一、選擇題
1．已知集合,,則( )
A.B.C.D.
2．已知,則( )
A.B.C.iD.
3．已知,為單位向量,若,則( )
A.B.C.D.
4．若函數(shù)為偶函數(shù),則實數(shù)( )
A.1B.0C.D.2
5．芻薨是《九章算術》中出現(xiàn)的一種幾何體,如圖所示,其底面為矩形,頂棱PQ和底面平行,書中描述了芻薨的體積計算方法:求積術曰,倍下袤,上袤從之,以廣乘之,又以高乘之,六而一,即（其中h是芻薨的高,即頂棱PQ到底面ABCD的距離）,已知,和均為等邊三角形,若二面角和的大小均為,則該芻薨的體積為( )
A.B.C.D.
6．若,,則( )
A.B.C.D.
7．設等比數(shù)列的公比為q,且,設甲:;乙:,則( )
A.甲是乙的充分不必要條件
B.甲是乙的必要不充分條件
C.甲是乙的充要條件
D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
8．已知雙曲線,點,,若C上存在三個不同的點M滿足,則C的離心率的取值范圍為( )
A.B.C.D.
二、多項選擇題
9．已知圓,圓,則下列結(jié)論正確的是( )
A.若和外離,則或
B.若和外切,則
C.當時,有且僅有一條直線與和均相切
D.當時,和內(nèi)含
10．已知正實數(shù)x,y滿足,則( )
A.B.
C.的最大值為0D.的最小值為
11．已知,若,則( )
A.B.
C.D.
12．在三棱錐中,平面ABC,,,P為內(nèi)的一個動點（包括邊界）,AP與平面所成的角為,則( )
A.的最小值為
B.的最大值為
C.有且僅有一個點P,使得
D.所有滿足條件的線段AP形成的曲面面積
三、填空題
13．設是公差不為0的等差數(shù)列的前n項和,若,則________.
14．已知函數(shù),且為曲線的一條切線,則________.
15．設,是橢圓的左,右焦點,O為坐標原點,M為C上一個動點,且的取值范圍為,則橢C的長軸長為______.
16．已知函數(shù),若,且,則________.
四、解答題
17．記的內(nèi)角A,B.C的對邊分別為a,b,c,面積為,且.
（1）求的外接圓的半徑;
（2）若,且,求BC邊上的高.
18．設為數(shù)列的前n項和,.
（1）求數(shù)列的通項公式;
（2）設,證明:.
19．已知函數(shù),.
（1）討論的單調(diào)性;
（2）當時,設,分別為的極大值點、極小值點,求的取值范圍.
20．如圖,在四棱錐中,,,,設E,F,M分列為棱AB,PC,CD的中點.
（1）證明:平面PAM;
（2）若,求EF與平面PCD所成角的正弦值.
21．已知函數(shù).
（1）證明:有唯一的極值點;
（2）若,求a的取值范圍.
22．已知拋物線,F為C的焦點,在C上,且.
（1）求拋物線C的方程;
（2）若直線l與C交于A,B兩點(A,B分別位于直線的兩側(cè)),且直線PA,PB的斜率之和為0.
（ⅰ）求直線l的斜率;
（ⅱ）求的面積的最大值.
參考答案
1．答案：B
解析：解不等式,得,即,而,則,
所以.
故選:B
2．答案：C
解析：因為,即,則,
所以,故.
故選:C.
3．答案：D
解析：因為,為單位向量,,
所以,則,
所以.
故選:D.
4．答案：D
解析：函數(shù)的定義域為R,由為偶函數(shù),得,,
則,整理得,而不恒為0,
于是,即,解得,
所以實數(shù).
故選:D
5．答案：A
解析：令點P,Q在平面ABCD的投影分別為,,取AD,BC的中點M,N,連接
PM,QN,
由平面ABCD,平面ABCD,得,
由正,得,,,平面,
則平面,同理平面,由四邊形ABCD為矩形,得,
于是平面,而面,平面,則,,
顯然,有,且,M,N,都在平面ABCD,因此點,M,N,共線,
顯然,而平面ABCD,平面平面,平面,則,
四邊形為平行四邊形,,,
由,,得是二面角的平面角,即,
則,又,因此,,
同理,而,則,
所以該芻薨的體積為.
故選:A
6．答案：B
解析：由,得,解得,又,
所以.
故選:B
7．答案：C
解析：等比數(shù)列的公比為q,且,當時,,因此;
當時,有,即,而,則,
又,,于是,即,又,因此,
所以甲是乙的充要條件.
故選:C
8．答案：A
解析：設,由點,,,得,
整理得,由消去得,
即,解得或,
依題意,,則有,因此雙曲線C的離心率,
所以C的離心率的取值范圍是.
故選:A
9．答案：ABC
解析：圓的圓心為,半徑,
圓的圓心為,半徑,
所以,
若和外離,則,解得或,故A正確;
若和外切,則,解得,故B正確;
當時,,則和內(nèi)切,故僅有一條公切線,故C正確;
當時,,則和相交,故D錯誤.
故選:ABC.
10．答案：BC
解析：對于A,,所以,
當且僅當,即時等號成立,故A錯誤;
對于B,由,可知,
所以,
當且僅當,即,時,等號成立,故正確;
對于C,由,可知,
所以,
當且僅當,即時,等號成立,故C正確;
對于D,,當?shù)忍柍晌?
