一、選擇題
1．已知集合,則( )
A.B.C.D.
2．復(fù)數(shù) 在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點所在的象限為( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
3．過點的直線l與圓相切,則直線l的方程為( )
A.B.C.D.
4．已知,則( )
A.-4B.C.D.
5．如圖是兩個底面半徑都為1的圓錐底面重合在一起構(gòu)成的幾何體,上面圓錐的側(cè)面積是下面圓錐側(cè)面積的2倍,,則( )
A.B.C.D.3
6．如圖,在邊長為2的菱形中,,點E,F分別在邊CB,CD上,且若 ,則( )
A.B.C.1D.
7．已知函數(shù)在區(qū)問上存任最小值, 則實數(shù)a的取值范圍為( )
A.B.C.D.
8．已知橢圓的左、右焦點分別,橢圓的長軸長為,短軸長為2,P為直線上的任意一點, 則的最大值為( )
A.B.C.D.
二、多項選擇題
9．據(jù)國家統(tǒng)計局網(wǎng)站 2023年9月15日消息, 8 月份, 社會消費品零售總額為 37933 億元, 同比增長(同比-一般情況下是指本年第N月與去年的第N月比).其中,除汽車以外的消費品答額為 33820 億元, 增長,月份, 社會消費品零售總額為302281億元, 同比增長.其中,除汽車以外的消費品零售額為 271888 億元,增長,年8月至2023年8月社會消費品零售總額同比增速如下:
則下列說法正確的是( )
A.2023年18月份, 社會消費品零售總額的月平均值約為25422.6億元
B.2022年8月份, 社會消費品零售總額約為36264.8億元
C.除掉2022年8月至2023年8月社會消費品零售總額同比增速數(shù)據(jù)的最大值和最小值所得數(shù)據(jù)的標準差比原數(shù)據(jù)的標準差小
D.2022年8月至2023年8月社會消費品零售總額同比增速數(shù)據(jù)的極差比中位數(shù)的8倍還多
10．在前n項和為的正項等比數(shù)列中,,,則( )
A.B.
C.D.數(shù)列中的最大項為
11．如圖,在棱長為1的正方體中,E是線段 上的動點(不包括端點), 過A,,E三點的平面將正方體截為兩個部分,則下列說法正確的是( )
A.正方體的外接球的表面積是正方體內(nèi)切球的表面積的3倍
B.存在一點E,使得點和點C到平面的距離相等
C.正方體被平面所截得的截面的面積隨著的增大而增大
D.當正方體被平面所截得的上部分的幾何體的體積為時,E是的中點
12．在平面直角坐標系中, 已知雙曲線的右頂點為A, 直線 l與以O(shè)為圓心,為半徑的國相切, 切點為P.則( )
A.雙曲線C的離心率為
B.當直線與雙曲線C的一條浙近線近合時, 直線l過雙曲線C的一個焦點
C.當直線l與雙曲線C的一條浙近線平行時,若直線l與雙曲線C的交點為Q,則
D.若直線l與雙曲線C的兩條浙近線分別交于D, E兩點與雙州線C分別交于M,N兩點，則
三、填空題
13．設(shè)A,B是一個隨機試驗中的兩個水件, 若,,,則______________.
14．已知 的展開式中的系數(shù)為 240 ,則實數(shù)______________.
15．已知函數(shù)的值域為R, 則實數(shù)a的取值范圍為___________.
16．方程 的最小的29個非負實數(shù)解之和為____________.
四、解答題
17．已知正項數(shù)列中,,.
(1)求數(shù)列的通項公式;
(2)記數(shù)列 的前n項和,求滿足的正整數(shù)n的集合.
18．在中, 內(nèi)角A, B, C所對的邊分別為a, b, c,且 .
(1)求A;
(2)過點A作的垂線與的延長線交于點D,,的面積為,求的周長.
19．如圖, 在四棱錐中,底面是直角梯形, ,，，.
(1)證明:平面;
(2)已知,，平面底面,若平面與平面的夾角的余弦值為,求.
20．駕駛員考 (機動車駕駛員考試) 是由公安局車管所舉辦的資格考試, 只有通過駕駛員考試才能取得駕照, 才能合法的駕駛機動車輛. 考試內(nèi)容和合格標準全國統(tǒng)一, 根據(jù)不同準駕車型規(guī)定相應(yīng)的考試項目. 機動車駕駛?cè)丝荚噧?nèi)容分為道路交通安全法律、法規(guī)和相關(guān)知識考式科目(以下簡稱“科目一”)、場地駕駛技能考試科目(以下簡稱“科目二”)、道路駕駛技能和安全文明駕駛常識考試科目 (以下簡稱“科目三”). 申請人科目一、科目二、科目三考試均合格后, 就可以領(lǐng)取駕駛證. 某駕校經(jīng)統(tǒng)計, 駕駛員科目一考試平均通過的概率為 , 科目二平均通過的概率為,科目三平均通過的概率為,該駕校王教練手下有4名學員參加駕駛員考試.
