一、選擇題
1．若集合，，則( )
A.B.C.D.
2．已知，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限
3．已知向量，，則的坐標(biāo)是( )
A.B.C.D.
4．已知函數(shù)，若對任意，，且，都有，則實數(shù)a的取值范圍是( )
A.B.C.D.
5．已知橢圓的一個焦點為F，左頂點為A，上頂點為B，若，則該橢圓的離心率為( )
A.B.C.D.
6．已知α是第四象限角，且，則( )
A.13B.C.D.
7．已知平面向量和，則“”是“”的( )
A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件
C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件
8．已知，均為銳角，且滿足，則的最大值為( )
A.B.C.D.
二、多項選擇題
9．下列說法正確的有( )
A.一組數(shù)據(jù)19，24，25，32，28，36，45，43，45，57的中位數(shù)為34
B.展開式中項的系數(shù)為1120
C.相關(guān)系數(shù)，表明兩個變量相關(guān)性較弱
D.若，則
10．若，則( )
A.B.C.D.
11．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)，又在區(qū)間上單調(diào)遞增的函數(shù)是( )
A.B.C.D.
12．如果一個棱錐的底面是正方形，且頂點在底面內(nèi)的射影是底面的中心，那么這樣的棱錐叫正四棱錐.若一正四棱錐的體積為18，則該正四棱錐的側(cè)面積最小時，以下結(jié)論正確的是( )
A.棱的高與底邊長的比為B.側(cè)棱與底面所成的角為
C.棱錐的高與底面邊長的比為D.側(cè)棱與底面所成的角為
三、填空題
13．為了保障疫情期間廣大市民基本生活需求，市政府準備了茄子、辣椒、白菜、角瓜、菜花、蘿卜、黃瓜、土豆八種蔬菜，并從中任選五種，以“蔬菜包”的形式發(fā)給市民.若一個“蔬菜包”中不同時含有土豆和蘿卜，且角瓜、黃瓜、辣椒最多只含有兩種，則可以組成___________種不同的“蔬菜包”.
14．鼎是古代烹煮用的器物，它是我國青銅文化的代表，在古代被視為立國之器，是國家和權(quán)力的象征.圖①是一種方鼎，圖②是根據(jù)圖①繪制的方鼎簡易直觀圖，圖中四棱臺是鼎中盛烹煮物的部分，四邊形是矩形，其中、、，點到平面的距離為，則這個方鼎一次最多能容納的食物體積為__________.(假定烹煮的食物全在四棱臺內(nèi))
15．已知函數(shù)，若，是方程的兩不等實根，則的最小值是___________.
16．已知點D在線段上，是的角平分線，E為上一點，且滿足，，，設(shè)，則在上的投影向量為__________.（結(jié)果用表示）.
四、解答題
17．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.
（1）求A；
（2）點D在線段AC上，且，若的面積為，，求BD的長.
18．直三棱柱中，底面為等腰直角三角形，，，，M是側(cè)棱上一點，設(shè).
（1）若，求h的值；
（2）若，求直線與平面所成的角.
19．已知函數(shù).
（1）當(dāng)時，設(shè)的導(dǎo)函數(shù)為，若在定義域范圍內(nèi)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）證明：當(dāng)時，.
20．記數(shù)列的前n項和為，已知，是公差為2的等差數(shù)列.
（1）求的通項公式：
（2）若，數(shù)列的前n項和為，求證：.
21．高一年級某個班分成8個小組，利用假期參加社會公益服務(wù)活動（每個小組必須全員參加），參加活動的次數(shù)記錄如下：
（1）從這8個小組中隨機選出2個小組在全校進行活動匯報求“選出的2個小組參加社會公益服務(wù)活動次數(shù)相等”的概率；
（2）記每個小組參加社會公益服務(wù)活動的次數(shù)為X.
