xiàng)的遞增數(shù)列，共有k項(xiàng)，，，且為“除法封閉數(shù)列”，探究：數(shù)列是否為等比數(shù)列，若是，請給出說明過程；若不是，請寫出一個(gè)滿足條件的數(shù)列的通項(xiàng)公式.
參考答案
1．答案：C
解析：已知一組數(shù)據(jù)：4，6，7，9，11，13，共6個(gè)數(shù)，
則，
所以這組數(shù)據(jù)的第65百分位數(shù)為從小到大排列的第四個(gè)數(shù)9.
故選：C.
2．答案：D
解析：因?yàn)閳A心在上，所以設(shè)圓心為，
因?yàn)閳A的半徑為，
所以設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
因?yàn)樵搱A過原點(diǎn)，
所以，
解得，
所以圓心為或，
當(dāng)圓心為時(shí)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，D對;
當(dāng)圓心為時(shí)，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故選：D.
3．答案：D
解析：設(shè)等比數(shù)列的公比為q，顯然，否則，此等式不成立，
則，由，整理得，即，
因此，所以.
故選：D
4．答案：B
解析：因?yàn)樯匙勇┫聛淼乃俣仁呛愣ǖ?，上方圓錐的沙子勻速漏到下方圓錐中，
則經(jīng)過52分鐘后，漏下來的沙子是全部沙子的，剩余的是全部沙子的，
下方圓錐的空白部分就是上方圓錐中的沙子部分，
所以可以單獨(dú)研究下方圓錐，設(shè)為下方空白的圓錐的高，
為沙漏的高，為下方空白部分的圓錐的體積，為下方沙漏的體積，
，可得.
故選：B.
5．答案：A
解析：，
故選：A
6．答案：C
解析：因?yàn)閍，b為正數(shù)，所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以，
所以，
所以或（舍去），
所以，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)等號成立.
故選：C.
7．答案：D
解析：如圖：
四面體的面是直角三角形，
O，為面與的中心，所以面，
因?yàn)樾边叺闹悬c(diǎn)O是三角形外心，所以球心在的直線上，
面也為直角三角形，O，E分別為與的中點(diǎn)，所以，
面，所以面，
因?yàn)樾边叺闹悬c(diǎn)E是三角形外心，所以球心在的直線上，
故球心為直線與直線的交點(diǎn)O，
正方體的棱長為2，
所以球的半徑為，
所以四面體的外接球的表面積為：.
故選：D
8．答案：C
解析：設(shè)M坐標(biāo)為，則，
根據(jù)題意知，，
，所以N坐標(biāo)為，
直線斜率為，所以直線方程為，
直線斜率為，因?yàn)橹本€與直線垂直，
所以直線的斜率為，
所以直線方程為，
聯(lián)立直線方程與方程，
求得P點(diǎn)坐標(biāo)為，則，，
所以.
故選：C
9．答案：AB
解析：設(shè)，，由題意可得，
解得或，所以點(diǎn)或，
因?yàn)辄c(diǎn)M在第四象限，所以，從而可得，
所以點(diǎn)N在第一象限，故A正確；
所以，故B正確；
，，所以，
所以與不垂直，故C錯誤；
所以，故D錯誤.
故選：AB.
10．答案：AC
解析：當(dāng)時(shí)，，
函數(shù)在上遞增，函數(shù)值從增大到1；在上遞減，函數(shù)值從1減小到；
當(dāng)時(shí)，，
函數(shù)在上遞增，函數(shù)值從增大到；在上遞減，函數(shù)值從減小到，
函數(shù)在的圖象，如圖：
對于A，，
結(jié)合函數(shù)在的圖象，得是的最小正周期，A正確；
對于B，觀察函數(shù)在的圖象，函數(shù)在沒有對稱中心，
又的最小正周期是，則函數(shù)的圖象不是中心對稱圖形，B錯誤；
對于C，由函數(shù)在上遞增，的最小正周期是，得函數(shù)在上遞增，C正確；
對于D，觀察函數(shù)在的圖象，得當(dāng)時(shí)，有4個(gè)解，D錯誤.
故選：AC
11．答案：ACD
解析：A選項(xiàng)，的定義域?yàn)镽，其圖象關(guān)于中心對稱，
故，故，A正確；
B選項(xiàng)，由題意得，又，
故，
令得，即，B錯誤；
C選項(xiàng)，由題意得，即，
令，則，
所以為奇函數(shù)，C正確；
D選項(xiàng)，因?yàn)?，所以?br>即，故，
令，則，
故為偶函數(shù)，D正確.
