福建省龍巖市上杭縣某校2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期3月質(zhì)量檢查 數(shù)學(xué)試題

這是一份福建省龍巖市上杭縣某校2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期3月質(zhì)量檢查 數(shù)學(xué)試題，共16頁(yè)。試卷主要包含了請(qǐng)將答案正確填寫(xiě)在答題卡上.，若，則等于，下列求導(dǎo)正確的是，已知函數(shù)，則等內(nèi)容，歡迎下載使用。
考試時(shí)間：120分鐘 滿分：150分
注意事項(xiàng)：
1．答題前填寫(xiě)好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息
2．請(qǐng)將答案正確填寫(xiě)在答題卡上.
一、單選題（本大題共8小題，每小題5分，共計(jì)40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)是符合題目要求的，請(qǐng)把答案添涂在答題卡相應(yīng)位置上）
1．函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為（ ）
A．B．C．2D．
2．函數(shù)，則等于（ ）
A．B．C．D．
3．若，則等于（ ）
A．B．3C．D．6
4．已知函數(shù)，則的圖象在處的切線方程為（ ）
A．B．
C．D．
5．若在和處有極值，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（ ）
A．B．C．D．
6．如圖是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的圖象，則下面判斷正確的是（ ）
A．在內(nèi)是增函數(shù) B．在內(nèi)是增函數(shù)
C．在時(shí)取得極大值 D．在時(shí)取得極小值
7．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．
8．已知函數(shù)在區(qū)間內(nèi)任取兩個(gè)實(shí)數(shù)p、q，且，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分. 在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求. 全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分）
9．下列求導(dǎo)正確的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知函數(shù)，則（ ）
A．當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)極值點(diǎn)
B．當(dāng)時(shí)，有三個(gè)零點(diǎn)
C．點(diǎn)是曲線的對(duì)稱中心
D．當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)可作曲線的三條切線
11．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，其?dǎo)函數(shù)為，且滿足，，則下列結(jié)論一定成立的是（ ）
A．方程有唯一實(shí)數(shù)根
B．在區(qū)間上單調(diào)遞增
C．
D．若且，則
三、填空題（本題共3小題，每小題5分，共15分）
12.已知函數(shù)，則 ．
13．過(guò)點(diǎn)作曲線的切線的斜率為 ．
14．若對(duì)任意正數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 ．
四、解答題（本題共 5 小題，共 77 分. 解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
15．（15分）求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)
(5)．
16．（13分）已知函數(shù)．
(1)求的極值；
(2)求在區(qū)間上的最大值與最小值.
17．（15分）設(shè)函數(shù)．
（1）求該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）若當(dāng)x∈[﹣2，2]時(shí)，不等式f（x）＜m恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
18．（17分）已知函數(shù).
(1)當(dāng)時(shí)，求經(jīng)過(guò)點(diǎn)且與曲線相切的切線方程；
(2)若存在實(shí)數(shù)，使得，則稱為函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn).已知函數(shù)有3個(gè)不動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍.
19．（17分）
已知函數(shù)．
(1)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)當(dāng)時(shí)，證明：；
(3)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)、，求證：．
2024～2025學(xué)年第二學(xué)期3月份質(zhì)量檢查
高二年級(jí)數(shù)學(xué)試題參考答案
1．C
【分析】利用平均變化率的意義，直接計(jì)算作答.
【詳解】函數(shù)在區(qū)間上的平均變化率為.
故選：C
2．D
【分析】根據(jù)初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則求解即可
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
故選：D.
3．D
【詳解】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的公式即可得到結(jié)論．
【解答】解：因?yàn)椋?br>所以，
所以，
所以，
所以，
故選：D．
4．A
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線方程作答.
【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得：，則，而，
因此，即，
所以的圖象在處的切線方程為：.
故選：A
5．C
【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意且，即可得到方程組，從而求出、的值，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.
【詳解】因?yàn)椋裕?br>由已知得 ，解得，
所以，所以，
由，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是.
故選：C．
6．B
【分析】根據(jù)圖象判斷的單調(diào)性，由此求得的極值點(diǎn)，進(jìn)而確定正確選項(xiàng).
【詳解】由圖可知，在區(qū)間上,單調(diào)遞減；
在區(qū)間上,單調(diào)遞增.
所以不是的極值點(diǎn)，是的極大值點(diǎn).
所以ACD選項(xiàng)錯(cuò)誤，B選項(xiàng)正確.
故選：B
7．B
【分析】分情況討論，當(dāng)時(shí)直接代入可得函數(shù)遞減；當(dāng)時(shí)，求導(dǎo)，構(gòu)造函數(shù)，，再由得到抽象函數(shù)，求出，最后再討論時(shí)的情況，綜合得出結(jié)果.
