一、選擇題
1．已知集合,,則( )
A.B.C.D.
2．已知復(fù)數(shù)z滿足,其中i為虛數(shù)單位,則( )
A.B.1C.D.2
3．已知平面向量,,且,則( )
A.B.C.D.
4．若函數(shù)為奇函數(shù),則( )
A.1B.-1C.0D.2
5．設(shè),為橢圓C:的兩個焦點,點P在橢圓C上,若,,成等差數(shù)列,則橢圓C的離心率為( )
A.1B.C.D.
6．黃金分割點是指將一條線段分為兩部分,使得較長部分與整體線段的長的比值為的點．利用線段上的兩個黃金分割點可以作出正五角星,如圖所示,已知C,D為AB的兩個黃金分割點,研究發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：．若等腰△CDE的頂角,則( )
A.B.C.D.
7．已知命題,使得;命題若a,,則是成立的充要條件.下列命題為真命題的是( )
A.B.C.D.
8．若,則( )
A.B.C.D.
二、多項選擇題
9．新冠肺炎疫情防控期間,進(jìn)出小區(qū)、超市、學(xué)校等場所,我們都需要先進(jìn)行體溫檢測.某班級體溫檢測員對一周內(nèi)甲、乙兩名同學(xué)的體溫進(jìn)行了統(tǒng)計,其結(jié)果如圖所示,則下列結(jié)論正確的是( )
A.甲同學(xué)體溫的極差為0.4℃
B.乙同學(xué)體溫的眾數(shù)為36.4℃,中位數(shù)與平均數(shù)不相等
C.乙同學(xué)的體溫比甲同學(xué)的體溫穩(wěn)定
D.甲同學(xué)體溫的第80百分位數(shù)為36.5℃
10．已知,則下列不等關(guān)系一定正確的是( )
A.B.C.D.
11．下列說法正確的是( )
A.任意兩個冪函數(shù)的圖象最多只有兩個交點和
B.當(dāng)時,的最小值為
C.利用二分法求方程的近似解,可以取的一個區(qū)間是
D.定義域為R,若與都是奇函數(shù),則也是奇函數(shù)
12．?dāng)?shù)學(xué)中有許多形狀優(yōu)美,寓意獨(dú)特的幾何體,“勒洛四面體”就是其中之一．勒洛四面體是以正四面體的四個頂點為球心,以正四面體的棱長為半徑的四個球的公共部分,且其體積小于正四面體外接球體積．如圖,在勒洛四面體中,正四面體ABCD的棱長為4,則下列結(jié)論正確的是( )
A.勒洛四面體最大的截面是正三角形
B.若P、Q是勒洛四面體ABCD表面上的任意兩點,則PQ的最大值可能大于4
C.勒洛四面體ABCD的體積是
D.勒洛四面體ABCD內(nèi)切球的半徑是
三、填空題
13．將6個相同的球全部放入甲、乙、丙三個盒子里,每個盒子最多放入3個球,共有_________種不同的放法.
14．已知點Q是圓上任意一點,點,點,點P滿足,則的最小值為___________.
15．對于函數(shù),下列5個結(jié)論正確的是_________.
①任取,,都有;
②函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增;
③對一切恒成立;
④函數(shù)有3個零點;
⑤若關(guān)于x的方程有且只有兩個不同實根,,則.
16．已知雙曲線的左、右焦點分別為,,P是C在第一象限上的一點,且直線的斜率為,點B為的內(nèi)心,直線PB交x軸于點A,且,則雙曲線C的漸近線方程為______________．
四、解答題
17．已知向量, ,且.
（1）的值;
（2）若,,且,求的值
18．如圖所示,在正四棱錐中,O為底面正方形的中心,E為側(cè)棱PB上的動點.側(cè)面PAD與底面ABCD所成的二面角的平面角為.
（1）求側(cè)棱PA與底面ABCD所成的角的正切值;
（2）若,問在棱AD上是否存在一點F,使側(cè)面PBC,若存在,試確定點F的位置;若不存在,說明理由.
19．已知函數(shù),若當(dāng)時,,求a的取值范圍.
20．已知等差數(shù)列,公差分別為,,,,.
（1）求數(shù)列,的通項公式,;
（2）求中既在數(shù)列中,又在數(shù)列中的所有數(shù)之和.
21．高二某班4名同學(xué)期末考完試后,商量購買一些學(xué)習(xí)參考書準(zhǔn)備在高三時使用,大家約定：每個人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去哪購買,擲出點數(shù)大于或等于5的人去圖書批發(fā)市場購買,擲出點數(shù)小于5的人去網(wǎng)上購買,且參加者必須從圖書批發(fā)市場和網(wǎng)上選擇一家購買.
（1）求這4人中至多有1人去圖書批發(fā)市場購買的概率;
（2）用、分別表示這4人中去圖書批發(fā)市場和網(wǎng)上購買的人數(shù),記,求隨機(jī)變量X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
22．已知函數(shù),（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)）．
（1）若,求函數(shù)在區(qū)間上的最大值．
（2）若,關(guān)于x的方程有且僅有一個根,求實數(shù)k的取值范圍．
（3）若對任意的,,,不等式均成立,求實數(shù)a的取值范圍．
參考答案
1．答案：A
解析：由題意可得,,即,所以
則
故選：A.