①求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；
②至幾小組每組有4名同學(xué)，小組有5名同學(xué)記“該班學(xué)生參加社會公益服務(wù)活動的平均次數(shù)”為，寫出與的大小關(guān)系（結(jié)論不要求證明）.
22．已知函數(shù)（，e為自然對數(shù)的底數(shù)），.
（1）若在單調(diào)遞減，求實數(shù)b的取值范圍；
（2）若不等式對，恒成立，求實數(shù)b的取值范圍.
參考答案
1．答案：D
解析：，所以，
故選：D.
2．答案：A
解析：，則，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，位于第一象限
故選：A.
3．答案：B
解析：因為向量，，
所以.
故選：B.
4．答案：C
解析：對任意，，且，都有，
在上單調(diào)遞增，
的對稱軸為，
當(dāng)時，開口向下，在單調(diào)遞減，不符合題意；
當(dāng)時，開口向上，要在單調(diào)遞增，則，解得，
綜上，.
故選：C.
5．答案：D
解析：由題意知橢圓的一個焦點為F，左頂點為A，上頂點為B，
若，則，即，
設(shè)橢圓的離心率為e，則，，
故選：D.
6．答案：B
解析：因為，所以，因為α是第四象限角，所以，，
因此.
故選：B.
7．答案：C
解析：
則“”是“”的充分必要條件
故選：C.
8．答案：B
解析：由，得，
即，化簡得，
則，
所以，
由為銳角，，則有，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，
，
由，函數(shù)在上單調(diào)遞增，
所以的最大值為.
故選：B.
9．答案：ABD
解析：對于A，一組數(shù)據(jù)從小到大重新排列可得19，24，25，28，32，36，43，45，45，57，
所以中位數(shù)為，故A正確；
對于B，設(shè)展開式的通項為，令，可得
展開式中項的系數(shù)為，故B正確；
對于C，相關(guān)系數(shù)取值一般在之間，絕對值越接近1說明變量之間的線性關(guān)系越強，絕對值越接近0說明變量間線性關(guān)系越弱，相關(guān)系數(shù)r的絕對值一般在0.8以上，認為兩個變量有強的相關(guān)性，0.3到0.8之間，可以認為有弱的相關(guān)性，0.3以下，認為沒有相關(guān)性，所以相關(guān)系數(shù)表明兩個變量相關(guān)性較強，故C錯誤；
對于D，若，則，則，故D正確.
故選：ABD.
10．答案：BC
解析：由題意，，原式，可變換為，即；
當(dāng)時，，所以，即，與相矛盾，故不符合題意；
當(dāng)時，，所以，所以，即；
當(dāng)時，，所以，所以，即，與相矛盾，故不符合題意；
綜上：.
故選：BC.
11．答案：AC
解析：對于A：，，故為奇函數(shù)，，在均為增函數(shù)，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以A正確；
對于B：，，故在區(qū)間上不是單調(diào)遞增，故B錯誤；
對于C：，，故為奇函數(shù)，在均為增函數(shù)，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以C正確；
對于D：，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以也是遞減，故D錯誤；
故選：AC.
12．答案：AB
解析：設(shè)四棱錐的高為h，底面邊長為a，
可得，即，
所以其側(cè)面積為，
令，則，
令得，
當(dāng)時，單調(diào)遞減，
當(dāng)時，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時取得最小值，即四棱錐的側(cè)面積最小，
此時，
所以棱錐的高與底面邊長的比為，故A正確，C錯誤，
側(cè)棱與底面所成的角為，由，可得，
所以，故B正確，D錯誤.
故選：AB.
13．答案：27
解析：當(dāng)土豆和蘿卜都不含有時，蔬菜包的種數(shù)為；
當(dāng)土豆和蘿卜中只含有一種時，蔬菜包的種數(shù)為，
所以可以組成種不同“蔬菜包”種數(shù)為，
故答案為：27.
14．答案：
解析：幾何體為四棱臺，則延長、、、必交于一點，該點記為O，
由得：.
