TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc3611" 題型一 機械波與波的圖像 PAGEREF _Tc3611 \h 1
\l "_Tc27933" 類型1 波的形成及傳播 PAGEREF _Tc27933 \h 1
\l "_Tc25356" 類型2 波的圖像 PAGEREF _Tc25356 \h 3
\l "_Tc27663" 題型二 波的圖像和振動圖像的理解和應用 PAGEREF _Tc27663 \h 5
\l "_Tc25988" 題型三 波傳播的周期性和多解性問題 PAGEREF _Tc25988 \h 8
\l "_Tc31961" 類型1 時間多解性 PAGEREF _Tc31961 \h 8
\l "_Tc10286" 類型2 空間多解性 PAGEREF _Tc10286 \h 11
\l "_Tc7397" 題型四 波的疊加 PAGEREF _Tc7397 \h 14
\l "_Tc14986" 題型五 波特有的現象 PAGEREF _Tc14986 \h 19
題型一 機械波與波的圖像
1．傳播特點
(1)波傳到任意一點，該點的起振方向都和波源的起振方向相同。
(2)介質中每個質點都做受迫振動，因此，任一質點的振動頻率和周期都和波源的振動頻率和周期相同。
(3)波從一種介質進入另一種介質，由于介質的情況不同，它的波長和波速可能改變，但頻率和周期都不會改變。
(4)波源經過一個周期T完成一次全振動，波恰好向前傳播一個波長的距離，所以v＝eq \f(λ,T)＝λf。
2．波的傳播方向與質點振動方向的互判方法
類型1 波的形成及傳播
【例1】(多選)如圖所示，A、B兩點為某簡諧橫波上的質點，已知波的傳播方向由A到B，t＝0時刻該波剛好傳到A點，且A點的振動方向豎直向上，經時間t0質點B剛好起振．已知波的傳播周期為T、傳播速度為v，則下列說法正確的是( )
A．振源位于A的左側，且起振方向豎直向上
B．質點B振動后，其振動周期一定為T
C．質點B每次經過平衡位置的速度一定為v
D．質點B的起振方向與A、B兩點之間的距離有關
【例2】(2021·1月重慶市適應性測試)如圖2所示，a、b、c、d是一簡諧橫波上的質點，某時刻a、d位于平衡位置且相距為9 m，c在波谷，該波的波速為2 m/s。若此時a經平衡位置向上振動，則( )
A．此波向右傳播
B．b點振動周期為3 s
C．c點運動速度大小為2 m/s
D．此波在a、d兩點之間傳播需3 s
【例3】(2022·貴州貴陽市模擬)如圖甲所示，一個不計重力的彈性繩水平放置，O、b、c是彈性繩上的三個質點.現讓質點O從t＝0時刻開始，在豎直平面內做簡諧運動，其位移隨時間變化的振動方程為y＝20sin 5πt(cm)，形成的簡諧波同時沿該直線向Ob和Oc方向傳播，在t1＝0.5 s時，質點b恰好第一次到達正向最大位移處，O、b兩質點平衡位置間的距離L1＝0.8 m，O、c兩質點平衡位置間的距離L2＝0.6 m.求：
(1)此橫波的波長和波速；
(2)計算0～1.0 s的時間內質點c運動的總路程.并在圖乙中畫出t＝1.0 s時刻向兩方向傳播的大致波形圖.(畫波形圖時不要求解題過程)
類型2 波的圖像
【例1】(多選)一簡諧橫波沿x軸傳播，在某時刻的波形如圖所示，已知此時質點F的運動方向向下，則( )
A．此波沿x軸負方向傳播
B．質點D此時向下運動
C．質點B將比質點C先回到平衡位置
D．質點E的振幅為零
【例2】 (2022·湖北省1月選考模擬·5)一列簡諧橫波沿x軸正方向傳播，其波速為10 m/s，t＝0時刻的波形如圖所示．下列說法正確的是( )
A．0～0.6 s時間內，質點P運動的路程為18 cm
B．t＝0.6 s時刻，質點P相對平衡位置的位移是6 cm
C．t＝1.2 s時刻，質點Q加速度最大
D．t＝1.4 s時刻，質點M沿y軸負方向運動
題型二 波的圖像和振動圖像的理解和應用
1.振動圖像和波的圖像的比較
2.巧解波的圖象與振動圖象綜合問題的基本方法
【例1】(多選)圖甲為一列簡諧橫波在t＝0.10 s時刻的波形圖，P是平衡位置在x＝1.0 m處的質點，Q是平衡位置在x＝4.0 m處的質點；圖乙為質點Q的振動圖像，下列說法正確的是( )
A．這列簡諧橫波以80 m/s的速度向左傳播
B．t＝0時刻，質點P沿y軸負方向振動
C．在t＝0.10 s時刻，質點P的位移為5eq \r(3) cm
D．從t＝0.10 s到t＝0.25 s，質點Q通過的路程為30 cm
【例2】如圖所示，圖甲是t＝5 s時刻一簡諧橫波沿x軸正方向傳播的波形圖，圖乙為這列波上某質點的振動圖像，則( )
A．該列波的波速為4 m/s
B．圖乙可能是質點b的振動圖像
C．質點c的振動方程為y＝6sin(eq \f(πt,2)＋π) cm
D．t＝10 s時，a點的振動方向向上
【例3】(多選)(2021·福建莆田市模擬)漁船上的聲吶利用超聲波來探測遠方魚群的方位。某漁船發(fā)出的一列超聲波在t＝0時的波動圖像如圖甲所示，圖乙為質點P的振動圖像，則下列說法正確的是( )
A．該波的波速為1.5 m/s
B．該波沿x軸正方向傳播
C．0～1 s時間內，質點P運動的路程為2 m
D．旁邊另一艘漁船發(fā)出了更高頻率的超聲波，這兩列聲波在水中傳播速度大小相等
【例3】(多選)(2022·天津南開中學高三月考)一列簡諧橫波，在t＝0.6 s時刻的圖像如圖甲所示，此時，P、Q兩質點的位移均為－1 cm，波上A質點的振動圖像如圖乙所示，則以下說法正確的是( )
A．這列波沿x軸正方向傳播
B．這列波的波速是eq \f(50,3) m/s
C．從t＝0.6 s開始，緊接著的Δt＝0.6 s時間內，A質點通過的路程是2 cm
D．從t＝0.6 s開始，質點P比質點Q早0.4 s回到平衡位置
題型三 波傳播的周期性和多解性問題
1．造成波傳播多解的主要因素
(1)周期性
①時間周期性：時間間隔Δt與周期T的關系不明確。
②空間周期性：波傳播的距離Δx與波長λ的關系不明確。
(2)雙向性
①傳播方向雙向性：波的傳播方向不確定。
②振動方向雙向性：質點振動方向不確定。
2．解決波的多解問題的思路
一般采用從特殊到一般的思維方法，即找出一個周期內滿足條件關系的Δt或Δx，若此關系為時間，則t＝nT＋Δt(n＝0，1，2，…)；若此關系為距離，則x＝nλ＋Δx(n＝0，1，2，…)。
類型1 時間多解性
【例1】如圖，實線是一列簡諧橫波在t1＝0時刻的波形，虛線是這列波在t2＝0.5 s時刻的波形．
(1)寫出這列波的波速表達式；
(2)若波速大小為74 m/s，波的傳播方向如何？
【例2】(多選)如圖所示，一列簡諧橫波沿x軸傳播，實線為t＝0時的波形圖，虛線為t＝0.5 s時的波形圖，下列說法正確的是( )
A．若波沿x軸正方向傳播，則其最大周期為2.0 s
B．若波沿x軸負方向傳播，則其傳播的最小速度為2 m/s
C．若波速為26 m/s，則t＝0時P質點的運動方向沿y軸正方向
D．若波速為14 m/s，則t＝0時P質點的運動方向沿y軸正方向
【例3】(多選)(2022·山東泰安市檢測)一列簡諧橫波沿x軸傳播，t＝0時刻該波波形如圖中實線所示，此時x＝0處的質點沿y軸負向振動；t＝2.0 s時刻波形如圖中虛線所示。則( )
A．波的傳播速度可能為0.3 m/s
B．波的傳播速度可能為0.9 m/s
C．此列波的波長為0.8 m
D．此列波沿x軸負向傳播
【例4】．(多選)(2022·天津紅橋區(qū)質量調查)一列沿x軸傳播的簡諧橫波，t＝0時刻的波形如圖中實線所示，t＝0.3 s時刻的波形為圖中虛線所示，則( )
A．波的傳播方向一定向左
B．波的周期可能為0.4 s
C．波的頻率可能為5.0 Hz
D．波的傳播速度可能為5.0 m/s
類型2 空間多解性
【例1】在一列沿水平直線傳播的簡諧橫波上有相距4 m的A、B兩點，如圖甲、乙分別是A、B兩質點的振動圖像．已知該波波長大于2 m，求這列波可能的波速．
【例2】一列簡諧橫波沿x軸傳播，a、b為x軸上相距0.4 m的兩質點，如圖10甲所示．兩質點的振動圖象分別如圖乙、丙所示．
(1)當該波在該介質中傳播的速度為2 m/s時，求該波的波長；
(2)若該波的波長大于0.3 m，求可能的波速．
【例3】(多選)(2022·安徽省模擬)一列沿x軸正方向傳播的簡諧橫波，在波的傳播方向上兩質點a、b的平衡位置相距6 m，a、b的振動圖象分別如圖甲、乙所示．下列說法正確的是( )
A．該波的周期為12 s
B．該波的波長可能為24 m
C．該波的傳播速度可能為2 m/s
D．質點a在0～4 s內通過的路程為6 cm
E．質點b在波谷位置時，質點a在平衡位置沿y軸負方向運動
【例4】一列簡諧橫波沿x軸傳播，a、b為x軸上相距0.5 m的兩質點，如圖甲所示．兩質點的振動圖像分別如圖乙、丙所示．
(1)當該波在該介質中傳播的速度為2.5 m/s時，求該波的波長；
(2)若該波的波長大于0.3 m，求可能的波速．
【例5】一列波長大于3.6 m的簡諧橫波沿直線由a向b傳播，a、b的平衡位置相距6 m，a、b兩質點的振動圖像如圖所示．由此可知( )
A．3 s末a、b兩質點的位移相同
B．該波的波速為2 m/s
C．該波的波長為4 m
D．該波由a傳播到b歷時1.5 s
題型四 波的疊加
1．波的疊加
在波的疊加中，質點的位移等于這幾列波單獨傳播時引起的位移的矢量和．
2．波的干涉現象中加強點、減弱點的判斷方法
(1)公式法：
某質點的振動是加強還是減弱，取決于該點到兩相干波源的距離之差Δr.
