一、單選題
1．已知集合,集合，則=（ ）
A．{}B．{,,0}C．{2}D．{0,1}
【答案】C
【分析】根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)即可求解集合，由交集的定義即可求解.
【詳解】由可得,又，
故
故選：C
2．某高校要求學(xué)生除了學(xué)習(xí)第二語言英語，還要求同時進修第三語言和第四語言，其中第三語言可從A類語言：日語，韓語，越南語，柬埔寨語中任選一個，第四語言可從E類語言：法語，德語，俄語，西班牙語，意大利語，則學(xué)生可選取的語言組合數(shù)為（ ）
A．20B．25C．30D．35
【答案】A
【分析】從A類語言4個中任選一個，從E類語言5個中任選一個，由分步乘法計數(shù)原理可得答案.
【詳解】第三語言可從A類語言4個中任選一個，有4種方法，
第四語言可從E類語言5個中任選一個，有5種方法，
所以共有種.
故選：A.
3．已知，，，則的大小關(guān)系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)指數(shù)以及對數(shù)的單調(diào)性即可求解.
【詳解】由于，，，
所以，
故選：B
4．已知直線和以，為端點的線段相交，則實數(shù)k的取值范圍為（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意可知直線恒過定點，根據(jù)斜率公式結(jié)合圖象分析求解.
【詳解】因為直線恒過定點，如圖.
又因為，，所以直線的斜率k的范圍為.
故選：C.
5．已知圓柱和圓錐的底面半徑相等，側(cè)面積相等，且它們的高均為，則圓錐的體積為（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】設(shè)圓柱的底面半徑為，根據(jù)圓錐和圓柱的側(cè)面積相等可得半徑的方程，求出解后可求圓錐的體積.
【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，則圓錐的母線長為，
而它們的側(cè)面積相等，所以即，
故，故圓錐的體積為.
故選：B.
6．設(shè)為拋物線的焦點，若點在上，則（ ）
A．3B．C．D．
【答案】D
【分析】利用點在拋物線上，得到拋物線的標準方程，確定準線方程，利用拋物線的定義，.
【詳解】依題意，，解得，所以的準線為，所以，
故選:D．
7．已知隨機事件，滿足，，，則（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根據(jù)已知結(jié)合條件概率公式，即可得出，進而推得.即可根據(jù)條件概率公式，得出答案.
【詳解】由已知可得，.
因為，
所以，.
又,
所以，.
又，
所以，.
故選：A.
8．已知直線y＝ax－a與曲線相切，則實數(shù)a＝（ ）
A．0B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得，求解即可.
【詳解】由且x不為0，得
設(shè)切點為，則，即，
所以，可得.
故選：C
二、多選題
9．已知，函數(shù)，則下列選項正確的是（ ）
A．函數(shù)的值域為
B．將函數(shù)圖像上各點橫坐標變?yōu)樵瓉淼模v坐標不變），再將所得圖像向左平移個單位長度，可得函數(shù)圖像
C．函數(shù)是奇函數(shù)
D．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)所有零點之和為
【答案】ABD
【分析】根據(jù)向量數(shù)量積得坐標表示結(jié)合三角恒等變換化簡函數(shù)，再根據(jù)正弦函數(shù)得值域即可判斷A；根據(jù)三角函數(shù)的周期變換和平移變換的原理即可判斷B；根據(jù)三角函數(shù)的奇偶性即可判斷C；令，求出所有的值，即可判斷D.
【詳解】解：
，
對于A，因為，
所以，故A正確；
對于B，將函數(shù)圖像上各點橫坐標變?yōu)樵瓉淼模v坐標不變），
得，
再將所得圖像向左平移個單位長度，
得，故B正確；
對于C，因為，
所以函數(shù)不是奇函數(shù)，故C錯誤；
對于D，令，
則，
則或，
所以或，
因為，
所以或或或，
所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)所有零點之和為，故D正確.
