一、選擇題
1．已知集合，，則( )
A.B.C.D.
2．若函數(shù)為R上的偶函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值為( )
A.-2B.2C.1D.-1
3．已知，則( )
A.0B.4C.D.0或4
4．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，從該數(shù)列中抽取出一個以原次序組成的首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，，…，，其中，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為( )
A.B.C.D.
5．已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，其中，，則下列說法錯誤的是( )
A.
B.
C.直線是圖象的一條對稱軸
D.是圖象的一個對稱中心
6．已知函數(shù)，則的圖象大致為( )
A.B.
C.D.
7．已知圓C過點(diǎn)，且直線l：被圓C所截得的弦長為，若圓C的圓心在y軸右側(cè)，則圓C的面積為( )
A.B.C.D.
8．“大衍數(shù)列”來源于《乾坤譜》中對易傳“大衍之?dāng)?shù)五十”的推論，主要用于解釋中國傳統(tǒng)文化中的太極衍生原理，是中華傳統(tǒng)文化中的一大瑰寶.已知“大衍數(shù)列”的前10項(xiàng)分別為0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，…，據(jù)此可以推測，該數(shù)列的第15項(xiàng)與第60項(xiàng)的和為( )
A.1012B.1016C.1912D.1916
二、多項(xiàng)選擇題
9．已知，則下列不等式正確的是( )
A.B.
C.D.
10．已知向量，，，則( )
A.若，則
B.在方向上的投影向量為
C.存在，使得在方向上投影向量的模為1
D.的取值范圍為
11．已知函數(shù)在處取得最大值2，的最小正周期為π，則下列結(jié)論正確的是( )
A.
B.在上的單調(diào)遞減區(qū)間是
C.將圖象上的所有點(diǎn)向右平移個單位長度，再把得到的曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，得到的圖象
D.將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到的圖象
12．已知定義在R上的函數(shù)滿足為奇函數(shù)，的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，則下列說法正確的是( )
A.函數(shù)的圖象關(guān)于對稱
B.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱
C.函數(shù)的一個周期為4
D.
三、填空題
13．已知雙曲線的漸近線方程為，則雙曲線C的焦距為_________.
14．已知向量，滿足，，，，則_________.
15．等差數(shù)列，前n項(xiàng)和分別為，，且，則_________.
16．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，M為C上任意一點(diǎn)，且的周長為6，若直線經(jīng)過定點(diǎn)N，則的最小值為_________.
四、解答題
17．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知.
(1)求A的大?。?br>(2)若為上的高，且，求面積的最小值.
18．如圖，在長方體中，，點(diǎn)M為的中點(diǎn)，點(diǎn)N是上靠近的三等分點(diǎn)，與交于點(diǎn)O.
(1)求證：平面；
(2)若，求點(diǎn)N到平面的距離.
19．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且，.
(1)求；
(2)若，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.
20．如圖，在四棱錐中，底面，底面為直角梯形，，，點(diǎn)E為的中點(diǎn).
(1)證明：；
(2)求直線與平面所成角的正弦值.
21．已知拋物線的焦點(diǎn)為F，直線：與直線與拋物線C分別交于點(diǎn)P，Q和點(diǎn)R，S.
(1)若，求的面積；
(2)若直線與交于點(diǎn)A，證明：點(diǎn)A在定直線上.
22．已知函數(shù).
(1)當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；
(2)若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
參考答案
1．答案：D
解析：，
又，所以.
故選：D.
2．答案：A
解析：因?yàn)楹瘮?shù)為R上的偶函數(shù)，
所以，即，
解得：.
所以，
，
所以函數(shù)為R上的偶函數(shù).
故選：A.
3．答案：D
解析：由，
可得，
整理得或.
故選：D.
4．答案：A
解析：由是首項(xiàng)為4，公比為2的等比數(shù)列，故，
又，故，即.
故選：A.
5．答案：C
解析：由題意得，，則，，故A正確；
而，即，解得，，
，故B正確；
，則，
故直線不是圖象的一條對稱軸，故C錯誤；
，
是圖象的一個對稱中心，故D正確.
故選：C.
6．答案：A
解析：因?yàn)椋蔆錯誤；
又因?yàn)椋?br>故函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，故B錯誤；
當(dāng)趨近時，趨近，趨近0，所以趨近正無窮，故D錯誤.
故選：A.
7．答案：B
解析：設(shè)圓C的圓心為，半徑為r，則圓的方程為，
圓心到直線的l的距離，
直線l：被圓C所截得的弦長為，
，①
圓C過點(diǎn)，，
，②
，③
圓C的圓心在y軸右側(cè)，，
①②③聯(lián)立解得，，，
圓C的面積為.
故選：B.
8．答案：C
解析：觀察此數(shù)列，偶數(shù)項(xiàng)為2，8，18，32，50，…，可得此時滿足，
奇數(shù)項(xiàng)為0，4，12，24，40，…，可得，
所以，，則，
所以.
故選：C.
9．答案：ABC
解析：對于選項(xiàng)A：因?yàn)椋?，即，故選項(xiàng)A正確；
對于選項(xiàng)B：令，
因?yàn)?，所以函?shù)為增函數(shù).