①當兩波源振動步調一致時．
若Δr＝nλ(n＝0,1,2，…)，則振動加強；
若Δr＝(2n＋1)eq \f(λ,2)(n＝0,1,2，…)，則振動減弱．
②當兩波源振動步調相反時．
若Δr＝(2n＋1)eq \f(λ,2)(n＝0,1,2，…)，則振動加強；
若Δr＝nλ(n＝0,1,2，…)，則振動減弱．
(2)圖像法：
在某時刻波的干涉的波形圖上，波峰與波峰(或波谷與波谷)的交點，一定是加強點，而波峰與波谷的交點一定是減弱點，各加強點或減弱點各自連接形成以兩波源為中心向外輻射的連線，形成加強線和減弱線，兩種線互相間隔，加強點與減弱點之間各質點的振幅介于加強點與減弱點的振幅之間．
【例1】(多選)(2022·陜西西安中學高三一模)如圖所示，兩列簡諧橫波分別沿x軸正方向和負方向傳播，兩波源分別位于x＝－0.2 m和x＝1.2 m處，兩列波的速度均為v＝0.4 m/s，兩列波的振幅均為A＝2 cm.圖示為t＝0時刻兩列波的圖象(傳播方向如圖所示)，此時刻平衡位置處于x＝0.2 m和x＝0.8 m的P、Q兩質點剛開始振動，質點M的平衡位置處于x＝0.5 m處，關于各質點運動情況判斷正確的是( )
A．t＝0.75 s時刻，質點P、Q都運動到M點
B．x＝0.4 m處，質點的起振方向沿y軸負方向
C．t＝2 s時，質點M的縱坐標為4 cm
D．0到2 s這段時間內，質點M通過的路程為20 cm
E．質點M振動后的振幅為4 cm
【例2】(2020·全國卷Ⅰ·34(2))一振動片以頻率f做簡諧振動時，固定在振動片上的兩根細桿同步周期性地觸動水面上a、b兩點，兩波源發(fā)出的波在水面上形成穩(wěn)定的干涉圖樣．c是水面上的一點，a、b、c間的距離均為l，如圖所示．已知除c點外，在ac連線上還有其他振幅極大的點，其中距c最近的點到c的距離為eq \f(3,8)l.求：
(1)波的波長；
(2)波的傳播速度．
【例3】(2021·1月遼寧適應性測試)如圖所示，在xOy平面內有兩個沿z軸方向(垂直xOy平面)做簡諧運動的點波源S1(1，0)和S2(4，0)，振動方程分別為zS1＝Asin(πt＋eq \f(π,2))、zS2＝Asin(πt－eq \f(π,2))。兩列波的波速均為1 m/s，兩列波在點B(2.5，3)和點C(4，4)相遇時，分別引起B(yǎng)、C處質點的振動總是相互( )
A．加強、加強 B．減弱、減弱
C．加強、減弱 D．減弱、加強
【例4】(多選)(2022·云南曲靖市高三二模)如圖甲所示，均勻介質中兩波源S1、S2分別位于x軸上x1＝0、x2＝14 m處，質點P位于x軸上xP＝4 m處，t＝0時刻兩波源同時由平衡位置開始振動，S1、S2的振動圖象分別如圖乙、丙所示，傳播速度大小均為v＝2 m/s，下列說法正確的是( )
A．波源S1發(fā)出的波經過4 s傳播到P點
B．0～4 s內質點P通過的路程為16 cm
C．t＝5 s時刻質點P位于波谷
D．當兩列波疊加后質點P的振動是加強的
E．當兩列波疊加后質點P的振幅為6 cm
【例5】(多選)如圖所示甲、乙兩列橫波在同一介質中分別從波源M、N兩點沿x軸相向傳播，波速為2 m/s，振幅都為A，某時刻的圖像如圖所示．此時甲波恰好傳到x＝2 m處，乙波恰好傳到x＝6 m處，取此時為t＝0時刻，則以下說法中正確的有( )
A．經過足夠長時間后，甲、乙兩波能形成穩(wěn)定的干涉圖樣
B．t＝2 s時，平衡位置在x＝3 m處的質點的位移此時為y＝(1＋eq \f(\r(3),2))A
C．t＝3 s時，平衡位置在x＝7 m處的質點振動方向向下
D．t＝3 s時，兩波源間(不含波源)有5個質點位移為零
【例6】(多選)(2022·山西省高三三模)我們常用以下實驗裝置觀察水波的干涉現象．在水槽中，波源是固定在同一個振動片上的兩根細桿，當振動片振動時，固連在振動片上的兩根完全相同的細桿周期性的擊打水面，并且兩細桿擊打的深度和頻率完全相同，可看作兩個波源．這兩列波相遇后，在它們的重疊區(qū)域會形成如圖甲所示的穩(wěn)定干涉圖樣．如圖乙所示，振動片以周期T做簡諧運動時，兩細桿同步周期性地擊打水面上的A、B兩點，兩波源發(fā)出的水波在水面上形成穩(wěn)定的干涉圖樣．若以線段AB為直徑在水面上畫一個半圓，半徑OC與AB垂直．除C點外，圓周上還有其他振幅最大的點，其中在C點左側距C點最近的為D點．已知半圓的直徑為d，∠DBA＝37°，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，則( )
A．水波的波長為eq \f(d,5)
B．水波的波長為eq \f(d,4)
C．水波的傳播速度為eq \f(d,5T)
D．若減小振動片振動的周期，C點可能為振幅最小的點
E．若讓兩細桿以原頻率分別同步觸動線段AD和BD的中點，則D點為振幅最小的點
題型五 波特有的現象
波的干涉和衍射現象 多普勒效應
1.波的干涉和衍射
2.多普勒效應
(1)條件：聲源和觀察者之間有相對運動(距離發(fā)生變化)。
(2)現象：觀察者感到頻率發(fā)生變化。
(3)實質：聲源頻率不變，觀察者接收到的頻率變化。
【例1】(多選)下列說法正確的是( )
A．在干涉現象中，振動加強點的位移總比減弱點的位移要大
B．單擺在周期性外力作用下做受迫振動，其振動周期與單擺的擺長無關
C．火車鳴笛向我們駛來時，我們聽到的笛聲頻率將比聲源發(fā)聲的頻率高
D．當水波通過障礙物時，若障礙物的尺寸與波長差不多，或比波長大的多時，將發(fā)生明顯的衍射現象
【例2】(多選)甲、乙兩列簡諧橫波的傳播速率相同，分別沿x軸正方向和負方向傳播，t＝0時刻兩列波的前端剛好分別傳播到x＝－2 m的質點A和x＝1 m的質點B，如圖所示．已知橫波甲的頻率為2.5 Hz，下列說法正確的是( )
A．兩列波相遇后會發(fā)生干涉現象
B．乙波的頻率為1.25 Hz
C．乙波更易發(fā)生明顯衍射現象
D．兩列波會同時傳到x＝－0.5 m處，且該質點的振動方向沿y軸負方向
【例3】(多選)[2020·全國卷Ⅰ，34(1)]在下列現象中，可以用多普勒效應解釋的有( )
A.雷雨天看到閃電后，稍過一會兒才能聽到雷聲
B.超聲波被血管中的血流反射后，探測器接收到的超聲波頻率發(fā)生變化
C.觀察者聽到遠去的列車發(fā)出的汽笛聲，音調會變低
D.同一聲源發(fā)出的聲波，在空氣和水中傳播的速度不同
E.天文學上觀察到雙星(相距較近、均繞它們連線上某點做圓周運動的兩顆恒星)光譜隨時間的周期性變化
【例4】(2022·山東青島市一模)在某種介質中，一列沿x軸傳播的簡諧橫波在t＝0時刻的波形圖如圖7(a)所示，此時質點A在波峰位置，質點D剛要開始振動，質點C的振動圖像如圖(b)所示；t＝0時刻在D點有一臺機械波信號接收器(圖中未畫出)，正以2 m/s的速度沿x軸正向勻速運動。下列說法正確的是( )
