一、選擇題
1．若集合,,,則( )
A.B.C.D.
2．函數(shù)在區(qū)間上的最大值是( )
A.-9B.-16C.16D.9
3．若正數(shù)x,y滿足,則的最小值為( )
A.2B.C.3D.
4．從數(shù)字1,2,3中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)字,取到的數(shù)字為,再從數(shù)字中隨取一個(gè)數(shù)字,則第二次取到數(shù)字2的概率為( )
A.B.C.D.
5．小明將1，4，0，3，2，2這六個(gè)數(shù)字的一種排列設(shè)為自己的六位數(shù)字的銀行卡密碼，若兩個(gè)2之間只有一個(gè)數(shù)字，且1與4相鄰，則可以設(shè)置的密碼種數(shù)為( )
A.48B.32C.24D.16
6．令,則當(dāng)時(shí),a除以15所得余數(shù)為( )
A.4B.1C.2D.0
7．不等式恒成立,則實(shí)數(shù)a的最大值為( )
A.B.C.1D.2
8．已知函數(shù)沒有極值點(diǎn),則的最大值為( )
A.B.C.eD.
二、多項(xiàng)選擇題
9．?dāng)?shù)學(xué)中蘊(yùn)含著無窮無盡的美,尤以對稱美最為直觀和顯著.回文數(shù)是對稱美的一種體現(xiàn),它是從左到右與從右到左讀都一樣的正整數(shù),如22,121,3443,94249等,顯然兩位回文數(shù)有9個(gè)：11,22,33,…,99;三位回文數(shù)有90個(gè)：101,111,121,…,191,202,…,999.下列說法正確的是( )
A.四位回文數(shù)有45個(gè)B.四位回文數(shù)有90個(gè)
C.位回文數(shù)有個(gè)D.位回文數(shù)有個(gè)
10．已知為隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間，事件A，B滿足，，則下列說法正確的是( )
A.若，且，，則
B.若，且，，則
C.若，，則
D.若，，，則
11．已知函數(shù),是的導(dǎo)函數(shù),則( )
A.“”是“為奇函數(shù)”的充要條件
B.“”是“為增函數(shù)”的充要條件
C.若不等式的解集為且,則的極小值為
D.若,是方程的兩個(gè)不同的根,且,則或
三、填空題
12．已知集合,,若“”是“”的必要不充分條件,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為______________.
13．已知函數(shù)（其中且）,若存在,使得,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________________.
14．切比雪夫不等式是19世紀(jì)俄國數(shù)學(xué)家切比雪夫（1821.5~1894.12）在研究統(tǒng)計(jì)規(guī)律時(shí)發(fā)現(xiàn)的,其內(nèi)容是：對于任一隨機(jī)變量X,若其數(shù)學(xué)期望和方差均存在,則對任意正實(shí)數(shù),有.根據(jù)該不等式可以對事件的概率作出估計(jì).在數(shù)字通信中,信號是由數(shù)字“0”和“1”組成的序列,現(xiàn)連續(xù)發(fā)射信號n次,每次發(fā)射信號“0”和“1”是等可能的.記發(fā)射信號“1”的次數(shù)為隨機(jī)變量X,為了至少有的把握使發(fā)射信號“1”的頻率在區(qū)間內(nèi),估計(jì)信號發(fā)射次數(shù)n的值至少為________________.
四、解答題
15．設(shè)函數(shù),其中.
(1)若命題“,”為假命題,求實(shí)數(shù)t的取值范圍;
(2)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.
16．已知函數(shù).
（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.
17．某校舉行籃球比賽,規(guī)則如下：甲、乙每人投3球,進(jìn)球多的一方獲得勝利,勝利1次,則獲得一個(gè)積分,平局或者輸方不得分.已知甲和乙每次進(jìn)球的概率分別是和p,且每人進(jìn)球與否互不影響.
(1)若,求乙在一輪比賽中獲得一個(gè)積分的概率;
(2)若,且每輪比賽互不影響,乙要想至少獲得3個(gè)積分且每輪比賽至少要超甲2個(gè)球,從數(shù)學(xué)期望的角度分析,理論上至少要進(jìn)行多少輪比賽？
18．已知函數(shù).
(1)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減,求a的范圍;
(2)討論函數(shù)在定義域內(nèi)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù);
(3)若函數(shù)在處取得極值,,恒成立,求實(shí)數(shù)b的取值范圍.
19．在信息理論中,X和Y是兩個(gè)取值相同的離散型隨機(jī)變量,分布列分別為：,,,,,.定義隨機(jī)變量X的信息量,X和Y的“距離”.