由可知,,當且僅當時等號成立,
因為前后兩次不等式取等條件不一致,所以,故D錯誤.
故選:BC.
11．答案：ABD
解析：因為,所以,
又在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增,所以其定義域內(nèi)單調(diào)遞增,故,故A正確;
由A可知,所以,故B正確;
因為單調(diào)遞增,
且,
根據(jù)零點存在定理,有,故C錯誤;
因為,
又二次函數(shù)的對稱軸為1,且在區(qū)間上單調(diào)遞減,
所以,故D正確,
故選:ABD.
12．答案：ACD
解析：依題意,,
取BC的中點M,則,,
所以平面,
過A作于H,因為平面,
所以,所以平面,
易得,且H為等邊的外心,
由AP與平面所成角為,可知,
所以點P軌跡是以H為圓心,為半徑的圓在內(nèi)部的一部分,如圖所示,
所以的最小值為,A選項正確;
由于軌跡圓部分在平面外部,所以的最大值不等于,B選項錯誤;
因為平面,若,則點P在線段上,
有且僅有一個點P滿足題意,C選項正確;
動線段AP形成的曲面為圓錐AH側(cè)面積的一部分,因為,
所以,因為,所以曲面面積為圓錐側(cè)面的,
圓錐AH側(cè)面積為,
所以所有滿足條件的動線段AP形成的曲面面積為,D選項正確.
故選:ACD.
13．答案：
解析：令等差數(shù)列的公差為d,,由,得,解得,
所以.
故答案為:
14．答案：2
解析：設與曲線相切的切點,
由求導得,切線斜率為,
因此切線方程為,
依題意,,且,聯(lián)立消去得,
令函數(shù),,求導得,
當時,,當時,,因此函數(shù)在上遞減,在上遞增,
當時,,則時,,
所以.
故答案為:2
15．答案：
解析：橢圓的半焦距為c,O為的中點,
,顯然,于是,
因此,即,解得,,,即,
所以橢圓C的長軸長為.
故答案為:
16．答案：
解析：由可知,當時,取得最大值,
所以,則,
又,即,
所以,
因為,
又,則,
所以,則,即,
解得（負值舍去）,故,
所以,則,
則.
故答案為:.
17．答案：（1）1;
（2）.
解析：（1）在中,,解得,
由正弦定理得的外接圓的半徑.
（2）由（1）知,,
由余弦定理得,則,
令BC邊上的高為h,則,即,
所以BC邊上的高為.
18．答案：（1）;
（2）證明見解析.
解析：（1）當時,,當時,,
兩式相減得,則,
當時,,
又當時,,當時,,則,
顯然符合,
所以數(shù)列的通項公式是.
（2）由（1）知,,
所以
.
19．答案：（1）答案見解析;
（2）.
解析：（1）函數(shù)的定義域為R,
求導得,
當時,單調(diào)遞增;
當時,令,解得或,
則當時,由,得,由,得,
因此函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;
當時,由,得,由,得,
因此在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
所以當時,函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;
當時,函數(shù)在上單調(diào)遞增;
當時,函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減.
（2）當時,由（1）知,,,
因此,設,
求導得,函數(shù)在上單調(diào)遞增,,
所以的取值范圍是.
20．答案：（1）證明見解析;
（2）.
解析：（1）取PM的中點N,連接AN,NF,則,且,
又,且,于是,,四邊形AEFN為平行四邊形,
則,又平面PAM,平面PAM,
所以平面PAM.
（2）取AM的中點H,連接PH,由,得,
又,M是CD的中點,則,
又,,,M是CD的中點,則,
而,AM,平面PAM,于是平面PAM,平面PAM,,
又,,,AM,平面ABCD,因此平面ABCD,
不妨設,以點H為坐標原點,直線HA、過點H平行于CD的直線、
直線PD分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系,
則,,,,則,,
由N為PM的中點,得,,
由（1）知,,直線EF與平面PCD所成角即為直線AN與平面PCD所成角,
設為平面PCD的一個法向量,則,令,得,
設AN與平面PCD所成角為,則,
所以EF與平面PCD所成角的正弦值為.
21．答案：（1）證明見解析;
（2）.
解析：（1）函數(shù)的定義域為,
求導得,
令,求導得,函數(shù)在上單調(diào)遞增,
又,取,且,
顯然,因此存在唯一,使得,
當時,,單調(diào)遞減,當時,,單調(diào)遞增,
當時,取得極小值,無極大值,
所以有唯一極值點.
（2）由（1）知,,即,
依題意,,將代入整理得,,
設,求導得,
于是函數(shù)在上單調(diào)遞減,又,則,解得,
因此,解得,
所以a的取值范圍是.
22．答案：（1）;
（2）（?。?
（ⅱ）.
解析：（1）拋物線的準線為,由拋物線的定義得,解得,
所以拋物線C的方程為.
（2）（i）將代入C的方程,解得,而,解得,
設,,則直線AB斜率為,
點,則直線PB斜率為,同理得直線PA斜率為,
依題意,,解得,
所以直線l的斜率為.
（ii）設直線,由消去x得,
顯然,,
由A,B分別位于直線兩側(cè),得,,解得,
,
點P到直線AB的距離,面積為,
設,,,求導得,
由,得,當時,,當時,,
因此函數(shù)在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減,
則當時,,
所以面積的最大值為.

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