A.質點D的起振方向沿y軸負方向
B.t＝0.05 s時質點B回到平衡位置
C.信號接收器接收到該機械波的頻率小于2.5 Hz
D.若改變振源的振動頻率，則形成的機械波在該介質中的傳播速度也將發(fā)生改變
【例5】(多選)(2022·四川省高三三模)下列說法正確的是( )
A．火車鳴笛進站時，站臺上旅客接收到笛聲的頻率比火車鳴笛頻率高
B．同一聲源發(fā)出的聲波，在空氣和水中傳播的速度相同
C．兩列相干波的波峰與波峰疊加相互加強，波谷與波谷疊加相互削弱
D．超聲波被血管中的血流反射后，探測器接收到的超聲波頻率發(fā)生變化
E．在用單擺測重力加速度實驗中，若所測g值偏大，可能是把n次全振動誤記為n＋1次
內容
圖像
“上下坡”法
沿波的傳播方向，“上坡”時質點向下振動，“下坡”時質點向上振動
“同側”法
波形圖上某點表示傳播方向和振動方向的箭頭在圖線同側
“微平移”法
將波形沿傳播方向進行微小的平移，再由對應同一橫坐標的兩波形曲線上的點來判斷振動方向
比較項目
振動圖像
波的圖像
研究對象
一個質點
波傳播方向上的所有質點
研究內容
某質點位移隨時間的變化規(guī)律
某時刻所有質點在空間分布的規(guī)律
圖像
橫坐標
表示時間
表示各質點的平衡位置
物理意義
某質點在各時刻的位移
某時刻各質點的位移
振動方向的判斷
(看下一時刻的位移)
(同側法)
Δt后的圖形
隨時間推移，圖像延伸，但已有形狀不變
隨時間推移，圖像沿波的傳播方向平移，原有波形做周期性變化
聯系
(1)縱坐標均表示質點的位移
(2)縱坐標的最大值均表示振幅
(3)波在傳播過程中，各質點都在各自的平衡位置附近振動
波的干涉
波的衍射
條件
兩列波的頻率必須相同，相位差保持不變
產生明顯衍射的條件：障礙物或孔的尺寸比波長小或相差不多
現象
形成加強區(qū)和減弱區(qū)相互隔開的穩(wěn)定的干涉圖樣
波能夠繞過障礙物或孔繼續(xù)向前傳播
專題19 機械波
目錄
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc3611" 題型一 機械波與波的圖像 PAGEREF _Tc3611 \h 1
\l "_Tc27933" 類型1 波的形成及傳播 PAGEREF _Tc27933 \h 1
\l "_Tc25356" 類型2 波的圖像 PAGEREF _Tc25356 \h 3
\l "_Tc27663" 題型二 波的圖像和振動圖像的理解和應用 PAGEREF _Tc27663 \h 5
\l "_Tc25988" 題型三 波傳播的周期性和多解性問題 PAGEREF _Tc25988 \h 8
\l "_Tc31961" 類型1 時間多解性 PAGEREF _Tc31961 \h 8
\l "_Tc10286" 類型2 空間多解性 PAGEREF _Tc10286 \h 11
\l "_Tc7397" 題型四 波的疊加 PAGEREF _Tc7397 \h 14
\l "_Tc14986" 題型五 波特有的現象 PAGEREF _Tc14986 \h 19
題型一 機械波與波的圖像
1．傳播特點
(1)波傳到任意一點，該點的起振方向都和波源的起振方向相同。
(2)介質中每個質點都做受迫振動，因此，任一質點的振動頻率和周期都和波源的振動頻率和周期相同。
(3)波從一種介質進入另一種介質，由于介質的情況不同，它的波長和波速可能改變，但頻率和周期都不會改變。
(4)波源經過一個周期T完成一次全振動，波恰好向前傳播一個波長的距離，所以v＝eq \f(λ,T)＝λf。
2．波的傳播方向與質點振動方向的互判方法
類型1 波的形成及傳播
【例1】(多選)如圖所示，A、B兩點為某簡諧橫波上的質點，已知波的傳播方向由A到B，t＝0時刻該波剛好傳到A點，且A點的振動方向豎直向上，經時間t0質點B剛好起振．已知波的傳播周期為T、傳播速度為v，則下列說法正確的是( )
A．振源位于A的左側，且起振方向豎直向上
B．質點B振動后，其振動周期一定為T
C．質點B每次經過平衡位置的速度一定為v
D．質點B的起振方向與A、B兩點之間的距離有關
【答案】 AB
【解析】 因為質點A剛起振時的振動方向豎直向上，因此振源的起振方向豎直向上，又由于波的傳播方向由A到B，因此振源位于A的左側，故A正確；質點B的振動周期等于振源的振動周期，等于波的傳播周期，則一定為T，故B正確；波的傳播速度與質點的振動速度是兩個不同的概念，則質點B經過平衡位置的速度不一定為v，故C錯誤；A、B之間各質點在振源的帶動下做受迫振動，則開始振動的方向與振源開始起振的方向相同，與A、B兩點之間的距離無關，故D錯誤．
【例2】(2021·1月重慶市適應性測試)如圖2所示，a、b、c、d是一簡諧橫波上的質點，某時刻a、d位于平衡位置且相距為9 m，c在波谷，該波的波速為2 m/s。若此時a經平衡位置向上振動，則( )
A．此波向右傳播
B．b點振動周期為3 s
C．c點運動速度大小為2 m/s
D．此波在a、d兩點之間傳播需3 s
【答案】 B
【解析】 此時a經平衡位置向上振動，根據“上下坡法”可知，波是向左傳播的，故A錯誤；由圖可知，這列波的波長為λ＝eq \f(2,3)xad＝6 m，波的周期為T＝eq \f(λ,v)＝3 s，故B正確；c點在波谷，所以此時c點運動速度大小為0，故C錯誤；此波在a、d兩點之間傳播所需時間t＝eq \f(xad,v)＝4.5 s，故D錯誤。
【例3】(2022·貴州貴陽市模擬)如圖甲所示，一個不計重力的彈性繩水平放置，O、b、c是彈性繩上的三個質點.現讓質點O從t＝0時刻開始，在豎直平面內做簡諧運動，其位移隨時間變化的振動方程為y＝20sin 5πt(cm)，形成的簡諧波同時沿該直線向Ob和Oc方向傳播，在t1＝0.5 s時，質點b恰好第一次到達正向最大位移處，O、b兩質點平衡位置間的距離L1＝0.8 m，O、c兩質點平衡位置間的距離L2＝0.6 m.求：
(1)此橫波的波長和波速；
(2)計算0～1.0 s的時間內質點c運動的總路程.并在圖乙中畫出t＝1.0 s時刻向兩方向傳播的大致波形圖.(畫波形圖時不要求解題過程)
【答案】 (1)0.8 m 2 m/s (2)1.4 m 波形圖見解析圖
【解析】 (1)由質點O位移隨時間變化的振動方程可知：
T＝eq \f(2π,ω)＝0.4 s
設質點O振動產生的機械波的波長為λ，波速為v，由題意可得：t1＝eq \f(L1,v)＋eq \f(T,4)
可得：v＝2 m/s
由λ＝vT
解得：λ＝0.8 m.