故選：ACD.
12．答案：
解析：由題可得，
當(dāng)時(shí)，，則，不滿足條件；
當(dāng)時(shí)，，要使，則，
當(dāng)時(shí)，，要使，則，
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
故答案為：
13．答案：
解析：拋物線的焦點(diǎn)，設(shè)直線l的方程為：，
聯(lián)立方程，消去y得，，
設(shè)，，則，
因?yàn)?，所以?br>即，得，
故答案為：
14．答案：
解析：由得，
得，
得，得，
得，
故或，
又為銳角三角形，故，即，，
由及正弦定理可得，故，，
因，故恒成立，
又
，
又為銳角三角形，故，，
故當(dāng)時(shí)取得最大值，
故，即實(shí)數(shù)的取值范圍為，
故答案為：
15．答案：(1)；
(2)
解析：（1）因?yàn)殡p曲線的實(shí)軸長為，所以，解得：；
又因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線C上，所以，解得：，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：
（2）設(shè)，
由題可得過點(diǎn)P且斜率為的直線方程為：，即，
聯(lián)立，消去y可得：，
所以，，
所以
16．答案：(1)證明見解析；
(2)
解析：（1）因?yàn)?，?br>所以，所以，
因?yàn)闉橹彼睦庵?br>所以，
因?yàn)椋矫妫?br>所以平面，
因?yàn)?，所以平面?br>因?yàn)槠矫?，所?br>（2）由（1）及題意知，，，兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系
因?yàn)?，?設(shè)，
所以，，，，，，
所以，，，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為
則，
令，則，所以
設(shè)直線與平面所成的角為，
則，
解得，所以
所以點(diǎn)B到平面的距離為
因?yàn)?，所?br>因?yàn)椴辉谄矫?，所以平面?br>因?yàn)镸在線段上，所以點(diǎn)M到平面的距離等價(jià)于點(diǎn)B到平面的距離，為
故點(diǎn)M到平面的距離.
17．答案：(1)；
(2)分布列見解析，期望
解析：（1）從12張中任選3張有種方法，
取到的折扣均不相同的取法有，
所以一位顧客抽到的3張獎券的折扣均不相同的概率；
（2）X的所有取值為80，85，90，95，
，，
，，
所以X的分布列為
.
18．答案：(1)極小值為3，無極大值
(2)
解析：（1）時(shí)，，，
令解得，所以在區(qū)間上，單調(diào)遞減，
在區(qū)間上，單調(diào)遞增，
所以的極小值為，無極大值.
（2）由分離a得，
令，，
令，，
所以在R上單調(diào)遞減，，
所以在區(qū)間上，，單調(diào)遞增，
在區(qū)間上，，單調(diào)遞減，，，
當(dāng)時(shí)，，由此畫出的大致圖象如下圖所示，
要使曲線與曲線有唯一的交點(diǎn)，
則a的取值范圍是.
19．答案：(1)不是；
(2)，；
(3)是；說明過程見解析
解析：（1）由題意知，數(shù)列為：1，4，7，10，13，…58.
由，70不是數(shù)列中的項(xiàng)，
故數(shù)列不是“乘法封閉數(shù)列”；
（2）由題意數(shù)列遞增可知，則，且，
又?jǐn)?shù)列為“除法封閉數(shù)列”，則都是數(shù)列中的項(xiàng)，
所以，即①；
且，，即②，
聯(lián)立①②解得，，；
（3）數(shù)列是等比數(shù)列.
證明：當(dāng)時(shí)，設(shè)數(shù)列為1，，，，，
由題意數(shù)列遞增可知，
則有，
由數(shù)列為“除法封閉數(shù)列”，
則，，，，，這5個(gè)數(shù)都是數(shù)列中的項(xiàng)，
所以有，，，，，
則有，，③；
同理由，可得，，，
則有，即④；
由③④可得，，故是等比數(shù)列.
當(dāng)時(shí)，由題意數(shù)列遞增可知，
則有，
由數(shù)列為“除法封閉數(shù)列”，則這k個(gè)數(shù)都是數(shù)列中的項(xiàng).
所以有，，，，，.
所以有，即⑤；
同理由，可得，
所以，，，，.
則，即⑥，
聯(lián)立⑤⑥得，，
則，所以有，，，，
所以，故數(shù)列是等比數(shù)列.
綜上所述，數(shù)列是等比數(shù)列.
X
80
85
90
95
P

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