1. 在中，、、的對(duì)邊分別為a、b、c，下列條件中，能判定是直角三角形的是（ ）．
A. ，，B. ，，
C ，，D. ，，
【答案】D
【解析】
【分析】先求出兩小邊的平方和，再求出最長(zhǎng)邊的平方，看看是否相等即可．
【詳解】解：A、∵22＋32≠42，∴以a、b、c為邊不能組成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；
B、∵22＋52≠52，∴以a、b、c為邊不能組成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；
C、∵52＋82≠102，∴以a、b、c為邊不能組成直角三角形，故本選項(xiàng)不符合題意；
D、∵72＋242＝252，∴以a、b、c為邊能組成直角三角形，故本選項(xiàng)符合題意；
故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的逆定理，注意：如果一個(gè)三角形的兩邊a、b的平方和等于第三邊c的平方，那么這個(gè)三角形是直角三角形．
2. 144的平方根是的數(shù)學(xué)表達(dá)式是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)平方根定義，如果一個(gè)數(shù)平方等于a，那么這個(gè)數(shù)就叫做a的平方根．
【詳解】，
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查了平方根的的定義，熟練掌握平方根的定義是解題的關(guān)鍵．
3. 點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，則的值是（ ）
A. 1B. C. 2023D.
【答案】B
【解析】
【分析】本題主要考查點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱、解一元一次方程，熟練掌握點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱的特征“橫坐標(biāo)相等，縱坐標(biāo)互為相反數(shù)”是解題的關(guān)鍵．
由題意得到關(guān)于m和n的方程，然后求出m和n的值，最后代入求解即可．
【詳解】解：與點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱，
解得，．
．
故選B．
4. 下列說法中，正確的是（ ）
A. 經(jīng)過證明為正確的真命題叫做公理
B. 假命題不是命題
C. 要證明一個(gè)命題是假命題，只要舉一個(gè)反例，說明它錯(cuò)誤即可
D. 要證明一個(gè)命題是真命題，只要舉一個(gè)例子，說明它正確即可
【答案】C
【解析】
【分析】本題考查命題與定理，根據(jù)公理的定義、假命題的定義、真假命題的證明方法進(jìn)行逐一判斷即可．
【詳解】解；A、經(jīng)過長(zhǎng)期實(shí)踐證實(shí)為正確的真命題稱為公理，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
B、假命題是不正確的命題，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤；
C、要證明一個(gè)命題是假命題，只要舉一個(gè)反例，即舉一個(gè)具備命題的條件，而不具備命題結(jié)論的命題即可，故此項(xiàng)正確；
D、要證明一個(gè)命題是真命題，需要進(jìn)行推論論證說明它正確，故此項(xiàng)錯(cuò)誤；
故選：C．
5. 某品牌汽車公司銷售部為了制定下個(gè)月的銷售計(jì)劃，對(duì) 20 位銷售員本月的銷售量進(jìn)行了 統(tǒng)計(jì)，繪制成如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖，則這 20 位銷售人員本月銷售量的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù) 分別是（單位：輛）（ ）
A. 18.4，16，16B. 18.4，20，16
C. 19， 16，16D. 19， 20，16
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)扇形統(tǒng)計(jì)圖給出的數(shù)據(jù)，先求出銷售各輛的人數(shù)，再根據(jù)平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)的定義分別進(jìn)行求解即可．
【詳解】解：根據(jù)題意得：
銷售16輛的人數(shù)是：20×40%=8（人），
銷售28輛的人數(shù)是：20×15%=3（人），
銷售14輛的人數(shù)是：20×20%=4（人），
銷售20輛的人數(shù)是：20×25%=5（人），
則這20位銷售人員本月銷售量的平均數(shù)是：；
把這些數(shù)從小到大排列，最中間的數(shù)是第10、11個(gè)數(shù)，
則中位數(shù)是：，
∵銷售16輛的人數(shù)最多，
∴這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)是16．
故選A．
【點(diǎn)睛】此題考查了平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)，用到的知識(shí)點(diǎn)：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)叫做這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．將一組數(shù)據(jù)按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果這組數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶數(shù)，則中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)．平均數(shù)是指在一組數(shù)據(jù)中所有數(shù)據(jù)之和再除以數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)．
