（考試時(shí)間：120分鐘 滿分：150分）
考生注意：
1.答題前，考生務(wù)必將自己的準(zhǔn)考證號(hào)?姓名填寫在答題卡上.考生要認(rèn)真核對(duì)答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)?姓名”與考生本人準(zhǔn)考證號(hào)?姓名是否一致.
2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.
3.考試結(jié)束，考生必須將答題卡交回.
一?選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1.若復(fù)數(shù)滿足，其中為虛數(shù)單位，則（ ）
A.1 B. C.2 D.
2.設(shè)，向量，且，則（ ）
A.3 B.5 C.9 D.25
3.某校在五四青年節(jié)舉行了班班有歌聲比賽.現(xiàn)從該校隨機(jī)抽取20個(gè)班級(jí)的比賽成績(jī)，得到以下數(shù)據(jù)，由此可得這20個(gè)比賽成績(jī)的第80百分位數(shù)是（ ）
A.8.5 B.9 C.9.5 D.10
4.設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是（ ）
A.若，則
B.若，則
C.若，則
D.若，則
5.某校高一?高二?高三的學(xué)生志愿者人數(shù)分別為.按學(xué)生所在年級(jí)進(jìn)行分層，用分層隨機(jī)抽樣的方法從中抽取5名學(xué)生去敬老院獻(xiàn)愛心.從這5人中隨機(jī)抽取2人作為負(fù)責(zé)人，則2名負(fù)責(zé)人來自不同年級(jí)的概率為（ ）
A. B. C. D.
6.如圖，在中，，點(diǎn)是的中點(diǎn).設(shè)，則（ ）
A. B.
C. D.
7.如圖，是由斜二測(cè)畫法得到的水平放置的直觀圖，其中，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，對(duì)應(yīng)原圖中的點(diǎn)，則在原圖中下列說法正確的是（ ）
A.
B.的面積為2
C.在上的投影向量為
D.與同向的單位向量為
8.威鎮(zhèn)閣坐落于漳州市區(qū)戰(zhàn)備大橋引橋左側(cè)，是漳州市的標(biāo)志性建筑之一.某同學(xué)為測(cè)量威鎮(zhèn)閣的高度，在威鎮(zhèn)閣的正北方向找到一座建筑物，高約為，在地面上點(diǎn)處（三點(diǎn)共線）測(cè)得建筑物頂部，威鎮(zhèn)閣頂部的仰角分別為和，在處測(cè)得威鎮(zhèn)閣頂部的仰角為，威鎮(zhèn)閣的高度約為（ ）
A. B. C. D.
二?多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
9.已知甲?乙兩位同學(xué)在高一年六次考試中的數(shù)學(xué)成績(jī)的統(tǒng)計(jì)如圖所示，下列說法正確的是（ ）
A.若甲?乙兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)分別為，則
B.若甲?乙兩組數(shù)據(jù)的方差分別為，則
C.甲成績(jī)的中位數(shù)大于乙成績(jī)的中位數(shù)
D.甲成績(jī)的極差小于乙成績(jī)的極差
10.在復(fù)平面內(nèi)，下列說法正確的是（ ）
A.復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限
B.
C.若復(fù)數(shù)滿足，則
D.若，則的最大值為
11.已知正方體的棱長(zhǎng)為分別為的中點(diǎn)，下列說法正確的是（ ）
A.直線與平面平行
B.直線與平面所成的角為
C.異面直線與所成角的余弦值為
D.若點(diǎn)是該正方體表面及其內(nèi)部的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且平面，則線段的長(zhǎng)的取值范圍是
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12.圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為，上?下底面半徑分別為2，3，則該圓臺(tái)的體積為__________.
13.復(fù)數(shù)是方程的一個(gè)根，則__________.
14.二面角為為線段的三等分點(diǎn)，且，到的距離為.若為平面內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，則最大時(shí)，的值為__________.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15.（13分）
已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù).
（1）求的值；
（2）在復(fù)平面內(nèi)，若對(duì)應(yīng)的向量分別為，其中為原點(diǎn)，求.
16.（15分）
漳州古城有著上千年的建城史，是國家級(jí)閩南文化生態(tài)保護(hù)區(qū)的重要組成部分，并人選首批“中國歷史文化街區(qū)”.五一假期來漳州古城旅游的人數(shù)創(chuàng)新高，單日客流峰值達(dá)20萬人次.為了解游客的旅游體驗(yàn)滿意度，某研究性學(xué)習(xí)小組用問卷調(diào)查的方式隨機(jī)調(diào)查了100名游客，該興趣小組將收集到的游客滿意度分值數(shù)據(jù)（滿分100分）分成六段：得到如圖所示的頻率分布直方圖.