故選：ABD.
10．已知橢圓且與雙曲線的焦點重合，分別為橢圓，雙曲線的離心率，則（ ）
A．B．
C．D．當時，
【答案】BC
【分析】根據(jù)橢圓、雙曲線的離心率等有關(guān)性質(zhì)對選項進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】因為橢圓，雙曲線的焦點相同，所以，
所以，所以，當時，，故選項AD錯誤，選項C正確.
因為，
所以，選項B正確.
故選：BC
11．如圖，四邊形為正方形，平面，，記三棱錐，，的體積分別為，則（ ）
A．B．
C．D．
【答案】CD
【分析】直接由體積公式計算，連接交于點，連接，由計算出，依次判斷選項即可.
【詳解】
設(shè)，因為平面，，則，
，連接交于點，連接，易得，
又平面，平面，則，又，平面，則平面，
又，過作于，易得四邊形為矩形，則，
則，，
，則，，，
則，則，，，故A、B錯誤；C、D正確.
故選：CD.
三、填空題
12．已知i為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z，滿足，在復(fù)平面中的第一象限，且實部為3，則為
【答案】
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義以及模長公式即可求解.
【詳解】由于復(fù)數(shù)的實部為3，故設(shè)，根據(jù)，所以，解得，
所以，故，
故答案為：
13．現(xiàn)有7張卡片，分別寫上數(shù)字1，2，2，3，4，5，6．從這7張卡片中隨機抽取3張，記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為，則 ， ．
【答案】 ， /
【分析】利用古典概型概率公式求，由條件求分布列，再由期望公式求其期望.
【詳解】從寫有數(shù)字1,2,2,3,4,5,6的7張卡片中任取3張共有種取法，其中所抽取的卡片上的數(shù)字的最小值為2的取法有種，所以，
由已知可得的取值有1，2，3，4，
，，
，
所以,
故答案為：，.
14．已知函數(shù)有兩個極值點，，且，則實數(shù)m的取值范圍是 .
【答案】
【分析】根據(jù)極值點的定義，結(jié)合函數(shù)零點的定義，通過構(gòu)造函數(shù)，利用數(shù)形結(jié)合思想進行求解即可.
【詳解】由有兩個不同實根，
且，
設(shè)，
當時，，當時，，
在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，
顯然當時，，當時，，
圖象如下：
所以有，則有，
當時，即.，
時，，
故答案為：
【點睛】關(guān)鍵點睛：根據(jù)函數(shù)極值的定義，結(jié)合構(gòu)造函數(shù)法、數(shù)形結(jié)合法進行求解是解題的關(guān)鍵.
四、解答題
15．甲、乙兩臺機床生產(chǎn)同種產(chǎn)品，產(chǎn)品按質(zhì)量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機床產(chǎn)品的質(zhì)量，分別用兩臺機床各生產(chǎn)了200件產(chǎn)品，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計如下表.
(1)甲機床、乙機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是多少?
(2)依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，分析甲機床的產(chǎn)品質(zhì)量是否與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異.
附:χ2=.
【答案】(1)甲機床、乙機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率分別是
(2)依據(jù)小概率值α=0.010的獨立性檢驗，甲機床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異.
【分析】（1）根據(jù)頻率的計算即可求解，
（2）根據(jù)卡方的計算，與臨界值即可求解.
【詳解】（1）甲機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率為；
乙機床生產(chǎn)的產(chǎn)品中一級品的頻率為.
（2），
依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，甲機床的產(chǎn)品質(zhì)量與乙機床的產(chǎn)品質(zhì)量有差異.
16．如圖，在三棱錐中，，，，，的中點分別為，點在上，．
(1)求證：//平面；
(2)若，求三棱錐的體積．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)給定條件，證明四邊形為平行四邊形，再利用線面平行的判定推理作答.
（2）作出并證明為棱錐的高，利用三棱錐的體積公式直接可求體積.