(2)設波由O點傳播到c點所用時間為t2，t2之前質點c處于靜止狀態(tài).
t2＝eq \f(L2,v)＝0.3 s，在t2＝0.3 s時，質點c開始向上振動，其振幅為A＝20 cm，振動周期和波源的周期相等，為T＝0.4 s，
則振動時間為：Δt＝(1.0－0.3) s＝T＋eq \f(3,4)T
質點c運動的路程為：s＝7A＝1.4 m
t＝1.0 s時，質點O振動了eq \f(1.0 s,0.4 s)＝2.5個周期，正處在平衡位置向下運動，再結合波長λ＝0.8 m及波的傳播方向，可畫出波形圖如圖所示.
類型2 波的圖像
【例1】(多選)一簡諧橫波沿x軸傳播，在某時刻的波形如圖所示，已知此時質點F的運動方向向下，則( )
A．此波沿x軸負方向傳播
B．質點D此時向下運動
C．質點B將比質點C先回到平衡位置
D．質點E的振幅為零
【答案】 AB
【解析】 簡諧橫波沿x軸傳播，此時質點F的運動方向向下，由波形平移法可知，該波沿x軸負方向傳播，故A正確；質點D此時的運動方向與質點F的運動方向相同，即向下運動，故B正確；此時質點B向上運動，而質點C已經在最大位移處，將向下運動，直接回到平衡位置，則質點C先回到平衡位置，故C錯誤；此時質點E的位移為零，但振幅不為零，各個質點的振幅均相同，故D錯誤．
【例2】 (2022·湖北省1月選考模擬·5)一列簡諧橫波沿x軸正方向傳播，其波速為10 m/s，t＝0時刻的波形如圖所示．下列說法正確的是( )
A．0～0.6 s時間內，質點P運動的路程為18 cm
B．t＝0.6 s時刻，質點P相對平衡位置的位移是6 cm
C．t＝1.2 s時刻，質點Q加速度最大
D．t＝1.4 s時刻，質點M沿y軸負方向運動
【答案】 A
【解析】 由波形圖可知A＝6 cm，λ＝8 m，因為v＝10 m/s，所以T＝eq \f(λ,v)＝0.8 s,0～0.6 s時間內，質點P運動的路程s＝3A＝18 cm，A正確；t＝0.6 s時，即經過eq \f(3,4)T，質點P恰好回到平衡位置，相對平衡位置的位移為0，B錯誤；t＝1.2 s＝eq \f(3,2)T時，質點Q處于平衡位置，加速度為0，C錯誤；t＝1.4 s＝1eq \f(3,4)T時，質點M處于波谷和平衡位置之間，正沿y軸正方向運動，D錯誤．
題型二 波的圖像和振動圖像的理解和應用
1.振動圖像和波的圖像的比較
2.巧解波的圖象與振動圖象綜合問題的基本方法
【例1】(多選)圖甲為一列簡諧橫波在t＝0.10 s時刻的波形圖，P是平衡位置在x＝1.0 m處的質點，Q是平衡位置在x＝4.0 m處的質點；圖乙為質點Q的振動圖像，下列說法正確的是( )
A．這列簡諧橫波以80 m/s的速度向左傳播
B．t＝0時刻，質點P沿y軸負方向振動
C．在t＝0.10 s時刻，質點P的位移為5eq \r(3) cm
D．從t＝0.10 s到t＝0.25 s，質點Q通過的路程為30 cm
【答案】 BD
【解析】 根據振動圖像，質點Q在t＝0.10 s后的下一時刻的振動方向向下，結合波的圖像，可知這列簡諧橫波向左傳播，波速為v＝eq \f(λ,T)＝eq \f(8,0.2) m/s＝40 m/s，A錯誤；因為波向左傳播，所以t＝0時刻，質點P的振動情況與t＝0.10 s時x＝1 m＋40×0.1 m＝5 m處的質點振動情況一致，由波的圖像可知該處的質點正沿y軸負方向振動，B正確；簡諧波的方程為y＝(10sin eq \f(2π,8)x) cm＝(10sin eq \f(π,4)x) cm，將x＝1.0 m代入得y＝(10sin eq \f(π,4)) cm＝5eq \r(2) cm，C錯誤；從t＝0.10 s到t＝0.25 s，經歷了eq \f(3,4)T，質點Q通過的路程為s＝eq \f(3,4)×4A＝30 cm，D正確．
【例2】如圖所示，圖甲是t＝5 s時刻一簡諧橫波沿x軸正方向傳播的波形圖，圖乙為這列波上某質點的振動圖像，則( )
A．該列波的波速為4 m/s
B．圖乙可能是質點b的振動圖像
C．質點c的振動方程為y＝6sin(eq \f(πt,2)＋π) cm
D．t＝10 s時，a點的振動方向向上
【答案】 C
【解析】 由題圖甲可得λ＝8 m，由題圖乙可得T＝4 s，所以橫波的波速為v＝eq \f(λ,T)＝2 m/s，故A錯誤；由題圖甲可知，t＝5 s時，質點b位于平衡位置且向上振動，由題圖乙可知，5 s時質點處于波峰位置，故B錯誤；由題圖甲可知，質點c的振動方程為y＝6sin(eq \f(π,2)t＋π) cm，故C正確；t＝5 s時質點a處于波峰，經過5 s＝(1＋eq \f(1,4))T，質點a運動到平衡位置且向下振動，故D錯誤．
【例3】(多選)(2021·福建莆田市模擬)漁船上的聲吶利用超聲波來探測遠方魚群的方位。某漁船發(fā)出的一列超聲波在t＝0時的波動圖像如圖甲所示，圖乙為質點P的振動圖像，則下列說法正確的是( )
A．該波的波速為1.5 m/s
B．該波沿x軸正方向傳播
C．0～1 s時間內，質點P運動的路程為2 m
D．旁邊另一艘漁船發(fā)出了更高頻率的超聲波，這兩列聲波在水中傳播速度大小相等
【答案】 BCD
【解析】 波速為v＝eq \f(λ,T)＝eq \f(1.5×10－2,1×10－5) m/s＝1.5×103 m/s，A錯誤；由乙圖知，t＝0時刻質點P向上振動，利用“上下坡”法，可以判斷出波沿x軸正方向傳播，B正確；質點P在一個周期內的路程為4A＝2×10－5 m，所以1 s的路程為s＝eq \f(1,1×10－5)×2×10－5 m＝2 m，C正確；超聲波在同一介質中的傳播速度大小相等，D正確。
【例3】(多選)(2022·天津南開中學高三月考)一列簡諧橫波，在t＝0.6 s時刻的圖像如圖甲所示，此時，P、Q兩質點的位移均為－1 cm，波上A質點的振動圖像如圖乙所示，則以下說法正確的是( )
A．這列波沿x軸正方向傳播
B．這列波的波速是eq \f(50,3) m/s
C．從t＝0.6 s開始，緊接著的Δt＝0.6 s時間內，A質點通過的路程是2 cm
D．從t＝0.6 s開始，質點P比質點Q早0.4 s回到平衡位置
【答案】 ABD
【解析】 由題圖乙讀出該時刻即t＝0.6 s時刻質點A的速度方向為沿y軸負方向，由題圖甲判斷出波的傳播方向為沿x軸正方向，故A正確；
由題圖甲讀出該波的波長為λ＝20 m，由題圖乙知周期為T＝1.2 s，則波速為v＝eq \f(λ,T)＝eq \f(20,1.2) m/s＝eq \f(50,3) m/s，故B正確；Δt＝0.6 s＝0.5T，質點做簡諧運動時在一個周期內質點A通過的路程是4倍振幅，則經過Δt＝0.6 s，A質點通過的路程是s＝2A＝2×2 cm＝4 cm，故C錯誤；
