新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)精講精練專題05 數(shù)列放縮（2份打包，原卷版+解析版）-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

數(shù)列放縮是高考重點考查的內(nèi)容之一，數(shù)列與不等式綜合熱門難題（壓軸題），有所降溫，難度趨減，將穩(wěn)定在中等偏難程度.此類問題往往從通項公式入手，若需要放縮也是考慮對通項公式進(jìn)行變形；在放縮時，對通項公式的變形要向可求和數(shù)列的通項公式靠攏，常見的是向可裂項相消的數(shù)列與等比數(shù)列進(jìn)行靠攏．
【核心考點目錄】
核心考點一：先求和后放縮
核心考點二：裂項放縮
核心考點三：等比放縮
核心考點四：型不等式的證明
核心考點五：型不等式的證明
核心考點六：型不等式的證明
核心考點七：型不等式的證明
【真題回歸】
1、（2022·全國·高考真題）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時，，求a的取值范圍；
(3)設(shè)，證明：．
【解析】（1）當(dāng)時，，則，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.
（2）設(shè)，則，
又，設(shè)，
則，
若，則，
因為為連續(xù)不間斷函數(shù)，
故存在，使得，總有，
故在為增函數(shù)，故，
故在為增函數(shù)，故，與題設(shè)矛盾.
若，則，
下證：對任意，總有成立，
證明：設(shè)，故，
故在上為減函數(shù)，故即成立.
由上述不等式有，
故總成立，即在上為減函數(shù)，
所以.
當(dāng)時，有，
所以在上為減函數(shù)，所以.
綜上，.
（3）取，則，總有成立，
令，則，
故即對任意的恒成立.
所以對任意的，有，
整理得到：，
故
，
故不等式成立.
2、（2022·全國·高考真題）記為數(shù)列的前n項和，已知是公差為的等差數(shù)列．
(1)求的通項公式；
(2)證明：．
【解析】（1）∵，∴,∴,
又∵是公差為的等差數(shù)列，
∴,∴,
∴當(dāng)時，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
顯然對于也成立，
∴的通項公式；
（2）
∴
3、（2021·天津·高考真題）已知是公差為2的等差數(shù)列，其前8項和為64．是公比大于0的等比數(shù)列，．
（I）求和的通項公式；
（II）記，
（i）證明是等比數(shù)列；
（ii）證明
【解析】（I）因為是公差為2的等差數(shù)列，其前8項和為64．
所以，所以，
所以；
設(shè)等比數(shù)列的公比為，
所以，解得（負(fù)值舍去），
所以；
（II）（i）由題意，，
所以，
所以，且，
所以數(shù)列是等比數(shù)列；
（ii）由題意知，，
所以，
所以，
設(shè)，
則，
兩式相減得，
所以，
所以.
4、（2021·全國·高考真題（文））設(shè)是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足．已知，，成等差數(shù)列．
（1）求和的通項公式；
（2）記和分別為和的前n項和．證明：．
【解析】（1）因為是首項為1的等比數(shù)列且，，成等差數(shù)列，
所以，所以，
即，解得，所以，
所以.
（2）[方法一]：作差后利用錯位相減法求和
，
，
．
設(shè)， ⑧
則． ⑨
由⑧-⑨得．
所以．
因此．
故．
[方法二]【最優(yōu)解】：公式法和錯位相減求和法
證明：由（1）可得，
，①
，②
①②得，
所以，
所以，
所以.
[方法三]：構(gòu)造裂項法
由（Ⅰ）知，令，且，即，
通過等式左右兩邊系數(shù)比對易得，所以．
則，下同方法二．
[方法四]：導(dǎo)函數(shù)法
設(shè)，
由于，
則．
又，
所以
，下同方法二．
【整體點評】本題主要考查數(shù)列的求和，涉及到等差數(shù)列的性質(zhì)，錯位相減法求數(shù)列的和，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運算能力，是一道中檔題，其中證明不等式時采用作差法，或者作商法要根據(jù)式子得結(jié)構(gòu)類型靈活選擇，關(guān)鍵是要看如何消項化簡的更為簡潔.
