一、選擇題
1．設(shè)全集,若集合,,則如圖所示的陰影部分表示的集合為( )
A.B.C.D.
2．已知復(fù)數(shù)z滿足（i為虛數(shù)單位）,則( )
A.1B.C.2D.
3．已知函數(shù),,的零點分別為a,b,c,則a,b,c的大小順序為( )
A.B.C.D.
4．已知向量,,若,則( )
A.2B.C.D.
5．已知雙曲線的一條漸近線被圓所截得的弦長為2,則雙曲線的離心率為( )
A.B.2C.D.
6．若,則( )
A.B.C.D.
7．如圖,在五面體ABCDEF中,底面是矩形,,,若,,且底面ABCD與其余各面所成角的正切值均為,則該五面體的體積是( )
A.225B.250C.325D.375
8．已知直線是曲線的切線,也是曲線的切線,則k的最大值是( )
A.B.C.2eD.4e
二、多項選擇題
9．將100個數(shù)據(jù)整理并繪制成頻率分布直方圖（如圖所示）,則下列結(jié)論正確的是( )
A.
B.該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的估計值大于眾數(shù)的估計值
C.該組數(shù)據(jù)的第90百分位數(shù)約為109.2
D.在該組數(shù)據(jù)中隨機(jī)選取一個數(shù)據(jù)記為n,已知,則的概率為
10．函數(shù)的部分圖象如圖所示,則下列結(jié)論正確的是( )
A.
B.的圖象關(guān)于直線對稱
C.將的圖象向右平移個單位長度后,得到的圖象關(guān)于原點對稱
D.若在上有且僅有一個零點,則
11．已知正項等比數(shù)列的前n項積為,且,則下列結(jié)論正確的是( )
A.若,則B.若,則
C.若,則D.若,則
12．已知定義在R上的函數(shù),其導(dǎo)函數(shù)的定義域也為R.若,且為奇函數(shù),則( )
A.B.
C.D.
三、填空題
13．的展開式中的常數(shù)項是_______________.
14．有一批同一型號的產(chǎn)品,其中甲工廠生產(chǎn)的占,乙工廠生產(chǎn)的占.已知甲、乙兩工廠生產(chǎn)的該型號產(chǎn)品的次品率分別為,,則從這批產(chǎn)品中任取一件是次品的概率是______________.
15．已知拋物線的焦點為F,過點F的直線與拋物線交于A,B兩點,則的最小值是________________.
16．一個封閉的圓臺容器（容器壁厚度忽略不計）的上底面半徑為1,下底面半徑為6,母線與底面所成的角為.在圓臺容器內(nèi)放置一個可以任意轉(zhuǎn)動的正方體,則正方體的棱長的最大值是________________.
四、解答題
17．如圖,正方體的棱長為2,E為棱的中點.
(1)證明：平面ACE;
(2)若F是棱上一點,且二面角的余弦值為,求BF.
18．已知的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且.
(1)求A;
(2)若D為邊BC上一點,且,,證明：為直角三角形.
19．已知數(shù)列,滿足,,記為的前n項和.
(1)若為等比數(shù)列,其公比,求;
(2)若為等差數(shù)列,其公差,證明：.
20．甲、乙兩選手進(jìn)行一場體育競技比賽,采用局n勝制（當(dāng)一選手先贏下n局比賽時,該選手獲勝,比賽結(jié)束）.已知每局比賽甲獲勝的概率為p,乙獲勝的概率為.
(1)若,,比賽結(jié)束時的局?jǐn)?shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望;
(2)若比對甲更有利,求p的取值范圍.
21．已知橢圓的左焦點為,且過點.
(1)求C的方程;
(2)不過原點O的直線l與C交于P,Q兩點,且直線OP,PQ,OQ的斜率成等比數(shù)列.
（i）求l的斜率;
（ii）求的面積的取值范圍.
22．已知函數(shù).
(1)討論的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時,,求實數(shù)a的取值范圍.
參考答案
1．答案：A
解析：根據(jù)題意解指數(shù)不等式可得,
由函數(shù)定義域可得,所以;
陰影部分表示的集合為.
故選：A.
2．答案：D
解析：將整理可得,
所以;
可得.
故選：D.
3．答案：B
解析：由得,,
由得,由得.
在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出、、的圖象,
由圖象知,,.
故選：B.
4．答案：C
解析：因為,,且,
所以由數(shù)量積的坐標(biāo)公式可知,解得,
因此,由向量減法坐標(biāo)公式可得,
最終結(jié)合向量模的坐標(biāo)公式可得.
故選：C.