圖示時刻質點P沿y軸正方向運動，質點Q沿y軸負方向，所以質點P將比質點Q早回到平衡位置，將題圖甲與余弦曲線進行對比可知：P點的橫坐標為xP＝eq \f(20,3) m，Q點的橫坐標為xQ＝eq \f(40,3) m，根據波形的平移法可知質點P比質點Q早回到平衡位置的時間為t＝eq \f(xQ－xP,v)＝eq \f(\f(20,3),\f(50,3)) s＝0.4 s，故D正確．
題型三 波傳播的周期性和多解性問題
1．造成波傳播多解的主要因素
(1)周期性
①時間周期性：時間間隔Δt與周期T的關系不明確。
②空間周期性：波傳播的距離Δx與波長λ的關系不明確。
(2)雙向性
①傳播方向雙向性：波的傳播方向不確定。
②振動方向雙向性：質點振動方向不確定。
2．解決波的多解問題的思路
一般采用從特殊到一般的思維方法，即找出一個周期內滿足條件關系的Δt或Δx，若此關系為時間，則t＝nT＋Δt(n＝0，1，2，…)；若此關系為距離，則x＝nλ＋Δx(n＝0，1，2，…)。
類型1 時間多解性
【例1】如圖，實線是一列簡諧橫波在t1＝0時刻的波形，虛線是這列波在t2＝0.5 s時刻的波形．
(1)寫出這列波的波速表達式；
(2)若波速大小為74 m/s，波的傳播方向如何？
【答案】 見解析
【解析】 (1)由題圖可知λ＝8 m
當波向右傳播時，在Δt＝t2－t1時間內波傳播的距離為
s＝nλ＋eq \f(3,8)λ＝(8n＋3) m(n＝0,1,2…)
波速為v＝eq \f(s,Δt)＝eq \f(8n＋3,0.5) m/s＝(16n＋6) m/s(n＝0,1,2…)．
當波向左傳播時，在Δt＝t2－t1時間內波傳播的距離為
s＝nλ＋eq \f(5,8)λ＝(8n＋5) m(n＝0,1,2…)
波速為v＝eq \f(s,Δt)＝eq \f(8n＋5,0.5) m/s＝(16n＋10)m/s(n＝0,1，2…)．
(2)若波速大小為74 m/s，在Δt＝t2－t1時間內波傳播的距離為s＝v·Δt＝74×0.5 m＝37 m.
因為37 m＝4λ＋eq \f(5,8)λ，所以波向左傳播．
【例2】(多選)如圖所示，一列簡諧橫波沿x軸傳播，實線為t＝0時的波形圖，虛線為t＝0.5 s時的波形圖，下列說法正確的是( )
A．若波沿x軸正方向傳播，則其最大周期為2.0 s
B．若波沿x軸負方向傳播，則其傳播的最小速度為2 m/s
C．若波速為26 m/s，則t＝0時P質點的運動方向沿y軸正方向
D．若波速為14 m/s，則t＝0時P質點的運動方向沿y軸正方向
【答案】 AD
【解析】 若波沿x軸正方向傳播，則傳播時間Δt＝(n＋eq \f(1,4))T(n＝0,1,2,3…)，所以周期T＝eq \f(4Δt,4n＋1)(n＝0,1,2,3…)，當n＝0時，T最大，最大值為Tmax＝4Δt＝2.0 s，選項A正確；
若波沿x軸負方向傳播，波傳播的距離最小值為3 m，它的最小速度為v＝eq \f(Δx,Δt)＝eq \f(3,0.5) m/s＝6 m/s，選項B錯誤；若波的傳播速度為26 m/s，波在Δt＝0.5 s時間內傳播的距離為Δx＝vΔt＝13 m＝3λ＋eq \f(1,4)λ，波的傳播方向是沿x軸正方向，可知t＝0時P質點的運動方向沿y軸負方向，選項C錯誤；若波的傳播速度為14 m/s，波在Δt＝0.5 s時間內傳播的距離為Δx＝v′Δt＝7 m＝λ＋eq \f(3,4)λ，波的傳播方向是沿x軸負方向，可知t＝0時刻P質點的運動方向沿y軸正方向，選項D正確．
【例3】(多選)(2022·山東泰安市檢測)一列簡諧橫波沿x軸傳播，t＝0時刻該波波形如圖中實線所示，此時x＝0處的質點沿y軸負向振動；t＝2.0 s時刻波形如圖中虛線所示。則( )
A．波的傳播速度可能為0.3 m/s
B．波的傳播速度可能為0.9 m/s
C．此列波的波長為0.8 m
D．此列波沿x軸負向傳播
【答案】 AB
【解析】 此列波的波長為λ＝2×(0.8－0.2) m＝1.2 m，C錯誤；根據題意得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋\f(1,2)))T＝2 s(n＝0，1，2…)，所以波速為v＝eq \f(λ,T)＝eq \f(1.2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n＋\f(1,2))),2) m/s＝(0.6n＋0.3) m/s(n＝0，1，2…)，當n＝0時，v＝0.3 m/s，當n＝1時，v＝0.9 m/s，A、B正確；因為x＝0處的質點沿y軸負向振動，所以此列波沿x軸正向傳播，D錯誤。
【例4】．(多選)(2022·天津紅橋區(qū)質量調查)一列沿x軸傳播的簡諧橫波，t＝0時刻的波形如圖中實線所示，t＝0.3 s時刻的波形為圖中虛線所示，則( )
A．波的傳播方向一定向左
B．波的周期可能為0.4 s
C．波的頻率可能為5.0 Hz
D．波的傳播速度可能為5.0 m/s
【答案】 BD
【解析】 由波形的平移法分析波可能向右傳播，也可能向左傳播，故A錯誤；若波向右傳播，則時間Δt＝(n＋eq \f(3,4))T，得到周期T＝eq \f(4Δt,4n＋3)＝eq \f(1.2,4n＋3) s(n＝0，1，2…)，當n＝0時，周期為0.4 s，同理，若波向左傳播，周期T＝eq \f(1.2,4n＋1) s(n＝0，1，2…)，波向右傳播時，f＝eq \f(4n＋3,1.2) Hz，波向左傳播時，f＝eq \f(4n＋1,1.2) Hz，由于n是整數，f不可能等于5.0 Hz，故B正確，C錯誤；由圖讀出波長為λ＝1.2 m，向左傳播時，波速的v＝λf＝(4n＋1)m/s，當n＝1時，v＝5.0 m/s，故D正確。
類型2 空間多解性
【例1】在一列沿水平直線傳播的簡諧橫波上有相距4 m的A、B兩點，如圖甲、乙分別是A、B兩質點的振動圖像．已知該波波長大于2 m，求這列波可能的波速．
【答案】 見解析
【解析】 由振動圖像得質點振動周期T＝0.4 s，
若波由A向B傳播，B點比A點晚振動的時間Δt＝nT＋eq \f(3,4)T(n＝0,1,2,3，…)，
所以A、B間的距離為Δs＝vΔt＝eq \f(λ,T)Δt＝nλ＋eq \f(3,4)λ(n＝0,1,2,3，…)，
則波長為λ＝eq \f(4Δs,4n＋3)＝eq \f(16,4n＋3) m(n＝0,1,2,3，…)，
因為λ>2 m，所以n＝0,1
當n＝0時，λ1＝eq \f(16,3) m，v1＝eq \f(λ1,T)＝eq \f(40,3) m/s，
當n＝1時，λ2＝eq \f(16,7) m，v2＝eq \f(λ2,T)＝eq \f(40,7) m/s.
