時量：120分鐘 分值：150分
命題人： 審題人：
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．已知集合，則（ ）
A．{0} B．{0，1} C．{0，1，2} D．{1，2}
2．已知圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
3．若正數(shù)x，y滿足，則的最小值是（ ）
A． B． C．4 D．6
4．過橢圓C：的中心作直線l交橢圓于P，Q兩點，F(xiàn)是C的一個焦點，則周長的最小值為（ ）
A．16 B．14 C．12 D．10
5．已知圓C的方程為，則“”是“函數(shù)的圖象與圓C有四個公共點”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
6．如圖是一塊高爾頓板的示意圖，在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃．將小球從頂端放入，小球下落的過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落入底部的格子中．記格子從左到右的編號分別為0，1，2，…，10，用X表示小球最后落入格子的號碼，若，則（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．以正方體的頂點為頂點的三棱錐的個數(shù)是（ ）
A．70 B．64 C．60 D．58
8．已知定義域為R的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，且滿足，，則（ ）
A． B． C． D．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．已知復(fù)數(shù)，，下列說法正確的是（ ）
A．若，則 B．
C． D．
10．已知函數(shù)（，），函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列說法中正確的是（ ）
A．的表達式可以寫成
B．的圖象向右平移個單位長度后得到的新函數(shù)是奇函數(shù)
C．的對稱中心（，1），
D．若方程在（0，m）上有且只有6個根，則
11．如圖，過點C（a，0）（）的直線AB交拋物線（）于A，B兩點，連接AO、BO，并延長，分別交直線于M，N兩點，則下列結(jié)論中一定成立的有（ ）
A． B．以AB為直徑的圓與直線相切
C． D．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．已知隨機變量X服從正態(tài)分布N（5，），若，則________．
13．已知向量，，若，則的值為________．
14．設(shè)，若存在正實數(shù)x，使得不等式成立，則k的最大值為________．
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．（13分）平面多邊形中，三角形具有穩(wěn)定性，而四邊形不具有這一性質(zhì)．如圖所示，四邊形ABCD的頂點在同一平面上，已知，．
（1）當BD長度變化時，是否為一個定值？若是，求出這個定值；若否，說明理由．
（2）記與的面積分別為和，請求出的最大值．
16．（15分）函數(shù)的圖象在處的切線為，其中．
（1）求λ的值；
（2）求在（0，）上零點的個數(shù)．
17．（15分）如圖，四面體ABCD中，，，，E為AC的中點．
（1）證明：平面平面ACD；
（2）設(shè)，，點F在BD上，當?shù)拿娣e最小時，求CF與平面ABD所成的角的正弦值．
18．（17分）已知雙曲線C：（，）的漸近線方程為，過點（4，0）的直線l交雙曲線C于M，N兩點，且當軸時，．
（1）求C的方程；
（2）記雙曲線C的左右頂點分別為，，直線，的斜率分別為，，求的值．
（3）探究圓E：上是否存在點S，使得過S作雙曲線的兩條切線，互相垂直．
19．（17分）對于數(shù)列，如果存在等差數(shù)列和等比數(shù)列，使得（），則稱數(shù)列是“優(yōu)分解”的．
（1）證明：如果是等差數(shù)列，則是“優(yōu)分解”的．
（2）記，（），證明：如果數(shù)列是“優(yōu)分解”的，則（）或數(shù)列是等比數(shù)列．
（3）設(shè)數(shù)列的前n項和為，如果和都是“優(yōu)分解”的，并且，，，求的通項公式．
雅禮中學2025屆高三上學期入學考試試卷
數(shù)學
時量：120分鐘 分值：150分
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．【答案】C
【分析】先確定集合A，再求交集．
【詳解】根據(jù)題意，，所以．
故選：C
2．【答案】B
【分析】由側(cè)面展開圖求得母線長后求得圓錐的高，再由體積公式計算．
【詳解】設(shè)圓錐母線長為l，高為h，底面半徑為，
則由，得，所以，
所以．故選：B．
3．【答案】C
【分析】根據(jù)已知條件及基本不等式即可求解．
【詳解】由題設(shè)及，可得．
