2021-2022學(xué)年山西省太原市外國語學(xué)校高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，則（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】由交集的概念即可得出答案.【詳解】，故選：B.2．已知，則“”是“”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】先判斷能否推出，再判斷能否推出，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】當(dāng)時(shí)，，，所以，又能推出，所以“”是“”的必要不充分條件，故選：B.3．已知，且的圖象如圖所示，則等于（    ）A．10 B．8 C．6 D．4【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)圖象經(jīng)過的點(diǎn)求得，從而求得.【詳解】函數(shù)的圖象經(jīng)過，所以，解得，故，因此.故選：C4．已知某等腰三角形的周長是4，底邊長是，腰長是，則關(guān)于的函數(shù)可表示為（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】寫出等腰三角形的周長的關(guān)系式，改寫成關(guān)于的函數(shù)，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求出自變量的范圍【詳解】由得：，又由，可得，∴，又，∴，故選：B.5．已知，則的大小關(guān)系是（    ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)的知識(shí)確定正確選項(xiàng).【詳解】設(shè)，則函數(shù)均為上的增函數(shù)由，可知，又，而，故，故.故選：D6．某工廠P接到一份訂單，清點(diǎn)庫存后發(fā)現(xiàn)，想要完成該訂單需購進(jìn)原材料M950件.P購進(jìn)的主要渠道是從批發(fā)市場購買.已知按以下規(guī)則出售：若購買件數(shù)不足500，則單價(jià)為200元；若購買件數(shù)達(dá)到500但不足1000，則單價(jià)為190元，若購買件數(shù)達(dá)到1000，則單價(jià)為180元.根據(jù)以上信息，為完成該訂單，在購買至少需要花費(fèi)（    ）A．180000元 B．180500元 C．185000元 D．190000元【答案】A【分析】由購買的件數(shù)與相應(yīng)的花費(fèi)的關(guān)系得出的解析式，根據(jù)單調(diào)性得出最值.【詳解】設(shè)在購買的件數(shù)為，相應(yīng)的花費(fèi)為（單位：元），由題意知，為完成訂單需滿足，故，顯然在及兩個(gè)集合內(nèi)，都是隨著的增大而增大的，因此函數(shù)的最小值只可能是或，而，為完成該訂單，在購買至少需要花費(fèi)180000元.故選：A7．若冪函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)，則函數(shù)的最小值為（    ）A． B．3 C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意求出冪函數(shù)的解析式得到，進(jìn)而求出，換元法即可求出函數(shù)的最值.【詳解】設(shè)函數(shù)，由題意可知：，故，于是，令，則：，且，故易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，因此當(dāng)即時(shí)，函數(shù)取得最小值3，故選：B.8．單利和復(fù)利是銀行常用的兩種計(jì)息方式：如果按單利計(jì)算，則本金不會(huì)發(fā)生任何變化；如果按復(fù)利計(jì)算，則前一期的利息和本金可以加在一起算作下一期的本金.已知銀行甲與銀行乙定期儲(chǔ)蓄的年利率分別是和.某同學(xué)有壓歲錢1000元，現(xiàn)計(jì)劃按某種計(jì)息方式存入銀行甲或銀行乙，則存滿5年后，利息的最大值與最小值的差是（    ）（參考數(shù)據(jù)：）A．元 B．15元 C．16元 D．元【答案】D【分析】根據(jù)單利和復(fù)利的計(jì)算方法求解即可.【詳解】不同的選擇方案共4種：（1）選擇單利，存人銀行甲，則利息為元，（2）選擇復(fù)利，存人銀行甲，則利息為元，（3）選擇單利，存人銀行乙，則利息為元，（4）選擇復(fù)利，存人銀行乙，則利息為元，其中方案（4）的利息最大，方案（1）的利息最小，差值為（元）.故選：D. 二、多選題9．下列命題中，正確的是（    ）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】CD【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)解決.