（2）的方法一直接作差后利用錯位相減法求其部分和，進(jìn)而證得結(jié)論；
方法二根據(jù)數(shù)列的不同特點，分別利用公式法和錯位相減法求得,然后證得結(jié)論,為最優(yōu)解；
方法三采用構(gòu)造數(shù)列裂項求和的方法，關(guān)鍵是構(gòu)造，使，求得的表達(dá)式，這是錯位相減法的一種替代方法，
方法四利用導(dǎo)數(shù)方法求和，也是代替錯位相減求和法的一種方法.
【方法技巧與總結(jié)】
常見放縮公式：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）；
（8）；
（9）；
（10）
；
（11）
；
（12）；
（13）．
（14）．
（15）二項式定理
①由于，
于是
②，
；
，
（16）糖水不等式
若，則；若，則．
【核心考點】
核心考點一：先求和后放縮
例1．（2022·全國·模擬預(yù)測）己知為等比數(shù)列的前n項和，若，，成等差數(shù)列，且.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)若，且數(shù)列的前n項和為，證明：.
【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公比為q，
由，，成等差數(shù)列可得，
故，解得，
由可得，
解得，故，即數(shù)列的通項公式為.
（2）由（1）可得，
故.
當(dāng)時，取得最大值，當(dāng)時，
，
故.
例2．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測）記數(shù)列的前項和為，已知，.
(1)求的通項公式；
(2)記數(shù)列的前項和為，證明：.
【解析】（1）由，兩邊同時除以可得：，
故數(shù)列為以為公差的等差數(shù)列，則，即，
當(dāng)時，，
將代入上式，可得，則滿足上式，
故數(shù)列的通項公式.
（2）由，則，即，
，
，
兩式相減可得，
，
則，
由（1）可得，
，
令，，則數(shù)列為遞增數(shù)列，
，則，即；
，
令，易知數(shù)列為遞減數(shù)列，，則，即.
綜上，不等式恒成立.
例3．（2022·重慶巴蜀中學(xué)高三階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足，的前項和為，且.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，記，證明：.
【解析】（1）依題意，
，
，
所以數(shù)列是首項為，
公比為的等比數(shù)列，所以，
當(dāng)時，由得，
兩式相減并化簡得，
也符合上式，所以.
（2），
，
，
兩式相減得，
所以
.
例4．（2022·黑龍江·海倫市第一中學(xué)高三期中）在各項均為正數(shù)的數(shù)列中，，且．
(1)求的通項公式；
(2)若，數(shù)列的前n項和為，證明：．
【解析】（1）因為各項為正數(shù)，，
所以上式兩邊同時除以，得，
令，則，即，解得（負(fù)值舍去），
所以，
又，
所以是以，的等比數(shù)列，
故.
（2）由（1）得，
所以，
因為，則，所以.
例5．（2022·山西臨汾·高三階段練習(xí)）在各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，為其前n項和，，，，成等差數(shù)列．
(1)求的通項公式；
(2)若，數(shù)列的前n項和為，證明：．
【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公比為q，由題意知，
即，
因為，，所以，所以，所以．
（2）證明：由（1）得，所以，
所以，
所以．
顯然單調(diào)遞增，所以，
因為，所以，所以．
例6．（2022·浙江·慈溪中學(xué)高三期中）已知數(shù)列的前項和為，若，
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)證明：.
【解析】（1）當(dāng)時，
相減得
當(dāng)時，符合上式
所以.
當(dāng)時，
當(dāng)時，符合上式.
故
（2）由（1）知：
所以
核心考點二：裂項放縮
例7．（2022·天津市新華中學(xué)高三階段練習(xí)）已知為數(shù)列的前項和，且，數(shù)列前項和為，且，.
(1)求和的通項公式；
(2)設(shè)，設(shè)數(shù)列的前項和為，求；
(3)證明：.
【解析】（1）由，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
檢驗時，，所以；
因為，（），
所以，即（），
而，故滿足上式，
所以是以，公比等于的等比數(shù)列，即；
（2）因為，
所以，
所以
；
（3）因為，
.