【詳解】當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，不符合題意，所以，
由題可知恒成立，即.令，
則，所以在上單調(diào)遞增，由，
可得，即，所以，所以，
當(dāng)時(shí)，，不符合題意，故的取值范圍是.
故選：B
8．B
【分析】首先，由的幾何意義，得到直線的斜率，然后得到函數(shù)圖象上在區(qū)間內(nèi)任意兩點(diǎn)連線的斜率大于1，從而得到在內(nèi)恒成立，分離參數(shù)后，轉(zhuǎn)化成在內(nèi)恒成立，從而求解得到a的取值范圍.
【詳解】因?yàn)榈膸缀我饬x為：
表示點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率，
因?yàn)閷?shí)數(shù)，在區(qū)間，故在區(qū)間內(nèi)，
不等式恒成立，
所以函數(shù)圖象上在區(qū)間內(nèi)任意兩點(diǎn)連線的斜率大于1，
故函數(shù)的導(dǎo)數(shù)大于1在內(nèi)恒成立，
由函數(shù)的定義域，
所以在內(nèi)恒成立，
即在內(nèi)恒成立，
由于二次函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，
故時(shí)，在上取最大值為15，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
故選：B
【點(diǎn)睛】導(dǎo)數(shù)問(wèn)題經(jīng)常會(huì)遇見(jiàn)恒成立的問(wèn)題：（1）根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問(wèn)題；
（2）若就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值，最終轉(zhuǎn)化為，若恒成立，轉(zhuǎn)化為;
（3）若恒成立，可轉(zhuǎn)化為.
9．BD
【分析】利用基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式可判斷A選項(xiàng)；利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則可判斷BD選項(xiàng)；利用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則可判斷C選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，，A錯(cuò)；
對(duì)于B選項(xiàng)，，B對(duì)；
對(duì)于C選項(xiàng)，，C錯(cuò)；
對(duì)于D選項(xiàng)，，D對(duì).
故選：BD.
10．BD
【分析】由題得出，求得，令得出極值點(diǎn)，極值，單調(diào)區(qū)間即可得出判斷．
【詳解】定義域?yàn)椋?br>，令，得或（舍去），
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，
當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，
所以是的極小值點(diǎn)，極小值為，故B正確，A錯(cuò)誤，C錯(cuò)誤；
，即函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，故D正確；
故選：BD．
11．BCD
【分析】先求出，然后討論的單調(diào)性，即可判斷A，B，C選項(xiàng)；對(duì)于D選項(xiàng)，使用基本不等式并結(jié)合的最小值即可驗(yàn)證.
【詳解】設(shè)，則，所以恒為常數(shù).
又由于，故.
所以，即.
對(duì)于A，由于，故對(duì)有，對(duì)有.
從而在上遞減，在上遞增，故，所以方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，前面已經(jīng)證明在上遞增，故B正確；
對(duì)于C，前面已經(jīng)證明，所以，故C正確；
對(duì)于D，若，，則，
故D正確.
故選：BCD.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵在于構(gòu)造合適的新函數(shù)，從而求出已知函數(shù)的表達(dá)式.
12．6
【分析】利用瞬時(shí)變化率和極限思想求得，再結(jié)合函數(shù)解析式求得即可.
【詳解】因，
由可得，
故.
故答案為：6.
13．2
【分析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，由導(dǎo)數(shù)得幾何意義求得切線方程，代入即可求解；
【詳解】，設(shè)切點(diǎn)橫坐標(biāo)為，
故曲線在處的切線方程為l：，
將，代入，得，
解得，∴，
故答案為：2
14．
【分析】整理可得，同構(gòu)結(jié)合的單調(diào)性分析可得，換元令，可得，構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)求其最值，即可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋遥?br>可得，整理可得，
構(gòu)建
又因?yàn)樵趦?nèi)單調(diào)遞增，可得在內(nèi)單調(diào)遞增，
可得，且，整理可得，
令，可得，
構(gòu)建，則，
令，解得；令，解得；
可知在內(nèi)單調(diào)遞增，則內(nèi)單調(diào)遞減，則，
可得，即，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：兩招破解不等式的恒成立問(wèn)題
1.分離參數(shù)法
第一步：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問(wèn)題；
第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值；
第三步：根據(jù)要求得所求范圍．
2.函數(shù)思想法
第一步：將不等式轉(zhuǎn)化為含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問(wèn)題；
第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值；
第三步：構(gòu)建不等式求解．
15．(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
【分析】根據(jù)基本初等函數(shù)、積的導(dǎo)數(shù)、商的導(dǎo)數(shù)和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)公式逐項(xiàng)求導(dǎo)即可．
【詳解】（1）
（2）
（3）
（4），則
（5）
16．(1)極大值是，極小值是
(2)最大值為2，最小值為
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)的極值即可；
（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性以及極值，結(jié)合，的值，求出函數(shù)的最值即可.