過點O作平面于H，作面于G，則與所在直線重合，可得，
又，解得，，
.
故答案為：.
15．答案：
解析：與函數(shù)均是單調(diào)函數(shù).
作出函數(shù)的圖象，由圖可知，當(dāng)時，方程有兩不等實根，.不妨設(shè)，.
則，，即，.
則.
令，，則.
當(dāng)時，有，單調(diào)遞減；
當(dāng)時，有，單調(diào)遞增.
所以，在時，取得唯一極小值，也是最小值.
故答案為：.
16．答案：
解析：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
由，可設(shè)，，，
得點C的軌跡是以，為焦點，實軸長為6的雙曲線的右支（不含右頂點）.
因為是的角平分線，
且，
所以也為的角平分線，為的內(nèi)心.
如圖，設(shè)，，，，
則由雙曲線與內(nèi)切圓的性質(zhì)可得，，
又，所以，，在上的投影長為4，則在上的投影向量為，
故答案為：.
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）因為，
由正弦定理得，
即，
即，
又，所以，
又，所以；
（2）由，得，
又，則，
則，解得，所以，
則，
所以，
所以.
18．答案：（1）
（2）
解析：（1）以A為坐標(biāo)原點，以射線、、分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則，，，
，
由得，即
解得.
（2）解法一：此時
，，，
設(shè)平面的一個法向量為，
由得，
所以，
設(shè)直線與平面所成的角為，
則
所以直線與平面所成的角為.
解法二：聯(lián)結(jié)，則，
，，平面，
，平面，
所以是直線與平面所成的角；
在中，，，
所以
所以，
所以直線與平面所成的角為.
19．答案：（1）
（2）證明見解析
解析：（1）令
，在單減，在單增
的最小值，所以.
（2）（?。┊?dāng)時，，，
成立，
（ⅱ）當(dāng)時，設(shè)，則，
設(shè)，則，
，，即在上單調(diào)遞增，
即，
在在單調(diào)遞增，
即，
綜上可知，時，.
20．答案：（1）
（2）證明見解析
解析：（1）當(dāng)時，，
因為是公差為2的等差數(shù)列，
所以，
當(dāng)時，，
所以，
所以，
所以，
所以數(shù)列是以3為公比，3為首項的等比數(shù)列，
所以，所以.
（2）證明：由（1）可得，
當(dāng)時，，當(dāng)時，，
可用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時，，成立，
假設(shè)時，成立，
則當(dāng)時，，
所以當(dāng)時，，
所以，
令，則
，
所以
，
所以，
所以，即.
21．答案：（1）
（2）①詳見解析；②.
解析：（1）從這8個小組中隨機選出2個小組在全校進行活動匯報，
基本事件總數(shù)為，
選出的2個小組參加社會公益服務(wù)活動次數(shù)相等包含的基本事件個數(shù)為，
“選出的2個小組參加社會公益服務(wù)活動次數(shù)相等”的概率為；
（2）①由題意知，隨機變量X的可能取值為1，2，3，4；
則，，
，，
所以X的分布列為：
數(shù)學(xué)期望為；
②由至幾小組每組有4名同學(xué)，小組有5名同學(xué)，且每一組對應(yīng)的數(shù)據(jù)知，.
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）在單調(diào)遞減，
在上恒成立，即在上恒成立，
設(shè)，，需即可，
，，則，
在單調(diào)遞增，
，
故；
（2）由題意，不等式對，恒成立，則對一切恒成立，
，，所以，
原命題等價于對一切恒成立，
對一切恒成立，
令，，
，
令，，則對恒成立，
上單增，
又，，
使，即①，
當(dāng)時，，即在遞減，
當(dāng)時，，即在遞增，
，
由①，，
設(shè)，，則，
函數(shù)在單調(diào)遞增，
即，
，，
實數(shù)b的取值范圍為.
組別
參加活動次數(shù)
3
2
4
3
2
4
1
3
X
1
2
3
4
P

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