一、單選題
1．定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，若，，，則下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
2．若，則下列說法正確的是（ ）
A．的最小正周期是
B．的對(duì)稱軸方程為（）
C．存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的，都存在、且，滿足（，2）
D．若函數(shù)，（是實(shí)常數(shù)），有奇數(shù)個(gè)零點(diǎn)，，…，，（），則
3．已知正實(shí)數(shù)C滿足：對(duì)于任意，均存在，使得，記C的最小值為，則（ ）
A．B．
C．D．
4．已知銳角的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
5．在銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，的面積為S，若，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
6．在銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，為的面積，且，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
7．已知函數(shù)各項(xiàng)均不相等的數(shù)列滿足.令.給出下列三個(gè)命題：（1）存在不少于3項(xiàng)的數(shù)列使得；（2）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則對(duì)恒成立；（3）若數(shù)列是等差數(shù)列，則對(duì)恒成立，其中真命題的序號(hào)是（ ）
A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（1）（2）（3）
二、多選題
8．勒洛Franz Reuleaux（1829～1905），德國(guó)機(jī)械工程專家，機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)的創(chuàng)始人.他所著的《理論運(yùn)動(dòng)學(xué)》對(duì)機(jī)械元件的運(yùn)動(dòng)過程進(jìn)行了系統(tǒng)的分析，成為機(jī)械工程方面的名著.勒洛四面體是一個(gè)非常神奇的“四面體”，它能在兩個(gè)平行平面間自由轉(zhuǎn)動(dòng)，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來(lái)回滾動(dòng).勒洛四面體是以正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長(zhǎng)為半徑的四個(gè)球的相交部分圍成的幾何體.如圖所示，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為2，則下列說法正確的是（ ）
A．勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為
B．勒洛四面體被平面截得的截面面積是
C．勒洛四面體表面上交線的長(zhǎng)度為
D．勒洛四面體表面上任意兩點(diǎn)間的距離可能大于2
9．若，則下列說法正確的是（ ）
A．的最小正周期是
B．的對(duì)稱軸方程為，
C．存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的，都存在且，滿足，
D．若函數(shù)，，（是實(shí)常數(shù)），有奇數(shù)個(gè)零點(diǎn)，則
10．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且滿足有下列結(jié)論正確的有( )
A．
B．若，則函數(shù)的最小正周期為；
C．關(guān)于x的方程在區(qū)間上最多有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解
D．若函數(shù)在區(qū)間上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為
11．由倍角公式，可知可以表示為的二次多項(xiàng)式．一般地，存在一個(gè)（）次多項(xiàng)式（），使得，這些多項(xiàng)式稱為切比雪夫（P．L．Tschebyscheff)多項(xiàng)式．運(yùn)用探究切比雪夫多項(xiàng)式的方法可得（ ）
A．B．
C．D．
12．“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的lg很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知是內(nèi)的一點(diǎn)，、、的面積分別為、、，則.若是銳角內(nèi)的一點(diǎn)，、、是的三個(gè)內(nèi)角，且點(diǎn)滿足，則（ ）
A．為的垂心
B．
C．
D．
三、填空題
13．1643年法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出了一個(gè)著名的幾何問題：已知一個(gè)三角形，求作一點(diǎn)，使其到這個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和為最小.它的答案是：當(dāng)三角形的三個(gè)角均小于120°時(shí)，所求的點(diǎn)為三角形的正等角中心（即該點(diǎn)與三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的連線段兩兩成角120°），該點(diǎn)稱為費(fèi)馬點(diǎn).已知中，其中，，P為費(fèi)馬點(diǎn)，則的取值范圍是__________.