【詳解】（1）∵，
∴，
故的極大值是，極小值是；
（2）由（1）知：
即函數(shù)在區(qū)間,上的最大值為2，最小值為.
17．（1）單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，﹣2），（0，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（﹣2，0）；
（2）m＞2e2．
【分析】（1）求出導(dǎo)函數(shù)f′（x），令導(dǎo)函數(shù)f′（x）＞0，求解即可求得單調(diào)增區(qū)間，令f′（x）＜0，求解即可求得單調(diào)減區(qū)間，從而求得答案；
（2）將恒成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)f（x）最大值，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)f（x）的最大值，即可求得實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【詳解】（1）∵，
∴f′（x）＝xexx2exexx（x+2），
令f′（x）＞0，解得x＞0或x＜﹣2，
令f′（x）＜0，解得﹣2＜x＜0，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（﹣∞，﹣2），（0，+∞），單調(diào)減區(qū)間為（﹣2，0）；
（2）∵當(dāng)x∈[﹣2，2]時(shí)，不等式f（x）＜m恒成立，
∴m＞f（x）max，
由（1）可知，f′（x）＝xexx2exexx（x+2），
令f′（x）＝0，可得x＝﹣2或x＝0，
∵f（﹣2），f（0）＝0，f（2）＝2e2，
∴f（x）max＝2e2，
∴m＞2e2，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為m＞2e2．
【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，,考查了函數(shù)的恒成立問(wèn)題，對(duì)于恒成立問(wèn)題，一般選用參變量分離法、最值法、數(shù)形結(jié)合法進(jìn)行求解，本題采用了直接求最值的方法，屬于中檔題．
18．(1)
(2).
【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，設(shè)切點(diǎn)為，，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得到切線的斜率，即可得到方程，求出，從而求出切線方程；
（2）依題意方程有個(gè)不同實(shí)數(shù)根，令，則函數(shù)有個(gè)零點(diǎn)，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，分、兩種情況討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，得到不等式組，解得即可.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，，則，
設(shè)切點(diǎn)為，，所以切線斜率，
解得，即，
所以切線方程為，即為所求切線方程.
（2）由題意得，方程有個(gè)不同實(shí)數(shù)根，
令，則函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，
，
當(dāng)時(shí)，，在R上單調(diào)遞增，所以只有1個(gè)零點(diǎn)，不符合題意：
當(dāng)時(shí)，令，得，
則，隨著的變化情況如下表，
由函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)上表可得，
解得，
綜上可得，的取值范圍.
19．(1)答案見(jiàn)解析
(2)證明見(jiàn)解析
(3)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）求得，對(duì)實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論，利用函數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系可得出函數(shù)的增區(qū)間和減區(qū)間；
（2）當(dāng)時(shí)，即證不等式，令，即證不等式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最小值，即可證得結(jié)論成立；
（3）設(shè)，由已知等式推導(dǎo)出，將所證不等式等價(jià)變形為，令，即證，令，其中，令導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，即可證得結(jié)論成立.
【詳解】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>，
當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，
由可得，由可得，
此時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，由可得，由可得或，
此時(shí)函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為、；
當(dāng)時(shí)，對(duì)任意的，，
此時(shí)函數(shù)的增區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，由可得，由可得或，
此時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為、.
綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為、；
當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間為，無(wú)減區(qū)間；
當(dāng)時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為、.
（2）當(dāng)時(shí)，，
即證，
令，即證，即證，
因?yàn)?，則函數(shù)在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)的值域?yàn)椋?br>令，其中，則，
由可得，由可得，
所以函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為，則，
故，即，故原不等式得證.
（3），
因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)、，不妨設(shè)，
則，所以，，
整理可得，即，
要證，即證，
即證，
令，即證，
令，其中，則，
所以函數(shù)在上為增函數(shù)，則，
即，即，故原不等式得證.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式問(wèn)題，方法如下：
（1）直接構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；
（2）適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見(jiàn)放縮結(jié)論；
（3）構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對(duì)原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù).
題號(hào)
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
答案
C
D
D
A
C
B
B
B
BD
ABD
題號(hào)
11









答案
BCD









x
1
3
+
0
-
0
+
單調(diào)遞增
極大值2
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增
x
1
2
+
0
-
單調(diào)遞增
極大值2
單調(diào)遞減
單調(diào)遞增
極大值
單調(diào)遞減
極小值
單調(diào)遞增