命題人：景維龍 審題人：高一數(shù)學(xué)備課組
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共150分，考試時(shí)間120分鐘
第Ⅰ卷（選擇題 共60分）
一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）
1. 已知集合，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合集合交集的定義進(jìn)行求解即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>，
所以，
故選：A
2. 設(shè)，，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】計(jì)算，，，得到答案.
【詳解】，，，則.
故選：C
3. 函數(shù)的圖象大致是（ ）更多課件教案等優(yōu)質(zhì)滋元可 家 威杏 MXSJ663 A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根據(jù)時(shí)的范圍，及當(dāng)時(shí)，的取值，利用排除法即可得解.
【詳解】令，得或，
令，得，
故排除CD，
又當(dāng)時(shí)，，故排除B.
故選：A.
4. 已知，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由得，然后利用誘導(dǎo)公式計(jì)算即可.
【詳解】因?yàn)椋?br>所以，
所以
，
故選：D.
5. 已知是定義在上的偶函數(shù)，且滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，，則方程的根的個(gè)數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】求根的個(gè)數(shù)，即求與的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，可利用數(shù)型結(jié)合方法作出圖像即可求解.
【詳解】由題意知，所以函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，
又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，即函數(shù)的周期為，
方程根的個(gè)數(shù)即為函數(shù)與圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，
如圖所示為函數(shù)與圖象，
令，得，兩函數(shù)圖象在區(qū)間有個(gè)交點(diǎn)，
所以共有個(gè)交點(diǎn)，故D項(xiàng)正確.
故選：D.
6. 已知函數(shù)的定義域?yàn)镽，函數(shù)為奇函數(shù)，且，則的值為（ ）
A. B. C. 0D. 36
【答案】B
【解析】
【分析】由條件求得，從而求得的值.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，
所以有，又，所以，
得，則
即，所以
故選：B
7. 已知函數(shù)，若關(guān)于的函數(shù)有8個(gè)不同的零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】畫(huà)出的圖象，設(shè)，得到根的情況，從而得到有兩個(gè)不等實(shí)根，設(shè)為，且，不妨設(shè)，由韋達(dá)定理得到，，故，由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)得到答案.
【詳解】畫(huà)出的圖象，如下：
設(shè)，
當(dāng)時(shí)，無(wú)根，
當(dāng)時(shí)，有1個(gè)根，
當(dāng)時(shí)，有2個(gè)根，
當(dāng)或時(shí)，有3個(gè)根，
當(dāng)時(shí)，有4個(gè)根，
由于至多有2個(gè)根，
要想有8個(gè)不同的零點(diǎn)，
需要滿(mǎn)足，
即有兩個(gè)不等實(shí)根，設(shè)為，且，
，不妨設(shè)，故，，
故，
由對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)可知，在上單調(diào)遞減，
故.
故選：D
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：復(fù)合函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題處理思路：
①利用換元思想，設(shè)出內(nèi)層函數(shù)；
②分別作出內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)的圖象，分別探討內(nèi)外函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)或范圍；
③內(nèi)外層函數(shù)相結(jié)合確定函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即可得到復(fù)合函數(shù)在不同范圍下的零點(diǎn)個(gè)數(shù).
8. 定義域?yàn)榈暮瘮?shù)滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，，若時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是( )
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根據(jù)題意首先得得到函數(shù)的具體表達(dá)式，由，所以，所以，再由可得出f（x）的表達(dá)式，在根據(jù)函數(shù)思維求出f（x）最小值解不等式即可.
【詳解】因?yàn)?，所以?br>因?yàn)闀r(shí)，，
所以,
因?yàn)楹瘮?shù)滿(mǎn)足，
所以，
所以，，
又因?yàn)?，恒成立?br>故，
解不等式可得或.
【點(diǎn)睛】考查函數(shù)的解析求法，解本題關(guān)鍵就是要能合理的運(yùn)用已知條件將變量的范圍變化到已知表達(dá)式范圍中，然后根據(jù)函數(shù)的最值思維即可得出結(jié)論.
二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.）
9. 下列命題為真命題的是（ ）
A. “”的否定是“”
B. 可以用二分法求函數(shù)的零點(diǎn)
C. 在同一平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)
D. 冪函數(shù)在是增函數(shù)
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用命題的否定可判斷A；結(jié)合二次函數(shù)的值域判斷B；利用同底的指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系判斷C；利用冪函數(shù)的性質(zhì)判斷D.
【詳解】對(duì)A：根據(jù)存在量詞命題和全稱(chēng)量詞命題的關(guān)系可知，A正確；
對(duì)B：因?yàn)椋赃@個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)不能用二分法求，所以B錯(cuò)誤；
對(duì)C：根據(jù)同底數(shù)的指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于對(duì)稱(chēng)得，C正確；
對(duì)D：對(duì)冪函數(shù)，其定義域?yàn)椋?br>因?yàn)?，所以函?shù)在上為減函數(shù)，
又函數(shù)為偶函數(shù)，所以在上為增函數(shù)，D正確.
