2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題-專項訓(xùn)練【含解析】-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

1．已知橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A，B分別為C的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，若△ABF1的面積是△ABF2的面積的3倍，且eq \(F1A,\s\up7(―→))·eq \(F1B,\s\up7(―→))＝3．
(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若過點(diǎn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，0))且斜率不為0的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)P在直線x＝6上，且NP與x軸平行，求證：直線MP恒過定點(diǎn)．
2．設(shè)拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P(4，m)(m＞0)是拋物線C上一點(diǎn)，且|PF|＝5．
(1)求拋物線C的方程；
(2)若A，B為拋物線 C上異于P的兩點(diǎn)，且PA⊥PB．記點(diǎn)A，B到直線y＝－4的距離分別為a，b，求證：ab為定值．
3．△ABC中，已知B(－eq \r(2)，0)，C(eq \r(2)，0)，AD⊥BC交BC于點(diǎn)D，H為AD中點(diǎn)，滿足BH⊥AC，點(diǎn)H的軌跡為曲線C．
(1)求曲線C的方程；
(2)過點(diǎn)Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)))作直線l交曲線C于P，Q兩點(diǎn)，求證：以PQ為直徑的圓恒過定點(diǎn)．
4．已知拋物線C：y2＝2px(p>0)經(jīng)過點(diǎn)P(1,2)，過點(diǎn)Q(0,1)的直線l與拋物線C有兩個不同的交點(diǎn)A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N．
(1)求直線l的斜率的取值范圍；
(2)設(shè)O為原點(diǎn)，eq \(QM,\s\up7(―→))＝λeq \(QO,\s\up7(―→))，eq \(QN,\s\up7(―→))＝μeq \(QO,\s\up7(―→))，求證：eq \f(1,λ)＋eq \f(1,μ)為定值．
課時過關(guān)檢測(五十五)
圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值問題【解析版】
1．已知橢圓C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)A，B分別為C的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，若△ABF1的面積是△ABF2的面積的3倍，且eq \(F1A,\s\up7(―→))·eq \(F1B,\s\up7(―→))＝3．
(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若過點(diǎn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，0))且斜率不為0的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，點(diǎn)P在直線x＝6上，且NP與x軸平行，求證：直線MP恒過定點(diǎn)．
解：(1)設(shè)橢圓C的焦距為2c，則F1(－c,0)，F(xiàn)2(c,0)，
∵點(diǎn)A，B分別為C的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)，∴A(a,0)，B(0，b)，則eq \(F1A,\s\up7(―→))＝(a＋c,0)，eq \(F1B,\s\up7(―→))＝(c，b)．
又△ABF1的面積是△ABF2的面積的3倍，且eq \(F1A,\s\up7(―→))·eq \(F1B,\s\up7(―→))＝3，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a＋c＝3?a－c?，,c?a＋c?＝3，))解得a＝2，c＝1，則b＝eq \r(a2－c2)＝eq \r(3)，∴C的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,3)＝1．
(2)證明：設(shè)直線MN的方程為x＝my＋eq \f(2,3)，Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x1，y1))，N(x2，y2)，則P(6，y2)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(x2,4)＋\f(y2,3)＝1，,x＝my＋\f(2,3)，))消去x，整理得(3m2＋4)y2＋4my－eq \f(32,3)＝0，Δ>0恒成立，
由根與系數(shù)的關(guān)系得，y1＋y2＝eq \f(－4m,3m2＋4)，y1y2＝eq \f(－\f(32,3),3m2＋4)，∴my1y2＝eq \f(8,3)(y1＋y2)．
又直線MP的方程為y－y2＝eq \f(y1－y2,x1－6)(x－6)，令y＝0，得x－6＝eq \f(y2?x1－6?,y2－y1)．∵x1＝my1＋eq \f(2,3)，
∴x－6＝eq \f(y2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(my1－\f(16,3))),y2－y1)＝eq \f(my1y2－\f(16,3)y2,y2－y1)＝eq \f(\f(8,3)?y1＋y2?－\f(16,3)y2,y2－y1)＝－eq \f(8,3)，則x＝eq \f(10,3)，
故直線MP恒過定點(diǎn)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(10,3)，0))．
2．設(shè)拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P(4，m)(m＞0)是拋物線C上一點(diǎn)，且|PF|＝5．
(1)求拋物線C的方程；
(2)若A，B為拋物線 C上異于P的兩點(diǎn)，且PA⊥PB．記點(diǎn)A，B到直線y＝－4的距離分別為a，b，求證：ab為定值．
解：(1)由拋物線的定義知|PF|＝eq \f(p,2)＋4＝5，解得p＝2，
所以拋物線C的方程為y2＝4x．
(2)證明：由P(4，m)(m＞0)是拋物線C上一點(diǎn)，得m＝4，