6. 如圖，在邊長(zhǎng)為1的正方形方格中，，，，均為格點(diǎn)，構(gòu)成圖中三條線段，，．現(xiàn)在取出這三條線段，，首尾相連拼三角形．下列判斷正確的是（ ）
A. 能拼成一個(gè)銳角三角形B. 能拼成一個(gè)直角三角形
C. 能拼成一個(gè)鈍角三角形D. 不能拼成三角形
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)勾股定理分別求出，然后利用勾股定理的逆定理求解即可．
【詳解】解；由題意得：，
∴，
∴三條線段，，首尾相連拼三角形是直角三角形，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，關(guān)鍵是掌握如果三角形的三邊長(zhǎng)a，b，c滿足，那么這個(gè)三角形就是直角三角形．
7. 佳佳坐在勻速行駛的車上，將每隔一段時(shí)間看到的里程碑上的數(shù)描述如下：
則12：00時(shí)看到的兩位數(shù)是（ ）
A. 16B. 25C. 34D. 52
【答案】A
【解析】
【分析】設(shè)小明12：00看到的兩位數(shù)，十位數(shù)為x，個(gè)位數(shù)為y，根據(jù)車的速度不變和12:00時(shí)看到的兩位數(shù)字之和為7，即可列出二元一次方程組，解方程組即可求解．
【詳解】設(shè)小明12:00看到的兩位數(shù)，十位數(shù)為x，個(gè)位數(shù)為y，
由題意列方程組得：，
解得：，
∴12：00時(shí)看到的兩位數(shù)是16．
故選：A．
【點(diǎn)睛】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用，掌握里程碑上的數(shù)的表示是解題的關(guān)鍵．
8. 如圖，中，且，，則的度數(shù)（ ）
A. 90°B. 110°C. 120°D. 150°
【答案】C
【解析】
【分析】設(shè)∠ABC=α，根據(jù)∠AFE=∠AEF，∠CFD=∠CDF推斷出∠EFD=90°-α，從而得到方程，求解即可得到結(jié)論．
【詳解】解：設(shè)∠ABC=α，
∴∠A+∠C=180°-α，
∵∠AFE=∠AEF，∠CFD=∠CDF，
∴∠A+2∠AFE=180°①，∠C+2∠CFD=180°②，
①+②得：∠A+∠C+2∠AFE+2∠CFD=360°，
∴2∠AFE+2∠CFD=360°-（180°-α）=180°+α，
∴∠AFE+∠CFD=90°+α，
∴∠EFD=180°-（∠AFE+∠CFD）=180°-（90°+α）=90°-α，
∵∠EFD=30°，
∴90°-α=30°，
∴α=120°，
∴∠ABC的度數(shù)為120°，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型．
9. 如圖，正四棱柱的底面邊長(zhǎng)為10cm，側(cè)棱長(zhǎng)為16cm，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿棱柱側(cè)面到點(diǎn)C′處吃食物，那么它需要爬行的最短路徑的長(zhǎng)是（ ）cm
A. 8B. 4C. 2D. 12
【答案】B
【解析】
【分析】把正四棱柱展開為平面圖形，分兩種情形求出路徑，比較即可解答．
【詳解】解：把正四棱柱展開為平面圖形，分兩種情形：
如圖1中，，
如圖2中，，
∵ ，
∴爬行的最短路徑是cm．
故選B
【點(diǎn)睛】本題考查平面展開-最短路徑問題，涉及了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將問題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，然后根據(jù)勾股定理求解．
10. 吳老師家、公園、學(xué)校依次在同一條直線上，家到公園、公園到學(xué)校的距離分別為400m，600m．他從家出發(fā)勻速步行8min到公園后，停留4min，然后勻速步行6min到學(xué)校，設(shè)吳老師離公園的距離為y（單位：m），所用時(shí)間為x（單位：min），則下列表示y與x之間函數(shù)關(guān)系的圖象中，正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)吳老師離公園的距離以及所用時(shí)間可判斷．
【詳解】解：吳老師家出發(fā)勻速步行8min到公園，表示從(0，400)運(yùn)動(dòng)到(8，0)；
在公園，停留4min，然后勻速步行6min到學(xué)校，表示從(12，0)運(yùn)動(dòng)到(18，600)；
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是正確理解函數(shù)圖象表示的意義，明白各個(gè)過程對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象．
二、填空題（每小題3分，共15分）
11. 在這7個(gè)數(shù)中，無理數(shù)共有______個(gè)．
【答案】2
【解析】
【分析】本題主要考查無理數(shù)的定義，熟練掌握無理數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)無理數(shù)即無限不循環(huán)小數(shù)，即可得到答案．