14．△內(nèi)接于半徑為2的圓，三個(gè)內(nèi)角，，的平分線延長(zhǎng)后分別交此圓于，，.則的值為_____________.
15．已知函數(shù)，若集合，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.
四、解答題
16．設(shè)函數(shù)，.
(1)若在處切線的傾斜角為，求；
(2)若在單調(diào)遞增，求的取值范圍；
(3)證明：對(duì)任意，.
17．定義
(1)證明：
(2)解方程：
18．若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，且滿足，則稱是的點(diǎn)．函數(shù)的所有點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為的集．
(1)判斷是否是函數(shù)的點(diǎn)，并說明理由；
(2)若函數(shù)的集為，求的最大值；
(3)若定義域?yàn)榈倪B續(xù)函數(shù)的集滿足，求證：．
19．在銳角△中，，點(diǎn)為△的外心.
(1)若，求的最大值；
(2)若，
（?。┣笞C：；
（ⅱ）求的取值范圍.
20．英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：，其中，此公式有廣泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：當(dāng)時(shí)，，.
(1)證明：當(dāng)時(shí)，；
(2)設(shè)，若區(qū)間滿足當(dāng)定義域?yàn)闀r(shí)，值域也為，則稱為的“和諧區(qū)間”.
（i）時(shí)，是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請(qǐng)說明理由；
（ii）時(shí)，是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請(qǐng)說明理由.
21．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋羟『么嬖趥€(gè)不同的實(shí)數(shù)，使得（其中），則稱函數(shù)為“級(jí)函數(shù)”．
(1)若函數(shù)，試判斷函數(shù)是否為“級(jí)函數(shù)”，如果是，求出的值，如果不是，請(qǐng)說明理由；
(2)若函數(shù)是“級(jí)函數(shù)”，求正實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)若函數(shù)是定義在R上的“級(jí)函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
22．已知，求的值．
23．現(xiàn)給出三個(gè)條件：①函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；②函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；③函數(shù)的圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為.從中選出兩個(gè)條件補(bǔ)充在下面的問題中，并以此為依據(jù)求解問題.
已知函數(shù)（，），_____，_____.求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.
參考答案與解析
一、單選題
1．定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，若，，，則下列不等式一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)得出函數(shù)在上單調(diào)遞減，得出，代入，，得出相應(yīng)的不等關(guān)系，逐一進(jìn)行判斷選項(xiàng)即可.
【詳解】由已知得，設(shè)，則，
所以在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，，所以，?br>則，即，
因?yàn)椋?，所以?br>因?yàn)椋?，的符?hào)不確定，所以不一定成立，故A，C不正確；
因?yàn)椋?，故B正確；
由，得，即，故D錯(cuò)誤；
故選：B.
2．若，則下列說法正確的是（ ）
A．的最小正周期是
B．的對(duì)稱軸方程為（）
C．存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的，都存在、且，滿足（，2）
D．若函數(shù)，（是實(shí)常數(shù)），有奇數(shù)個(gè)零點(diǎn)，，…，，（），則
【答案】B
【分析】A選項(xiàng)，平方后利用輔助角公式化簡(jiǎn)得到，得到為函數(shù)的周期，A錯(cuò)誤；
利用整體法求解函數(shù)的對(duì)稱軸方程，B正確；
首先求出，，畫出上的的函數(shù)圖象，問題等價(jià)于有兩個(gè)解，
數(shù)形結(jié)合得到，無(wú)解，C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，的根轉(zhuǎn)化為與交點(diǎn)橫坐標(biāo)，畫出圖象，結(jié)合對(duì)稱性求解.