若波由B向A傳播，A點比B點晚振動的時間Δt＝nT＋eq \f(1,4)T(n＝0,1,2,3，…)，
所以A、B間的距離為
Δs＝nλ＋eq \f(1,4)λ(n＝0,1,2,3，…)，
則波長為λ＝eq \f(4Δs,4n＋1)＝eq \f(16,4n＋1) m(n＝0,1,2,3，…)
因為λ>2 m，所以n＝0,1
當n＝0時，λ1＝16 m，v1＝40 m/s，
當n＝1時，λ2＝eq \f(16,5) m，v2＝8 m/s.
【例2】一列簡諧橫波沿x軸傳播，a、b為x軸上相距0.4 m的兩質點，如圖10甲所示．兩質點的振動圖象分別如圖乙、丙所示．
(1)當該波在該介質中傳播的速度為2 m/s時，求該波的波長；
(2)若該波的波長大于0.3 m，求可能的波速．
【答案】 (1)1.6 m (2)若波由a向b傳播，v＝eq \f(2,3) m/s；若波由b向a傳播，v＝2 m/s或0.4 m/s
【解析】 (1)由題圖可知T＝0.8 s，又λ＝vT，解得λ＝1.6 m.
(2)若波由a向b傳播，則有(n＋eq \f(3,4))λ＝0.4 m(n＝0,1,2，…)
又λ>0.3 m，則n＝0，此時λ＝eq \f(8,15) m
由v＝eq \f(λ,T)得v＝eq \f(2,3) m/s
若波由b向a傳播，則(n＋eq \f(1,4))λ＝0.4 m(n＝0,1,2，…)
又λ>0.3 m，則n＝0或1
此時λ＝1.6 m或λ＝eq \f(8,25) m
由v＝eq \f(λ,T)得v＝2 m/s或v＝0.4 m/s
【例3】(多選)(2022·安徽省模擬)一列沿x軸正方向傳播的簡諧橫波，在波的傳播方向上兩質點a、b的平衡位置相距6 m，a、b的振動圖象分別如圖甲、乙所示．下列說法正確的是( )
A．該波的周期為12 s
B．該波的波長可能為24 m
C．該波的傳播速度可能為2 m/s
D．質點a在0～4 s內通過的路程為6 cm
E．質點b在波谷位置時，質點a在平衡位置沿y軸負方向運動
【答案】 ADE
【解析】 根據質點振動圖象可確定周期為12 s，A正確；由a、b的振動圖象可確定a、b間相距(n＋eq \f(3,4))λ(n＝0,1,2,3…)，所以6 m＝(n＋eq \f(3,4))λ
n＝0時為最大波長，λm＝8 m，不可能為24 m，B錯誤；根據v＝eq \f(λ,T)，可知v＝eq \f(2,4n＋3) m/s(n＝0,1,2,3…)
當n＝0時，波速最大為eq \f(2,3) m/s，不可能為2 m/s，C錯誤；
根據三角函數關系可知，0～4 s為(eq \f(1,4)T＋eq \f(1,12)T)，其通過的路程為一個振幅4 cm加上振幅的一半，等于6 cm，D正確；由a、b振動圖象可知，質點b在波谷位置時，a點在平衡位置沿y軸負方向運動，E正確．
【例4】一列簡諧橫波沿x軸傳播，a、b為x軸上相距0.5 m的兩質點，如圖甲所示．兩質點的振動圖像分別如圖乙、丙所示．
(1)當該波在該介質中傳播的速度為2.5 m/s時，求該波的波長；
(2)若該波的波長大于0.3 m，求可能的波速．
【答案】 (1)2 m (2)若波由a向b方向傳播，波速為eq \f(5,6) m/s，若波由b向a方向傳播，波速為2.5 m/s或0.5 m/s
【解析】 (1)由圖像得周期T＝0.8 s，波速v＝25 m/s，波長為λ＝vT＝25×0.8 m＝2 m.
(2)若波由a向b方向傳播eq \f(3,4)λ1＝0.5 m，v1＝eq \f(λ1,T)
解得v1＝eq \f(5,6) m/s
若波由b向a方向傳播，eq \f(λ2,4)＝0.5 m，v2＝eq \f(λ2,T)，
解得v2＝2.5 m/s，
(1＋eq \f(1,4))λ3＝0.5 m
v3＝eq \f(λ3,T)
解得v3＝0.5 m/s.
【例5】一列波長大于3.6 m的簡諧橫波沿直線由a向b傳播，a、b的平衡位置相距6 m，a、b兩質點的振動圖像如圖所示．由此可知( )
A．3 s末a、b兩質點的位移相同
B．該波的波速為2 m/s
C．該波的波長為4 m
D．該波由a傳播到b歷時1.5 s
【答案】 B
【解析】 由題圖可知，3 s末a、b兩質點的位移不同，一個在平衡位置，一個在波谷，故A錯誤；由題圖可知，波的周期為T＝4 s，質點a的振動傳到b用時t＝3＋nT(n＝0,1,2…)，則該波的波速為v＝eq \f(s,t)＝eq \f(6,3＋4n) m/s(n＝0,1,2…)，該波的波長為λ＝vT＝eq \f(24,3＋4n) m(n＝0,1,2…)，
根據題意，波長大于3.6 m，則n只能取0，故t＝3 s，v＝2 m/s，λ＝8 m，故B正確，C、D錯誤．
題型四 波的疊加
1．波的疊加
在波的疊加中，質點的位移等于這幾列波單獨傳播時引起的位移的矢量和．
2．波的干涉現象中加強點、減弱點的判斷方法
(1)公式法：
某質點的振動是加強還是減弱，取決于該點到兩相干波源的距離之差Δr.
①當兩波源振動步調一致時．
若Δr＝nλ(n＝0,1,2，…)，則振動加強；
若Δr＝(2n＋1)eq \f(λ,2)(n＝0,1,2，…)，則振動減弱．
②當兩波源振動步調相反時．
若Δr＝(2n＋1)eq \f(λ,2)(n＝0,1,2，…)，則振動加強；
若Δr＝nλ(n＝0,1,2，…)，則振動減弱．
(2)圖像法：
在某時刻波的干涉的波形圖上，波峰與波峰(或波谷與波谷)的交點，一定是加強點，而波峰與波谷的交點一定是減弱點，各加強點或減弱點各自連接形成以兩波源為中心向外輻射的連線，形成加強線和減弱線，兩種線互相間隔，加強點與減弱點之間各質點的振幅介于加強點與減弱點的振幅之間．
【例1】(多選)(2022·陜西西安中學高三一模)如圖所示，兩列簡諧橫波分別沿x軸正方向和負方向傳播，兩波源分別位于x＝－0.2 m和x＝1.2 m處，兩列波的速度均為v＝0.4 m/s，兩列波的振幅均為A＝2 cm.圖示為t＝0時刻兩列波的圖象(傳播方向如圖所示)，此時刻平衡位置處于x＝0.2 m和x＝0.8 m的P、Q兩質點剛開始振動，質點M的平衡位置處于x＝0.5 m處，關于各質點運動情況判斷正確的是( )
A．t＝0.75 s時刻，質點P、Q都運動到M點
B．x＝0.4 m處，質點的起振方向沿y軸負方向
C．t＝2 s時，質點M的縱坐標為4 cm
D．0到2 s這段時間內，質點M通過的路程為20 cm
E．質點M振動后的振幅為4 cm
【答案】 BDE
【解析】 質點不隨波的傳播遷移，所以質點P、Q都不會運動到M點，A錯誤；向x軸正方向傳播的波先振動到x＝0.4 m處，根據“上下坡法”，由波的傳播特點可知，x＝0.4 m處的質點起振方向沿y軸負方向，B正確；由于兩列波同時到達M點，兩列波的周期相等，所以兩列波形成的干涉波在質點M處屬于振動加強點，質點M的振幅是兩波振幅的和，即A′＝2A＝2×4 cm＝4 cm，E正確；由題圖可知，兩波的波長都是0.4 m，由波長和波速的關系，解得波的周期T＝eq \f(λ,v)＝eq \f(0.4,0.4) s＝1 s，P、Q兩質點到M點的距離都是0.3 m，兩波傳到M點的時間都是t＝eq \f(0.3,0.4) s＝0.75 s＝eq \f(3,4)T，質點M起振的方向向下，再經過1.25 s＝1eq \f(1,4)T，兩波的波谷恰好傳到質點M，所以質點M的位移是－4 cm，縱坐標是－4 cm，C錯誤；0到2 s這段時間內，質點M振動的時間是eq \f(5,4)T，通過的路程是s＝eq \f(5,4)×4A′＝eq \f(5,4)×4×2 cm＝20 cm，D正確．
【例2】(2020·全國卷Ⅰ·34(2))一振動片以頻率f做簡諧振動時，固定在振動片上的兩根細桿同步周期性地觸動水面上a、b兩點，兩波源發(fā)出的波在水面上形成穩(wěn)定的干涉圖樣．c是水面上的一點，a、b、c間的距離均為l，如圖所示．已知除c點外，在ac連線上還有其他振幅極大的點，其中距c最近的點到c的距離為eq \f(3,8)l.求：
(1)波的波長；
(2)波的傳播速度．
【答案】 (1)eq \f(1,4)l (2)eq \f(1,4)fl
【解析】 (1)如圖，設距c點最近的振幅極大的點為d點，a與d的距離為r1，b與d的距離為r2，d與c的距離為s，波長為λ.