5．答案：B
解析：一方面：設(shè)雙曲線漸近線被圓所截得的弦長為l,圓的半徑為r,圓心到漸近線的距離為d,
又根據(jù)題意有,,因此根據(jù)垂徑定理可得,
另一方面：不妨設(shè)漸近線方程為（其中）,又圓的圓心坐標(biāo)為圓,
因此根據(jù)點到直線之間的距離公式有圓.
結(jié)合以上兩方面有,解得,又,
所以雙曲線的離心率為.
故選：B.
6．答案：D
解析：若,所以,
則,
故選：D.
7．答案：C
解析：過E作面于O,過O作分別交,于G,H,
記的中點為M,連接,,同理作出,,如圖,

因為底面是矩形,所以,
又,所以,
因為面,面,所以,
因為,,面,所以面,
因為面,所以,
所以是面與面的所成角,則由題意知,
同理是面與面的所成角,則,
因為,,所以,則,
又易得,所以O(shè)是的中點,
由上述分析易知四邊形是矩形,則,
所以,則,故,
易得,則,
因為M為的中點,所以,
又易得,所以為面與與面的所成角,
則,即,則,即,
由對稱性可知,從而,
因為,同理,所以,
又,所以四邊形是矩形,
同理可得四邊形與四邊形是矩形,則幾何體是直棱柱,
由對稱性可知,
,
所以該五面體的體積為.
故選：C.
8．答案：B
解析：因為是和的公切線,
設(shè)切點分別為和,則,
由,可得,則
又由,可得,且,則,
所以,可得,
即,顯然a,同號,不妨設(shè),,
設(shè),（其中,）,
可得,令,可得,
當(dāng)時,,單調(diào)遞減;
當(dāng)時,,單調(diào)遞增,
要使得有解,則需要,即
即,解得,所以,即k的最大值為.
故選：B.
9．答案：BC
解析：對于A選項：由陰影部分面積之和為1可知,
解得,故A選項不符題意.
對于B選項：不妨設(shè)眾數(shù)和平均數(shù)分別為b,,由圖可知顯然有,,
因此,即平均數(shù)的估計值大于眾數(shù)的估計值,故B選項符合題意.
對于C選項：設(shè)第90百分位數(shù)為c,且注意到這100個數(shù)據(jù)落在區(qū)間的概率為,
所以c一定落在區(qū)間內(nèi),所以,
解得,故C選項符合題意.
對于D選項：記 、分別為事件A,B,
則由圖可知,,
則由條件概率公式得,故D選項不符題意.
故選：BC.
10．答案：ABD
解析：由題意可得,,,故,,,A正確;
又因為,故,,
所以,,所以.
對于B,當(dāng)時,,的圖象關(guān)于直線對稱,B正確;
對于C,將的圖象向右平移個單位長度后,得到的圖象不關(guān)于原點對稱,C錯誤;
對于D,在上有且僅有一個零點,
,,D正確.
故選：ABD.
11．答案：ABD
解析：不妨設(shè)正項等比數(shù)列的公比為q,,所以,;
對于A,若,則,由等比數(shù)列性質(zhì)可得,
所以可得,即A正確;
對于B,若,可得,又,所以;
所以,又,可得,,
因此可得,,,,即,所以B正確;
對于C,若,可得,又,因此的大小無法判斷,所以C錯誤;
對于D,若,可得,又,所以可得,即數(shù)列為遞減數(shù)列;
可得,即,所以D正確;
故選：ABD.
12．答案：ACD
解析：對于A選項：注意到,又是由向左平移1個單位得到的,
且注意到為奇函數(shù),因此的對稱中心為即,因此;故A選項符合題意.
對于B選項：令,此時滿足題意,但,故B選項不符題意.
對于C選項：因為的對稱中心為,所以,又已知,
所以,這表明了關(guān)于直線對稱,即,
由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則且同時兩邊對x求導(dǎo)得;故C選項符合題意.
對于D選項：由的對稱中心為,即,兩邊對求導(dǎo)得,
結(jié)合C選項分析結(jié)論,可知,
所以這表明了的周期為4,
因此,注意到,
所以;故D選項符合題意.
故選：ACD.
13．答案：15
解析：的展開式的通項為,,
令,得,
所以的展開式中的常數(shù)項是.
故答案為：15.
14．答案：0.024
解析：設(shè),分別表示甲、乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品,B表示取到次品,
則,,
,,
從中任取一件產(chǎn)品取到次品的概率為：
,
故答案為：0.024.
15．答案：
解析：如下圖示：
易知焦點,設(shè),,且,
當(dāng)直線斜率不存在時（如圖中虛線所示）,可知,此時;
當(dāng)直線斜率存在時,可設(shè)直線方程為,顯然,
聯(lián)立直線和拋物線方程,消去y整理可得,
利用韋達(dá)定理可知,
又利用焦半徑公式可知,,
所以可得,
當(dāng)且僅當(dāng),即,時,等號成立;
綜上可得,的最小值是.