所以，
，
因為，，所以，
即，即證：；
綜上，，， .
例8．（2022·山東·濟(jì)寧市育才中學(xué)高三開學(xué)考試）已知數(shù)列{an}的前n項和為Sn，且，a1＝1．
(1)求數(shù)列{an}的通項公式；
(2)設(shè)，數(shù)列{bn}的前n項和為Tn，證明．
【解析】（1）因為，所以.
兩式相減，得，
即
所以當(dāng)時，，
在中，令，得，
所以，
又滿足，所以
所以，
故數(shù)列{an}是首項為1，公差為2的等差數(shù)列，且.
（2），
所以，
當(dāng)時，，
當(dāng)時，，
所以.
例9．（2022·天津一中高三階段練習(xí)）已知數(shù)列滿足記.
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項公式；
(2)求數(shù)列的前項和.
(3)設(shè)，記數(shù)列的前項和為，求證：.
【解析】（1）證明：因為，
所以，
又，
所以數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，
所以.
（2）
（3）
例10．（2022·全國·成都七中高三開學(xué)考試（理））記數(shù)列?前?項和為，.
(1)證明：?為等差數(shù)列；
(2)若?，記?為數(shù)列?的前?項積，證明：?.
【解析】（1）由題意，得?.
則?.
兩式相減，得?，
即?，
?是等差數(shù)列.
（2）因為，由（1）知（也符合此式）
故數(shù)列的通項公式為
則
所以
故，得證.
例11．（2022·河南·模擬預(yù)測（理））若數(shù)列滿足，．
(1)求的通項公式；
(2)證明：．
【解析】（1）因為，，
所以，
故；
（2）證明：當(dāng)n＝1時，；
當(dāng)時，，
則，
故；
綜上，.
核心考點三：等比放縮
例12．（2022·重慶八中高三階段練習(xí)）記為數(shù)列的前項和，已知，是公差為的等差數(shù)列.
(1)求的通項公式；
(2)證明：.
【解析】（1），，即；
當(dāng)且時，，
即，，又，
數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
，則.
（2）由（1）得：，
，，
.
例13．（2022·廣東·高三階段練習(xí)）已知數(shù)列的首項為1，為數(shù)列的前n項和，，其中．
(1)若成等差數(shù)列，求的通項公式；
(2)設(shè)數(shù)列滿足，且，數(shù)列的前n項和為，證明：．
【解析】（1）由得，兩式相減得，
由可得，故對所有都成立，
所以數(shù)列是首項為1，公比為q的等比數(shù)列，從而，
由成等差數(shù)列可得，化簡得，
又，解得（舍去），
所以．
（2）由題意可知，
由可得，解得（舍去），
又，則，即，
則，
即．
例14．（2022·天津·南開中學(xué)高三階段練習(xí)）記是公差不為0的等差數(shù)列的前項和，已知，，數(shù)列滿足，且.
(1)求的通項公式，并證明數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)若數(shù)列滿足，求的前項和的最大值、最小值.
(3)求證：對于任意正整數(shù)，.
【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，
由，可得，解得或（舍去），
．
又，則，
由，可得，，
數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列；
（2）由（1）可得
，
設(shè)的前項和為，
則
，
當(dāng)為奇數(shù)時，隨著的增大而減小，可得，
當(dāng)為偶數(shù)時，隨著的增大而增大，可得，
的最大值為，最小值為．
（3）證明：因為數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，
，．
所以，
所以
，
所以．
例15．（2022·浙江大學(xué)附屬中學(xué)高三期中）記為數(shù)列的前項和，已知，是公差為2的等差數(shù)列.
(1)求證為等比數(shù)列，并求的通項公式；
(2)證明：.
【解析】（1）因為是公差為2的等差數(shù)列，，
所以，
當(dāng)時，，
兩式相減得，，即，
故，又，
所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，
故，則.
（2）因為，所以，則，即，
所以.
例16．（2022·浙江·模擬預(yù)測）已知正項數(shù)列滿足，當(dāng)時，，的前項和為.