【詳解】，.
，.
對(duì)于A，，
為的周期，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，的對(duì)稱軸方程為.
（）.即（）.B正確.
對(duì)于C，對(duì)，有，
∵在上單調(diào)遞增，
，
（，2），等價(jià)于有兩個(gè)解，
當(dāng)時(shí)，，顯然無(wú)解，
不妨設(shè)，畫出在的的圖象，如圖所示：
.
或.無(wú)解.故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，的根為與交點(diǎn)橫坐標(biāo).
有奇數(shù)個(gè)交點(diǎn)，
，
且，，，，，
，，，，
D錯(cuò)誤.
3．已知正實(shí)數(shù)C滿足：對(duì)于任意，均存在，使得，記C的最小值為，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】將問題轉(zhuǎn)化為對(duì)于任意，均存在，使得，結(jié)合數(shù)軸求得當(dāng)在相鄰的兩個(gè)點(diǎn)或中點(diǎn)時(shí)，，則有.
【詳解】題設(shè)等價(jià)于對(duì)于任意，均存在，使得，將在數(shù)軸上表示如下：
當(dāng)與上述數(shù)軸上的點(diǎn)重合時(shí)，易得存在使得，又C為正實(shí)數(shù)，則成立；
當(dāng)與上述數(shù)軸上的點(diǎn)不重合時(shí)，假設(shè)在相鄰的兩個(gè)點(diǎn)之間，則，當(dāng)且僅當(dāng)在相鄰的兩個(gè)點(diǎn)中點(diǎn)時(shí)取等，
要使對(duì)于任意，均存在，使得，則有，
又?jǐn)?shù)軸上所有相鄰的兩個(gè)點(diǎn)之間距離最大為，此時(shí)在相鄰的兩個(gè)點(diǎn)或中點(diǎn)，則.
以下說明數(shù)軸上所有相鄰的兩個(gè)點(diǎn)之間距離最大為，易得數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離為，
當(dāng)或，和為相鄰的兩點(diǎn)，之間的距離為；當(dāng)時(shí)，則，
即之間必存在點(diǎn)，可得相鄰的兩點(diǎn)之間的距離小于，綜上可得數(shù)軸上所有相鄰的兩個(gè)點(diǎn)之間距離最大為.
故，故.
故選：B.
4．已知銳角的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且，則的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)正弦定理把邊化成角，找出之間關(guān)系，結(jié)合銳角三角形推出的范圍，然后把全部轉(zhuǎn)化到關(guān)于的函數(shù)即可求出范圍.
【詳解】由
，所以，解得，所以，又，解得．綜上，，所以．
所以
．
令，，則，令，解得，令，解得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，又，，故，
即．
故選：D．
5．在銳角中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，的面積為S，若，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由面積公式與正余弦定理化簡(jiǎn)后得出關(guān)系后求解
【詳解】在中，，
故題干條件可化為，由余弦定理得，
故，又由正弦定理化簡(jiǎn)得：
，
整理得，故或（舍去），得
為銳角三角形，故，解得，故
故選：C
6．在銳角中，角，，的對(duì)邊分別為，，，為的面積，且，則的取值范圍為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)余弦定理和的面積公式，結(jié)合題意求出、的值，再用表示，求出的取值范圍，即可求出的取值范圍．
【詳解】解：在中，由余弦定理得，
且的面積，
由，得，化簡(jiǎn)得，
又，，聯(lián)立得，
解得或（舍去），
所以，
因?yàn)闉殇J角三角形，所以，，所以，
所以，所以，所以，
設(shè)，其中，所以，
由對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
所以，即的取值范圍是．
故選：C.
7．已知函數(shù)各項(xiàng)均不相等的數(shù)列滿足.令.給出下列三個(gè)命題：（1）存在不少于3項(xiàng)的數(shù)列使得；（2）若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則對(duì)恒成立；（3）若數(shù)列是等差數(shù)列，則對(duì)恒成立，其中真命題的序號(hào)是（ ）
A．（1）（2）B．（1）（3）C．（2）（3）D．（1）（2）（3）
【答案】D
【解析】由題意，函數(shù)是奇函數(shù)，只需考查函數(shù)在的性質(zhì)，此時(shí)，都是增函數(shù)，所以在上也是增函數(shù)，即時(shí)，，對(duì)于（1），，即可判斷；對(duì)于（2），運(yùn)用等比數(shù)列求和公式和和三角函數(shù)的性質(zhì)，即可判斷；對(duì)于（3），運(yùn)用等差數(shù)列求和公式，及不等式的性質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，即可判斷；
【詳解】由題意得，所以是奇函數(shù)，只需考查函數(shù)在的性質(zhì)，此時(shí)，都是增函數(shù)，所以在上也是增函數(shù)，即函數(shù)在上也是增函數(shù)，設(shè)
