1．雙曲線的概念
把平面內到兩定點F1，F(xiàn)2的距離之差的絕對值等于常數(shù)(大于零且小于|F1F2|)的點的集合叫作雙曲線．定點F1，F(xiàn)2叫作雙曲線的焦點，兩個焦點之間的距離叫作雙曲線的焦距．
用集合語言表示為：P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c為常數(shù)且a>0，c>0.
說明：定義中，到兩定點的距離之差的絕對值小于兩定點間距離非常重要．令平面內一點到兩定點F1，F(xiàn)2的距離的差的絕對值為2a(a為常數(shù))，則只有當2a|F1F2|，則點的軌跡不存在．
2．雙曲線的標準方程和幾何性質
說明：在雙曲線的標準方程中，決定焦點位置的因素是x2或y2的系數(shù)．若x2系數(shù)為正，則焦點在x軸上，若y2的系數(shù)為正，則焦點在y軸上．
3．雙曲線與橢圓的區(qū)別
(1) 定義表達式不同：在橢圓中|PF1|＋|PF2|＝2a，而在雙曲線中||PF1|－|PF2||＝2a；
(2) 離心率范圍不同：橢圓的離心率e∈(0，1)，而雙曲線的離心率e∈(1，＋∞)；
(3) a，b，c的關系不同：在橢圓中a2＝b2＋c2，a＞c；而在雙曲線中c2＝a2＋b2， c＞a．
典例剖析
題型一 雙曲線的定義和標準方程
例1 設雙曲線C的兩個焦點為(－eq \r(2)，0)，(eq \r(2)，0)，一個頂點是(1,0)，則C的方程為________．
答案 x2－y2＝1
解析 由題意可知，雙曲線的焦點在x軸上，且c＝eq \r(2)，a＝1，則b2＝c2－a2＝1，
所以雙曲線C的方程為x2－y2＝1.
變式訓練 與橢圓C：eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,12)＝1共焦點且過點(1，eq \r(3))的雙曲線的標準方程為________．
答案 eq \f(y2,2)－eq \f(x2,2)＝1
解析 橢圓eq \f(y2,16)＋eq \f(x2,12)＝1的焦點坐標為(0，－2)，(0，2)，
設雙曲線的標準方程為eq \f(y2,m)－eq \f(x2,n)＝1(m>0，n>0)，則eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(3,m)－\f(1,n)＝1,m＋n＝4))，解得m＝n＝2.
∴雙曲線的標準方程為eq \f(y2,2)－eq \f(x2,2)＝1.
解題要點 求雙曲線的標準方程的基本方法是定義法和待定系數(shù)法．在求解時，注意巧設方程，可以減少討論以及計算的難度，一般來說：
(1)與雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1 (a>0，b>0)有共同漸近線的方程可表示為eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝t (t≠0)．
(2)過已知兩個點的雙曲線方程可設為eq \f(x2,m)－eq \f(y2,n)＝1 (mn>0)，也可設為Ax2＋By2＝1 (AB0)的離心率為2，則a＝________．
答案 1
解析 由題，c＝2a. ∴c2＝4a2，又c2＝a2＋3，∴4a2＝a2＋3，a2＝1，
∵a>0，∴ a＝1．
變式訓練 若雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1 (a>0，b>0)的焦點到其漸近線的距離等于實軸長，則該雙曲線的離心率為________．
答案 eq \r(5)
解析 由題意得b＝2a，又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.
∴e2＝eq \f(c2,a2)＝5，∴e＝eq \r(5).
解題要點 1.注意雙曲線中a，b，c的關系，在雙曲線中c2＝a2＋b2， c＞a．
2. 注意離心率公式及其變式運用，e＝eq \f(c,a)eq \r(\f(c2,a2))＝eq \r(\f(a2＋b2,a2))＝eq \r(1＋\f(b2,a2))，
e＝eq \r(\f(c2,c2－b2))＝ eq \r(\f(1,1－\f(b2,c2))) .
題型三 雙曲線的漸近線
例3 設雙曲線C經(jīng)過點(2，2)，且與eq \f(y2,4)－x2＝1具有相同漸近線，則C的方程為________；漸近線方程為________．
答案 eq \f(x2,3)－eq \f(y2,12)＝1 y＝±2x
解析 設雙曲線C的方程為eq \f(y2,4)－x2＝λ，將點(2，2)代入上式，得λ＝－3，
∴C的方程為eq \f(x2,3)－eq \f(y2,12)＝1，其漸近線方程為y＝±2x.
變式訓練 已知雙曲線C：eq \f(x2,n)－eq \f(y2,4－n)＝1的離心率為eq \r(3)，則C的漸近線方程為________．
答案 y＝±eq \r(2)x
解析 由雙曲線的方程eq \f(x2,n)－eq \f(y2,4－n)＝1知，雙曲線的焦點在x軸上，∴eq \f(n＋4－n,n)＝(eq \r(3))2＝3，
∴n＝eq \f(4,3)，∴a2＝eq \f(4,3)，b2＝4－eq \f(4,3)＝eq \f(8,3)，從而雙曲線的漸近線方程是y＝±eq \r(2)x.