則r2－r1＝λ①
由幾何關系有r1＝l－s②
r22＝(r1sin 60°)2＋(l－r1cs 60°)2③
聯立①②③式并代入題給數據得λ＝eq \f(1,4)l④
(2)波的頻率為f，設波的傳播速度為v，有v＝fλ⑤
聯立④⑤式得v＝eq \f(1,4)fl.
【例3】(2021·1月遼寧適應性測試)如圖所示，在xOy平面內有兩個沿z軸方向(垂直xOy平面)做簡諧運動的點波源S1(1，0)和S2(4，0)，振動方程分別為zS1＝Asin(πt＋eq \f(π,2))、zS2＝Asin(πt－eq \f(π,2))。兩列波的波速均為1 m/s，兩列波在點B(2.5，3)和點C(4，4)相遇時，分別引起B(yǎng)、C處質點的振動總是相互( )
A．加強、加強 B．減弱、減弱
C．加強、減弱 D．減弱、加強
【答案】 D
【解析】 由振動方程可知兩波源頻率相同，振動步調相反，T＝2 s，由v＝eq \f(λ,T)得λ＝vT＝2 m。兩列波從波源傳到B點路程相等，所以B點為振動減弱點，兩列波從波源傳到C點路程差ΔsC＝eq \r(32＋42) m－4 m＝5 m－4 m＝1 m，為波長的一半，因兩波源振動步調相反，所以C點為振動加強點，故選項D正確。
【例4】(多選)(2022·云南曲靖市高三二模)如圖甲所示，均勻介質中兩波源S1、S2分別位于x軸上x1＝0、x2＝14 m處，質點P位于x軸上xP＝4 m處，t＝0時刻兩波源同時由平衡位置開始振動，S1、S2的振動圖象分別如圖乙、丙所示，傳播速度大小均為v＝2 m/s，下列說法正確的是( )
A．波源S1發(fā)出的波經過4 s傳播到P點
B．0～4 s內質點P通過的路程為16 cm
C．t＝5 s時刻質點P位于波谷
D．當兩列波疊加后質點P的振動是加強的
E．當兩列波疊加后質點P的振幅為6 cm
【答案】 BDE
【解析】 波源S1發(fā)出的波傳播到P點的時間t＝eq \f(S1P,v)＝eq \f(4,2) s＝2 s，選項A錯誤；
0～4 s內質點P振動2 s，通過的路程為4A1＝16 cm，選項B正確；
t＝5 s時刻由S1在質點P引起的振動位于平衡位置，此時刻由波源S2引起的振動剛剛傳到P點，則此時質點P位于平衡位置，選項C錯誤；
兩列波的波長均為λ＝vT＝4 m，
P點到兩波源的距離差等于6 m＝eq \f(3,2)λ，兩列波起振的方向相反，可知當兩列波疊加后質點P的振動是加強的，則當兩列波疊加后質點P的振幅為A＝A1＋A2＝6 cm，
選項D、E正確．
【例5】(多選)如圖所示甲、乙兩列橫波在同一介質中分別從波源M、N兩點沿x軸相向傳播，波速為2 m/s，振幅都為A，某時刻的圖像如圖所示．此時甲波恰好傳到x＝2 m處，乙波恰好傳到x＝6 m處，取此時為t＝0時刻，則以下說法中正確的有( )
A．經過足夠長時間后，甲、乙兩波能形成穩(wěn)定的干涉圖樣
B．t＝2 s時，平衡位置在x＝3 m處的質點的位移此時為y＝(1＋eq \f(\r(3),2))A
C．t＝3 s時，平衡位置在x＝7 m處的質點振動方向向下
D．t＝3 s時，兩波源間(不含波源)有5個質點位移為零
【答案】 BD
【解析】 由題圖可求得甲、乙兩列橫波的頻率為
f甲＝eq \f(v,λ甲)＝eq \f(2,4) Hz＝eq \f(1,2) Hz，f乙＝eq \f(v,λ乙)＝eq \f(2,6) Hz＝eq \f(1,3) Hz，
產生穩(wěn)定的干涉圖樣需要兩列波的頻率相同，故這兩列波不能形成穩(wěn)定的干涉圖樣，故A錯誤；
t＝2 s時，根據Δx＝vt＝2×2 m＝4 m可知，兩列波均向前傳播了4 m，可知甲波的波峰剛好到達3 m處，乙波x＝7 m處的振動剛好傳到3 m處，由圖像可分別列出兩列波的解析式
y甲＝Asin (eq \f(π,2)x)，y乙＝Asin (eq \f(π,3)x)，
故可得t＝2 s時，平衡位置在3 m處的質點的位移為y＝y(tǒng)甲＋y乙＝A＋eq \f(\r(3),2)A＝(1＋eq \f(\r(3),2))A，故B正確；
t＝3 s時，根據Δx＝vt＝2×3 m＝6 m可知，兩列波均向前傳播了6 m，即甲的波谷到達x＝7 m處，乙波是平衡位置與波峰之間某一振動到達x＝7 m處，根據疊加知，該質點向上振動，故C錯誤；
畫出再經過3 s的波形圖如圖所示，根據波的疊加可知兩波源間(含波源)有5個質點位移為零，這5個質點的平衡位置分別在2～3 m之間，4～5 m之間，6 m處，7～8 m之間，9 m處，選項D正確．
【例6】(多選)(2022·山西省高三三模)我們常用以下實驗裝置觀察水波的干涉現象．在水槽中，波源是固定在同一個振動片上的兩根細桿，當振動片振動時，固連在振動片上的兩根完全相同的細桿周期性的擊打水面，并且兩細桿擊打的深度和頻率完全相同，可看作兩個波源．這兩列波相遇后，在它們的重疊區(qū)域會形成如圖甲所示的穩(wěn)定干涉圖樣．如圖乙所示，振動片以周期T做簡諧運動時，兩細桿同步周期性地擊打水面上的A、B兩點，兩波源發(fā)出的水波在水面上形成穩(wěn)定的干涉圖樣．若以線段AB為直徑在水面上畫一個半圓，半徑OC與AB垂直．除C點外，圓周上還有其他振幅最大的點，其中在C點左側距C點最近的為D點．已知半圓的直徑為d，∠DBA＝37°，sin 37°＝0.6，cs 37°＝0.8，則( )
A．水波的波長為eq \f(d,5)
B．水波的波長為eq \f(d,4)
C．水波的傳播速度為eq \f(d,5T)
D．若減小振動片振動的周期，C點可能為振幅最小的點
E．若讓兩細桿以原頻率分別同步觸動線段AD和BD的中點，則D點為振幅最小的點
【答案】 ACE
【解析】 根據題意，DB與AD的長度之差等于水波的波長，且有DB＝dcs 37°，AD＝dsin 37°，可得波長為λ＝eq \f(d,5)，故A正確，B錯誤；水波的波速v＝eq \f(λ,T)＝eq \f(d,5T)，故C正確；若減小振動片振動的周期，C點與兩波源的距離相等，距離差為零，一定仍為振幅最大的點，故D錯誤；若讓兩細桿以原頻率分別同步觸動線段AD和BD的中點，D點與兩波源的長度之差等于半波長，則D點為振幅最小的點，故E正確．
題型五 波特有的現象
波的干涉和衍射現象 多普勒效應
1.波的干涉和衍射
2.多普勒效應
(1)條件：聲源和觀察者之間有相對運動(距離發(fā)生變化)。
(2)現象：觀察者感到頻率發(fā)生變化。
(3)實質：聲源頻率不變，觀察者接收到的頻率變化。
【例1】(多選)下列說法正確的是( )
A．在干涉現象中，振動加強點的位移總比減弱點的位移要大
B．單擺在周期性外力作用下做受迫振動，其振動周期與單擺的擺長無關