【詳解】（1）連接，設(shè)，則，，，
則，
解得，則為的中點，由分別為的中點，
于是，即，
則四邊形為平行四邊形，
，又平面平面，
所以平面.
（2）過作垂直的延長線交于點，
因為是中點，所以，
在中，，
所以，
因為，
所以，又，平面，
所以平面，又平面，
所以，又，平面，
所以平面，
即三棱錐的高為，
因為，所以，
所以，
又，
所以.
17．已知曲線上任意一點到點的距離比它到直線的距離大1.
(1)求曲線的方程；
(2)若直線與曲線交于，兩點，求證：.
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）設(shè)動點，根據(jù)動點到點的距離比它到直線的距離大，可得動點到點的距離等于它到直線的距離，由此建立方程，即可求得曲線的方程；
（2）設(shè)、，聯(lián)立直線與拋物線方程，消元、列出韋達定理，即可得到，從而得證.
【詳解】（1）設(shè)動點，動點到點的距離比它到直線的距離大，
即動點到點的距離等于它到直線的距離，
，兩邊平方，
化簡可得.
（2）設(shè)、，由，消去得，
則，所以，，
所以，
所以，即.
18．已知函數(shù)，且，．
(1)若，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，求實數(shù)b的取值范圍；
(2)證明：對于任意實數(shù)，．參考數(shù)據(jù)：．
【答案】(1)
(2)證明見解析
【分析】(1)利用導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性最值的關(guān)系求解；(2)利用導(dǎo)數(shù)討論單調(diào)性并證明不等式.
【詳解】（1）時，，
由題知對任意恒成立，
因為在單調(diào)遞增，
則，得．
又，，得，
綜上．
（2）法1：
由題，，則，
而，顯然在R上單調(diào)遞增，
，
，
由零點存在定理知存在唯一使，
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
所以，
，
，
所以
記，單調(diào)遞減，
又，
故，又，故，
則，
命題得證．
（2）法2：
由題，，
則，
而，顯然在R上單調(diào)遞增，
，
，
由零點存在定理知存在唯一，
使，，
所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，
所以，
記，
則對稱軸，
所以
命題得證．
19．已知數(shù)列的前項和為，若存在常數(shù)，使得對任意都成立，則稱數(shù)列具有性質(zhì)．
(1)若數(shù)列為等差數(shù)列，且，求證：數(shù)列具有性質(zhì)；
(2)設(shè)數(shù)列的各項均為正數(shù)，且具有性質(zhì)．
①若數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且，求的值；
②求的最小值．
【答案】(1)證明見解析；
(2)①；②的最小值為4.
【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出等差數(shù)列的公差，進而求出通項公式及前項和，再利用定義判斷即得.
（2）①根據(jù)給定條件，可得，再按，探討，當時，，又按且討論得解；②由定義，消去結(jié)合基本不等式得，再迭代得，借助正項數(shù)列建立不等式求解即可.
【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，
解得，則，
于是，即，
所以數(shù)列具有性質(zhì)．
（2）①由數(shù)列具有性質(zhì)，得，又等比數(shù)列的公比為，
若，則，解得，與為任意正整數(shù)相矛盾；
當時，，而，整理得，
若，則，解得，與為任意正整數(shù)相矛盾；
若，則，當時，恒成立，滿足題意；
當且時，，解得，與為任意正整數(shù)相矛盾；
所以.
②由，得，即，
因此，即，
則有，
由數(shù)列各項均為正數(shù)，得，從而，即，
若，則，與為任意正整數(shù)相矛盾，
因此當時，恒成立，符合題意，
所以的最小值為4．
【點睛】易錯點睛：等比數(shù)列公比q不確定，其前n項和直接用公式處理問題，漏掉對的討論.
機床
品級
合計
一級品
二級品
甲機床
150
50
200
乙機床
120
80
200
合計
270
130
400
α
0.050
0.010
0.001
xα
3.841
6.635
10.828

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