(1)記這4名學員參加駕駛員考試, 通過考試并領(lǐng)取駕駛證的人數(shù)為X, 求X的分布列和數(shù)學期望及方差;
(2)根涺調(diào)查發(fā)現(xiàn), 學員在學完固定的學時后, 每增加一天學習, 沒有通過考試畣到駕駛證的概率會降為原來的0.4,請問這 4 名學員至少要增加多少天的學習, 才能保證這 4 名學員都能通過考試并領(lǐng)取駕駛證? (我們把概率超過0.99的事件稱為必然事件,認為在一次試驗中必然事件一定會發(fā)生)
參考數(shù)據(jù)：，
21．已知拋物線的焦點為F,過擾物線C的準線上任意一點P作不過焦點F的直線l與苭物線C相交于M,N兩點, 當直線l的方程為時,.
(1)求拖物線C的標準方程;
(2)證明: 直線是的外角平分線.
22．已知函數(shù)，其中.
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)若, 證明:函數(shù)有唯一的零點;
(3)若,求實數(shù)a的取值范圍.
參考答案
1．答案：D
解析：由,可得 ,故選：D.
2．答案：A
解析：由，可得復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點所在的像限為第一象限,故選：A.
3．答案：B
解析：由點P在圓C上, 又由直線的斜率為,可得直線l的斜率為2 ,則直線l的方程為.故選：B.
4．答案：B
解析：由 ,
有，
故選：B.
5．答案：C
解析：高,有 ,
由,有,可得，
可得 , 又由上下圓錐側(cè)面積之比為, 可得 ,有，
有.代入 整理為,
解得,可得 .
故選：C.
6．答案：C
解析：設(shè) ,可得 ,有，
，有
，
又由 , 有, 解得，(舍),可得.
故選：C.
7．答案：A
解析：由 ,
可得函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為,減區(qū)間，，
當時,,
解得 或,有 解得.
故選：A.
8．答案：D
解析：由題意有,，設(shè)直線與x軸的交點為Q,設(shè),
有，，
可得，
當且僅當 時取等號, 可得的最大值為,
故選：D.
9．答案：BC
解析：對于A選項, 由 2023 年 月份, 社會消費品零售總額為 302281 億元, 可得社會消費品零售總額的月平均值約為 億元,故A 選項錯誤;
對于B選項, 由 2023 年 8 月份,社會消費品零售總額為 37933 億元, 同比增長, 可得2022年8月份, 社會消費品零售總額約為 億元, 故B選項正確;
對于C 選項, 由圖表可知去掉-5.9,18.4數(shù)據(jù)更集中,標準差相對于原數(shù)據(jù)來說變小了,故C選項正確;
對于D選項, 極差為, 中位數(shù)為,可得 ,故D選項錯誤.
故選：BC.
10．答案：BC
解析：設(shè)等比數(shù)列 的公比為q,
由, 有,聯(lián)立方程
解得 或(舍去),有,
可得.
對于A選項, 由,有,故A選項錯誤;
對于B選項,,故B選項正確;
對于C選項,由,有,故C選項正確;
對于D選項,由,
令, 有 ,
可得有，
可得數(shù)列中的最大項為或,故D選項錯誤,
故選：BC.
11．答案：AC
解析：對于A選項, 正方體外接球的半徑為,內(nèi)切球的半徑為.可得正方體的外接球的表面積是正方體內(nèi)切球的表面積的 倍. 故A選項正確;
對于B選項,由點和點B到平面的距離相等,若點和點C到平面的距離相等, 必有 平面,又由,可得平面,與平面矛盾,故B選項錯誤;
對于C選項, 如圖, 在上取一點F,使得, 連接,
設(shè),由,可得平面為過A,,E三點的截面,
在梯形中,,,,
,
梯形的高為,
梯形的面積為,
令,
有,可得函數(shù)單調(diào)遞增. 可得正方體被平面所截得的截面面積隨著的增大而增大. 故C選項正確;
對于D選項，,
,
被平面所截得的上部分的幾何體的體積為,整理為, 解得 ,故D選項錯誤.
故選：AC.
12．答案：ABD
解析：
13．答案：
解析：有, 有,
又由，有. 可 .
14．答案：
解析：的展開式中無含項, 含的項為，中含的項為, 則 .解得 .
15．答案：
解析：①當時, 若,可得, 若,函數(shù)的值域不可能為R;
②當時,函數(shù)在，上單調(diào)遞增,
若函數(shù) 的值域為R, 只需 , 可得.