（1）求頻率分布直方圖中的值，并估計(jì)100名游客滿意度分值的眾數(shù)和中位數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)）；
（2）已知滿意度分值落在的平均數(shù)，方差，在的平均數(shù)為，方差，試求滿意度分值在的平均數(shù)和方差.
17.（15分）
如圖1，在直角三角形中，分別為的中點(diǎn)，將沿折起，形成四棱錐，如圖2.點(diǎn)分別為的中點(diǎn)，設(shè)平面與平面的交線為.
（1）求證：平面；
（2）求證：；
（3）過點(diǎn)的平面交于點(diǎn)，求的值.
18.（17分）
孟德爾在觀察踠豆雜交時(shí)發(fā)現(xiàn)了以下規(guī)律：?豆的各種性狀是由其遺傳因子決定的.以子葉顏色為例，踠豆的子葉分黃?綠兩種顏色，其中黃色為顯性性狀，綠色為隱性性狀.我們用表示子葉為黃色的踠豆的遺傳因子對(duì)，用表示子葉為綠色的踠豆的遺傳因子對(duì).當(dāng)這兩種踠豆雜交時(shí)，父本的其中一個(gè)遺傳因子與母本的其中一個(gè)遺傳因子等概率隨機(jī)組合，子一代的遺傳因子對(duì)全部為，如下圖所示，其中為顯性遺傳因子，為隱性遺傳因子.當(dāng)生物的遺傳因子對(duì)中含有顯性遺傳因子時(shí)呈現(xiàn)顯性性狀，否則呈現(xiàn)隱性性狀.例如：均指示黃色子葉，指示綠色子葉.我們稱以上定律為孟德爾定律.已知人的單?雙眼皮性狀服從孟德爾定律，其中雙眼皮是顯性性狀，記其遺傳因子對(duì)為或；單眼皮是隱性性狀，記其遺傳因子對(duì)為.若僅考慮眼皮性狀，已知甲的母親?父親?伯父?姑父?姑母的遺傳因子對(duì)均為，伯母為單眼皮.
（1）求甲和堂弟都是單眼皮的概率；
（2）求甲和堂弟?表妹三人中至少兩人為單眼皮的概率.
19.（17分）
我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶在他的著作《數(shù)書九章》卷五“田域類”有一個(gè)題目：“問沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步.欲知為田幾何？”其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上.以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實(shí)；一為從隅，開平方得積.”這就是秦九韶推出的“三斜求積”公式.若的內(nèi)角的對(duì)應(yīng)邊分別為，面積為，則“三斜求積”公式為
（1）用“三斜求積”公式證明；
（2）若，且，求面積的最大值；
（3）定義：四面體中，若異面棱長(zhǎng)相等的四面體為等腰四面體.設(shè)等腰四面體的外接球表面積為的外接圓面積為.已知，且，，試用表示，并求的取值范圍.
漳州市2023-2024學(xué)年（下）期末高中教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)
高一數(shù)學(xué)參芳答案
評(píng)分說明：
1.本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)制定相應(yīng)的評(píng)分細(xì)則.
2.對(duì)計(jì)算題，當(dāng)考生的解答在某一步出現(xiàn)錯(cuò)誤時(shí)，如果后繼部分的解答未改變?cè)擃}的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)給分?jǐn)?shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴(yán)重的錯(cuò)誤，就不再給分.
3.解答右端所注分?jǐn)?shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分?jǐn)?shù)
4.只給整數(shù)分?jǐn)?shù).選擇題和填空題不給中間分.
一?單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
二?多選題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 13. 14.
四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.
15.解：（1）因?yàn)椋?br>所以，
因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以
解得.
（2）由（1）得，又，
所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和，
所以
16.解：
（1）由頻率分布直方圖可得，，
解得，
由頻率分布直方圖可估計(jì)眾數(shù)為85.
滿意度分值在的頻率為，
在的頻率為，
所以中位數(shù)落在區(qū)間內(nèi)，
所以中位數(shù)為.