所以，
當且僅當，即時，等號成立，此時符合題意．
所以的最小值為4．
故選：C．
4．【答案】B
【分析】利用橢圓的定義和對稱性，轉(zhuǎn)化的周長，即可求解．
【詳解】設(shè)C的另一個焦點為，根據(jù)橢圓的對稱性知，
所以的周長為，
當線段PQ為橢圓短軸時，有最小值6，所以的周長的最小值為14．
故選：B
5．【答案】B
【詳解】由圓C的方程為可得圓心（0，2），半徑，
若圓與函數(shù)相交，則圓心到直線的距離，即，
若函數(shù)的圖象與圓C有四個公共點，則原點在圓的外部，
即，解得，
綜上函數(shù)的圖象與圓C有四個公共點則，
所以“”是“函數(shù)的圖象與圓C有四個公共點”的必要不充分條件，故選：B
6．【分析】小球在下落過程中，共10次等可能向左或向右落下，則小球落入格子的號碼X服從二項分布，且落入格子的號碼即向右次數(shù)，即，則（，1，2…，10），然后由二項式系數(shù)對稱性即可得解．
【解答】解：小球在下落過程中，共10次等可能向左或向右落下，
則小球落入格子的號碼X服從二項分布，
且落入格子的號碼即向右次數(shù)，即，
所以（，1，2…，10），
由二項式系數(shù)對稱性知，當時，最大，故．
故選：B．
【點評】本題考查了二項分布及二項式系數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．
7．【分析】從8個頂點中選4個，共有種結(jié)果，在這些結(jié)果中，有四點共面的情況，6個表面有6個四點共面，6個對角面有6個四點共面，用所有的結(jié)果減去不合題意的結(jié)果，得到結(jié)論．
【解答】解：首先從8個頂點中選4個，共有種結(jié)果，
在這些結(jié)果中，有四點共面的情況，6個表面有6個四點共面，6個對角面有6個四點共面，
∴滿足條件的結(jié)果有．
故選：D．
【點評】本題是一個排列問題同立體幾何問題結(jié)合的題目，是一個綜合題，這種問題實際上是以排列為載體考查正方體的結(jié)構(gòu)特征．
8．【分析】構(gòu)造函數(shù)，由得，進而判斷函數(shù)的單調(diào)性，判斷各選項不等式．
【解答】解：，則，
因為在R上恒成立，
所以在R上恒成立，故在R上單調(diào)遞減，
所以，，故A不正確；
所以，即，即，故B不正確；
，即，即，故C不正確；
，即，即，故D正確．
故選：D．
【點評】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了函數(shù)思想，屬中檔題．
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．
9．【答案】BCD
【分析】舉出反例即可判斷A；根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算及復(fù)數(shù)的模的公式即可判斷B；根據(jù)復(fù)數(shù)加減法的幾何意義及坐標表示即可判斷CD．
【詳解】對于A，設(shè)，，顯然，
但，故A錯；
對于B，設(shè)，，
則，
，
，
所以，故B對；
對于CD，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可知，復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)向量，
復(fù)數(shù)對應(yīng)向量，復(fù)數(shù)加減法對應(yīng)向量加減法，
故和分別為和為鄰邊構(gòu)成平行四邊形的兩條對角線的長度，
所以，，故C對，D對．
故選：BCD．
10．【答案】AB
【詳解】對A，由圖分析可知：得；
由，得，即，
又，所以，又，
所以，即得，，又，所以，
所以，故A正確；
對B，向右平移個單位后得
，為奇函數(shù)，故B正確；
對于C，，
令（）得（），
所以對稱中心（，1），，故C不正確；
對于D，由，得，
因為，所以，
令，，，，，，解得，，，，，．
又在（0，m）上有6個根，則根從小到大為，，，，，，
再令，解得，則第7個根為，，故D錯誤．
故選：ABC．
11．【分析】設(shè)出直線與拋物線聯(lián)立，利用韋達定理及斜率公式，結(jié)合三角形的面積公式及直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法即可求解．
【解答】解：對于A，令直線AB：，A（，），B（，），
聯(lián)立，消x可得，
則，，，
則，
則，則直線OA：，∴M（，），
故，
同理，∴，故A正確；
對于B，如圖，設(shè)AB中點Q（，），即Q（，），
則Q到直線的距離，
以AB為直徑的圓的半徑，
所以，
當時相切，當時不相切，故B錯誤；
對于C，設(shè)與x軸交于P，，，
則，則，故C正確；
對于D，，，
則
，
而，
所以，故D正確．
故選：ACD．
【點評】本題考查了已知兩點求斜率，由斜率判斷兩條直線平行，判斷直線與圓的位置關(guān)系，根據(jù)韋達定理求參數(shù)，屬于中檔題．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．