(1)求數(shù)列的通項公式及；
(2)數(shù)列是等比數(shù)列，為數(shù)列的公比，且，記，證明：
【解析】（1）當(dāng)時，累加可得且當(dāng)時，符合，.
由等差數(shù)列前項和的公式可得：
（2）由（1）得，
對于左邊，，又，
對于右邊，,
.
綜上：成立.
例17．（2022·江蘇·泗洪縣洪翔中學(xué)高三開學(xué)考試）已知數(shù)列的前項和為，，．
(1)證明：數(shù)列為等比數(shù)列；
(2)記數(shù)列的前項和為，證明：．
【解析】（1）因為，所以，
所以，
因為，所以，，
故數(shù)列為等比數(shù)列，首項為，公比為2；
（2）由（1）可知，所以，
所以．
核心考點四：型不等式的證明
例18．（2022·山東省實驗中學(xué)模擬預(yù)測）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的最大值；
(2)若關(guān)于x的方程有實數(shù)根，求實數(shù)k的取值范圍；
(3)證明：．
【解析】（1），當(dāng)時，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減
所以，即當(dāng)時，取最大值1．
（2）依題意，，令，，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
即，因此的值域是，方程有解，有，
所以實數(shù)k的取值范圍是.
（3）由（1）知，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因此當(dāng)時，，
即當(dāng)時，，，
所以．
例19．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前項和為，滿足.
(1)求的值：
(2)求數(shù)列的通項公式：
(3)證明：對一切正整數(shù)，有.
【解析】（1）令，，則舍去，所以.
（2），因為數(shù)列各項均為正數(shù)，舍去，，當(dāng)時，，
（3）令，所以
例20．（2022·上海·模擬預(yù)測）在數(shù)列中，，其中．
(1)設(shè)，證明數(shù)列是等比數(shù)列；
(2)記數(shù)列的前n項和為，試比較與的大小．
【解析】（1），由得：，而，
則，整理得，而，
所以數(shù)列是首項為3，公比為3的等比數(shù)列.
（2）由（1）知，，于是得，，
因此，，
令，顯然數(shù)列是遞增數(shù)列，而，
即時，，，當(dāng)時，，
所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，.
例21．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)當(dāng)時，討論的單調(diào)性；
(2)當(dāng)時，，求a的取值范圍；
(3)設(shè)，證明：．
【解析】（1）當(dāng)時，，則，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
故的減區(qū)間為，增區(qū)間為.
（2）設(shè)，則，
又，設(shè)，
則，
若，則，
因為為連續(xù)不間斷函數(shù)，
故存在，使得，總有，
故在為增函數(shù)，故，
故在為增函數(shù)，故，與題設(shè)矛盾.
若，則，
下證：對任意，總有成立，
證明：設(shè)，故，
故在上為減函數(shù)，故即成立.
由上述不等式有，
故總成立，即在上為減函數(shù)，
所以.
當(dāng)時，有，
所以在上為減函數(shù)，所以.
綜上，.
（3）取，則，總有成立，
令，則，
故即對任意的恒成立.
所以對任意的，有，
整理得到：，
故
，
故不等式成立.
例22．（2022·湖南·周南中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)．
(1)求函數(shù)的最大值；
(2)證明：
【解析】（1）因為定義域為，所以，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以，即當(dāng)時，取最大值1．
（2）證明：由（1）知，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，因此當(dāng)時，，
即當(dāng)時，，
所以，
所以
．
例23．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知單調(diào)遞減的正項數(shù)列，時滿足．為前n項和．
(1)求的通項公式；
(2)證明：.
【解析】（1）由，
得，
即，
由是單調(diào)遞減的正項數(shù)列，得，
則，即，
故是以為首項，1為公差的等差數(shù)列，
則，即.
（2）要證：，
只需證：，
即證：，
即證：，
即證：，
即證：，
即證：，
而此不等式顯然成立，
所以成立.
例24．（2022·廣東·鐵一中學(xué)高三階段練習(xí)）記為數(shù)列的前項和，已知是首項為3，公差為1的等差數(shù)列.