【詳解】對于A ,時(shí)不成立，故A錯(cuò)誤；對于B ,則，因此，于是，故B錯(cuò)誤；對于C，由知，故，即，故C正確.對于D ，則，所以，故D正確.故選：CD10．下列命題中，正確的是（    ）A．函數(shù)的最小值為2B．若，則的最大值為C．若，則的最小值為2D．若正實(shí)數(shù)滿足，則的最小值為9【答案】ABD【分析】對于A，由于且，由基本不等式可得，當(dāng)時(shí)取“”，從而即可判斷；對于B，由于，所以，所以，由基本不等式的性質(zhì)求解即可；對于C，由于，所以，當(dāng)時(shí)取“”，即可判斷為錯(cuò)誤；對于D，由于，所以，再結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】解：對于，因?yàn)?/span>且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“”，故正確；對于，因?yàn)?/span>，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“正確；對于，因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“”，顯然“”不可能成立，C錯(cuò)誤；對于，因?yàn)?/span>均為正數(shù)，且，所以，當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取“正確.故選：ABD.11．若函數(shù)在其定義域內(nèi)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，則稱具有奇偶性.以下函數(shù)中，具有奇偶性的函數(shù)是（    ）A．B．C．D．【答案】BCD【分析】選項(xiàng)A，因?yàn)槎x域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以很容易識(shí)別；選項(xiàng)B、C，先看看函數(shù)定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，然后再求解與的關(guān)系，選項(xiàng)D，可以根據(jù)圖像來識(shí)別.【詳解】選項(xiàng)A，令，則，解得.所以函數(shù)的定義域是，定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，故不具有奇偶性；選項(xiàng)B，為使函數(shù)的分子有意義，，于是恒成立，故，因?yàn)?/span>，故是奇函數(shù)；選項(xiàng)C，函數(shù)的定義域是，，，故為奇函數(shù)；選項(xiàng)D，畫出的圖象，如圖，圖象關(guān)于y軸對稱，故為偶函數(shù).故選：BCD．12．某數(shù)學(xué)小組進(jìn)行社會(huì)實(shí)踐調(diào)查，了解到某桶裝水經(jīng)營部正在研究如何定價(jià).進(jìn)一步調(diào)研了解到銷售單價(jià)與日均銷售量的關(guān)系如表：銷售單價(jià)/元8910111213日均銷售量/桶240220200180160140 已知該經(jīng)營部每天的房租，人工工資等固定成本為300元，每桶水的進(jìn)價(jià)是5元，銷售單價(jià)必須是整數(shù).根據(jù)以上信息，下列說法正確的是（    ）A．為使該經(jīng)營部盈利，每桶水的售價(jià)不應(yīng)低于7元B．為使該經(jīng)營部每天獲得的利潤不少于100元，每桶水的售價(jià)不應(yīng)低于8元C．為使該經(jīng)營部獲得的利潤最大，每桶水的售價(jià)應(yīng)該定為12元或13元D．通過合理定價(jià)，該經(jīng)營部每日獲得的利潤可達(dá)800元以上【答案】ACD【分析】根據(jù)題意，列出公司日利潤為，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合實(shí)際情況，逐個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可求解.【詳解】根據(jù)表格可知：銷售單價(jià)每增加1元，日均銷售量就減少20桶.設(shè)每桶水的價(jià)格為元，公司日利潤為元，則，顯然，二次函數(shù)在時(shí)單調(diào)遞增，當(dāng)每桶水定價(jià)低于7元，即時(shí)，有故，于A是正確，當(dāng)每桶水定價(jià)為7元，即時(shí)，，故錯(cuò)誤；是的對稱軸，距離最近的整數(shù)是4和5，此時(shí)每桶水的售價(jià)是12元或13元，故正確.由知D正確.故選：ACD 三、填空題13．