2．答案：C
解析：由題意知,復(fù)數(shù),所以．
故選：C．
3．答案：A
解析：因為,,,
所以,所以,
所以,
故選：A.
4．答案：B
解析：因為函數(shù)為奇函數(shù),
所以
即
整理得,
因為,
所以.
故選：B.
5．答案：B
解析：設(shè),
因為,,成等差數(shù)列,
所以即,
所以橢圓C的離心率.
故選：B.
6．答案：B
解析：設(shè),由已知可得,
則,
所以,.
如圖,取CD中點為F,連接EF,則.
在中,有,,,
則,
所以,.
故選：B.
7．答案：B
解析：對命題p,因為,所以,
又因為,
所以不存在,使得成立,故命題p為假命題,為真命題;
對命題q,當(dāng)時,當(dāng)時,,所以,所以成立;
當(dāng),時,,所以成立;
當(dāng),時,,,因為,所以,所以成立;
當(dāng),時,,,因為,所以,所以成立;
所以是成立的充分條件;
當(dāng)時,當(dāng)時,可得;
當(dāng),時,可得;
當(dāng),時,則有,所以有;
當(dāng),時,則有,
即,所以;
所以必要性滿足,
所以若a,,則是成立的充要條件,故q為真命題.
故選：B.
8．答案：C
解析：因為,所以,
所以
即,
由題意知,,
所以
即.
故選：C.
9．答案：ACD
解析：對于A選項,甲同學(xué)體溫的極差為,故A選項正確;
對于B選項,乙同學(xué)體溫為36.4,36.3,36.5,36.4,36.4,36.3,36.5,其眾數(shù)為36.4℃,中位數(shù)、平均數(shù)均為36.4℃,故B選項錯誤;
對于C選項,根據(jù)圖中數(shù)據(jù),甲同學(xué)的體溫平均數(shù)為36.4℃,與乙同學(xué)的體溫平均數(shù)相同,但甲同學(xué)的體溫極差為℃,大于乙同學(xué)的體溫極差℃,故乙同學(xué)的體溫比甲同學(xué)的體溫穩(wěn)定,C選項正確;
對于D選項,甲同學(xué)的體溫從小到大排序為36.2,36.2,36.4,36.4,36.5,36.6,,故甲同學(xué)體溫的第80百分位數(shù)為36.5℃,故D選項正確.
故選：ACD.
10．答案：BD
解析：對A,取,,則,A錯誤;
對C,取,則,,C錯誤;
對B,由題意,,易知,所以,B正確;
對D,問題等價于,易知函數(shù)在上是增函數(shù),而,則成立,故D正確.
故選：BD.
11．答案：CD
解析：對于A中,例如：冪函數(shù)和有三個交點,和,所以A錯誤;
對于B中,當(dāng)時,可得,則,
當(dāng)且僅當(dāng)時,即時,等號成立,
因為,所以等號不成立,,所以B錯誤;
對于C中, 令,可得,
所以,所以利用二分法求方程的近似解,可以取的一個區(qū)間是,所以C正確;
對于D中,定義域為R,若為奇函數(shù),可得,
由也為奇函數(shù),可得,
所以函數(shù)關(guān)于點和點對稱,所以函數(shù)的周期為,
可得,即也是奇函數(shù),所以D正確.
故選：CD.
12．答案：BD
解析：對選項A：勒洛四面體最大的截面即經(jīng)過四面體ABCD表面的截面,如圖1所示,錯誤;
對選項B：如圖2,設(shè)弧AB的中點是M,線段AB的中點是N,
設(shè)弧CD的中點是H,線段CD的中點是G,
則根據(jù)圖形的對稱性,四點M,N,G,H共線且過正四面體ABCD的中心O,
則,
,,
故,正確;
對選項C：如圖3,由對稱性可知內(nèi)切球球心O是正四面體ABCD外接球的球心,
連接BO并延長交勒洛四面體的曲面于點E,則OE就是勒洛四面體內(nèi)切球的半徑,

如圖4,M為的中心,O是正四面體ABCD外接球的球心,
連接BM,BO,AM,由正四面體的性質(zhì)可知O在AM上.
因為,所以,則.
因為,
即,解得,
則正四面體ABCD外接球的體積是,
因為勒洛四面體的體積小于正四面體ABCD外接球的體積,錯誤;
對選項D：因為,所以,正確;
故選：BD.
13．答案：10
解析：將6個相同的球全部放入甲、乙、丙三個盒子里,每個盒子最多放入3個球,可分為以下三種情況：
①其中有兩個盒子各放入3個小球,共有種不同放法;
②三個盒子中均放入2個小球,共有1種不同放法;
③一個盒子放入3個小球,一個盒子放入2個小球,最后一個盒子放入1個小球,共有種放法;
所以不同的放法共有種.
故答案為：10.