易知直線PA斜率存在且不為0，設(shè)直線PA的方程為x－4＝t(y－4)(t≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x－4＝t?y－4?，,y2＝4x，))消去x得y2－4ty＋16(t－1)＝0，Δ＝16(t－2)2＞0，所以t≠2，所以y1＝4t－4，
所以a＝|y1－(－4)|＝|4t|．
因?yàn)镻A⊥PB，所以用－eq \f(1,t)代替t(t≠0，t≠2，－eq \f(1,t)≠2)，得y2＝－eq \f(4,t)－4，b＝|y2－(－4)|＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(4,t)))，
所以ab＝eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(4t×\f(4,t)))＝16，即ab為定值．
3．△ABC中，已知B(－eq \r(2)，0)，C(eq \r(2)，0)，AD⊥BC交BC于點(diǎn)D，H為AD中點(diǎn)，滿足BH⊥AC，點(diǎn)H的軌跡為曲線C．
(1)求曲線C的方程；
(2)過點(diǎn)Meq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)))作直線l交曲線C于P，Q兩點(diǎn)，求證：以PQ為直徑的圓恒過定點(diǎn)．
解：(1)設(shè)H(x，y)，則A(x,2y)，eq \(BH,\s\up7(―→))＝(x＋eq \r(2)，y)，eq \(CA,\s\up7(―→))＝(x－eq \r(2)，2y)，
因?yàn)锽H⊥AC，所以eq \(BH,\s\up7(―→))·eq \(CA,\s\up7(―→))＝0，即(x＋eq \r(2))(x－eq \r(2))＋2y2＝0，
整理得x2＋2y2＝2，即eq \f(x2,2)＋y2＝1．
因?yàn)樵凇鰽BC中，三頂點(diǎn)不可能共線，所以y≠0，
故曲線C的方程為eq \f(x2,2)＋y2＝1(y≠0)．
(2)證明：若直線l斜率不存在，可得圓：x2＋y2＝1，
若直線l斜率為0，可得圓：x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(y－\f(1,3)))2＝eq \f(16,9)．
兩個圓的公共點(diǎn)為N(0，－1)，
若直線l斜率存在且不為0時，設(shè)其方程為y＝kx＋eq \f(1,3)(k≠0)，由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y＝kx＋\f(1,3)，,\f(x2,2)＋y2＝1，))可得(2k2＋1)x2＋eq \f(4,3)kx－eq \f(16,9)＝0，
Δ＞0恒成立，設(shè)點(diǎn)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
由根與系數(shù)的關(guān)系得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1＋x2＝－\f(4k,6k2＋3)，,x1x2＝－\f(16,18k2＋9)，))
eq \(NP,\s\up7(―→))·eq \(NQ,\s\up7(―→))＝(x1，y1＋1)·(x2，y2＋1)＝x1x2＋(y1＋1)·(y2＋1)
＝x1x2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kx1＋\f(4,3)))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(kx2＋\f(4,3)))
＝(k2＋1)x1x2＋eq \f(4,3)k(x1＋x2)＋eq \f(16,9)
＝eq \f(－16?k2＋1?,18k2＋9)＋eq \f(\f(4,3)k?－4k?,6k2＋3)＋eq \f(16,9)
＝eq \f(－16k2－16－16k2＋\f(16,9)?18k2＋9?,18k2＋9)＝0，
即NP⊥NQ，所以以PQ為直徑的圓經(jīng)過定點(diǎn)N(0，－1)．
綜上所述，以PQ為直徑的圓恒過定點(diǎn)N(0，－1)．
4．已知拋物線C：y2＝2px(p>0)經(jīng)過點(diǎn)P(1,2)，過點(diǎn)Q(0,1)的直線l與拋物線C有兩個不同的交點(diǎn)A，B，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N．
(1)求直線l的斜率的取值范圍；
(2)設(shè)O為原點(diǎn)，eq \(QM,\s\up7(―→))＝λeq \(QO,\s\up7(―→))，eq \(QN,\s\up7(―→))＝μeq \(QO,\s\up7(―→))，求證：eq \f(1,λ)＋eq \f(1,μ)為定值．
解：(1)因?yàn)閽佄锞€y2＝2px過點(diǎn)P(1,2)，所以2p＝4，即p＝2．
故拋物線C的方程為y2＝4x．
由題意知，直線l的斜率存在且不為0．
設(shè)直線l的方程為y＝kx＋1(k≠0)，
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(y2＝4x，,y＝kx＋1，))得k2x2＋(2k－4)x＋1＝0．
依題意Δ＝(2k－4)2－4×k2×1＞0，解得k＜0或0＜k＜1．
又PA，PB與y軸相交，故直線l不過點(diǎn)(1，－2)．從而k≠－3．
所以直線l的斜率的取值范圍是(－∞，－3)∪(－3,0)∪(0,1)．
(2)證明：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由(1)知x1＋x2＝－eq \f(2k－4,k2)，x1x2＝eq \f(1,k2)．
直線PA的方程為y－2＝eq \f(y1－2,x1－1)(x－1)．
令x＝0，得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為yM＝eq \f(－y1＋2,x1－1)＋2＝eq \f(－kx1＋1,x1－1)＋2．
同理得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為yN＝eq \f(－kx2＋1,x2－1)＋2．
由eq \(QM,\s\up7(―→))＝λeq \(QO,\s\up7(―→))，eq \(QN,\s\up7(―→))＝μeq \(QO,\s\up7(―→))，得λ＝1－yM，μ＝1－yN．
所以eq \f(1,λ)＋eq \f(1,μ)＝eq \f(1,1－yM)＋eq \f(1,1－yN)＝eq \f(x1－1,?k－1?x1)＋eq \f(x2－1,?k－1?x2)
＝eq \f(1,k－1)·eq \f(2x1x2－?x1＋x2?,x1x2)＝eq \f(1,k－1)·eq \f(\f(2,k2)＋\f(2k－4,k2),\f(1,k2))＝2．
所以eq \f(1,λ)＋eq \f(1,μ)為定值．