若，則，，即
若，則，，即
所以時(shí)，，
對(duì)于（1），取，，故（1）正確；
對(duì)于（2），，
又
令，則
又，知，則，則，
，
又在上單減，，即，
，即，則，
由的任意性可知，，
又，所以，故（2）正確；
對(duì)于（3），數(shù)列是等差數(shù)列，
若，則；
若，即，又是奇函數(shù)也是增函數(shù)有，可得；同理：
若，可得；
若，可得；
相加可得：若，可得，即；
同理若，可得，即，故（3）正確；
故選：D.
二、多選題
8．勒洛Franz Reuleaux（1829～1905），德國(guó)機(jī)械工程專家，機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)的創(chuàng)始人.他所著的《理論運(yùn)動(dòng)學(xué)》對(duì)機(jī)械元件的運(yùn)動(dòng)過程進(jìn)行了系統(tǒng)的分析，成為機(jī)械工程方面的名著.勒洛四面體是一個(gè)非常神奇的“四面體”，它能在兩個(gè)平行平面間自由轉(zhuǎn)動(dòng)，并且始終保持與兩平面都接觸，因此它能像球一樣來(lái)回滾動(dòng).勒洛四面體是以正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)為球心，以正四面體的棱長(zhǎng)為半徑的四個(gè)球的相交部分圍成的幾何體.如圖所示，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為2，則下列說法正確的是（ ）
A．勒洛四面體能夠容納的最大球的半徑為
B．勒洛四面體被平面截得的截面面積是
C．勒洛四面體表面上交線的長(zhǎng)度為
D．勒洛四面體表面上任意兩點(diǎn)間的距離可能大于2
【答案】ABD
【分析】A選項(xiàng)：求出正四面體的外接球半徑，進(jìn)而得到勒洛四面體的內(nèi)切球半徑，得到答案；B選項(xiàng)，作出截面圖形，求出截面面積；C選項(xiàng)，根據(jù)對(duì)稱性得到交線所在圓的圓心和半徑，求出長(zhǎng)度；D選項(xiàng)，作出正四面體對(duì)棱中點(diǎn)連線，在C選項(xiàng)的基礎(chǔ)上求出長(zhǎng)度.
【詳解】A選項(xiàng)，先求解出正四面體的外接球，如圖所示：
取的中點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作于點(diǎn)，則為等邊的中心，
外接球球心為，連接，則為外接球半徑，設(shè)，
由正四面體的棱長(zhǎng)為2，則，，
，
，，
由勾股定理得：，即，
解得：，
此時(shí)我們?cè)俅瓮暾某槿〔糠掷章逅拿骟w，如圖所示：
圖中取正四面體中心為，連接交平面于點(diǎn)，交于點(diǎn)，其中與共面，其中即為正四面體外接球半徑，
設(shè)勒洛四面體內(nèi)切球半徑為，則，故A正確；
B選項(xiàng)，勒洛四面體截面面積的最大值為經(jīng)過正四面體某三個(gè)頂點(diǎn)的截面，如圖所示：
面積為，B正確；
C選項(xiàng)，由對(duì)稱性可知：勒洛四面體表面上交線所在圓的圓心為的中點(diǎn)，
故，又，
由余弦定理得：，
故，且半徑為，故交線的長(zhǎng)度等于，C錯(cuò)誤；
D選項(xiàng)，將正四面體對(duì)棱所在的弧中點(diǎn)連接，此時(shí)連線長(zhǎng)度最大，如圖所示：
連接，交于中點(diǎn)，交于中點(diǎn)，連接，則，
則由C選項(xiàng)的分析知：，
所以，
故勒洛四面體表面上兩點(diǎn)間的距離可能大于2，D正確.
故選：ABD
9．若，則下列說法正確的是（ ）
A．的最小正周期是
B．的對(duì)稱軸方程為，
C．存在實(shí)數(shù)，使得對(duì)任意的，都存在且，滿足，
D．若函數(shù)，，（是實(shí)常數(shù)），有奇數(shù)個(gè)零點(diǎn)，則
【答案】AD
【分析】由題設(shè)得，根據(jù)三角形函數(shù)與的周期、對(duì)稱軸變化性質(zhì)判斷最小正周期和對(duì)稱軸，根據(jù)方程恒能成立有，且使能成立求a的范圍即可，利用在的圖象，根據(jù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)確定b的范圍，結(jié)合對(duì)稱性求零點(diǎn)的和.
【詳解】由題設(shè)，
所以，故，
由的最小正周期為，則的最小正周期為，
同理的最小正周期為，則的最小正周期為，A正確；
對(duì)于，令，則對(duì)稱軸方程為且，B錯(cuò)誤；
對(duì)任意有，，且滿足且，而的圖象如下：
所以，則，
所以或，無(wú)解，即不存在這樣的a，C錯(cuò)誤；
由可轉(zhuǎn)化為與交點(diǎn)橫坐標(biāo)，而上圖象如下：
函數(shù)有奇數(shù)個(gè)零點(diǎn)，由圖知：，此時(shí)共有9個(gè)零點(diǎn)，
、、、、、、，，
所以，D正確.
故選：AD
10．已知函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且滿足有下列結(jié)論正確的有( )
A．
B．若，則函數(shù)的最小正周期為；
C．關(guān)于x的方程在區(qū)間上最多有4個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解
D．若函數(shù)在區(qū)間上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為
【答案】ABD
【分析】A：在上單調(diào)，，，故；