故選：ACD
10. 下列結(jié)論中不正確的是（ ）
A. 角的終邊在第一象限，那么角的終邊在第一、二象限
B. 是第四象限的角
C. 角與終邊關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)的充要條件是
D. 若點(diǎn)在第四象限，則角是第三象限的角
【答案】ABC
【解析】
【分析】舉例說(shuō)明判斷AC；確定角所在象限判斷B；由三角函數(shù)值的符號(hào)確定角所在象限判斷D.
【詳解】對(duì)于A，是第一象限的角，而是第三象限的角，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，，是第三象限的角，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，角與角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，顯然，不滿(mǎn)足，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由，得角是第一、三象限角，由，得角是第三、四象限角或終邊為y軸非正半軸，
因此角是第三象限的角，D正確.
故選：ABC
11. 已知函數(shù)，若，且，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】AB
【解析】
【分析】作出函數(shù)的圖象，設(shè)，則直線(xiàn)與函數(shù)的圖象個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為，可得出，再結(jié)合對(duì)稱(chēng)性與對(duì)數(shù)運(yùn)算即可得正確選項(xiàng).
【詳解】函數(shù)的圖象如圖所示，
設(shè)，則，
則直線(xiàn)與函數(shù)的圖象個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為，
對(duì)于A：函數(shù)的圖象關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則，故A正確；
對(duì)于B：由圖象可知，且，
∴，即，所以，故B正確；
當(dāng)時(shí)，，
由圖象可知，則，故C錯(cuò)誤；
由圖象可知，
所以，故D錯(cuò)誤.
故選：AB.
12. 若函數(shù)，則（ ）
A. B.
C. 在上是增函數(shù)D. 為偶函數(shù)
【答案】ABD
【解析】
分析】，然后可逐一判斷.
【詳解】因?yàn)椋訟選項(xiàng)正確．
因?yàn)椋?br>所以，B選項(xiàng)正確，D選項(xiàng)正確，
對(duì)于，因?yàn)樵赗上單調(diào)遞增，所以根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可得在R上是減函數(shù)，C選項(xiàng)錯(cuò)誤，
故選：ABD.
第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）
三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中的橫線(xiàn)上）
13. 已知扇形的圓心角為，其弧長(zhǎng)為，則這個(gè)扇形的面積為 ___________．
【答案】
【解析】
【分析】結(jié)合弧長(zhǎng)求出扇形的半徑，利用扇形的面積公式，即可求解．
【詳解】設(shè)扇形的半徑為r，扇形的圓心角為，即，
則，解得，
故這個(gè)扇形的面積為．
故答案為：．
14. 設(shè)定義域?yàn)榈暮瘮?shù)，則關(guān)于的函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為_(kāi)__________.
【答案】
【解析】
【分析】由可得出或，數(shù)形結(jié)合確定方程、的根的個(gè)數(shù)，即可得解.
【詳解】由可得或，如下圖所示：
由圖可知，直線(xiàn)與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，
函數(shù)的圖象與軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，
因此，關(guān)于的函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為.
故答案為：.
15. 研究表明大氣中二氧化碳的含量對(duì)地表溫度有明顯的影響：當(dāng)大氣中二氧化碳的含量每增加25%，地球平均溫度就要上升0.5℃.若到2050年，預(yù)測(cè)大氣中二氧化碳的含量是目前的4倍，則地球平均溫度將上升約__________ ℃.（參考數(shù)據(jù)：）
【答案】3
【解析】
【分析】設(shè)目前大氣中二氧化碳的含量為a，解方程即得解.
【詳解】設(shè)目前大氣中二氧化碳的含量為a，
依題意，當(dāng)二氧化碳的含量為時(shí)，地球平均溫度上升0.5℃，
當(dāng)二氧化碳含量為時(shí)，地球平均溫度上升℃，
依次類(lèi)推，當(dāng)大氣中二氧化碳的含量為時(shí)，地球平均溫度上升℃，
令，即，方程兩邊同時(shí)取常用對(duì)數(shù)，則，
所以到2050年，地球平均溫度將上升約(℃).
故答案為：3
16. 若實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，，則的最大值為_(kāi)_____．
【答案】
【解析】
【分析】由基本不等式求出，變形得到，求出，從而求出的最大值.
【詳解】由基本不等式得：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，
所以，解得：，
又因?yàn)?，所以?br>化簡(jiǎn)得：，
因?yàn)椋?，所以，即?br>所以，所以，
故的最大值是.
故答案為：.
四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）
17. （1）已知且為第三象限角，求的值；
（2）已知，求.
【答案】（1）（2）或
【解析】
【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再利用同角公式求出即可；
（2）變形給定的等式，利用齊次式法列出方程求解即得.
【詳解】（1）因?yàn)榍覟榈谌笙藿?，則，
所以
.
（2）由，得，
即，于是，解得或，
所以或.
18. 如圖所示，在直角坐標(biāo)系內(nèi)，銳角的終邊與單位圓交于點(diǎn)，將角的終邊按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到角的終邊，并與單位圓交于點(diǎn).
（1）用含的式子表示點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）若，求的值.
