一、選擇題
1．已知復數(shù)，在復平面內所對應的點分別為，，則( )
A.B.1C.D.2
2．用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形的直觀圖，如圖所示，軸，軸，，，則的原圖形的面積為( )
A.5B.C.D.
3．某人要作一個三角形，要求它的三條高的長度分別為，，，則此人( )
A.不能作出這樣的三角形B.能作出一個銳角三角形
C.能作出一個直角三角形D.能作出一個鈍角三角形
4．如圖，點A，B，C，M，N為正方體的頂點或所在棱的中點，則下列各圖中，不滿足直線平面ABC的是( )
A.B.C.D.
5．如圖，在中，，，P為上一點，且滿足，若，，則的值為( )
A.B.C.D.
6．在四棱錐中，底面ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為側棱，上的點，且滿足，平面BDE，則( )
A.B.2C.3D.4
7．已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，當取得最大值時，為( )
A.B.C.D.
8．已知球O內切于正方體，P，Q，M，N分別是，，CD，BC，的中點，則該正方體及其內切球被平面MNPQ所截得的截面面積之比為( )
A.B.C.D.
二、多項選擇題
9．的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c．已知，，，則( )
A.的外接圓半徑為B.
C.D.為銳角三角形
10．已知復數(shù)，，則下列命題一定成立的有( )
A.若，則B.若，則
C.D.
11．已知圓臺的上、下底面直徑分別為2，6，高為，則( )
A.該圓臺的體積為
B.該圓臺外接球的表面積為
C.用過任意兩條母線的平面截該圓臺所得截面周長的最大值為16
D.挖去以該圓臺上底面為底，高為的圓柱后所得幾何體的表面積為
12．已知，，是互不相等的非零向量，其中，是互相垂直的單位向量，，記，，，則下列說法正確的是( )
A.若，則O，A，B，C四點在同一個圓上
B.若，則的最大值為2
C.若，則的最大值為
D.若，則的最小值為
三、填空題
13．已知若z為純虛數(shù)，則_____________.
14．已知，為單位向量，且，則在上的投影向量為__________（用或表示）
15．如下圖所示，某學校設置了一些裝飾品，這些裝飾品是由正方體截去八個一樣的四面體得到的，已知裝飾品的體積為，現(xiàn)學校準備為裝飾品的所有棱(含底面)加裝燈帶，請問學校需要購買燈帶的長度為_____________cm.
16．如圖，在三角形中，若，，，則的長度的最大值為________.
四、解答題
17．(1)已知向量，點，若向量，且，求點B的坐標;
(2)球的兩個平行截面的面積分別是，，兩截面間的距離為1，求球的半徑.
18．記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c已知
(1)試判斷的形狀;
(2)若，求周長的最大值.
19．如圖，在直四棱柱中，底面ABCD為正方形，E為棱的中點，，.
(1)求三棱錐的體積.
(2)在上是否存在一點P，使得平面平面EBD.如果存在，請說明P點位置并證明.如果不存在，請說明理由.
20．鐵人中學"數(shù)學建模"實踐小組欲測量某景區(qū)位于:"觀光湖"內兩處景點A，C之間的距離，如圖，B處為碼頭入口，D處為碼頭，BD為通往碼頭的棧道，且，在B處測得，，在處測得，.(A，B，C，D均處于同一測量的水平面內)
(1)求A，C兩處景點之間的距離;
(2)棧道BD所在直線與A，C兩處景點的連線是否垂直?請說明理由.
21．已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的最小正周期及單調遞增區(qū)間;
(2)將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，再向上平移1個單位長度得到的圖象，若，，求函數(shù)在上的取值范圍.
22．在銳角中，設角A，B，C的對邊分別為a，b，c且，.
(1)若，求的面積;
(2)求的值;
(3)求的取值范圍.
參考答案
1．答案：C
解析：由題意得，，
則.
故選:C.
2．答案：D
解析：根據(jù)題意，直觀圖中，軸，軸，，，
則直觀圖面積為，又由原圖的面積等于直觀圖面積的倍，所以原圖的面積為.