B：求出區(qū)間右端點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，由題可知在上單調(diào)，據(jù)此可求出f(x)周期的范圍，從而求出ω的范圍.再根據(jù)知是f(x)的對(duì)稱軸，根據(jù)對(duì)稱軸和對(duì)稱中心距離為周期的倍即可求出ω，從而求出其周期；
C：根據(jù)ω的范圍求出周期的范圍，根據(jù)正弦型函數(shù)一個(gè)完整周期只有一個(gè)最高點(diǎn)即可求解；
D：由知，是函數(shù)在區(qū)間，上的第1個(gè)零點(diǎn)，而在區(qū)間上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則，據(jù)此即可求ω的范圍.
【詳解】A，∵，∴在上單調(diào)，又，，∴，故A正確；
B，區(qū)間右端點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，∵，f(x)在上單調(diào)，∴根據(jù)正弦函數(shù)圖像特征可知在上單調(diào)，∴為的最小正周期，即3，又，∴.若，則的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，結(jié)合，得，即，故k＝0，，故B正確.
C，由，得，∴在區(qū)間上最多有3個(gè)完整的周期，而在1個(gè)完整周期內(nèi)只有1個(gè)解，故關(guān)于的方程在區(qū)間上最多有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，故C錯(cuò)誤.
D，由知，是函數(shù)在區(qū)間，上的第1個(gè)零點(diǎn)，而在區(qū)間上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則，結(jié)合，得，又，∴的取值范圍為，故D正確.
故選：ABD.
11．由倍角公式，可知可以表示為的二次多項(xiàng)式．一般地，存在一個(gè)（）次多項(xiàng)式（），使得，這些多項(xiàng)式稱為切比雪夫（P．L．Tschebyscheff)多項(xiàng)式．運(yùn)用探究切比雪夫多項(xiàng)式的方法可得（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】通過求，來(lái)判斷出正確選項(xiàng).
【詳解】
，
所以，A錯(cuò)誤.
，
所以，B正確.
.
所以，
由于，所以，
由于，所以，
所以由解得，
所以，C正確.
，所以D錯(cuò)誤.
故選：BC
12．“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車（Mercedesbenz）的lg很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”.奔馳定理：已知是內(nèi)的一點(diǎn)，、、的面積分別為、、，則.若是銳角內(nèi)的一點(diǎn)，、、是的三個(gè)內(nèi)角，且點(diǎn)滿足，則（ ）
A．為的垂心
B．
C．
D．
【答案】ABD
【分析】首先可根據(jù)得出，用相同的方式得出、，即可得出A正確，然后作輔助線，根據(jù)、即可得出B正確，再然后通過正弦定理得出，即，用相同的方式得出，即可得出C錯(cuò)誤，最后結(jié)合解三角形面積公式以及B項(xiàng)得出、、，根據(jù)“奔馳定理”得出，結(jié)合C項(xiàng)即可得出D正確.
【詳解】A項(xiàng)：，即，
，，，
同理可得，，
故為的垂心，A正確；
B：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，
因?yàn)?，所以，?br>因?yàn)椋?，?br>則
，B正確；
C項(xiàng)：在中，由正弦定理易知，
因?yàn)?，?br>所以，
即，，
同理可得，
故，C錯(cuò)誤；
D項(xiàng)：，同理可得，，
則
，
同理可得，，
因?yàn)椋?br>所以將、、代入，可得，
因?yàn)椋?br>所以，
故成立，D正確，
故選：ABD.
三、填空題
13．1643年法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬曾提出了一個(gè)著名的幾何問題：已知一個(gè)三角形，求作一點(diǎn)，使其到這個(gè)三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和為最小.它的答案是：當(dāng)三角形的三個(gè)角均小于120°時(shí)，所求的點(diǎn)為三角形的正等角中心（即該點(diǎn)與三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的連線段兩兩成角120°），該點(diǎn)稱為費(fèi)馬點(diǎn).已知中，其中，，P為費(fèi)馬點(diǎn)，則的取值范圍是__________.
【答案】
【分析】設(shè)，，進(jìn)而得到，，然后在中通過余弦定理得到的關(guān)系式，在和中通過正弦定理得到的關(guān)系式和的關(guān)系式，然后借助三角函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的性質(zhì)求得答案.
【詳解】如圖，根據(jù)題意，設(shè)，，則，，在中，由余弦定理有…①
在中，由正弦定理有，
在中，由正弦定理有，
故，則，由①，…②，
且，
設(shè)，則，由題意，，所以，而，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)可知.