因?yàn)?，所以，即，故選項(xiàng)B正確；
對于選項(xiàng)C：因?yàn)椋刹坏仁降男再|(zhì)可得，故選項(xiàng)C正確；
對于選項(xiàng)D：當(dāng)時，若，則，與矛盾，故選項(xiàng)D錯誤.
故選：ABC.
10．答案：BCD
解析：對于A，若，則，則，所以A錯誤；
對于B，在方向上的投影向量為，故B正確；
對于C，，所以在方向上投影向量的模為：
，
當(dāng)時，，所以存在，使得在方向上投影向量的模為1，故C正確；
對于D，向量，，
，
所以，則，故D正確.
故選：BCD.
11．答案：ABD
解析：對于選項(xiàng)A：函數(shù)，其中，
的最小正周期為π，
，故，
在處取得最大值2，
，解得，
則，取，則，故A正確；
對于選項(xiàng)B：函數(shù)，令，，
解得，即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，
令，得，與的交集為，
故在上的單調(diào)遞減區(qū)間是，故B正確；
對于選項(xiàng)C：函數(shù)，圖象上的所有點(diǎn)向右平移個單位長度，
得，
再把曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，
得，故C錯誤；
對于選項(xiàng)D：函數(shù)，圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)擴(kuò)大到原來的2倍，縱坐標(biāo)不變，
得，
再把曲線向左平移個單位長度，得，故D正確；
故選：ABD.
12．答案：ACD
解析：由定義在R上的函數(shù)滿足為奇函數(shù)，
可得，即，
可得，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，所以A正確；
又由的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，可得函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，
所以B不正確；
因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于對稱，可得，
又因?yàn)椋傻茫?br>所以，所以函數(shù)的一個周期為4，所以C正確；
由函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，且周期為4，可得，
所以，所以D正確.
故選：ACD.
13．答案：
解析：由題意可知的漸近線方程，
故雙曲線的焦距為.
故答案為：.
14．答案：2或
解析：由，
即或.
故答案為：2或.
15．答案：/
解析：由等差數(shù)列性質(zhì)可得，解得，
故答案為：.
16．答案：3
解析：因?yàn)榈闹荛L為6，即，則，
又因?yàn)椋獾茫?，由，所以?br>所以，則，
因?yàn)辄c(diǎn)M為橢圓上的點(diǎn)，則，
直線經(jīng)過定點(diǎn)，
，
而，當(dāng)且僅當(dāng)M，N，三點(diǎn)共線時取等，
于是，
所以的最小值為3.
故答案為：3.
17．答案：(1)
(2)
解析：(1)因?yàn)椋Y(jié)合正弦定理得，
因?yàn)椋?，所以，所?
又，所以.
(2)由題意得，故.
由余弦定理得，所以，
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，
所以面積的最小值為.
18．答案：(1)證明見解析
(2)
解析：(1)連接，由O和M分別為線段，的中點(diǎn)，所以，
又由且，所以四邊形是平行四邊形，
所以，可得，
因?yàn)槠矫?，平面，所以平?
(2)連接，，由，
因?yàn)镺為的中點(diǎn)，且，所以.
以D為原點(diǎn)，，，所在直線分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
如圖所示，則，，，，
所以，.
設(shè)平面的法向量為，則，
令，則，所以.
因?yàn)?，所以點(diǎn)N到平面的距離為.
19．答案：(1)
(2)
解析：(1)依題意，，
故，
故是以2為公差的等差數(shù)列.
而，
又，解得，
故的首項(xiàng)為3，
則，
則.
(2)由(1)可知，當(dāng)時，；
當(dāng)時，
也滿足該式，故，
故，
則，
，
兩式相減得，，
，
，
，
，
故.
20．答案：(1)證明見解析
(2)
解析：(1)方法一：連接，
，E為中點(diǎn)，；
平面，平面，，
又，即，，，平面，
平面，又平面，，
，，平面，平面，
又平面，；
方法二：平面，平面，，；
，，，
又E為中點(diǎn)，.
(2)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，正方向分別為x，y，z軸正方向，可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，
，，，
設(shè)平面的法向量，
，令，解得：，，，
，
即直線與平面所成角的正弦值為.
21．答案：(1)
(2)證明見解析
解析：(1)依題意，，
聯(lián)立，得.
設(shè)，，
故，，
故，
，
點(diǎn)到直線的距離，
故.
(2)設(shè)，，，，
聯(lián)立得，
則.
同理可得，.
則直線，
化簡得，，①
同理可得，直線，②
聯(lián)立①②消去y可得，
，
故點(diǎn)A在直線上.
22．答案：(1)答案見解析
(2)
解析：(1)當(dāng)時，，，所以，
令，
可得，
當(dāng)時，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時，，單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時，取得極大值，也為最大值，且，
所以，所以在上單調(diào)遞減.
(2)由，得，
即在上恒成立.
令，，可得，
令，可得，
令，可得；
令，可得，
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
又，
，
，
所以在中存在唯一的使得，
在中存在唯一的使得，
即有，.
因?yàn)樵趩握{(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；
當(dāng)時，；當(dāng)時，.
又，，
所以當(dāng)時，；當(dāng)時，；
當(dāng)時，；當(dāng)時，，
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
所以時，的極小值為，
時，的極小值為.
因?yàn)椋?br>可得，，所以，，
即，所以.
代入和，
則有，
同理可得，
所以，
所以，
所以，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

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