故選:D.
3．答案：D
解析：設三邊分別為a，b，c，利用面積相等可知，再利用余弦定理求得，推斷出，即C為鈍角.故選D
4．答案：D
解析：對A，因為A，C，M，N分別為所在棱的中點，由正方體的性質知，又平面，平面所以平面.
對B，取AC的中點E，連接BE，由條件及正方體的性質知.因為平面，平面，所以平面.
對C，取AC的中點E，連接BE，由條件及正方體的性質知，因為平面，平面，所以平面.
對D，連接AM，BN，由條件及正方體的性質知四邊形AMNB是等腰梯形，所以AB與MN所在的直線相交，故不能推出平面.
故選D.
5．答案：B
解析：因為，所以，
因為C、P、D三點共線，
所以，即，
又因為，
所以，且
，為不共線的非零向量，
所以，解得，所以，
所以
故選B
6．答案：C
解析：平面BDE，
設AC與BD相交于O，連接OE，過點F作，交PC于H，
連結AH，則得到平面平面BDE，，，
，，
，，，
，，
故選:C.
7．答案：B
解析：因為，所以，
可得，結合A、C為三角形的內角，得，
結合，得，
所以
根據(jù)二次函數(shù)的性質，可知當時，取得最大值，此時(不符合題意，舍去).
故選:B.
8．答案：A
解析：如圖，易知正方體的內切球的球心O為的中點，設球O切上下底面中心于點E，F(xiàn)，則球O的半徑，又易知球心O到平面MNPQ的距離等于E到平面MNPQ的距離，設交QP于點G，則易證平面MNPQ，球心O到平面MNPQ的距離，設正方體的棱長為，
則，，球O被平面MNPQ所截的小圓半徑，球O被平面MNPQ所截的小圓面積為，又易知，，該正方體被平面MNPQ所截得的截面面積為，該正方體及其內切球被平面MNPQ所截得的截面面積之比為，故選：A.
9．答案：BC
解析：對于A，因為，所以．
因為，所以，所以的外接圓半徑為，故A不正確；
對于B，因為，，，所以，故B正確；
對于C，因為，所以，即．
因為，所以，故C正確；
對于D，由選項C，，因為，即，所以角B是鈍角，
所以為鈍角三角形，故D不正確．
故選：BC.
10．答案：AC
解析：設，，則，.
選項A：，若，則，.所以，即，故A一定成立.
選項B：，，若，則
①.，同理，若，則需滿足且，與①式不同，故B不一定成立.
選項C:，，所以，故C一定成立.
選項D:②，
，與②式不同，故D不一定成立.
故選AC
11．答案：BC
解析：由已知得圓臺的上下底面半徑分別為1，3，
對于A:圓臺的體積為，A錯誤；
對于B:如圖是圓臺的軸截面ABCD，外接球球心為O，設外接球半徑為R，當球心在梯形ABCD內時，，解得，
當球心在梯形ABCD外時，，方程無解，
所以外接球的表面積，B正確;
對于C：用過任意兩條母線的平面截該圓臺所得截面周長，其中軸截面的周長最大，
又母線長為，則最大周長為，C正確;
對于D:如圖:挖去以該圓臺上底面為底，高為的圓柱后所得幾何體的表面積為
，D錯誤.
故選BC
12．答案：AD
解析：對于A選項，如圖，若，則，
所以，又，
所以，
所以O，A，B，C四點在同一個圓上，故A正確;
對于B選項，若，由A選項知，O，A，B，C四點在同一個圓上，
又，
則其長度為圓上弦的長度.當線段OC為該圓的直徑時，最大，
且最大值等于，故B錯誤;
對于C選項，由題可得A，B，C均在以O為圓心、1為半徑的圓上，
設，，又，
則
其中.
則
當時取等號.故C錯誤.
對于D選項，由C選項分析結合可知，若
則
，
則由重要不等式有:
得，當且僅當時取等號.故D正確.
