1．在一組樣本數(shù)據(jù)（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1,x2,…,xn不全相等）的散點圖中，若所有樣本點（xi，yi）(i=1,2,…,n)都在直線y=x+1上，則這組樣本數(shù)據(jù)的樣本相關(guān)系數(shù)為（ ）
A．－1B．0C．D．1
2．設(shè)集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，則a=（ ）
A．–4B．–2C．2D．4
3．從1，2，3，4中任取2個不同的數(shù)，則取出的2個數(shù)之差的絕對值為2的概率是( )
A．B．C．D．
4．在正方體中，P為的中點，則直線與所成的角為（ ）
A．B．C．D．
5．若在是減函數(shù)，則的最大值是( )
A．B．C．D．
6．已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為，則圓錐的體積為（ ）
A．B．C．D．
7．設(shè)函數(shù)，，當時，曲線與恰有一個交點，則（ ）
A．B．C．1D．2
8．已知a，bR且ab≠0，對于任意x≥0 均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，則（ ）
A．a(chǎn)0C．b0
二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，有選錯的得0分，部分選對的得部分.
9．已知四邊形ABCD為等腰梯形，，l為空間內(nèi)的一條直線，且平面ABCD，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則平面ABCD
B．若，則
C．若，，則平面ABCD
D．若，，則平面ABCD
10．定義在上的函數(shù)滿足，則（ ）
A．B．
C．為奇函數(shù)D．單調(diào)遞增
11．設(shè)a，b，c為實數(shù)，記集合若{S}，{T}分別為集合S，T 的元素個數(shù)，則下列結(jié)論可能的是（ ）
A．{S}=1且{T}=0B．{S}=1且{T}=1C．{S}=2且{T}=3 D．{S}=2且{T}=2
三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分
12．不等式的解集是
13．曲線y=x(3lnx+1)在點處的切線方程為________
14．如圖所示，函數(shù)的圖象由兩條射線和三條線段組成.若，，則正實數(shù)的取值范圍是 .
四、解答題：本大題共5個小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.
15．一批產(chǎn)品需要進行質(zhì)量檢驗，檢驗方案是：先從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗，這4件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的件數(shù)記為n．如果n=3，再從這批產(chǎn)品中任取4件作檢驗，若都為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗；如果n=4，再從這批產(chǎn)品中任取1件作檢驗，若為優(yōu)質(zhì)品，則這批產(chǎn)品通過檢驗；其他情況下，這批產(chǎn)品都不能通過檢驗．
假設(shè)這批產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率為50%，即取出的產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品的概率都為50%，且各件產(chǎn)品是否為優(yōu)質(zhì)品相互獨立
（1）求這批產(chǎn)品通過檢驗的概率；
（2）已知每件產(chǎn)品檢驗費用為100元，凡抽取的每件產(chǎn)品都需要檢驗，對這批產(chǎn)品作質(zhì)量檢驗所需的費用記為X（單位：元），求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．
16.已知函數(shù)．
（1）設(shè)是的極值點．求，并求的單調(diào)區(qū)間；
（2）證明：當時，．
17.如圖,在錐體中，四邊形ABCD為邊長為1的菱形，且∠DAB=60°，，PB=2，E，F(xiàn)分別是BC，PC的中點，
(1)證明：AD⊥平面DEF；
(2)求二面角P-AD-B的余弦值.
18:當且僅當，即時，，所以．
．為圓周率，為自然對數(shù)的底數(shù).
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）求，，，，，這6個數(shù)中的最大數(shù)與最小數(shù)；
（3）將，，，，，這6個數(shù)按從小到大的順序排列，并證明你的結(jié)論.
19．通過平面直角坐標系，我們可以用有序?qū)崝?shù)對表示向量.類似的，我們可以把有序復(fù)數(shù)對看作一個向量，記，則稱為復(fù)向量.類比平面向量的相關(guān)運算法則，對于，，、、、、，我們有如下運算法則：
①； ②；③； ④.
（1）設(shè)，，求和.
（2）由平面向量的數(shù)量積滿足的運算律，我們類比得到復(fù)向量的相關(guān)結(jié)論：
① ② ③.
試判斷這三個結(jié)論是否正確，并對正確的結(jié)論予以證明.