解題要點 1.已知雙曲線方程eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，求漸近線時可直接將1換為0，解方程eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝0求出漸近線．
2.雙曲線的離心率與漸近線方程之間有著密切的聯(lián)系，二者之間可以互求．已知漸近線方程時，可得eq \f(b,a)的值，于是e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋b2,a2)＝1＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,a)))2，因此可求出離心率e的值；而已知離心率的值，也可求出漸近線的方程，即eq \f(b,a)＝eq \r(e2－1).但要注意，當雙曲線的焦點所在的坐標軸不確定時，上述兩類問題都有兩個解.
當堂練習
1．（2015廣東理）已知雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的離心率e＝eq \f(5,4)，且其右焦點為F2(5,0)，則雙曲線C的方程為________．
答案 eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1
解析 因為所求雙曲線的右焦點為F2(5,0)且離心率為e＝eq \f(c,a)＝eq \f(5,4)，所以c＝5，a＝4，b2＝c2－a2＝9，所以所求雙曲線方程為eq \f(x2,16)－eq \f(y2,9)＝1.
2．（2015安徽文）下列雙曲線中，漸近線方程為y＝±2x的是________．
①x2－eq \f(y2,4)＝1 ②eq \f(x2,4)－y2＝1 ③x2－eq \f(y2,2)＝1 ④eq \f(x2,2)－y2＝1
答案 ①
解析 由雙曲線漸近線方程的求法知；雙曲線x2－eq \f(y2,4)＝1的漸近線方程為y＝±2x，故選①.
3. （2015福建理）若雙曲線E：eq \f(x2,9)－eq \f(y2,16)＝1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線E上，且|PF1|＝3，則|PF2|等于________．
答案 9
解析 由雙曲線定義||PF2|－|PF1||＝2a，∵|PF1|＝3，∴P在左支上，∵a＝3，∴|PF2|－|PF1|＝6，∴|PF2|＝9.
4．（2015山東文）過雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點作一條與其漸近線平行的直線，交C于點P.若點P的橫坐標為2a，則C的離心率為________．
答案 2＋eq \r(3)
解析 把x＝2a代入eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2) ＝1；得y＝±eq \r(3)b.
不妨取P(2a，－eq \r(3)b)．又∵雙曲線右焦點F2的坐標為(c,0)，
∴kF2P＝eq \f(\r(3)b,c－2a).由題意，得eq \f(\r(3)b,c－2a)＝eq \f(b,a).
∴(2＋eq \r(3))a＝c.∴雙曲線C的離心率為e＝eq \f(c,a)＝2＋eq \r(3).
5．（2015北京文）已知(2,0)是雙曲線x2－eq \f(y2,b2)＝1(b＞0)的一個焦點，則b＝________.
答案 eq \r(3)
解析 由題意：c＝2，a＝1，由c2＝a2＋b2.得b2＝4－1＝3，所以b＝eq \r(3).
課后作業(yè)
填空題
1． （2015天津文）已知雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0 )的一個焦點為F(2,0)，且雙曲線的漸近線與圓(x－2)2＋y2＝3相切，則雙曲線的方程為________．
答案 x2－eq \f(y2,3)＝1
2．（2015湖南文）若雙曲線eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1的一條漸近線經(jīng)過點(3，－4)，則此雙曲線的離心率為________．
答案 eq \f(5,3)
解析 由條件知y＝－eq \f(b,a)x過點(3，－4)，∴eq \f(3b,a)＝4，
即3b＝4a，∴9b2＝16a2，∴9c2－9a2＝16a2，∴25a2＝9c2，∴e＝eq \f(5,3).
3．（2015新課標II理）已知A，B為雙曲線E的左，右頂點，點M在E上，△ABM為等腰三角形，且頂角為120°，則E的離心率為________．
答案 eq \r(2)
解析 如圖，設雙曲線E的方程為eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，則|AB|＝2a，由雙曲線的對稱性，可設點M(x1，y1)在第一象限內，過M作MN⊥x軸于點N(x1,0)，∵△ABM為等腰三角形，且∠ABM＝120°，∴|BM|＝|AB|＝2a，∠MBN＝60°，
∴y1＝|MN|＝|BM|sin∠MBN＝2asin 60°＝eq \r(3)a，x1＝|OB|＋|BN|＝a＋2acs 60°＝2a.將點M(x1，y1)的坐標代入eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1，可得a2＝b2，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \r(\f(a2＋b2,a2))＝eq \r(2).
4．已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為F(3,0)，離心率等于eq \f(3,2)，則C的方程是________．
答案 eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1
解析 由曲線C的右焦點為F(3,0)，知c＝3.由離心率e＝eq \f(3,2)，知eq \f(c,a)＝eq \f(3,2)，則a＝2，
故b2＝c2－a2＝9－4＝5，所以雙曲線C的方程為eq \f(x2,4)－eq \f(y2,5)＝1.
5．已知雙曲線C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的離心率為eq \f(\r(5),2)，則C的漸近線方程為________．
答案 y＝±eq \f(1,2)x
解析 ∵e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(5),2)，∴e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋b2,a2)＝eq \f(5,4).∴a2＝4b2，eq \f(b,a)＝eq \f(1,2).∴漸近線方程為y＝±eq \f(b,a)x＝±eq \f(1,2)x.
6．（2015新課標Ⅰ理）已知M(x0，y0)是雙曲線C：eq \f(x2,2)－y2＝1上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個焦點，若eq \(MF1,\s\up6(→))·eq \(MF2,\s\up6(→))b>0)

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