相關(guān)試卷

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-44.1-圓錐曲線中的定值與定點(diǎn)問題-專項訓(xùn)練【含答案】：

這是一份2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-44.1-圓錐曲線中的定值與定點(diǎn)問題-專項訓(xùn)練【含答案】，共6頁。試卷主要包含了已知雙曲線C，已知橢圓C等內(nèi)容，歡迎下載使用。

2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-44.1-圓錐曲線中的定值與定點(diǎn)問題-專項訓(xùn)練【含答案】：

這是一份2025高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)-44.1-圓錐曲線中的定值與定點(diǎn)問題-專項訓(xùn)練【含答案】，共6頁。

2025年高考數(shù)學(xué)一輪知識點(diǎn)復(fù)習(xí)-圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線問題-專項訓(xùn)練【含答案】：

這是一份2025年高考數(shù)學(xué)一輪知識點(diǎn)復(fù)習(xí)-圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線問題-專項訓(xùn)練【含答案】，共6頁。

相關(guān)試卷更多

高考數(shù)學(xué)微專題集專題22圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線問題微點(diǎn)4圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線綜合訓(xùn)練(原卷版+解析)

高考數(shù)學(xué)微專題集專題22圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線問題微點(diǎn)4圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線綜合訓(xùn)練(原卷版+解析)

【專項復(fù)習(xí)】高考數(shù)學(xué)專題04 圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線問題（題型訓(xùn)練）.zip

【專項復(fù)習(xí)】高考數(shù)學(xué)專題04 圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線問題（題型訓(xùn)練）.zip

專題22 圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線問題微點(diǎn)4 圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線綜合訓(xùn)練試題及答案

專題22 圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線問題微點(diǎn)4 圓錐曲線中的定點(diǎn)、定值、定直線綜合訓(xùn)練試題及答案

(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時練習(xí)9.8.2《圓錐曲線中的定值、定點(diǎn)與存在性問題》(含解析)

(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時練習(xí)9.8.2《圓錐曲線中的定值、定點(diǎn)與存在性問題》(含解析)

資料下載及使用幫助

版權(quán)申訴

1.電子資料成功下載后不支持退換，如發(fā)現(xiàn)資料有內(nèi)容錯誤問題請聯(lián)系客服，如若屬實(shí)，我們會補(bǔ)償您的損失
2.壓縮包下載后請先用軟件解壓，再使用對應(yīng)軟件打開；軟件版本較低時請及時更新
3.資料下載成功后可在60天以內(nèi)免費(fèi)重復(fù)下載

版權(quán)申訴

若您為此資料的原創(chuàng)作者，認(rèn)為該資料內(nèi)容侵犯了您的知識產(chǎn)權(quán)，請掃碼添加我們的相關(guān)工作人員，我們盡可能的保護(hù)您的合法權(quán)益。

入駐教習(xí)網(wǎng)，可獲得資源免費(fèi)推廣曝光，還可獲得多重現(xiàn)金獎勵，申請精品資源制作，工作室入駐。

高考專區(qū)

精品推薦

重難點(diǎn) 易錯考點(diǎn)專練專項練習(xí) 總復(fù)習(xí)

查看更多精品資料

歡迎來到教習(xí)網(wǎng)

900萬優(yōu)選資源，讓備課更輕松
600萬優(yōu)選試題，支持自由組卷
高質(zhì)量可編輯，日均更新2000+
百萬教師選擇，專業(yè)更值得信賴

qrcode

二維碼已過期

刷新

微信掃碼，一鍵下載

請輸入手機(jī)號

忘記密碼

免費(fèi)注冊

微信掃碼注冊

qrcode

二維碼已過期

刷新

微信掃碼，快速注冊

手機(jī)號注冊

注冊即視為同意教習(xí)網(wǎng)「注冊協(xié)議」及「隱私條款」

手機(jī)號注冊

微信注冊

注冊成功

0

資料籃
在線客服

官方
微信

添加在線客服

獲取1對1服務(wù)
官方微信

官方
微信

關(guān)注“教習(xí)網(wǎng)”公眾號

打開微信就能找資料
賽課定制

賽課
定制

添加在線客服

獲取1對1定制服務(wù)
職稱咨詢

職稱
咨詢

添加在線客服

獲取1V1專業(yè)指導(dǎo)服務(wù)
免費(fèi)福利

返回
頂部

<table id="pztbv"></table>