吉林省長春市朝陽區(qū)長春吉大附中實驗學(xué)校2024-2025學(xué)年高三上學(xué)期開學(xué)數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

考試時間：120分鐘試卷滿分：150分
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，考試結(jié)束后，將答題卡交回.
注意事項：
1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū).
2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚.
3.請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙試題卷上答題無效.
4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑.
5.保持卡面清潔，不得折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀.
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求的.
1. 若集合，，則（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求得集合，可求得.
【詳解】依題得，則．
故選：C.
2. 上海百聯(lián)集團(tuán)對旗下若干門店的營業(yè)額與三個影響因素分別作了相關(guān)性分析，繪制了如下的散點圖，則下述大小關(guān)系正確的為（）．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)散點圖判斷兩變量的線性相關(guān)性，再根據(jù)線性相關(guān)性與相關(guān)系數(shù)的關(guān)系判斷即可.
詳解】由散點圖可知，圖一兩個變量成正相關(guān)，且線性相關(guān)性較強，故，
圖二、圖三兩個變量都成負(fù)相關(guān)，且圖二的線性相關(guān)性更強，
故，，，故，所以.
故選：C.
3. 已知，則“”是“”的（）
A. 充分不必要條件B. 必要不充分條件C. 充要條件D. 既不充分也不必要條件
【答案】A
【解析】
【分析】結(jié)合不等式的性質(zhì)分充分性、必要性兩方面進(jìn)行說明即可求解.
【詳解】若，則函數(shù)單調(diào)遞增，所以，充分性成立；
當(dāng)時，，滿足，但，不滿足必要性；
所以“”是“”的充分不必要條件.
故選：A
4. 展開式中項的系數(shù)為（）
A. 80B. C. 40D.
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)二項式定理，寫出其通項即可求特定項的系數(shù)
【詳解】的二項展開式的通項為，
令，得，
所以的展開式中的系數(shù)為.
故選：B
5. 已知，且，則函數(shù)的圖象一定經(jīng)過（）
A. 一、二象限B. 一、三象限C. 二、四象限D(zhuǎn). 三、四象限
【答案】D
【解析】
【分析】由函數(shù)過點，分類可解.
【詳解】當(dāng)時，，
則當(dāng)時，函數(shù)圖象過二、三、四象限；
則當(dāng)時，函數(shù)圖象過一、三、四象限；
所以函數(shù)的圖象一定經(jīng)過三、四象限.
故選：D
6. 下列函數(shù)中，其圖象與函數(shù) 的圖象關(guān)于直線 x=1對稱的是（）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)直線對稱的性質(zhì)，結(jié)合中點坐標(biāo)公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】設(shè)函數(shù)的圖象為曲線，該曲線關(guān)于x=1對稱的曲線為，
設(shè)曲線上任意一點的坐標(biāo)為，則有，
該點關(guān)于直線x=1對稱點的坐標(biāo)為，
因此有，代入中，
得，
故選：C
7. 我校某班舉辦新年聯(lián)歡班會，抽獎項目設(shè)置了特等獎、一等獎、二等獎、三等獎、鼓勵獎共五種獎項. 甲、乙、丙、丁、戊每人抽取一張獎票，開獎后發(fā)現(xiàn)這5人的獎項都不相同. 甲說：“我不是鼓勵獎”；乙說：“我不是特等獎”；丙說：“我的獎沒有戊好但是比丁的強”. 根據(jù)以上信息，這5人的獎項的所有可能的種數(shù)是（）
A. 12B. 13C. 24D. 26
【答案】B
【解析】
【分析】根據(jù)給定條件，按甲是否是特等獎分類，再結(jié)合丙的情況列式計算即可.
【詳解】甲是特等獎，乙有4種情況，則丙、丁、戊有1種情況，
所以有種；
甲不是特等獎，則甲有3種情況，乙有3種情況，
而丙、丁、戊有1種情況，所以有種；
所以5人的獎項的所有可能的種數(shù)是.
故選：B.
8. 已知實數(shù)，且，為自然對數(shù)的底數(shù)，則（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】化簡條件后根據(jù)形式構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性判斷不等式
【詳解】因為，所以，
函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，因為
所以，所以，即，
又，所以，所以，即，綜上，.
故選：D
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分. 在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求. 全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.
9. 某計算機(jī)程序每運行一次都隨機(jī)出現(xiàn)一個十位二進(jìn)制數(shù)（例如若，則），已知出現(xiàn)“0”的概率為，出現(xiàn)“1”的概率為，記，則當(dāng)程序運行一次時（）
A. X服從二項分布B.
C. D.
【答案】AC
【解析】
【分析】根據(jù)二項分布的定義可判斷A的正誤，利用二項分布可判斷B的正誤，利用公式計算出的期望和方差后可判斷CD的正誤.
【詳解】由二進(jìn)制數(shù)A的特點知，每一個數(shù)位上的數(shù)字只能填0，1且每個數(shù)位上的數(shù)字互不影響，
故X中1出現(xiàn)次數(shù)的可能取值有，則可能取值情況與之相同，
由二項分布的定義可得：，故A正確.