（1）若,求;
（2）已知發(fā)報(bào)臺(tái)發(fā)出信號為0和1,接收臺(tái)收到信號只有0和1.現(xiàn)發(fā)報(bào)臺(tái)發(fā)出信號為0的概率為,由于通信信號受到干擾,發(fā)出信號0接收臺(tái)收到信號為0的概率為q,發(fā)出信號1接收臺(tái)收到信號為1的概率為.
（?。┤艚邮张_(tái)收到信號為0,求發(fā)報(bào)臺(tái)發(fā)出信號為0的概率;（用p,q表示結(jié)果）
（ⅱ）記隨機(jī)變量X和Y分別為發(fā)出信號和收到信號,證明：.
參考答案
1．答案：C
解析：因?yàn)?
所以,且.
故選：C.
2．答案：C
解析：因?yàn)?令,解得,
當(dāng)時(shí),,即單調(diào)遞增,
當(dāng)時(shí),,即單調(diào)遞減,
所以在時(shí)取得極大值,即最大值,
所以在區(qū)間上的最大值是16.
故選：C.
3．答案：B
解析：由正數(shù)x,y滿足,
得,
當(dāng)且僅當(dāng),即,時(shí)取等號,
所以的最小值為.
故選：B.
4．答案：A
解析：記事件“第一次取到數(shù)字”,,事件“第二次取到數(shù)字2”,
由題意知,,是兩兩互斥的事件,且（樣本空間）,
所以
.
故選：A.
5．答案：C
解析：1與4相鄰，共有種排法，
兩個(gè)2之間插入1個(gè)數(shù)，
共有種排法，再把組合好的數(shù)全排列，共有種排法，
則總共有種密碼.
故選：C.
6．答案：D
解析：,
當(dāng)時(shí),
故a除以15所得余數(shù)為0.
故選：D.
7．答案：B
解析：設(shè),,則,因?yàn)?所以,
所以在上單調(diào)遞增,所以,即.
所以在恒成立.
由題意：函數(shù)的定義域?yàn)椋?
所以原不等式可化為：,問題轉(zhuǎn)化為求的最小值.
而（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”）
結(jié)合圖象：
方程在上有唯一解.
所以.
故選：B.
8．答案：B
解析：函數(shù)沒有極值點(diǎn),
,或恒成立,
由指數(shù)爆炸的增長性,不可能恒小于等于0,
恒成立.
令,則,
當(dāng)時(shí),恒成立,為R上的增函數(shù),
因?yàn)槭窃龊瘮?shù),也是增函數(shù),
所以,此時(shí),不合題意;
②當(dāng)時(shí),為增函數(shù),由得,
令,,
在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增,
當(dāng)時(shí),依題意有,
即,
,,
令,,
則,
令,令,解得,
所以當(dāng)時(shí),取最大值
故當(dāng),,即,時(shí),取得最大值
綜上,若函數(shù)沒有極值點(diǎn),則的最大值為
故選：B.
9．答案：BD
解析：據(jù)題意,對于四位回文數(shù),有1001、1111、1221、……、1991、2002、2112、2222、……、2992、……9009、9119、9229、……、9999,共90個(gè),則A錯(cuò)誤,B正確;
對于位回文數(shù),首位和個(gè)位數(shù)字有9種選法,第二位和倒數(shù)第二位數(shù)字有10種選法,……,第n和第位也有10種,則共有種選法,故C錯(cuò);
對于位回文數(shù),首位和個(gè)位數(shù)字有9種選法,第二位和倒數(shù)第二位數(shù)字有10種選法,……,第個(gè)數(shù)字,即最中間的數(shù)字有10種選法,
則共有種選法,即位回文數(shù)有個(gè),所以D正確.
故選：BD.
10．答案：BCD
解析：選項(xiàng)A：因?yàn)椋?，選項(xiàng)A不正確；
選項(xiàng)B：若，則A，B互斥，由，，
得，選項(xiàng)B正確；
選項(xiàng)C：由得事件A，B相互獨(dú)立，所以事件，也相互獨(dú)立，
所以，
則，選項(xiàng)C正確；
選項(xiàng)D：由，，
得，，，
所以，
解得，選項(xiàng)D正確.
11．答案：ACD
解析：對于A中,當(dāng)時(shí),函數(shù),則滿足,
所以為奇函數(shù),所以充分性成立;
若為奇函數(shù),則,
則恒成立,所以,所以必要性成立,所以A正確;
對于B中,當(dāng)時(shí), ,可得,所以為增函數(shù);
由,當(dāng)為增函數(shù)時(shí),,所以“”是“為增函數(shù)”的充分不必要條件,所以B錯(cuò)誤;
對于C中,由,若不等式的解集為且,
則在R上先增后減再增,則,解得,
故,可得,
令,解得或,
當(dāng)內(nèi),,單調(diào)遞增;
當(dāng)內(nèi),,單調(diào)遞減;
當(dāng)內(nèi),,單調(diào)遞增,
所以的極小值為,所以C正確.
