1．（5分）已知點A（﹣1，4），B（2，7）在直線l上，則直線l的傾斜角的大小為（ ）
A．B．C．D．
2．（5分）若圓x2+y2﹣4x+8y+2m＝0的半徑為2，則實數(shù)m的值為（ ）
A．﹣9B．﹣8C．9D．8
3．（5分）已知直線mx﹣y﹣4＝0與直線（2m﹣5）x+3y+2＝0平行，則實數(shù)m＝（ ）
A．﹣5B．1C．D．3
4．（5分）已知橢圓C：+＝1，A（0，﹣4），B（0，4），過A作直線PQ與C交于P，Q兩點，則△BPQ的周長為（ ）
A．24B．20C．16D．12
5．（5分）在梯形ABCD中，|CD|＝2|AB|＝6，且AB和CD所在直線的方程分別是x+2y﹣3＝0與x+2y+7＝0，則梯形ABCD的面積為（ ）
A．9B．18C．D．
6．（5分）當直線l：mx+y﹣m﹣1＝0被圓C：x2+y2﹣4x＝0截得的弦長最短時，實數(shù)m＝（ ）
A．B．﹣1C．D．1
7．（5分）已知O是坐標原點，若圓C：x2+y2+6x﹣8y+a＝0上有2個點到O的距離為2，則實數(shù)a的取值范圍為（ ）
A．（﹣24，16）B．[﹣24，16]C．（﹣16，24）D．[﹣16，24]
8．（5分）已知點P在橢圓上，F(xiàn)1，F(xiàn)2是橢圓的左、右焦點，若，且△PF1F2的面積為，則a的最小值為（ ）
A．1B．2C．3D．4
二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
（多選）9．（5分）已知橢圓的左焦點為F，點P是C上任意一點，則|PF|的值可能是（ ）
A．B．3C．6D．8
（多選）10．（5分）已知三條直線：直線l1：ax+y﹣3＝0，l2：x+y﹣1＝0，l3：2x﹣y﹣5＝0不能圍成一個封閉圖形，則實數(shù)a的值可以是（ ）
A．﹣2B．1C．2D．3
（多選）11．（5分）已知圓，圓，則下列說法正確的是（ ）
A．若點（1，1）在圓C1的內(nèi)部，則﹣2＜m＜4
B．若m＝2，則圓C1，C2的公共弦所在的直線方程是4x﹣14y+9＝0
C．若圓C1，C2外切，則
D．過點（3，2）作圓C2的切線l，則l的方程是x＝3或7x﹣24y+27＝0
（多選）12．（5分）2023年暑期檔動畫電影《長安三萬里》重新點燃了人們對唐詩的熱情，唐詩中邊塞詩又稱出塞詩，是唐代漢族詩歌的主要題材，是唐詩當中思想性最深刻，想象力最豐富，藝術性最強的一部分，唐代詩人李頎的邊塞詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”．詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題——“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標系中，設將軍的出發(fā)點是A（2，4），軍營所在位置為B（6，2），河岸線所在直線的方程為x+y﹣3＝0，若將軍從出發(fā)點到河邊飲馬，再回到軍營（“將軍飲馬”）的總路程最短，則（ ）
A．將軍從出發(fā)點到河邊的路線所在直線的方程是6x﹣y﹣8＝0
B．將軍在河邊飲馬的地點的坐標為
C．將軍從河邊回軍營的路線所在直線的方程是x﹣6y+6＝0
D．“將軍飲馬”走過的總路程為
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13．（5分）順次連接橢圓＝1的四個頂點，得到的四邊形面積等于 ．
14．（5分）圓心為C（2，1），且與x軸相切的圓的標準方程為 ．
15．（5分）已知直線l經(jīng)過點（1，1），且A（﹣4，﹣1），B（﹣2，3）兩點到直線l的距離相等，則直線l的方程為 ．