故，故B錯誤；
所以，，故C正確，D錯誤．
故選：AC．
10. 暑假結(jié)束后，為了解假期中學(xué)生鍛煉身體情況，學(xué)生處對所有在校學(xué)生做問卷調(diào)查，并隨機(jī)抽取了180人的調(diào)查問卷，其中男生比女生少20人，并將調(diào)查結(jié)果繪制得到等高堆積條形圖. 已知，其中，附：
在被調(diào)查者中，下列說法正確的是（）
A. 男生中不經(jīng)常鍛煉的人數(shù)比女生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)多
B. 男生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)比女生中經(jīng)常鍛煉的人多8人
C. 經(jīng)常鍛煉者中男生的頻率小于不經(jīng)常鍛煉者中男生的頻率的2倍
D. 根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，可以認(rèn)為假期是否經(jīng)常鍛煉與性別有關(guān)
【答案】BD
【解析】
【分析】根據(jù)男生比女生少20人，建立等式求出男生、女生的人數(shù)，建立列聯(lián)表，利用列聯(lián)表中的信息解決ABC，利用獨立性檢驗來解決D選項．
【詳解】設(shè)男生人數(shù)為，則女生人數(shù)為，
由題得，
解得，即在被調(diào)查者中，男?女生人數(shù)為80，100，可得到如下列聯(lián)表，
對于A：由表可知，A顯然錯誤，
對于B：男生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)比女生中經(jīng)常鍛煉的人數(shù)多B正確；
對于C：在經(jīng)常鍛煉者中是男生的頻率為，在不經(jīng)常鍛煉者中是男生的頻率為C錯誤；
對于D：零假設(shè)：假設(shè)假設(shè)是否經(jīng)常鍛煉與性別無關(guān)，
則，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，
即認(rèn)為假期是否經(jīng)常鍛煉與性別有關(guān)，此推斷犯錯誤概率不大于0.01，D正確.
故選：BD．
11. 已知三次函數(shù)有三個不同的零點，若函數(shù)也有三個不同的零點，則下列等式或不等式一定成立的有（）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】對于A，由題意可得有兩個不同的實根，則，從而可進(jìn)行判斷，對于B，根據(jù)圖象分析判斷，對于CD，由零點的定義結(jié)合方程化簡變形進(jìn)行判斷.
【詳解】，因為原函數(shù)有三個不同零點，則有兩個不同的實根，
即，則，即，所以A錯誤；
因為三次函數(shù)有三個不同的零點，
所以，
所以，
同理，
所以，故C正確，D錯誤；
由的圖象與直線的交點可知，B正確．
故選：BC．

三、填空題：本題共3小題，每小題. 5分，共15分.
12. 在本次考試的8道單選題中，你前桌的小張同學(xué)對其中5道題有思路，3道題完全沒有思路，假設(shè)有思路的題能做對的概率為，沒有思路的題僅能隨機(jī)猜，你恰好看到了他一道題的答案，這個答案是正確的概率為______.（誠信考試，誠實做人，拒絕抄襲，從我做起）
【答案】
【解析】
【分析】利用全概率公式求解即可.
【詳解】設(shè)事件表示“恰好看到這道題小張的答案是正確的”，
設(shè)事件表示“恰好看到的這道題小張有思路”，則恰好看到了小張一道題的答案，
這個答案是正確的概率為，
故答案為：
13. 已知正數(shù)，滿足，則的最小值為_____________.
【答案】
【解析】
【分析】利用“1”的靈活運用，結(jié)合基本不等式即得.
【詳解】因為，則
因為x>0，，所以，
則原式，當(dāng)即時，取等號.
所以的最小值為.
故答案為：.
14. 在一個的“乘法幻方”中，每個空格中都填上一個正數(shù)，使得每一行、每一列以及每條對角線的各數(shù)之積均相等. 則 ______.
【答案】10
【解析】
【分析】根據(jù)題中的條件設(shè)出每一行、每一列以及每條對角線的各數(shù)之積，列出等式求解即可．
【詳解】在一個乘法幻方中，每一行數(shù)之積、每一列數(shù)之積、對角線上的數(shù)之積都相等，
設(shè)積為，
則乘法幻方可表示為如圖所示：
故對角線，
解得：，經(jīng)驗證滿足題意.
故答案為：10.
四、解答題：本題共5小題，共77分. 解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
15. 設(shè)數(shù)列的前項和為，已知，．
（1）設(shè)，證明：數(shù)列是等比數(shù)列；
（2）求數(shù)列的前項和．
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用與間的關(guān)系，得到，再構(gòu)造成，即可證明結(jié)果.
（2）利用（1）中結(jié)果得到數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，再利用等差數(shù)列的前項和公式即可求出結(jié)果.