（3）若，集合，.對于任意的，求出滿足條件的，并將此時的記為，證明對任意的，不等式恒成立.根據(jù)對上述問題的解答過程，試寫出一個一般性的命題（不需要證明）.
龍巖一中2025屆高三開學(xué)考數(shù)學(xué)試題參考答案
DBBD ABDC 9:AC 10:BCD 11:ABD 12: 13: 14:
15：(1)設(shè)第一次取出的4件產(chǎn)品中恰有3件優(yōu)質(zhì)品為事件A，
第一次取出的4件產(chǎn)品中全為優(yōu)質(zhì)品為事件B，:第二次取出的4件產(chǎn)品都是優(yōu)質(zhì)品為事件C，
第二次取出的1件產(chǎn)品是優(yōu)質(zhì)品為事件D，這批產(chǎn)品通過檢驗為事件E，
∴P(E)＝P(A)P(B|A)＋P(C)P(D|C)＝.
(2)X的可能取值為400，500，800，并且∴X的分布列為
P(X＝400)＝1－， P(X＝500)＝ ，P(X＝800)＝＝ ，
EX＝400×＋500×＋800×＝506.25X
400
500
800
P
16：（1）的定義域為，，則，解得：，故．易知在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，且，
由解得：；由解得：，
所以的增區(qū)間為，減區(qū)間為． 。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7分
（2）［方法一］：【最優(yōu)解】放縮法
當時，.設(shè)，則.
當時，；當時，.所以是的最小值點.
故當時，.因此，當時，.
［方法二］：【通性通法】隱零點討論
因為，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增．設(shè)，當時，，當時，，所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，且，所以．
設(shè)，則．
所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，故，即成立．
［方法三］：分離參數(shù)求最值
要證時，即，則證成立．
令，則．
令，則，由知在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，從而在內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減．
所以，而，所以恒成立，原命題得證．
［方法四］：隱零點討論＋基本不等式
，結(jié)合與的圖像，可知有唯一實數(shù)解，不妨設(shè)，則．易知在區(qū)間內(nèi)是減函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)．所以．
由，得．
．
17：（1）取的中點，連接，∵四邊形ABCD是邊長為1的菱形，且，
是邊長為1的正三角形，得，且，，
，且，∵，平面，平面
分別是的中點，，即四邊形為平行四邊形，∴，∵平面DEF，平面DEF，∴PB平面DEF，同理可證：OB平面DEF，∵，平面平面，平面；
（2）由（1）知：∠POB為二面角P-AD-B的平面角，又PB=2，
所以，
即二面角P-AD-B的余弦值為
18：:（1）函數(shù)的定義域為，因為，所以，
當，即時，函數(shù)單調(diào)遞增；
當，即時，函數(shù)單調(diào)遞減；
故函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4分
（2）因為，所以，，即，，
于是根據(jù)函數(shù)、、在定義域上單調(diào)遞增，
所以，，
故這6個數(shù)的最大數(shù)在與之中，最小數(shù)在與之中，
由及（1）的結(jié)論得，即，
由得，所以，
由得，所以，
綜上，6個數(shù)中的最大數(shù)為，最小數(shù)為.。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。9分
（3）由（2）知，，，又由（2）知，，
故只需比較與和與的大小，由（1）知，當時，，即，在上式中，令，又，則，即得①
由①得，，
即，亦即，所以，
又由①得，，即，所以，
綜上所述，，即6個數(shù)從小到大的順序為，，，，，.
19：【詳解】（1）因為，，所以，
（2）設(shè)，，，、、、、、、，
則，，故①不成立，，，，，
因為，，所以
，故②正確；
，，，，
設(shè)，，，則，，，
所以，故，即③錯誤；（凌晨講數(shù)學(xué)）
（3）設(shè)滿足條件的，，、，則，，因為為任意的復(fù)數(shù)，不妨設(shè)且，
由定義可得，即，則，所以，則，以下證明對任意的，不等式恒成立，只需計算的最小值，不妨令，則，則，當，時取得最小值，此時與之前得到的相同，結(jié)論得證；
推廣結(jié)論：對于任意復(fù)向量，，若對于任意的，當且僅當時，取到最小值.

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