C．火車鳴笛向我們駛來時，我們聽到的笛聲頻率將比聲源發(fā)聲的頻率高
D．當水波通過障礙物時，若障礙物的尺寸與波長差不多，或比波長大的多時，將發(fā)生明顯的衍射現象
【答案】 BC
【解析】 在干涉現象中，振動加強點振幅最大，位移在變化，所以振動加強點的位移不是總比減弱點的位移大，故A錯誤；單擺在周期性外力作用下做受迫振動，單擺的振動周期與驅動力的周期相等，與固有周期無關，故與單擺的擺長無關，故B正確；火車鳴笛向我們駛來時，根據多普勒效應知，我們聽到的笛聲頻率大于聲源發(fā)聲的頻率，故C正確；當水波通過障礙物時，若障礙物的尺寸與波長差不多，或比波長小的多時，將發(fā)生明顯的衍射現象，故D錯誤．
【例2】(多選)甲、乙兩列簡諧橫波的傳播速率相同，分別沿x軸正方向和負方向傳播，t＝0時刻兩列波的前端剛好分別傳播到x＝－2 m的質點A和x＝1 m的質點B，如圖所示．已知橫波甲的頻率為2.5 Hz，下列說法正確的是( )
A．兩列波相遇后會發(fā)生干涉現象
B．乙波的頻率為1.25 Hz
C．乙波更易發(fā)生明顯衍射現象
D．兩列波會同時傳到x＝－0.5 m處，且該質點的振動方向沿y軸負方向
【答案】 BC
【解析】 波在同種介質中傳播速度相等，波的頻率f＝eq \f(v,λ)，所以eq \f(f甲,f乙)＝eq \f(λ乙,λ甲)＝eq \f(2,1)，
解得乙波的頻率為f乙＝1.25 Hz，
由于兩波頻率不同，不能發(fā)生干涉現象，A錯誤，B正確；
波長越長的波越易發(fā)生明顯衍射現象，由A項可知乙的頻率小，故乙波的波長大，所以乙波更易發(fā)生明顯衍射現象，C正確；
兩列波的波速都為v＝λ甲f甲＝10 m/s，x＝－0.5 m處質點距A點和B點距離相同，因此兩列波同時傳到該處，根據傳播方向和振動方向的關系，兩列波在該點的振動方向都沿y軸正方向，D錯誤．
【例3】(多選)[2020·全國卷Ⅰ，34(1)]在下列現象中，可以用多普勒效應解釋的有( )
A.雷雨天看到閃電后，稍過一會兒才能聽到雷聲
B.超聲波被血管中的血流反射后，探測器接收到的超聲波頻率發(fā)生變化
C.觀察者聽到遠去的列車發(fā)出的汽笛聲，音調會變低
D.同一聲源發(fā)出的聲波，在空氣和水中傳播的速度不同
E.天文學上觀察到雙星(相距較近、均繞它們連線上某點做圓周運動的兩顆恒星)光譜隨時間的周期性變化
【答案】 BCE
【解析】 雷雨天看到閃電后，稍過一會兒才能聽到雷聲，這是光的速度比聲波的速度大引起的，選項A錯誤；超聲波被血管中血流反射后，探測器接收到的超聲波頻率發(fā)生變化，是多普勒效應，選項B正確；觀察者聽到遠去的列車發(fā)出的汽笛聲，音調會變低，是多普勒效應，選項C正確；同一聲源發(fā)出的聲波，在空氣和水中的傳播速度不同，是聲速與介質有關，不是多普勒效應，選項D錯誤；天文學上觀察到雙星光譜隨時間的周期性變化是多普勒效應，選項E正確。
【例4】(2022·山東青島市一模)在某種介質中，一列沿x軸傳播的簡諧橫波在t＝0時刻的波形圖如圖7(a)所示，此時質點A在波峰位置，質點D剛要開始振動，質點C的振動圖像如圖(b)所示；t＝0時刻在D點有一臺機械波信號接收器(圖中未畫出)，正以2 m/s的速度沿x軸正向勻速運動。下列說法正確的是( )
A.質點D的起振方向沿y軸負方向
B.t＝0.05 s時質點B回到平衡位置
C.信號接收器接收到該機械波的頻率小于2.5 Hz
D.若改變振源的振動頻率，則形成的機械波在該介質中的傳播速度也將發(fā)生改變
【答案】 C
【解析】 因t＝0時刻質點C從平衡位置向下振動，可知波沿x軸正向傳播，則質點D的起振方向沿y軸正方向，選項A錯誤；由題圖知λ＝4 m，T＝0.4 s，則波速為v＝eq \f(λ,T)＝eq \f(4,0.4) m/s＝10 m/s，當質點B回到平衡位置時，波向右至少傳播1.5 m，則所需時間為t＝eq \f(1.5,10) s＝0.15 s，選項B錯誤；機械波的頻率為2.5 Hz，接收器遠離波源運動，根據多普勒效應可知，信號接收器接收到該機械波的頻率小于2.5 Hz，選項C正確；機械波的傳播速度只與介質有關，則若改變振源的振動頻率，則形成的機械波在該介質中的傳播速度不變，選項D錯誤。
【例5】(多選)(2022·四川省高三三模)下列說法正確的是( )
A．火車鳴笛進站時，站臺上旅客接收到笛聲的頻率比火車鳴笛頻率高
B．同一聲源發(fā)出的聲波，在空氣和水中傳播的速度相同
C．兩列相干波的波峰與波峰疊加相互加強，波谷與波谷疊加相互削弱
D．超聲波被血管中的血流反射后，探測器接收到的超聲波頻率發(fā)生變化
E．在用單擺測重力加速度實驗中，若所測g值偏大，可能是把n次全振動誤記為n＋1次
【答案】 ADE
【解析】 根據多普勒效應可知，火車鳴笛進站時，站臺上旅客接收到笛聲的頻率比火車鳴笛頻率高，故A正確；聲波的傳播速度與介質有關，同一聲源發(fā)出的聲波，在空氣和水中傳播的速度不相同，故B錯誤；兩列相干波的波峰與波峰疊加相互加強，波谷與波谷疊加也相互加強，都屬于振動加強點，故C錯誤；根據多普勒效應，超聲波被血管中的血流反射后，由于血液流動使探測器接收到的超聲波頻率發(fā)生變化，故D正確；把n次全振動誤記為n＋1次，則代入計算得到的周期偏小，根據T＝2πeq \r(\f(l,g))可知，計算得到的加速度的值偏大，故E正確．
內容
圖像
“上下坡”法
沿波的傳播方向，“上坡”時質點向下振動，“下坡”時質點向上振動
“同側”法
波形圖上某點表示傳播方向和振動方向的箭頭在圖線同側
“微平移”法
將波形沿傳播方向進行微小的平移，再由對應同一橫坐標的兩波形曲線上的點來判斷振動方向
比較項目
振動圖像
波的圖像
研究對象
一個質點
波傳播方向上的所有質點
研究內容
某質點位移隨時間的變化規(guī)律
某時刻所有質點在空間分布的規(guī)律
圖像
橫坐標
表示時間
表示各質點的平衡位置
物理意義
某質點在各時刻的位移
某時刻各質點的位移
振動方向的判斷
(看下一時刻的位移)
(同側法)
Δt后的圖形
隨時間推移，圖像延伸，但已有形狀不變
隨時間推移，圖像沿波的傳播方向平移，原有波形做周期性變化
聯系
(1)縱坐標均表示質點的位移
(2)縱坐標的最大值均表示振幅
(3)波在傳播過程中，各質點都在各自的平衡位置附近振動
波的干涉
波的衍射
條件
兩列波的頻率必須相同，相位差保持不變
產生明顯衍射的條件：障礙物或孔的尺寸比波長小或相差不多
現象
形成加強區(qū)和減弱區(qū)相互隔開的穩(wěn)定的干涉圖樣
波能夠繞過障礙物或孔繼續(xù)向前傳播

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