12．【答案】
【分析】根據(jù)正態(tài)分布的概率性質(zhì)求解即可．
【詳解】隨機變量X服從正態(tài)分布N（5，），則
又，則，則．
故答案為：0.23．
13．【答案】
【分析】根據(jù)題目條件可得，代入化簡即可．
【詳解】已知向量，，若，則有，
∴．
故答案為：
14．【答案】
【分析】由題意可得，可令，則成立，由和互為反函數(shù)，可得圖象關(guān)于直線對稱，可得有解，通過取對數(shù)和構(gòu)造函數(shù)法，求得導(dǎo)數(shù)，單調(diào)性和最值，即可得到k的最大值．
【詳解】不等式，所以，
即為，即有，可令，則成立，
由和互為反函數(shù)，可得圖象關(guān)于直線對稱，
可得有解，則，即，
可得，導(dǎo)數(shù)為，
可得時，函數(shù)y遞減，時，函數(shù)y遞增，
則時，取得最大值，
可得即有，所以，可得，即k的最大值為．
【點睛】關(guān)鍵點睛：解答本題有兩個關(guān)鍵，其一，是得到有，想到令換元，則成立；其二，通過轉(zhuǎn)化得到有解，再利用導(dǎo)數(shù)解答．
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
15．【答案】（1）為定值，定值為1 （2）14
【詳解】（1）法一：在中，由余弦定理，
得，即①，
同理，在中，，即②，
得，
所以當BD長度變化時，為定值，定值為1；
法二：在中，由余弦定理
得，即，
同理，在中，，
所以，化簡得，即，
所以當BD長度變化時，為定值，定值為1；
（2）
，
令，，所以，
所以，即時，有最大值為14．
16．解析【小問1詳解】
因為，，
所以，所以切線斜率為，即，
所切線方程為
又，所以切點坐標為（0，），代入得
則，解得．
【小問2詳解】
由（1）得，，
令，則，
當時，恒成立，所以在上遞增，
所以，
因此在無零點；
當時，恒成立，所以單調(diào)遞增，
又，，
所以在（0，π）上存在唯一的零點，
當，，單調(diào)遞減；
當，，單調(diào)遞增；
又，，，
因此在（0，π）上僅有1個零點；
綜上，在（0，）上僅有1個零點．
17．【詳解】（1）因為，E為AC的中點，所以；
在和中，因為，，，
所以，所以，又因為E為AC的中點，所以；
又因為DE，平面BED，，所以平面BED，
因為平面ACD，所以平面平面ACD．
（2）連接EF，由（1）知，平面BED，因為平面BED，
所以，所以，
當時，EF最小，即的面積最?。?br>因為，所以，
又因為，所以是等邊三角形，因為E為AC的中點，所以，，因為，所以，
在中，，所以．
以E為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，
則A（1，0，0），B（0，，0），D（0，0，1），所以
，，
設(shè)平面ABD的一個法向量為，
則取，則，
又因為C（，0，0），F(xiàn)（0，，），所以，
所以，
設(shè)CF與平面ABD所成的角的正弦值為，
所以，所以CF與平面ABD所成的角的正弦值為．
18．【答案】（1）；（2）；（3）存在．
【詳解】（1）由對稱性知，雙曲線C過點（4，3），則，解得，
所以雙曲線C的方程為．
（2）由（1）得（，0），（2，0），設(shè)M（，），N（，），
顯然直線MN不垂直于y軸，設(shè)直線MN的方程為，
由消去x得，
顯然，，，，
則，即，
所以．
（3）圓E：上存在點S，使得過S作雙曲線的兩條切線互相垂直．
若雙曲線的兩條切線有交點，則兩條切線的斜率存在且不為0，
設(shè)雙曲線的兩條切線分別為，，
將代入消去y得：，
由得，解得，
因此，，設(shè)兩條切線的交點坐標為（，），
則，即有，且，
即，，
于是，是方程的兩根，
而，則，即，從而兩條切線們交點的軌跡為圓，
而的圓心為O（0，0），半徑為1，圓E：的圓心E（2，2），半徑為3，顯然，滿足，即圓O與圓E相交，
所以圓E：上存在點S，使得過S作雙曲線的兩條切線互相垂直．
19．【答案】（1）證明見解析 （2）證明見解析 （3）
【詳解】（1）∵是等差數(shù)列，∴設(shè)，
令，，
則是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，所以數(shù)列是“優(yōu)分解”的．
（2）因為數(shù)列是“優(yōu)分解”的，設(shè)（），
其中，（，），
則，．
當時，（）；
當時，是首項為，公比為q的等比數(shù)列．
（3）一方面，∵數(shù)列是“優(yōu)分解”的，設(shè)（），
其中，（，），由（2）知
因為，，所以．
∴，∴，∴是首項為2，公比為Q（）的等比數(shù)列．
另一方面，因為是“優(yōu)分解”的，設(shè)（），
其中，（，），
，
∵是首項為2，公比為Q（）的等比數(shù)列，
∴，，且，
∴
化簡得，∵，，，∴，∴，
即數(shù)列是首項，公比為q的等比數(shù)列．
又∵，∴，
又∵，∴，∵，，∴解得，∴，

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