故答案為：.
16．答案：4
解析：如下圖所示：
根據(jù)題意可知,;又母線與底面所成的角為,即,易得;
設(shè)圓臺內(nèi)能放置的最大球的球心為O,且與底面和母線分別切于,C兩點,
所以可知球的半徑,此時球的直徑為,
即此時球與圓臺上底面不相切,因此圓臺內(nèi)能放置的最大球的直徑為;
若放置一個可以任意轉(zhuǎn)動的正方體,要求正方體棱長最大,需要正方體的中心與球心重合,且該球是正方體的外接球,
設(shè)正方體的最大棱長為a,滿足,解得.
故答案為：4.
17．答案：(1)證明見解析;
(2).
解析：(1)解法一：
證明：連接交于點G,連接,
則G為中點,又E為中點,所以,
又平面,平面,所以平面.
解法二：
如圖,以A為原點,分別以,,的方向為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,
則,,,,,,
所以,.
設(shè)平面ACE的法向量為,
則,
令,則,,
所以取.
又,
所以,所以.
又平面,所以平面.
(2)如圖,以A為原點,分別以,,的方向為x軸,y軸,z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系,則,,,,,
所以,.
設(shè)平面的法向量為,
則,
令,則,,
所以取.
設(shè),
則.
設(shè)平面的法向量為,
則,令,則,,
所以取.
因為二面角的余弦值為,
所以,
解得,即.
18．答案：(1)
(2)證明見解析
解析：(1)因為,
所以,
因為,所以,即.
又,所以.
又,所以,即.
(2)解法一：因為,
所以.
即,所以,所以.
因此,
又,所以,
所以,所以為直角三角形.
解法二：因為,所以,
所以,
又,,
所以,
即.
又,
所以,
即,所以,
所以,所以.
因此,
所以,所以為直角三角形.
19．答案：(1)
(2)證明見解析
解析：(1)因為為等比數(shù)列,,,
所以,所以.
又,所以是以為首項,為公比的等比數(shù)列,
所以.
(2)解法一：
因為為等差數(shù)列,,,
所以,所以.
因為,即,
所以,
所以當(dāng)時,
.
又符合上式,
所以.
所以
.
解法二：
因為為等差數(shù)列,,,
所以,所以.
因為,即,
所以,
所以數(shù)列為常數(shù)列.
因此,
所以.
所以
.
20．答案：(1)分布列見解析,
(2)
解析：(1)依題意得,隨機(jī)變量X所有可能取值為2,3,
可得,
,
所以隨機(jī)變量X的分布列為
所以X的數(shù)學(xué)期望.
(2)解法一：若采用3局2勝制,甲最終獲勝的概率為,
若采用5局3勝制,甲最終獲勝的概率為：
,
若采用5局3勝制比采用3局2勝制對甲更有利,則,
即
,
解得.
解法二：采用3局2勝制,不妨設(shè)賽滿3局,用表示3局比賽中甲獲勝的局?jǐn)?shù),則,
甲最終獲勝的概率為：
,
采用5局3勝制,不妨設(shè)賽滿5局,用表示5局比賽中甲獲勝的局?jǐn)?shù),則,
甲最終獲勝的概率為：
,
若采用5局3勝制比采用3局2勝制對甲更有利,則,
即
,
解得.
21．答案：(1)
(2)（i）（ii）
解析：(1)由題知,
橢圓C的右焦點為,且過點,
所以,所以.
又,所以,
所以C的方程為.
(2)（?。┯深}知,直線l的斜率存在,且不為0.
設(shè),,,
則,所以,
所以,,
且,即.
因為直線OP,PQ,OQ的斜率成等比數(shù)列.
所以,即,
所以,且.
因為,所以,所以.
（ii）由（ⅰ）知,,
所以,且.
設(shè)點O到直線PQ的距離為d,所以.
因為,所以,,
所以
,
又,且.所以
即的面積的取值范圍.
22．答案：(1)答案見解析
(2)
解析：(1)依題意,得.
當(dāng)時,,所以在單調(diào)遞增.
當(dāng)時,令,可得;
令,可得,
所以在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.
綜上所述,當(dāng)時,在單調(diào)遞增;當(dāng)時,在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.
(2)因為當(dāng)時,,所以,
即,
即,
即.
令,則有對恒成立.
因為,所以在單調(diào)遞增,
故只需,
即對恒成立.
令,則,令,得.
當(dāng)時,,當(dāng)時,,
所以在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,
所以.
因此,所以.
X
2
3
P

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