【小問1詳解】
由及，
得，∴，∴．
又，
由①－②，得，
∴．
∵，∴，
故數(shù)列是首項，公比為2的等比數(shù)列．
【小問2詳解】
由（1）知，
∴，又，
故數(shù)列是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，所以．
16. 在剛剛結(jié)束的巴黎奧運會中，國球再創(chuàng)輝煌，包攬全部5枚金牌，其中最驚險激烈的就是男單決賽，中國選手樊振東對戰(zhàn)日本選手張本智和.比賽采取7局4勝制，每局為11分制，每贏一球得一分.
（1）樊振東首局失利，第二局比賽雙方打到平，此時張本智和連續(xù)發(fā)球2次，然后樊振東連續(xù)發(fā)球2次，根據(jù)以往比賽結(jié)果統(tǒng)計，樊振東發(fā)球時他自己得分的概率為0.6. 張本智和發(fā)球時樊振東得分的概率為0.5，各球的結(jié)果相互獨立，遺憾的是該局比賽樊振東最終以落敗，求其以該比分落敗的概率；
（2）在本場比賽中，張本智和先以領(lǐng)先，根據(jù)以往比賽結(jié)果統(tǒng)計，在后續(xù)的每局比賽中樊振東獲勝的概率為23，張本智和獲勝的概率為，且每局比賽的結(jié)果相互獨立，
（?。┘僭O(shè)兩人又進(jìn)行了局后比賽結(jié)束，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.
（ⅱ）最后樊振東以拿下了本場比賽，成功晉級半決賽，有媒體報道樊振東從到實現(xiàn)了“驚天逆轉(zhuǎn)”，同學(xué)們也認(rèn)同這個說法么？請結(jié)合本題中的數(shù)據(jù)簡要說明你的理由.
【答案】（1）
（2）（i）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為.
（ii）答案見解析.
【解析】
【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用相互獨立事件、互斥事件的概率公式計算即可.
（2）（i）求出的所有可能值及各個值對應(yīng)的概率，列出分布列并求出數(shù)學(xué)期望即可；（ii）求出張本智和勝的概率、樊振東以贏得比賽的概率即可得解.
小問1詳解】
在比分為后張本智和先發(fā)球的情況下，樊正東以落敗的情況分三種：
第一種：后四球樊正東依次為勝敗敗敗，概率為，
第二種：后四球樊正東依次為敗勝敗敗，概率為，
第三種：后四球樊正東依次為敗敗勝敗，概率為，
所以所求事件的概率為：．
【小問2詳解】
（i）隨機(jī)變量的可能取值為，
,
,
，
所以的分布列為
數(shù)學(xué)期望為.
（ii）由（i）得，
張本智和勝的概率為，
樊正東勝的概率為，
且張本智和勝的概率大于樊正東勝的概率，
又因為最后樊正東以拿下本場比賽，且獲勝的概率為，
所以可以這么說樊正東從到實現(xiàn)“驚天逆轉(zhuǎn)”.
17. 在如圖①所示的平面圖形中，四邊形為菱形，現(xiàn)沿進(jìn)行翻折，使得平面，過點作，且，連接，所得圖形如圖②所示，其中為線段的中點，連接.
（1）求證：平面;
（2）若，直線與平面所成角的正弦值為，求平面與平面所成角的余弦值.
【答案】（1）證明見解析
（2）
【解析】
【分析】（1）連接，交于點，連接，由題意得，，由線面垂直的判定定理可得平面，由題意可得四邊形為平行四邊形，可得，繼而即可證明.
（2）取的中點為，連接，由題意，以為坐標(biāo)原點，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由直線與平面所成角的正弦值為，計算可得，再利用法向量及兩平面夾角的余弦公式即可求解.
【小問1詳解】
連接，交于點，連接，
四邊形為菱形，
，
平面，
又平面，
，
又，
平面，
平面，
分別為線段的中點，
，且，
又，且，
，且，
故四邊形為平行四邊形，
，
平面.
【小問2詳解】
在菱形中，，
和都是正三角形，
取的中點為，連接，
，
又平面，
平面，
，
即兩兩互相垂直，
如圖，以為坐標(biāo)原點，以分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，已知，
，
，
，
設(shè)平面的法向量為，
則，
取，則，
設(shè)直線與平面所成角為，
因為直線與平面所成角的正弦值為，
則，
，
，
，
設(shè)平面的法向量為，取，
，
設(shè)平面的法向量為，
則，
取，則，
設(shè)平面與平面所成角為，
則，
故平面與平面所成角的余弦值為.
18. 已知函數(shù)．
（1）若，求的極小值；
（2）若過原點可以作兩條直線與曲線相切，求的取值范圍．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與極值的關(guān)系，即可求得答案；
（2）設(shè)切點分別為，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，表示出切線方程，將原問題轉(zhuǎn)化為方程兩個不同的根的問題，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得其最小值的表達(dá)式，分類討論，結(jié)合零點存在定理，即可求得答案.
【小問1詳解】
由，得，
令f'x

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