對于D中,由,因?yàn)?是方程的兩個(gè)不同的根,
所以,即,且,,
由,可得,所以,即,
聯(lián)立方程組,可得,解得或,所以D正確.
故選：ACD.
12．答案：
解析：由“”是“”的必要不充分條件,得,
依題意,集合,
,
當(dāng),即時(shí),,則,解得;
當(dāng),即時(shí),,則,解得,
當(dāng),即時(shí),,滿足,因此,
所以實(shí)數(shù)m的取值范圍為.
故答案為：.
13．答案：
解析：由題知,,
若,則當(dāng)時(shí),,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)第一個(gè)等號成立,所以在上單調(diào)遞增,
所以當(dāng)時(shí),,不滿足題意;
若,則當(dāng)時(shí),,在上單調(diào)遞減,
所以當(dāng)時(shí),,滿足題意;
若,則當(dāng)時(shí),則,
令,則,所以在上單調(diào)遞增,
當(dāng)時(shí),,所以存在唯一的,使得,
且時(shí),單調(diào)遞減,所以時(shí),,滿足題意.
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
故答案為：.
14．答案：1250
解析：由題意知,所以,,
若,則,
即,即,
由切比雪夫不等式知,
要使得至少有98%的把握使發(fā)射信號“1”的頻率在區(qū)間內(nèi),
則,解,
所以估計(jì)信號發(fā)射次數(shù)n的最小值為1250.
故答案為：1250
15．答案：(1)
(2)
解析：(1)因?yàn)楹瘮?shù),
由命題“,”為假命題,即命題“,”為真命題,
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì),可得,解得或,
所以實(shí)數(shù)t的取值范圍為.
(2)由函數(shù),可得,
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間內(nèi)恒成立,
即在區(qū)間內(nèi)恒成立,
又因?yàn)?當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即時(shí),等號成立,
所以的最小值為,
所以,解得,
所以實(shí)數(shù)t的取值范圍為.
16．答案：（1）增區(qū)間為和，減區(qū)間為，極大值為-1，極小值為；
（2）.
解析：（1），該函數(shù)的定義域?yàn)椋?br>則，列表如下：
所以，函數(shù)的增區(qū)間為和，減區(qū)間為，
函數(shù)的極大值為，極小值為.
（2）當(dāng)時(shí)，由可得，令，其中，則，由可得，由可得，所以，函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，所以，，
所以，，故實(shí)數(shù)a的取值范圍是.
17．答案：(1);
(2)12.
解析：(1)設(shè)事件表示甲在一輪比賽中投進(jìn)i個(gè)球,
表示乙在一輪比賽中投進(jìn)個(gè)球,
則,,
,;
,,
,.
則乙在一輪比賽中獲得一個(gè)積分的概率為：
.
(2),.
設(shè)事件C表示乙每場比賽至少要超甲2個(gè)球,
則
;
設(shè)隨機(jī)變量X表示n輪比賽后,乙在每輪比賽至少要超甲2個(gè)球的情況下獲得的積分,
顯然,故,
要滿足題意,則,即,
又,故,
令,,則在恒成立,
故在上單調(diào)遞增,
又的最大值為,
則的最大值為,的最小值為,
而
故理論上至少要進(jìn)行12輪比賽.
18．答案：(1)
(2)答案見解析
(3)
解析：(1)函數(shù)定義域?yàn)?
,因?yàn)樵诙x域內(nèi)單調(diào)遞減,
則在上恒成立,可得,
函數(shù)在單調(diào)遞減,a的取值范圍為;
(2)當(dāng)時(shí),在定義域內(nèi)單調(diào)遞減,
在上沒有極值點(diǎn);
當(dāng)時(shí),得,得,
在上遞減,在上遞增,
即在處有極小值.
當(dāng)時(shí)在上沒有極值點(diǎn),
當(dāng)時(shí),在上有一個(gè)極值點(diǎn).
(3)函數(shù)在處取得極值,, ,
,
令,,
,則,
可得在上遞減,在上遞增,
,即.
19．答案：（1）
（2）（?。?（ⅱ）證明見解析
解析：（1）因?yàn)?所以,
所以X的分布列為：
所以.
（2）（?。┯洶l(fā)出信號和分別為事件,收到信號0和1分別為事件,
則,,,
,
所以
,
所以;
（ⅱ）由（?。┲?則,
則,
設(shè),則,
所以當(dāng)時(shí),單調(diào)遞增,當(dāng)時(shí),單調(diào)遞減;
所以,即（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號）,
所以,
所以
,
當(dāng)且僅當(dāng),即,時(shí)等號成立,
所以.
x
1
2
+
0
-
0
+
增
極大值
減
極小值
增
X
0
1
2
P

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