（2）由頻率分布直方圖得，滿意度分值在的頻率為，人數(shù)為20；在的頻率為，人數(shù)為30，
把滿意度分值在記為，其平均數(shù)，方差，
在記為，其平均數(shù)，方差，
所以滿意度分值在的平均數(shù)
，
根據(jù)方差的定義，滿意度分值在的方差為
由，
可得，
同理可得，
因此，
17.解法一：
（1）取中點(diǎn)，連接，如圖所示，
因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以為的中位線，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，
所以四邊形是平行四邊形，所以，
因?yàn)槠矫嫫矫妫云矫妫?br>又平面，平面平面，所以，
因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平?
（2）在中，分別為的中點(diǎn)，所以為的中位線，
所以，
因?yàn)?，即，所以?br>所以翻折后，，因?yàn)槠矫妫?br>平面，所以平面，所以平面，
因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面，所?
（3）由（1）知，平面，
因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>平面，
所以，
所以，
因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以是中點(diǎn)，
所以.
解法二：
（1）如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，則直線即為交線.
（理由如下：因?yàn)?，所以?br>因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面?br>平面，又平面平面，所
以平面平面.）
在中，分別為的中點(diǎn)，
所以為的中位線，
所以，且，所以為中點(diǎn).
因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以為的中位線，所以
因?yàn)槠矫嫫矫妫?br>所以平面，即平面.
（2）同解法一.
（3）取中點(diǎn)，連接，
因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，
因?yàn)?，所以?br>所以四邊形是平行四邊形，所以，
因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面?br>因?yàn)槠矫嫫矫嫫矫妫?br>所以，
所以，
因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以是中點(diǎn)，所以.
18.解：
（1）設(shè)事件“甲為單眼皮”，事件“堂弟為單眼皮”，事件為相互獨(dú)立事件，事件“甲和堂弟都是單眼皮”，
因?yàn)榧椎哪赣H?父親的遺傳因子對(duì)均為，所以甲的遺傳因子有三種類型：
，，其中，出現(xiàn)的概率都是，出現(xiàn)的概率為，
甲為單眼皮時(shí)，遺傳因子為，所以，
因?yàn)椴高z傳因子對(duì)為，伯母遺傳因子對(duì)為aa，所以堂弟的遺傳因子有兩種類型：，.其中，出現(xiàn)的概率均為，
所以堂弟為單眼皮的概率，
故甲和堂弟都是單眼皮的概率.
（2）設(shè)事件“表妹為單眼皮”，則相互獨(dú)立，
事件“甲和堂弟單眼皮，表妹雙眼皮”，事件“甲和表妹單眼皮，堂弟雙眼皮”，事件“表妹和堂弟單眼皮，甲雙眼皮”，事件“甲和堂弟?表妹都是單眼皮”，則事件兩兩互斥，
因?yàn)椋?br>所以，
，
，
，
所以甲和堂弟表妹三人中至少兩人為單眼皮的概率為
19.解法一：
（1）證明：由余弦定理得，
所以，
所以
所以得證.
（2）因?yàn)?，由余弦定理得?br>因?yàn)椋肷鲜交?jiǎn)得，所以，
所以
所以當(dāng)時(shí)，面積的最大值為.
（3）由題意，等腰四面體可補(bǔ)形成與其共外接球的長(zhǎng)方體，設(shè)，
則，設(shè)等腰四面體的外接球半徑為，所以，
所以，
在中，由余弦定理得，
所以，
設(shè)的外接圓半徑為，由正弦定理得，
所以，
所以，
所以，
因?yàn)椋?br>所以，
所以
因?yàn)椋?br>所以，
所以，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，
又因?yàn)椋?br>所以，
所以，即，
所以，所以的取值范圍為.
解法二：
（1）同解法一.
（2）因?yàn)?，所以?br>因?yàn)椋?br>所以，
所以，
所以，所以，
所以，所以，
所以
所以當(dāng)時(shí)，面積的最大值為.
（3）由題意，等腰四面體可補(bǔ)形成與其共外接球的長(zhǎng)方體，設(shè)，
則，設(shè)等腰四面體的外接球半徑為，所以，
所以，
又因?yàn)?br>，
設(shè)的外接圓半徑為，由正弦定理得，
因?yàn)?，所以，代入?br>，
所以，
下同解法一.比賽成績(jī)
6
7
8
9
10
班級(jí)數(shù)
3
5
4
4
4
1
2
3
4
5
6
7
8
B
B
C
B
D
A
D
C
9
10
11
ACD
BD
AD

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