（考試時間：120分鐘 滿分：150分）
考生注意：
1.答題前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的準考證號、姓名。考生要認真核對答題卡上粘貼的條形碼的“準考證號、姓名”與考生本人準考證號、姓名是否一致。
2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
3.考試結(jié)束，考生必須將答題卡交回。
一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。
1.曲線在原點處的切線斜率為（ ）
A.B.0C.D.1
2.某統(tǒng)計部門對四組數(shù)據(jù)進行統(tǒng)計，獲得如圖所示的散點圖，將四組數(shù)據(jù)相應(yīng)的相關(guān)系數(shù)進行比較，正確的是（ ）
相關(guān)系數(shù) 相關(guān)系數(shù) 相關(guān)系數(shù) 相關(guān)系數(shù)
A.B.
C.D.
3.已知事件，相互獨立，且，，那么（ ）
B.0.3C.0.4
4.已知向量，，，若，，三個向量共面，則實數(shù)（ ）
A.1B.2C.3D.4
5.在一個關(guān)于智能助手的準確率測試中，有三種不同的模型，，.模型的準確率為0.8，模型的準確率為0.75，模型的準確率為0.7.已知選擇模型，，的概率分別為，，.現(xiàn)隨機選取一個模型進行測試，則準確率為（ ）
6.設(shè)函數(shù)在附近有定義，且，，，為常數(shù)，則（ ）
A.0B.C.D.
7.若關(guān)于的不等式有唯一的整數(shù)解，則的取值范圍是（ ）
A.B.C.D.
8.正方體的棱長為，是正方體外接球的直徑，為正方體表面上的動點，則的取值范圍是（ ）
A.B.C.D.
二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多個選項符合題目要求，全部選對的得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0分。
9.函數(shù)，則（ ）
A.B.的增區(qū)間為
C.最大值為1D.有兩個零點
10.已知在某次試驗中獲得數(shù)據(jù)如下：
與線性相關(guān)，且回歸方程為，則下列正確的是（ ）
A.與具有負的線性相關(guān)關(guān)系B.
C.點落在回歸直線下方D.估計時的值為
11.如圖，六面體的一個面是邊長為2的正方形，，，均垂直于平面，且，，則下列正確的有（ ）
A.
B.直線與直線所成角的余弦值為
C.平面與平面所成角的余弦值為
D.當時，動點到平面的距離的最小值為1
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分。
12.點關(guān)于平面的對稱點坐標為______.
13.已知，且，則______.
14.已知關(guān)于的不等式恒成立，則的最大值為______.
四、解答題：本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.（13分）
在一次對外星文明的探索中，科學(xué)家發(fā)現(xiàn)了一種外星生物，它們具有一種特殊的繁殖方式.科學(xué)家記錄了這種外星生物在連續(xù)8天內(nèi)的繁殖數(shù)量，發(fā)現(xiàn)繁殖數(shù)量與天數(shù)之間存在線性關(guān)系.
（1）根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)，得到以下表格：
請利用最小二乘法求出線性回歸方程；
（2）科學(xué)家從這種外星生物中隨機抽取了10個樣本進行基因分析，以研究其基因多樣性，發(fā)現(xiàn)這10個樣本中有3個樣本具有某種特殊基因.現(xiàn)從這10個樣本中隨機抽取2個樣本進行深入研究，記隨機抽取的2個樣本中具有某種特殊基因的樣本數(shù)量為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
（參考公式與數(shù)據(jù)：，，，，）
16.（15分）
已知函數(shù)在處取得極值6.
（1）求實數(shù)，的值；
（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.
17.（15分）
2024年5月1日，“花樣漳州啤酒之夜群星演唱會”在漳州激情開唱，為現(xiàn)場2萬名觀眾帶來一場音樂盛宴.現(xiàn)隨機抽取200名現(xiàn)場觀眾，對他們的年齡和是否購買周邊產(chǎn)品進行了統(tǒng)計，得到以下數(shù)據(jù)：
（1）請完成上面列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認為年齡與是否購買周邊產(chǎn)品有關(guān)？
（2）已知現(xiàn)場觀眾對某首歌曲的喜愛程度得分（單位：分），請估計現(xiàn)場觀眾對該首歌曲的喜愛程度得分在內(nèi)的人數(shù)約為多少？
（參考公式及表格：，其中.
若，則，，.）
18.（17分）
如圖，多面體是三棱臺和四棱錐的組合體，底面四邊形為正方形，，，，平面平面.
（1）證明：平面；
（2）若平面與平面的交線為，
（i）作出交線（需要寫出必要的作圖步驟，保留作圖痕跡，無需證明）；
（ii）求直線與平面所成角的正弦值.
19.（17分）
定義：對于空間向量，，其“導(dǎo)數(shù)積”為.已知空間向量，為常數(shù)，記.