由②，，易知函數(shù)在上單調(diào)遞減，于是.
故答案為：.
14．△內(nèi)接于半徑為2的圓，三個(gè)內(nèi)角，，的平分線延長(zhǎng)后分別交此圓于，，.則的值為_____________.
【答案】
【分析】連，由正弦定理得，利用三角形內(nèi)角和性質(zhì)得，進(jìn)而利用積化和差公式、誘導(dǎo)公式得，同理求、，即可求值.
【詳解】連，則，
∴，
同理可得：，.
∴，即.
故答案為：
15．已知函數(shù)，若集合，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.
【答案】
【分析】設(shè)，，，利用同角的三角函數(shù)的基本關(guān)系式化簡(jiǎn)可得，利用線段差的幾何意義可得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】，
設(shè)，，，
則，
如圖，
，當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線且在之間時(shí)等號(hào)成立，
又，故的最大值為.
因?yàn)榧?，故，?
故答案為：.
四、解答題
16．設(shè)函數(shù)，.
(1)若在處切線的傾斜角為，求；
(2)若在單調(diào)遞增，求的取值范圍；
(3)證明：對(duì)任意，.
【答案】(1)；
(2)；
(3)證明見解析.
【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即得；
（2）由題可得恒成立，然后根據(jù)三角恒等變換及二次函數(shù)的性質(zhì)即得；
（3）由題可得，然后利用累加法及三角函數(shù)的性質(zhì)即得.
【詳解】（1）由題可得，
依題意，，
所以；
（2）因?yàn)?br>，
所以恒成立，，
即恒成立，又，
所以，即的取值范圍為；
（3）由上可知，，，
所以，
即，
以，，，替換上式中的，可得，
，
，
累加以上各式可得，
，
又因?yàn)?，?br>所以
即.
17．定義
(1)證明：
(2)解方程：
【答案】(1)證明見解析
(2)方程的解集為
【分析】（1）根據(jù)定義結(jié)合兩角和差得余弦公式分別化簡(jiǎn)，整理即可得證；
（2）因式分解，分和兩種情況討論，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)結(jié)合零點(diǎn)得存在性定理及（1）求出方程的根，從而可得出答案.
（1）
證明：①，
而②，
聯(lián)立①②兩式可得，
即；
（2）
解：，
若，解得，
若，則，
記，
，
當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
而，
∴有且僅有三個(gè)零點(diǎn)，
即有三個(gè)實(shí)根，且均位于區(qū)間內(nèi)，
記三個(gè)實(shí)根分別為，
由（1）知，
∴或，
解得，
綜上所述，方程的解集為.
18．若點(diǎn)在函數(shù)的圖象上，且滿足，則稱是的點(diǎn)．函數(shù)的所有點(diǎn)構(gòu)成的集合稱為的集．
(1)判斷是否是函數(shù)的點(diǎn)，并說明理由；
(2)若函數(shù)的集為，求的最大值；
(3)若定義域?yàn)榈倪B續(xù)函數(shù)的集滿足，求證：．
【答案】(1)不是，理由見解析；
(2)；
(3)見解析
【分析】（1）直接求出，再判斷出，即可得到，即可得到結(jié)論；
（2）先說明，若，則，由題設(shè)得到，推出矛盾即可證得；再說明的值可以等于，令，利用三角函數(shù)的值域加以證明即可；
（3）由題設(shè)知，必存在，使得，結(jié)合零點(diǎn)存在定理說明函數(shù)必存在零點(diǎn)，即可證明.
【詳解】（1）不是函數(shù)的點(diǎn)，理由如下：設(shè)，則，，
因?yàn)?，所以，所以，所以不是函?shù)的點(diǎn)；
（2）先證明，若，則函數(shù)的最小正周期，因?yàn)楹瘮?shù)的集為，
所以對(duì)，是的點(diǎn)，令，則，因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)椋?br>所以當(dāng)時(shí)，必有，即對(duì)于恒成立，
所以，即的最小正周期，與矛盾；
再證明的值可以等于，令，對(duì)，當(dāng)時(shí)，，；
當(dāng)時(shí)，，，所以是的點(diǎn)，
即函數(shù)的集為；綜上所述，的最大值是；
（3）因?yàn)楹瘮?shù)的集滿足，所以存在，使得且，即，
因?yàn)槿?，則，所以，因?yàn)楹瘮?shù)的圖象是連續(xù)不斷的，
不妨設(shè)，由零點(diǎn)存在定理知，必存在使得，所以存在零點(diǎn)，即.
19．在銳角△中，，點(diǎn)為△的外心.
(1)若，求的最大值；
(2)若，
（?。┣笞C：；
（ⅱ）求的取值范圍.
【答案】(1)；
(2)（ⅰ）證明見解析；（ⅱ）.
【分析】（1）令△外接圓半徑為，根據(jù)向量加法的幾何意義及已知可得，根據(jù)銳角三角形、二倍角余弦公式及向量數(shù)量積的運(yùn)算律得、，最后應(yīng)用基本不等式求的范圍.
（2）（?。├孟蛄繑?shù)量積的運(yùn)算律求、，進(jìn)而求向量的夾角，即可證結(jié)論；
（ⅱ）根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律及輔助角公式有，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)，即可求范圍.
（1）
令△外接圓半徑為，又，，
所以，則，
又△為銳角三角形，則，即，