(1)求的通項公式；
(2)證明：當(dāng)時，.
【解析】（1）∵是首項為3，公差為1的等差數(shù)列，∴，
∴.∴當(dāng)時，，.
又不滿足，
∴的通項公式.
（2）當(dāng)時，，
，
∴，
∴.
例25．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知數(shù)列和滿足，且對任意都有，．
(1)求數(shù)列和的通項公式；
(2)證明：．
【解析】（1）對任意都有，，．，即．?dāng)?shù)列是首項為，公差為1的等差數(shù)列．，且，．．，，
（2），，．所證不等式，即．①先證右邊不等式：．令，則．當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減．當(dāng)時，，即．分別取．得．即．也即．即．②再證左邊不等式：．令，則．當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．當(dāng)時，，即．分別取．得．即．也即．即．．
例26．（2022·福建·莆田第五中學(xué)高三期中）數(shù)列滿足，.
(1)求數(shù)列前項和；
(2)證明：對任意的且時，
【解析】（1）當(dāng)時，
當(dāng)時，
兩式相減得：
所以，又符合此式，
綜上所述，
所以數(shù)列為等比數(shù)列，首項為1，公比為，所以
（2）由（1）可知，所以
故只需證明
下面先證明對任意的且都有
記，則在上恒成立，
所以在上是增函數(shù)，又，故
當(dāng)且時，，所以，即
所以，，…，累加的原式得證
例27．（2022·天津河西·高三期中）設(shè){an}是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列{bn}滿足bn＝，已知a1，3a2，9a3成等差數(shù)列．
(1)求{an}和{bn}的通項公式；
(2)記Sn和Tn分別為{an}和{bn}的前n項和．證明：Tn＜．
(3)求證：
【解析】（1）因為是首項為1的等比數(shù)列且，，成等差數(shù)列，
所以，設(shè)公比為，所以，
即，解得，所以，
所以.
（2）由（1）可得，
，①
，②
①②得，
所以，
所以，
所以.
（3）由（1）知，
，
，當(dāng)時，顯然，當(dāng)時，
.
綜上：.
核心考點五：型不等式的證明
例28．（2022·全國·高三階段練習(xí)（理））已知函數(shù).
（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性；
（2）已知數(shù)列，，求證：.
【解析】（1）的定義域為，.
設(shè).
∵，∴當(dāng)時，；當(dāng)時，，
∴在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
∴在處取得最大值.
又∵，∴對任意的，恒成立，即對任意的，都有
恒成立，故在定義域上是減函數(shù).
（2）由是減函數(shù)，且可得，當(dāng)時，，
∴，即，
兩邊同除以得，即，
從而，
所以. ①
下面證.
記，，
∴.
∵在上單調(diào)遞減，而，
∴當(dāng)時，恒成立，
∴在上單調(diào)遞減，即，，
∴當(dāng)時，.
∵，
∴當(dāng)時，，即. ②
綜合①②可得，.
例29．（2022·黑龍江·大慶一中高二階段練習(xí)（理））已知曲線Cn：x2﹣2nx+y2=0，（n=1，2，…）.從點P（﹣1，0）向曲線Cn引斜率為kn（kn>0）的切線ln，切點為Pn（xn，yn）.
(1)求數(shù)列{xn}與{yn}的通項公式；
(2)證明：.
【解析】(1)設(shè)直線ln：y=kn（x+1），聯(lián)立x2﹣2nx+y2=0，
得（1+kn2）x2+（2kn2﹣2n）x+kn2=0，
則△=（2kn2﹣2n）2﹣4（1+kn2）kn2=0，
∴kn（負(fù)值舍去），
可得xn，yn=kn（1+xn）；
(2)證明：，
由4n2>4n2﹣1，即為，
即有，
x1x3x5…x2n﹣1，
可得x1x3x5…x2n﹣1；
由，設(shè)f（x）=xcsx，
f′（x）=1sinx，由0，
可得sinx>0，即f′（x）>0，f（x）在（0，]遞增，
由f（0）0，f（）cs（cscs）

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