（1）當時，證明：；
（2）若為的極大值點，求正實數(shù)的取值范圍；
（3）設(shè)，，，且滿足，，證明：.
漳州市2023-2024學(xué)年（下）期末高中教學(xué)質(zhì)量檢測
高二數(shù)學(xué)參考答案
評分說明：
1.本解答給出了一種或幾種解法供參考，如果考生的解法與本解答不同，可根據(jù)試題的主要考查內(nèi)容比照評分標準制定相應(yīng)的評分細則.
2.對計算題，當考生的解答在某一步出現(xiàn)錯誤時，如果后繼部分的解答未改變該題的內(nèi)容和難度，可視影響的程度決定后繼部分的給分，但不得超過該部分正確解答應(yīng)給分數(shù)的一半；如果后繼部分的解答有較嚴重的錯誤，就不再給分.
3.解答右端所注分數(shù)，表示考生正確做到這一步應(yīng)得的累加分數(shù).
4.只給整數(shù)分數(shù).選擇題和填空題不給中間分.
一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1.D 2.A 3.B 4.B 5.C 6.D 7.B 8.A
二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯得0分.
9.AB 10.AD 11.ACD
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.
12. 13.5 14.
四、解答題：本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.
15.（13分）
【解析】
（1），，
，
，
所以，線性回歸方程為.
（2）依題意，，的可能取值為：，，.
，，，
的分布列為
的數(shù)學(xué)期望為.
16.（15分）
【解析】
（1）
依題意有
解得
此時，
當時，，在上單調(diào)遞增；
當時，，在上單調(diào)遞減；
在處取得極大值，
因此，，
（2）由（1）知，，
在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
又，，
，
所以在上的最大值為6，最小值為.
17.（15分）
【解析】
（1）列聯(lián)表如下：
假設(shè)年齡與是否購買周邊產(chǎn)品無關(guān)，
因為，所以沒有的把握認為年齡與是否購買周邊產(chǎn)品有關(guān).
（2）依題意正態(tài)分布的均值，標準差，
人，
現(xiàn)場觀眾對該首歌曲的喜愛程度得分在內(nèi)的人數(shù)約為16372.
18.（17分）
【解析】
法一：（1）證明：如圖，在上取點，使
連接，，因為，所以
所以，且
又在正方形中，，
所以，
又在三棱臺中，，
所以，且，所以四邊形為平行四邊形，
所以，
又平面，平面，所以平面.
（2）（i）如圖，延長和交于一點，連接，
則直線即為平面與平面的交線.
（ii）由平面平面，平面平面，，
所以平面，又，所以，，兩兩垂直，
以為坐標原點，分別以，，為軸，軸，軸的正方向，
建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，
，，，
，
又因為，，所以在中，，
所以，
，
取直線的方向向量為
設(shè)平面的法向量為，
由得，取，
設(shè)直線與平面所成的角為，
則
所以直線與平面所成角的正弦值為
法二：（1）由平面平面，平面平面，，
所以平面，，所以，，兩兩垂直，
以為坐標原點，分別以，，為軸，軸，軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標系，
則，，，，
，，，
，，，
設(shè)平面的法向量為，
由得，取，
因為，
所以，
又平面，所以平面.
（2）（i）同解法一.
（ii），，，
設(shè)平面的法向量為，
由，
令，則，，取，
設(shè)直線的方向向量為，
由（1）知，平面的法向量，
由，令，
則，，取，
（下同解法一）
19.（17分）
【解析】
（1）依題意，，
即，
當時，，，
當時，；當時，，
因此，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故，得證.
（2）當時，，設(shè)，，
令，解得，因為在上單調(diào)遞增，于是，
當時，；當時，，
故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
即在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
①當時，，注意到及在單調(diào)遞減，
則當時，；當時，，
故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，
為的極大值點，符合題意；
②當時，，由（1）知，，
在上單調(diào)遞增，無極值點，不合題意，舍去；
③當時，，注意到及在單調(diào)遞增，
當時，；當時，，
故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
為的極小值點，不合題意，舍去.
綜上，的取值范圍為.
（3）依題意，在上不單調(diào)，由（2）知，且，此時，
當時，；當時，，
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，從而有，
要證，只需證，
由于在單調(diào)遞減，且，
故只需證，即證，
設(shè)，，
，設(shè)，則，，
當時，有，又因為在上單調(diào)遞增，
于是有，即，
從而在上遞增，即在上遞增，
于是有，從而在上遞增，
于是有，式得證，故原不等式成立.2
3
4
10
25
19
15
12
4
天數(shù)
1
2
3
4
5
6
7
8
繁殖數(shù)量
13
15
18
19
20
20
22
25
年齡（歲）
購買周邊
不購買周邊
總計
小于30
40
30及以上
45
80
總計
200
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
0
1
2
年齡（歲）
購買周邊
不購買周邊
總計
小于30
80
40
120
30及以上
45
35
80
總計
125
75
200

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