16．（5分）已知圓C上的任意一點到兩個定點A（2，0），B（﹣2，0）的距離之比為，則圓C的方程是 ；在直線l：3x+4y+m＝0上存在點P滿足：過P作圓C的切線，切點分別為M，N，且四邊形PMCN的面積為，則實數(shù)m的取值范圍是 ．
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．（10分）已知直線l的方程為y﹣1＝k（x﹣2）．
（1）若直線l的傾斜角為120°，求k的值；
（2）已知直線l在x軸，y軸上的截距分別為a，b，若a＝﹣3b，求直線l的方程．
18．（12分）已知A（﹣1，1），B（2，﹣2），C（5，1）．
（1）求點A到直線BC的距離；
（2）求△ABC的外接圓的方程．
19．（12分）（1）已知點M到定點F（2，0）的距離與到定直線l：x＝5的距離之比為，求點M的軌跡方程；
（2）已知點A是圓x2+y2＝9上的動點，過點A作AB⊥x軸，垂足為B，點P在線段AB上，且，求點P的軌跡方程，并說明點P的軌跡是什么圖形．
20．（12分）已知半徑為4的圓C與直線l1：3x﹣4y+8＝0相切，圓心C在y軸的負半軸上．
（1）求圓C的方程；
（2）已知直線l2：kx﹣y+3＝0與圓C相交于A，B兩點，且△ABC的面積為8，求直線l2的方程．
21．（12分）已知橢圓的上頂點與左、右焦點連線的斜率之積為．
（1）求橢圓C的離心率；
（2）已知橢圓C的左、右頂點分別為A，B，且|AB|＝6，點M是C上任意一點（與A，B不重合），直線MA，MB分別與直線l：x＝5交于點P，Q，O為坐標原點，求．
22．（12分）已知m是實數(shù)，圓C的方程是x2+y2﹣（m+6）x﹣2y+m+5＝0．
（1）若過原點O能作出直線與圓C相切，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）若m＞﹣4，圓C與x軸相交于點M，N（點M在點N的左側(cè)）．過點M任作一條直線與圓O：x2+y2＝4相交于點A，B．問：是否存在實數(shù)m，使得∠ANM＝∠BNM？若存在，求出實數(shù)m的值；若不存在，請說明理由．
2023-2024學年江西省部分學校高二（上）月考數(shù)學試卷（10月份）
參考答案與試題解析
一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．【分析】利用傾斜角和斜率之間的關系計算即可求得傾斜角的大小為．
【解答】解：直線l的斜率為，
設直線l的傾斜角為α，則tanα＝1，
因為α∈[0，π），所以．
故選：C．
【點評】本題主要考查直線的傾斜角，屬于基礎題．
2．【分析】由圓的一般方程配方得出其標準方程，由半徑為2得出答案．
【解答】解：由x2+y2﹣4x+8y+2m＝0，得（x﹣2）2+（y+4）2＝20﹣2m，
所以，解得m＝8．
故選：D．
【點評】本題考查的知識要點：圓的方程，主要考查學生的理解能力和計算能力，屬于中檔題．
3．【分析】根據(jù)直線平行的條件求解即可．
【解答】解：∵直線mx﹣y﹣4＝0與直線（2m﹣5）x+3y+2＝0平行，
∴m×3﹣（﹣1）×（2m﹣5）＝0，解得m＝1．
當m＝1時，直線x﹣y﹣4＝0與直線﹣3x+3y+2＝0平行，故m＝1．
故選：B．
【點評】本題考查直線與直線平行的性質(zhì)等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題．
4．【分析】根據(jù)題圓的幾何性質(zhì)，即可求解．
【解答】解：∵橢圓C：+＝1，
∴a＝6，b＝，c＝4，且焦點在y軸上，
∴A（0，﹣4），B（0，4）為橢圓的焦點，
又過A作直線PQ與C交于P，Q兩點，
∴△BPQ的周長為|PQ|+|PB|+|QB|
＝（|PA|+|PB|）+（|QA|+|QB|）＝4a＝24．