【詳解】解：在這7個(gè)數(shù)中，無理數(shù)有，共有2個(gè)．
故答案為：2．
12. 不等式的正整數(shù)解是__．
【答案】1，2，3，4，5，6
【解析】
【分析】本題考查解一元一次不等式，掌握不等式的解法是解題的關(guān)鍵．
首先利用不等式的基本性質(zhì)解不等式，再?gòu)牟坏仁降慕饧姓页鲞m合條件的正整數(shù)即可．
【詳解】解：根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，得，
不等式，
，
，
；
所以不等式的正整數(shù)解是：1，2，3，4，5．
故答案為1，2，3，4，5．
13. 如圖，直線，一塊∠B=60°的直角三角板ABC按如圖所示放置，若∠1=70°，則∠2的度數(shù)為______．
【答案】
【解析】
【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)，先求出，的度數(shù)，再利用三角形內(nèi)角和求出．
【詳解】
如圖，
∵，
∴，
，
，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)角和定理和平行線的性質(zhì)，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
14. 一組從小到大排列的數(shù)據(jù)：，3，5，5，6（為正整數(shù)），唯一的眾數(shù)是5，則該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是______．
【答案】4或
【解析】
【分析】本題主要考查眾數(shù)的定義以及平均數(shù)的定義，熟練掌握定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意得到或2，計(jì)算即可．
【詳解】解：數(shù)據(jù)：（為正整數(shù)），唯一的眾數(shù)是5，
或2，
當(dāng)時(shí)，平均數(shù)為；
當(dāng)時(shí)，平均數(shù)為；
故答案為：4或．
15. 如圖是“趙爽弦圖”，，，和是四個(gè)全等的直角三角形，四邊形ABCD和EFGH都是正方形．如果，且．那么AH等于________．
【答案】6
【解析】
【分析】根據(jù)題意設(shè)，則可得，，即可得，由勾股定理列方程求出x的值即可得出結(jié)論．
詳解】解：∵
∴設(shè)，則，，
，，和是四個(gè)全等直角三角形，
，
在中，，
，
解得：．
．
故答案為：6．
【點(diǎn)睛】此題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，熟練運(yùn)用勾股定理是解答此題的關(guān)鍵．
三、解答題（共55分）
16. 計(jì)算：
（1）
（2）
【答案】（1）17 （2）
【解析】
【分析】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算：先把各二次根式化簡(jiǎn)為最簡(jiǎn)二次根式，然后進(jìn)行二次根式的乘除運(yùn)算，再合并即可．
（1）先運(yùn)用二次根式乘除法則進(jìn)行計(jì)算，再進(jìn)行相減即可；
（2）利用平方差公式和完全平方公式計(jì)算．
【小問1詳解】
原式
【小問2詳解】
原式
17. 解不等式組，并在數(shù)軸上表示此不等式組的解集．
【答案】圖見詳解，；
【解析】
【分析】本題考查解不等式組，分別解不等式①和②，再根據(jù)同大取大，同小取小，相交取中間，相背無解即可得到答案；
【詳解】解：解不等式①得，
，
解不等式②得，
，
在數(shù)軸上表示如下，
，
∴不等式組的解集為：．
18. 完成下面的證明．
已知：如圖，，，分別是，的平分線，求證：．

證明：∵（已知），
∴（ ）
∴ （ ）
∵，分別是，的平分線（已知）
∴ ，（ ）
∴
∴（ ）．
【答案】?jī)?nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；4；兩直線平行，同位角相等；3；角平分線的意義；同位角相等，兩直線平行
【解析】
【分析】由平行線的判定得，依據(jù)平行線的性質(zhì)以及角平分線的定義，即可得到，進(jìn)而可判定．
【詳解】證明：∵（已知），
∴（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）．
∴（兩直線平行，同位角相等）．
∵，分別是，的平分線（已知）
∴，（角平分線的意義）．
∴
∴（同位角相等，兩直線平行）．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)與判定，平行線的判定是由角的數(shù)量關(guān)系判斷兩直線的位置關(guān)系；平行線的性質(zhì)是由平行關(guān)系來尋找角的數(shù)量關(guān)系．
19. 在五一期間，小明、小亮等同學(xué)隨家長(zhǎng)一同到某公園游玩，下面是購(gòu)買門票時(shí)，小明與他爸爸的對(duì)話（如圖），試根據(jù)圖中的信息，解答下列問題：

（1）小明他們一共去了幾個(gè)成人，幾個(gè)學(xué)生？
（2）請(qǐng)你幫助小明算一算，用哪種方式購(gòu)票更省錢？并說明理由．
【答案】（1）8個(gè)成人，4個(gè)學(xué)生
（2）購(gòu)團(tuán)體票更省錢，理由見解析
【解析】
【分析】（1）設(shè)成人人數(shù)為，則學(xué)生人數(shù)為，根據(jù)總費(fèi)用成人票價(jià)人數(shù)學(xué)生票價(jià)人數(shù)，即可得出關(guān)于的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論；
（2）求出購(gòu)買16張團(tuán)體票的總錢數(shù)，與350比較后即可得出結(jié)論．
小問1詳解】