已知集合，若，則實(shí)數(shù)值為___________.【答案】-1【分析】由題意分析元素與集合的關(guān)系，分別討論和再根據(jù)元素互異性排除從而求得值.【詳解】由題意可知或，當(dāng)時(shí)，.與互異性矛盾，當(dāng)時(shí)，符合題意（舍）.故答案為：-1.14．命題“有的正整數(shù)，它的算術(shù)平方根不是有理數(shù)”的否定是___________.【答案】所有正整數(shù)的算術(shù)平方根都是有理數(shù)【分析】依據(jù)特稱命題的否定去完成該命題的否定.【詳解】原命題為存在量詞命題，等價(jià)于“存在一個(gè)正整數(shù)，其算術(shù)平方根不是有理數(shù)”故其否定為“對所有的正整數(shù)，其算術(shù)平方根都是有理數(shù)”另外，也可以采用符號(hào)語言表達(dá)，原命題的充要條件是“”故其否定形式為“”故答案為：對所有的正整數(shù)，其算術(shù)平方根都是有理數(shù)15．高斯，德國著名數(shù)學(xué)家，物理學(xué)家和天文學(xué)家，是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子"之美稱.函數(shù)稱為高斯函數(shù)，其中表示不超過實(shí)數(shù)的最大整數(shù)，例如：，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)?/span>___________.【答案】【分析】根據(jù)定義域，求得的范圍，根據(jù)所給定義，逐步分析，即可得答案.【詳解】由，則， 當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，.所以函數(shù)值域?yàn)?/span>.故答案為：16．已知函數(shù)．若對于任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________．【答案】【分析】由題意是上的奇函數(shù)，也是上的增函數(shù)．由函數(shù)的奇偶性將不等式化為，再由函數(shù)的單調(diào)性變形為，分離參數(shù)為，令，，求得的最大值，即可得結(jié)論．【詳解】因?yàn)?/span>，所以是上的奇函數(shù)，因?yàn)?/span>均是上的增函數(shù)，所以是上的增函數(shù)，因?yàn)?/span>，所以，即所以，由知，故，令，設(shè)，由，得，，則，即，所以在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，取得最大值6，故．故答案為：． 四、解答題17．計(jì)算：(1)計(jì)算：；(2)化簡：（其中）.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)根式、指數(shù)運(yùn)算求得正確答案.（2）根據(jù)根式、指數(shù)運(yùn)算求得正確答案.【詳解】（1）原式.（2）原式.18．已知函數(shù)的值域?yàn)?/span>的定義域?yàn)?/span>.(1)求集合和；(2)已知“”是“”的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，(2)或 【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出 的值域，根據(jù)平方根和分母的意義求出 的定義域；根據(jù)“充分不必要”的定義可得A是B的真子集，據(jù)此推算出m的取值范圍.【詳解】（1）易知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.故時(shí)取得最小值.又，故時(shí)取得最大值3，于是集合，為使有意義，需，得或，所以集合 ；（2）已知“”是“”的充分不必要條件，所以集合是集合的真子集，于是或，即或，故的取值范圍是或；綜上，，，的取值范圍是或.19．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且.(1)求函數(shù)的解析式；(2)根據(jù)定義，判斷并證明函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性.【答案】(1)(2)函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，證明見解析 【分析】（1）由在R上為奇函數(shù)，則，聯(lián)立已知列方程組可得a、b、c的值，可得結(jié)果.（2）由單調(diào)性的定義證明，任取、作差、變形、斷號(hào)、寫結(jié)論可證得結(jié)果.【詳解】（1）根據(jù)題意，函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，則，則，又由，得 解得,滿足函數(shù)為奇函數(shù)，故.