故選：A．
【點評】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，屬基礎題．
5．【分析】根據(jù)直線方程可得AB∥CD，從而由兩平行直線間的距離得出梯形的高，根據(jù)梯形面積公式可得出答案．
【解答】解：由直線AB的方程為：x+2y﹣3＝0，直線CD的方程為x+2y+7＝0
可知AB∥CD，所以梯形ABCD的高即為直線AB和CD間的距離，
所以梯形ABCD的面積為．
故選：C．
【點評】本題主要考查了平行線間距離公式的應用，屬于基礎題．
6．【分析】根據(jù)直線方程可得直線l經(jīng)過定點A（1，1），再由圓心到直線距離最大時弦長最短，由斜率關系即可求得m＝﹣1．
【解答】解：將直線l的方程變形為m（x﹣1）+y﹣1＝0，
由可導，所以直線l經(jīng)過定點A（1，1），
圓C的標準方程為（x﹣2）2+y2＝4，圓心為C（2，0），因為（1﹣2）2+12＜4，所以點A在圓C內(nèi)，
故當AC⊥l時，圓心C到直線l的距離取最大值，此時直線l被圓C截得的弦長最短，
因為，直線l的斜率為﹣m，
所以﹣m×（﹣1）＝﹣1，解得m＝﹣1．
故選：B．
【點評】本題考查直線與圓的位置關系的應用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是中檔題．
7．【分析】先求出到原點O的距離為2的軌跡方程O：x2+y2＝4，再由題意可知圓C與圓O有兩個公共點，利用圓與圓的位置關系即可求得實數(shù)a的取值范圍．
【解答】解：將圓C的方程化為標準方程得（x+3）2+（y﹣4）2＝25﹣a，所以a＜25，
到原點O的距離為2的軌跡方程為x2+y2＝4，
因為圓C上有2個點到O的距離為2，所以圓C與圓O：x2+y2＝4相交，
所以，又，
解得﹣24＜a＜16，即實數(shù)a的取值范圍為（﹣24，16）．
故選：A．
【點評】本題考查了直線與圓的位置關系，屬于中檔題．
8．【分析】根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，向量數(shù)量積的定義，三角形面積公式，基本不等式，即可求解．
【解答】解：∵設|PF1|＝m，|PF2|＝n，∠F1PF2＝θ，θ∈[0，π]，
則根據(jù)題意可得：，
∴tanθ＝＝＝﹣，又θ∈[0，π]，
∴θ＝，∴csθ＝，∴mn＝4，
又m+n＝2a≥＝4，當且僅當m＝n＝2時，等號成立，
∴a≥2．
故選：B．
【點評】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，向量數(shù)量積的定義，三角形面積公式，基本不等式，屬中檔題．
二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9．【分析】根據(jù)到焦點距離的范圍求解即可．
【解答】解：由題意可知a＝4，b＝，c＝3，
所以a﹣c≤|PF|≤a+c，
即1≤|PF|≤7．
故選：BC．
【點評】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，屬基礎題．
10．【分析】根據(jù)題意可知，三條直線中有兩條相互平行或三條線過同一點的情況下滿足題意，分類討論即可求得實數(shù)a的值．
【解答】解：若l1，l2，l3中有兩條相互平行，或三條線過同一點都不可以圍成封閉圖形，
若l1∥l2，由兩直線平行與斜率之間的關系可得a＝1；
若l1∥l3，由兩直線平行與斜率之間的關系可得a＝﹣2；
聯(lián)立l2，l3可得，可知l2，l3的交點為（2，﹣1），
若l1，l2，l3交于同一點，可得a＝2．
故選：ABC．
【點評】本題主要考查直線平行的性質(zhì)，屬于基礎題．