解：設(shè)成人人數(shù)為，則學(xué)生人數(shù)為，
根據(jù)題意得：，
解得：，
．
答：小明他們一共去了8個(gè)成人，4個(gè)學(xué)生．
【小問2詳解】
如果買團(tuán)體票，按16人計(jì)算，共需費(fèi)用：（元），
，
購(gòu)團(tuán)體票更省錢．
答：購(gòu)團(tuán)體票更省錢．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程；（2）根據(jù)總價(jià)單價(jià)數(shù)量求出購(gòu)買16張團(tuán)體票的總費(fèi)用．
20. 如圖，某市三個(gè)城鎮(zhèn)中心A，B，C恰好分別位于一個(gè)等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)處，在三個(gè)城鎮(zhèn)中心之間鋪設(shè)通信光纜，以城鎮(zhèn)A為出發(fā)點(diǎn)設(shè)計(jì)了三種連接方案：
（1）；
（2）（D為的中點(diǎn)）；
（3）（O為三邊的垂直平分線的交點(diǎn)）．
要使鋪設(shè)的光纜長(zhǎng)度最短，應(yīng)選哪種方案？
【答案】應(yīng)選方案（3）
【解析】
【分析】根據(jù)題意設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為，分別計(jì)算三種方案的各線段的和，進(jìn)而求得鋪設(shè)的光纜長(zhǎng)度最短的方案．
【詳解】解：設(shè)等邊三角形邊長(zhǎng)為，如圖（1），方案（1）；
則鋪設(shè)的光纜長(zhǎng)度為；
如圖（2），方案（2）中，
D為的中點(diǎn)，為等邊三角形
，
在中
則鋪設(shè)的光纜長(zhǎng)度為；
如圖（3），方案（3）中，
O為三邊的垂直平分線的交點(diǎn)，
，
，
，
設(shè)，
，
，
解得，
，
則鋪設(shè)的光纜長(zhǎng)度為，
，
要使鋪設(shè)的光纜長(zhǎng)度最短，應(yīng)選方案（3）．
【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，勾股定理，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
21. 定義：若點(diǎn)M、N把線段分割成和，若以為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，則稱點(diǎn)M，N是線段的勾股分割點(diǎn)．
（1）已知點(diǎn)M、N是線段的勾股分割點(diǎn)，，，若，，則________．
拓展研究：
（2）如圖，在等腰中，，，M、N為直線上兩點(diǎn)，滿足．
①如圖2，點(diǎn)M、N在線段上，求證：點(diǎn)M、N是線段的勾股分割點(diǎn)；
②如圖3，若點(diǎn)M在線段上，點(diǎn)N在線段的延長(zhǎng)線上，，則______．
【答案】（1）5 （2）①見解析；②2
【解析】
【分析】（1）根據(jù)勾股分割點(diǎn)的定義得，，代入計(jì)算即可；
（2）①將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，利用證明，得，即可證明結(jié)論；
②將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，由①同理可證，得，從而有，代入數(shù)據(jù)求解，從而得出答案．
【小問1詳解】
解：∵以為邊的三角形是一個(gè)直角三角形，，，，，
∴，
∴，
∴，
故答案為：5；
【小問2詳解】
①證明：∵，，
∴，
將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，
∴，，，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴點(diǎn)M，N是線段的勾股分割點(diǎn)；
解：將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，連接，
∴，，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
故答案為：2．
【點(diǎn)睛】本題是三角形綜合題，主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，讀懂題意，利用旋轉(zhuǎn)將分散條件集中到一個(gè)三角形中是解題的關(guān)鍵．
時(shí)刻
12：00
13：00
14：00
里程碑上的數(shù)
是一個(gè)兩位數(shù)，數(shù)字之和為7
十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字與12：00時(shí)看到的剛好相反
比12：00看到的兩位數(shù)中間多了個(gè)0

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這是一份2023-2024學(xué)年河南省鄭州外國(guó)語學(xué)校初中部八年級(jí)（下）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷（含解析），共18頁(yè)。試卷主要包含了選擇題，填空題，解答題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

廣東省深圳市福田區(qū)外國(guó)語學(xué)校（香蜜）初中部2023-2024學(xué)年九年級(jí)下學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題：

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