所以，又，
則，而，故，解得或，
綜上，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最大值為.
（2）
（?。┯深}設(shè)知：，即，且，
所以，即，
又，而，，
所以，
令與夾角為，則，即，
綜上，，得證.
（ⅱ），
又、、，且，即，
所以且，
在銳角△中，，
所以，
則，即.
20．英國(guó)數(shù)學(xué)家泰勒發(fā)現(xiàn)了如下公式：，其中，此公式有廣泛的用途，例如利用公式得到一些不等式：當(dāng)時(shí)，，.
(1)證明：當(dāng)時(shí)，；
(2)設(shè)，若區(qū)間滿足當(dāng)定義域?yàn)闀r(shí)，值域也為，則稱為的“和諧區(qū)間”.
（i）時(shí)，是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請(qǐng)說明理由；
（ii）時(shí)，是否存在“和諧區(qū)間”？若存在，求出的所有“和諧區(qū)間”，若不存在，請(qǐng)說明理由.
【答案】(1)證明見解析
(2)（i）不存在“和諧區(qū)間”，理由見解析（ii）存在，有唯一的“和諧區(qū)間”
【分析】（1）利用來(lái)證得結(jié)論成立.
（2）（i）通過證明方程只有一個(gè)實(shí)根來(lái)判斷出此時(shí)不存在“和諧區(qū)間”.
（ii）對(duì)的取值進(jìn)行分類討論，結(jié)合的單調(diào)性以及（1）的結(jié)論求得唯一的“和諧區(qū)間”.
【詳解】（1）由已知當(dāng)時(shí)，，
得，
所以當(dāng)時(shí)，.
（2）（i）時(shí)，假設(shè)存在，則由知，注意到，
故，所以在單調(diào)遞增，
于是，即是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，
易知不是方程的根，
由已知，當(dāng)時(shí)，，令，則有時(shí)，，即，
故方程只有一個(gè)實(shí)根0，故不存在“和諧區(qū)間”.
（ii）時(shí)，假設(shè)存在，則由知
若，則由，知，與值域是矛盾，
故不存在“和諧區(qū)間”，
同理，時(shí)，也不存在，
下面討論，
若，則，故最小值為，于是，
所以，
所以最大值為2，故，此時(shí)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，符合題意.
若，當(dāng)時(shí)，同理可得，舍去，
當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以
，于是，
若即，則，故，
與矛盾；
若，同理，矛盾，
所以，即，
由（1）知當(dāng)時(shí)，，
因?yàn)?，所以，從而，，從而，矛盾?br>綜上所述，有唯一的“和諧區(qū)間”.
21．已知函數(shù)的定義域?yàn)?，若恰好存在個(gè)不同的實(shí)數(shù)，使得（其中），則稱函數(shù)為“級(jí)函數(shù)”．
(1)若函數(shù)，試判斷函數(shù)是否為“級(jí)函數(shù)”，如果是，求出的值，如果不是，請(qǐng)說明理由；
(2)若函數(shù)是“級(jí)函數(shù)”，求正實(shí)數(shù)的取值范圍；
(3)若函數(shù)是定義在R上的“級(jí)函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【答案】(1)是，2
(2)
(3)
【分析】（1）利用“級(jí)函數(shù)”的定義可求解；
（2）將問題轉(zhuǎn)化為方程在上恰有2022個(gè)解，利用余弦函數(shù)性質(zhì)可求解；
（3）將問題轉(zhuǎn)化為恰有4個(gè)解，令，，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為方程在上有兩個(gè)不等實(shí)根，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
（1）
令，則，解得
所以函數(shù)是“級(jí)函數(shù)”，即；
（2）
由，得，
因?yàn)楹瘮?shù)是“級(jí)函數(shù)”，
所以方程在上恰有2022個(gè)解，
即方程在上有2022個(gè)解，
所以，即
（3）
由，得，
因?yàn)楹瘮?shù)為R上的“級(jí)函數(shù)”，所以該方程恰有4個(gè)解，
令，R，則，但當(dāng)時(shí)，；
所以方程在上有兩個(gè)不等實(shí)根，
令，則，
解得．
∴ 實(shí)數(shù)的取值范圍為．
22．已知，求的值．
【答案】
【分析】根據(jù)，求解，可以想到，
可以得到，然后繼續(xù)將次數(shù)增加，由，可以得到：，進(jìn)而求出，由此發(fā)現(xiàn)可以由和進(jìn)行遞推.現(xiàn)在我們可以考慮一般性，可以由進(jìn)行遞推，最后得到答案.
【詳解】設(shè)．由得．
，
．
．
又，．
．
以此類推：，，
即．
23．現(xiàn)給出三個(gè)條件：①函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱；②函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；③函數(shù)的圖象上相鄰兩個(gè)最高點(diǎn)的距離為.從中選出兩個(gè)條件補(bǔ)充在下面的問題中，并以此為依據(jù)求解問題.
已知函數(shù)（，），_____，_____.求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.