（2）函數(shù)在上是單調(diào)增函數(shù)，證明：任取，則由，知，故有，因此函數(shù)在上為增函數(shù).20．已知函數(shù)與分別是定義在上的偶函數(shù)與奇函數(shù)，且對于，都有成立.(1)求函數(shù)的解析式；(2)求不等式的解集.【答案】(1)；(2). 【分析】（1）求出，根據(jù)函數(shù)的奇偶性化簡后，與已知聯(lián)立即可得到；（2）整理可得.令，換元得，解出的范圍，即可解出.【詳解】（1）①所以，又是偶函數(shù)，是奇函數(shù)，故②得，.（2）由（1）知，，即，整理得，.令，則，則有，解得，即，即，解得，所以原不等式的解集為.21．依法納稅是每個(gè)公民應(yīng)盡的義務(wù)，個(gè)人取得的所得應(yīng)依照《中華人民共和國個(gè)人所得稅法》向國家繳納個(gè)人所得稅（簡稱個(gè)稅）.2019年1月1日起，個(gè)稅按照新的標(biāo)準(zhǔn)執(zhí)行（簡稱“稅改”）.稅改后個(gè)稅稅額根據(jù)應(yīng)納稅所得額?稅率和速算扣除數(shù)確定，計(jì)算公式為：個(gè)稅稅額應(yīng)納稅所得額稅率速算扣除數(shù)，應(yīng)納稅所得額的計(jì)算公式為：應(yīng)納稅所得額綜合所得收入基本減除費(fèi)用專項(xiàng)扣除數(shù)等多種扣除數(shù)的總和.其中，“基本減除費(fèi)用”（免征額）為每年60000元.稅率與速算扣除數(shù)見表1.表1級(jí)數(shù)全年應(yīng)納稅所得額所在區(qū)間稅率速算扣除數(shù)130210252032016920425319205305292063585920745181920 (1)小王從2019年1月1日人職，月收入預(yù)估為6000~10000元（含邊界值），且每年專項(xiàng)扣除數(shù)等多種扣除數(shù)的總和為12000，寫出他全年繳納的個(gè)稅（單位：元）與月收入（單位：元）的函數(shù)關(guān)系式；(2)2019年稅改前的個(gè)稅計(jì)算方法與稅改后的新方法相比，主要有三個(gè)方面的差異：第一?稅改前的個(gè)稅起征點(diǎn)（免征額）為每年42000元；二?稅率表前4級(jí)的各級(jí)“全年應(yīng)納稅所得額所在區(qū)間”與“各級(jí)速算扣除數(shù)”不同（見表2）；三?稅改前沒有“專項(xiàng)扣除”等各種扣除項(xiàng)目的設(shè)置.小李2018年及2019年每月收入均為10000元，且2019年全年專項(xiàng)扣除數(shù)等多種扣除數(shù)的總和為20000，則2019年稅改后，他每年繳納的個(gè)稅比稅改前增加了還是減少了？具體差量是多少？表2級(jí)數(shù)全年應(yīng)納稅所得額所在區(qū)間稅率速算扣除數(shù)13021012603206660425120605303306063566060745162060  【答案】(1)(2)稅改后，小李每年繳納的個(gè)稅比稅改前減少了，差量是7460元 【分析】（1）利用分段函數(shù)去寫出他全年繳納的個(gè)稅與月收入的函數(shù)關(guān)系式；（2）分別計(jì)算出小李稅改前后繳納的個(gè)稅，比較后即可得到稅改后，小李每年繳納的個(gè)稅比稅改前減少了，差量是7460元【詳解】（1）由題意知，小王每年的應(yīng)納稅所得額為，由題意可知，當(dāng)即時(shí)，他繳納個(gè)稅的最高級(jí)別為1級(jí)，當(dāng)，即時(shí)，他繳納個(gè)稅的最高級(jí)別為2級(jí)，于是整理得（2）根據(jù)題意，稅改后，小李全年的應(yīng)納稅所得額為，對應(yīng)個(gè)稅稅率的最高級(jí)別為2級(jí)，故稅額為，而稅改前，小李全年的應(yīng)納稅所得額為對應(yīng)個(gè)稅稅率的最高級(jí)別為3級(jí)，故稅額為，而，故稅改后，小李每年繳納的個(gè)稅比稅改前減少了，差量是7460元.22．已知二次函數(shù).(1)若關(guān)于的不等式的解集為，解關(guān)于的不等式；(2)若不等式對恒成立，求的最大值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）可知且方程的解為或，后可由韋達(dá)定理知關(guān)系，繼而可得答案;（2）由對恒成立，可得且，繼而可得，后分和兩種情況討論得答案.【詳解】（1）因?yàn)?/span>的解集為，得且方程的解為或，則由韋達(dá)定理有：.故.故，又，從而，解得.（2）因?yàn)?/span>，即恒成立，則.則.①當(dāng)時(shí)，，則；②當(dāng)時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).故的最大值為. 

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