由上知, 實數(shù)a的取值范圍為.
16．答案：
解析：方程 可化為 , 因式分解為 .
,解得 或,方程的最小的29個非負實數(shù)解中有 10 個是以 0 為首項,為公差的等差數(shù)列. 其和為;
有10 個是以為首項,為公差的等差數(shù)列,其和為；
有9個是以為首項, 為公差的等差數(shù)列, 其和為.
可得方程的最小的 29 個非負實數(shù)解之和為.
17．答案： (1)
(2)
解析：(1)由,有,
有, 有,
可得數(shù)列是公差為 1 的等差數(shù)列,
有,
可得數(shù)列的通項公式為;
(2)由,
有.
不等式可化為,解得,可得滿足的正整數(shù)n的集合為.
18．答案： (1)
(2)
解析：(1) 由正弦定理有,
兩邊除以.有,
由二倍角公式,有,
整理為,
上式因式分解為,
解得或 (舍去),
又由, 可得;
(2)由,有,
又由,可得,
有，
可得，
又由的面積為及,有 ,
代入,可得,，
又由,有, 代入,可得,
在中,由余弦定理,有,
有的周長為.
19．答案：(1)見解析
(2)
解析：(1) 證明: 如圖, 連接與相交于點O,連接,
，，
，，
，平面平面，平面;
(2)在 中,，
可得
由,平面 底面, 過點A作底面的垂線l,
垂線在平面內(nèi),以A為坐標原點, , , 直線l分別為x, y, z軸建立如圖所示的空間直角坐標系,有,,
又由,可得點P的坐標為,
又由，
有,
設(shè),可得點B的坐標為, 點C的坐標為 ,
設(shè)平面的法向量為,由,,
有 取,可得平面的一個法向量為.設(shè)平面的法向量為,由,
有取,,可得平面的一個法向量為.
由,,有,
又由平面與平面的夾角的余弦值為,有,
化簡為.解得或(舍).
由上知.
20．答案： (1)分布列見解析,，
(2)這4名學員至少要增加6天的學習,才能保證這4名學員都能通過考試并領(lǐng)取駕駛證
解析：(1)1名學員通過考試并領(lǐng)取駕駛證的概率為,
根據(jù)題意可知.
X的取值分別為0,1,2,3,4,
，
，
，
，
.
故X的分布列為:
，；
(2)增加k(k為正整數(shù))天學習后, 每位學員通過考試拿到駕駛證的概率為，
若這4名學員都能通過考試并領(lǐng)取駕駛證,有,
有,有,有,
又由,
可得,
故這4名學員至少要增加6天的學習,才能保證這4名學員都能通過考試并領(lǐng)取駕駛證.
21．答案： (1)
(2)見解析
解析：(1)設(shè)M, N的坐標分別為,
由拋物線的定義有,可得,,
聯(lián)立方程 消去y后獘理為,有,
有 ,整理為,解得或(舍去),
故拋物線C的標準方程為;
(2)證明: 直線l的斜率為,
直線l的方程為 代入后整理為,
令,得, 可得點P的坐標為,
焦點F的坐標為,直線的方程為,
整理為,
點P到直線的距離為
同理點P到直線的距離為,
由及直線l與拋物線C的位置關(guān)系, 可得直線是的外角平分線.
22．答案：(1)詳解見解析
(2)見解析
(3)
解析：(1)函數(shù)的定義域為,
，
①當時,解不等式,有,函數(shù)的減區(qū)間為,增區(qū)間為;
②當時,,若,，可得;若 ,，
可得;若,可得.故有, 函數(shù)單調(diào)遞增,增區(qū)間為 ,沒有減區(qū)間;
③當時, 解不等式 ,有或,故函數(shù)的增區(qū)間為 ,，減區(qū)間為 ；
④當時,解不等式.有或,故函數(shù)的增區(qū)間為 ,減區(qū)間為；
(2) 證明: 若,函數(shù)的減區(qū)間為,增區(qū)間為,
當時,由,有,
由上知, 函數(shù)有唯一的零點;
(3) 由(2) 知, 若 , 必有,又由 ,可得,
又由,不等式可化為,
設(shè)，
有,
當且時,, 可得 ,
當且時,,可得,
當時,函數(shù) 單調(diào)遞增, 故存在正數(shù)m使得 ,
若,有,有,與 矛盾,可得,
當時,;當時,,可得函數(shù)的減區(qū)間為,
增區(qū)間為,
若, 必有 ,
有,又由 ,
有,有 ,
有.
又由 , 有 . 可得,
有,可得 ,
由,及, 可得 ,
若,則實數(shù)a的取值范圍為 .
X
0
1
2
3
4
P

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