【答案】（1）
（2）或
【解析】
【分析】（1）由三角函數(shù)定義，根據(jù)題中條件，即可用含的式子表示點(diǎn)的坐標(biāo)；
（2）法一：根據(jù)題中條件，由同角三角函數(shù)的平方關(guān)系和商數(shù)關(guān)系，聯(lián)立方程組求解即可；
法二：根據(jù)題中條件，由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得，①，②，聯(lián)立方程組求解即可．
【小問(wèn)1詳解】
依題意得：，
由三角函數(shù)定義知，，
，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為
【小問(wèn)2詳解】
法一：因?yàn)?，所以?br>又因?yàn)棰冢?br>聯(lián)立①②解得或，
所以或.
法二：因?yàn)?，所以?br>兩邊平方得，所以，
又因?yàn)?，所以?br>當(dāng)時(shí)，解得，
此時(shí)
當(dāng)時(shí)，解得，
此時(shí)或．
19. 已知函數(shù)在上的最大值與最小值之和為.
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）對(duì)于任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）2 （2）
【解析】
【分析】（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；
（2）根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性的性質(zhì)，結(jié)合任意性的定義進(jìn)行求解即可.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)楹瘮?shù)在上的單調(diào)性相同，
所以函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，
所以函數(shù)在上的最大值與最小值之和為，
所以，解得和（舍），
所以實(shí)數(shù)的值為2.
【小問(wèn)2詳解】
由（1）得，
因?yàn)閷?duì)于任意的，不等式恒成立，
所以對(duì)于任意的恒成立，
當(dāng)時(shí)，為單調(diào)遞增函數(shù)，
所以，所以，
即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍.
20. 已知.
（1）若與均為正數(shù)，求的最大值；
（2）若與均為負(fù)數(shù)，求最小值.
【答案】（1）；
（2）.
【解析】
【分析】（1）利用基本不等式求解即得.
（2）利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.
【小問(wèn)1詳解】
因?yàn)椋?，則，即，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值.
【小問(wèn)2詳解】
由與均為負(fù)數(shù)，得，
因此，
當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)取等號(hào)，
所以當(dāng)時(shí)，取得最小值.
21. 已知.
（1）若函數(shù)的值域?yàn)椋髮?shí)數(shù)的取值范圍；
（2）若函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為，求實(shí)數(shù)的值.
【答案】（1）或
（2）
（3）或5
【解析】
【分析】（1）根據(jù)題意，由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域列出不等式，即可得到結(jié)果；
（2）根據(jù)題意，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，分在上為增函數(shù)與在上為減函數(shù)討論，即可得到結(jié)果；
（3）根據(jù)題意，由換元法，結(jié)合二次函數(shù)的值域，分類(lèi)討論，即可得到結(jié)果.
【小問(wèn)1詳解】
由題意得，中的，解得：或.
【小問(wèn)2詳解】
因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，函數(shù)在區(qū)間上為單調(diào)函數(shù)，
則當(dāng)時(shí)，函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，且在上恒成立，
函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，
①若在上增函數(shù)，則，解得，
②若在上為減函數(shù)，則，解得，
綜上，；
【小問(wèn)3詳解】
由已知，，令，當(dāng)時(shí)，，
①若，則函數(shù)在上遞增，所以，
解得，
②若，則，解得，
不合要求，
③若，則函數(shù)在上遞減，所以，
解得，
綜上，或5.
22. 若兩個(gè)函數(shù)和對(duì)任意都有，則稱(chēng)函數(shù)和在上是疏遠(yuǎn)的.
（1）已知命題“函數(shù)和在上是疏遠(yuǎn)的”，試判斷該命題的真假.若該命題為真命題，請(qǐng)予以證明；若為假命題，請(qǐng)舉反例；
（2）若函數(shù)和在上是疏遠(yuǎn)的，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）已知常數(shù)，若函數(shù)與在上是疏遠(yuǎn)的，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】（1）假命題，反例為當(dāng)時(shí)，；（2）或；（3）.
【解析】
【分析】（1）由命題“函數(shù)和在上是疏遠(yuǎn)的”，則在上恒成立，令，判斷是否符合題意即可得出結(jié)論；
（2）由（1）知，在上恒成立，即在上恒成立，根據(jù)一元二次不等式恒成立即可得解；
（3）根據(jù)題意在上恒成立，即，即，
令，判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，求得最小值，解不等式即可得解.
【詳解】解：（1）由題意可知，命題“函數(shù)和在上是疏遠(yuǎn)”，則在上恒成立，
即證在上恒成立，
令，故，
又函數(shù)的對(duì)稱(chēng)軸為，故函數(shù)在上遞增，
所以，即，并不 恒大于2，
故為假命題，反例為當(dāng)時(shí)，；
（2）由（1）知，在上恒成立，
即在上恒成立，
令，則，
所以或，
解得或；
（3）根據(jù)題意在上恒成立，
即，
又，所以，故，
令，
取，
則，
因?yàn)椋?，則，，則，
所以，
所以函數(shù)在上遞增，
故，解得或，
所以.

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新疆烏魯木齊市實(shí)驗(yàn)學(xué)校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題

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