相關(guān)試卷

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-4.4.2-三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（二）-專項(xiàng)訓(xùn)練【含解析】：

這是一份2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-4.4.2-三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（二）-專項(xiàng)訓(xùn)練【含解析】，共11頁(yè)。試卷主要包含了給出下面四個(gè)結(jié)論，其中正確的是，設(shè)函數(shù)f＝eq \f，則，故選A等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-4.4.1-三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（一）-專項(xiàng)訓(xùn)練【含解析】：

這是一份2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-4.4.1-三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（一）-專項(xiàng)訓(xùn)練【含解析】，共9頁(yè)。試卷主要包含了函數(shù)y＝lg的定義域是，故選D等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-21.1-三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)-專項(xiàng)訓(xùn)練【含解析】：

這是一份2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-21.1-三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)-專項(xiàng)訓(xùn)練【含解析】，共8頁(yè)。試卷主要包含了單項(xiàng)選擇題，多項(xiàng)選擇題，填空題等內(nèi)容，歡迎下載使用。

英語(yǔ)朗讀寶

相關(guān)試卷 更多

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-4.4.2-三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（二）-專項(xiàng)訓(xùn)練【含解析】

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-4.4.2-三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（二）-專項(xiàng)訓(xùn)練【含解析】
2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-4.4.1-三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（一）-專項(xiàng)訓(xùn)練【含解析】

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-4.4.1-三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)（一）-專項(xiàng)訓(xùn)練【含解析】
2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-21.1-三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)-專項(xiàng)訓(xùn)練【含解析】

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-21.1-三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)-專項(xiàng)訓(xùn)練【含解析】
2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-5.3.1-兩角和差的三角函數(shù)-專項(xiàng)訓(xùn)練【含解析】

2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-5.3.1-兩角和差的三角函數(shù)-專項(xiàng)訓(xùn)練【含解析】
資料下載及使用幫助
版權(quán)申訴
版權(quán)申訴
若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識(shí)產(chǎn)權(quán)，請(qǐng)掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。
入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎(jiǎng)勵(lì)，申請(qǐng) 精品資源制作， 工作室入駐。
版權(quán)申訴二維碼
高考專區(qū)
歡迎來(lái)到教習(xí)網(wǎng)
  • 900萬(wàn)優(yōu)選資源，讓備課更輕松
  • 600萬(wàn)優(yōu)選試題，支持自由組卷
  • 高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
  • 百萬(wàn)教師選擇，專業(yè)更值得信賴
微信掃碼注冊(cè)
qrcode
二維碼已過期
刷新

微信掃碼，快速注冊(cè)

手機(jī)號(hào)注冊(cè)
手機(jī)號(hào)碼

手機(jī)號(hào)格式錯(cuò)誤

手機(jī)驗(yàn)證碼 獲取驗(yàn)證碼

手機(jī)驗(yàn)證碼已經(jīng)成功發(fā)送，5分鐘內(nèi)有效

設(shè)置密碼

6-20個(gè)字符，數(shù)字、字母或符號(hào)

注冊(cè)即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊(cè)協(xié)議」及「隱私條款」
QQ注冊(cè)
手機(jī)號(hào)注冊(cè)
微信注冊(cè)

注冊(cè)成功

返回
頂部