14．答案：2
解析：設(shè),由可得,,化簡得,,所以點P的軌跡為圓,圓心坐標(biāo)為,點Q在圓上,兩圓的圓心距為,所以兩圓相離,故的最小值為．
故答案為：2．
15．答案：①④⑤
解析：對于①,由,
當(dāng),時,,此時,
所以任取,,都有,故①正確;
對于②,當(dāng)時,,,所以非單調(diào)遞增,故②錯誤;
對于③,,,所以,故③錯誤;
對于④,如圖,
由數(shù)形結(jié)合可知有3個零點,故④正確;
對于⑤,如圖,
由圖可知,有且只有兩個不同實根,時,兩個根關(guān)于對稱,所以,故⑤正確.
綜上所述,正確結(jié)論是①④⑤.
故答案為：①④⑤.
16．答案：或
解析：如圖所示,設(shè)內(nèi)切圓B與的三邊分別相切于D,E,G三點,
過P作軸于M點,因為,,,
又由雙曲線定義得,即,
由,故,即B點橫坐標(biāo)為a,
因為直線的斜率為,所以,,
又因為,所以,故直線的方程為,
令,可得,即,
因為,且,所以,故,
可得,,
在中,由余弦定理得,
即,化簡得,
即,解得,或（舍去）,所以,
故雙曲線C的漸近線方程為或．
故答案為：或．
17．答案：（1）;
（2）
解析：（1）因為,,
所以
因為,所以,即.
（2）因為,,所以.
因為,,所以.
因為,所以,
所以.
因為,,所以,所以.
18．答案：（1）
（2）不存在,理由見解析
解析：（1）取AD的中點M,連接OM,PM,
可得,,
所以即為側(cè)面PAD與底面ABCD所成的二面角的平面角,
所以,
設(shè)正四棱錐底面邊長為2,則,所以,,
由平面ABCD,可得側(cè)棱PA與底面ABCD所成的角為,
所以,
即側(cè)棱PA與底面ABCD所成的角的正切值為;
（2）假設(shè)存在,設(shè),
如圖,以點O為原點建立空間直角坐標(biāo)系,
設(shè)正四棱錐底面邊長為2,則,
則,,,,
則,,
,則,
因為,所以,
所以,
若側(cè)面PBC,則,,即,
則有,即,無解,
所以與假設(shè)矛盾,
故棱AD上是不存在一點F,使側(cè)面PBC.
19．答案：.
解析：（1）由,得.
當(dāng),即時,,
所以在上單調(diào)遞增,所以.
（2）當(dāng)時,令,則,
所以在上單調(diào)遞增,于是.
①若,即時,,于是在上單調(diào)遞增,于是.
②若,即時,存在,使得當(dāng)時,,于是在上單調(diào)遞減,所以,不符合題意.
綜上所述,a的取值范圍是.
20．答案：（1）;
（2）459.
解析：（1）由,可得,聯(lián)立,可得,①,
令,可得,與聯(lián)立,可得,與
聯(lián)立得,②.
由①②得：.
（2）設(shè),m,,則,m,得,
由m,,可得,.
所以,即,
設(shè)是由數(shù)列,公共項組成的數(shù)列,
則為首項為3,公差為12的等差數(shù)列,且.
在中有,,···,
所以的前9項和為.
21．答案：（1）;
（2）分布列見解析,.
解析：（1）由題意可知,4名同學(xué)中每名同學(xué)去圖書批發(fā)市場購買的概率為,
所以,這4人中至多有人去圖書批發(fā)市場購買的概率為;
（2）用、分別表示這4人中去圖書批發(fā)市場和網(wǎng)上購買的人數(shù),記,則X的可能取值為0、3、4,
則,
,
.
所以,隨機(jī)變量X的分布列如下表所示：
因此,隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為.
22．答案：（1）1
（2）
（3）
解析：（1）當(dāng)時, ,,
所以,當(dāng)時,,時,,
所以,在上單調(diào)遞減,上單調(diào)遞增,
因為,當(dāng)時,,當(dāng)時,,
所以,在區(qū)間上的最大值為．
（2）當(dāng)時, 關(guān)于的方程為有且僅有一個實根,
所以,有且僅有一個實根,
設(shè),
則,
所以,當(dāng)時,,當(dāng)時,,
所以,在和上單調(diào)遞減, 在上單調(diào)遞增,
因為,
當(dāng)x趨近于時,趨近于,x趨近于時,趨近于0,
所以,有且僅有一個實根, 則實數(shù)k的取值范圍是．
（3）不妨設(shè),則恒成立．
因此恒成立, 即恒成立,
且恒成立,
所以,函數(shù)和均在上單調(diào)遞增,
設(shè),
則在上上恒成立,
因此在上恒成立,因此,
因為在上單調(diào)遞減,
所以,時,,即．
由在上恒成立,
因此在上恒成立, 因此,
設(shè),則,解得
所以,當(dāng)時,,單調(diào)遞減;
當(dāng)時,,單調(diào)遞增．
所以,,即
綜上,實數(shù)a的取值范圍是.
X
0
3
4
P

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