故選:AD.
13．答案：1
解析：依題意，
由z為純虛數(shù)，得，解得，因此，
所以.
故答案為:1
14．答案：
解析：由，可得
即
可得，則，則在上的投影向量為，故答案為
15．答案：
解析：設正方體的棱長為a，則每個正四面體的體積為，
所以每個裝飾品的體積為，解得，
又由圖可知，裝飾品的棱都在正方體的表面上，且每個面上有4條棱，共24條棱，
每條棱的長度為，所以學校需要購買燈帶的長度為.
故答案為:.
16．答案：6
解析：，
由正弦定理得，
由余弦定理得，代入上式中，
，
整理可得，
又，當且僅當，即時，等號成立，
故，
由于，所以，
因為，所以，
又此時，故為等邊三角形，
設，，
那么由余弦定理得
，
即，故，
在中，由正弦定理得，即，
整理得，
因為，所以為銳角，那么，
則，
在中，由余弦定理可得，
所以
，
當且僅當時，等號成立，
所以的最大值為6.
故答案為：6.
17．答案：(1)B的坐標為或；
(2)3
解析：(1)設，則
因為向量，所以
又，所以
解得或，所以B的坐標為或
(2)設兩個平行截面圓的半徑分別為，，球半徑為R，則由，得，由，得，
如圖①，當兩個截面位于球心O的同側時，有，即，
解得，
如圖②，當兩個截面位于球心O的異側時，有，此方程無解.
綜上，球的半徑是3.
18．答案：(1)是直角三角形；
(2)
解析：(1)由，可得，所以，
即，所以，
又由余弦定理得，可得，所以，
所以是直角三角形
(2)由(1)知，是直角三角形，且，可得，，
所以周長為，
因為，可得，
所以，當時，即為等腰直角三角形，周長有最大值為.
19．答案：(1)1；
(2)P為的中點，使得平面平面EBD，證明見解析
解析：(1)在直四棱柱中，底面ABCD為正方形，
所以平面ABCD，
所以.
(2)當P為的中點時滿足平面平面EBD，
設，連接OE，
因為ABCD為正方形，所以O為AC的中點，又E為棱的中點，
所以，又平面，平面，所以平面，
又P為的中點，所以且，所以為平行四邊形，
所以，
又平面，平面，所以平面，
又，平面BDE，
所以平面平面EBD.
20．答案：(1)；
(2)不垂直，理由見解析
解析：(1)由已知在中，，，，
所以，則為等腰三角形，
則，
在中，，，，
則，，
由正弦定理，即，解得，
在中，，，，
由余弦定理，
即A，C兩處景點之間的距離為;
(2)在中，，
在中，因為，
所以，
由正弦定理，
即，得，
所以
即棧道BD所在直線與A，C兩處景點的連線不垂直.
21．答案：(1)最小正周期為，的單調增區(qū)間為；
(2)
解析：(1)因為，
所以的最小正周期為；
令，則，
所以的單調增區(qū)間為.
(2)的圖象向左平移個單位長度得到，
再向上平移1個單位長度得到，
所以.令，，
因為，，
又因為，，所以，，.
所以，，
所以在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，，
即函數(shù)在上的取值范圍是.
22．答案：(1)；
(2)20；
(3)
解析：(1)由余弦定理
結合可知，的面積
(2)因為，，所以，
由正弦定理，
所以，①
由于，
帶入①式可知:
（3）解法1：
設BC中點為D，則
所以
如下圖所示，
設的外接圓為圓O，由于為銳角三角形，故點A的運動軌跡為劣弧(不含端點)，由正弦定理知圓O的半徑，故
設，則，由余弦定理:
由于函數(shù)在時單調遞減，，
所以
解法2:
由余弦定理
由定義
所以
設，
則
由正弦定理:
其中銳角的終邊經(jīng)過點，由銳角三角形可知
注意到，
所以
所以，②式變形為，故
從而，
此時函數(shù)單調遞減，而，
所以

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