11．【分析】根據(jù)點在圓的內(nèi)部解不等式1+1+2m﹣10+m2＜0即可判斷A錯誤；將兩圓方程相減可得公共弦所在的直線方程可知B正確；利用圓與圓外切，由圓心距和兩半徑之和相等即可知C正確；對直線l的斜率是否存在進行分類討論，由點到直線距離公式即可得D正確，綜合可得答案．
【解答】解：根據(jù)題意，依次分析選項：
對于A，由點（1，1）在圓C1的內(nèi)部，得1+1+2m﹣10+m2＜0，解得﹣4＜m＜2，故A錯誤；
對于B，若m＝2，則圓，
將兩圓方程相減可得公共弦所在的直線方程是4x﹣14y+9＝0，故B正確；
對于C，圓C1的標準方程為（x+m）2+（y﹣5）2＝25，圓心為C1（﹣m，5），半徑r1＝5，
圓C2的標準方程為x2+（y+2）2＝9，圓心為C2（0，﹣2），半徑r2＝3，
若圓C1，C2外切，則|C1C2|＝r1+r2，即，解得，故C正確；
對于D，當l的斜率不存在時，l的方程是x＝3，圓心C2到l的距離d＝3＝r2，滿足要求，
當l的斜率存在時，設l的方程為y＝k（x﹣3）+2，
圓心C2到l的距離，解得，
所以l的方程是7x﹣24y+27＝0，故D正確．
故選：BCD．
【點評】本題考查圓方程的綜合應用，涉及圓的標準方程以及圓與圓的位置關系，屬于基礎題．
12．【分析】由點關于直線的對稱點可得B′的坐標，從而求得直線AB'的方程即可判斷A；由兩直線的交點可判斷B；求直線BM的方程可判斷C；由直線的對稱性可判斷D．
【解答】解：由題可知A，B在x+y﹣3＝0的同側(cè)，設點B關于直線x+y﹣3＝0的對稱點為B'（a，b），
則，解得，即B'（1，﹣3），
將軍從出發(fā)點到河邊的路線所在直線即為AB'，又因為A（2，4），所以直線AB'的方程為7x﹣y﹣10＝0，故A錯誤；
設將軍在河邊飲馬的地點為M，則M即為7x﹣y﹣10＝0與x+y﹣3＝0的交點，所以，故B正確；
將軍從河邊回軍營的路線所在直線為BM，又因為B（6，2），所以直線BM的方程為x﹣7y+8＝0，故C錯誤；
總路程，所以“將軍飲馬”的總路程為，故D正確．
故選：BD．
【點評】本題考查直線與點的對稱性，直線的方程等，屬于中檔題．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.
13．【分析】確定橢圓＝1的四個頂點，根據(jù)對稱性，即可求出四邊形面積．
【解答】解：橢圓＝1的四個頂點為（±5，0），（0，±4），
∴順次連接橢圓＝1的四個頂點，得到的四邊形面積為4××5×4＝40．
故答案為：40．
【點評】本題考查橢圓的性質(zhì)，正確運用橢圓的對稱性是關鍵．
14．【分析】由圓的圓心C（2，1），且與x軸相切可求r＝1，從而可得該圓的標準方程．
【解答】解：∵該圓的圓心C（2，1），且與x軸相切，
∴圓心C（2，1）到x軸的距離等于半徑，則該圓的半徑為r＝1，
∴所求圓的標準方程為（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1．
故答案為：（x﹣2）2+（y﹣1）2＝1．
【點評】本題考查圓的方程的求法，由題意得半徑是關鍵，是基礎題．
15．【分析】根據(jù)直線l與直線AB平行，過定點的直線l過線段AB的中點進行分類討論，從而求得l的方程．
【解答】解：到點AB距離相等的直線平行于AB或線段AB的中垂線，
直線AB的斜率k＝，
當過（1，1）且平行于直線AB的直線l方程為：y﹣1＝2（x﹣1），y＝2x﹣1．
線段AB的中點坐標為（﹣3，1），
當過（1，1）且是線段AB的中垂線時，即直線過（1，1）與線段AB中點（﹣3，1）的直線l的方程為y＝1．
所以直線y＝1或y＝2x﹣1符合題意．
故答案為：y＝1或y＝2x﹣1．
【點評】本題考查到兩定點的距離相等的直線的求法，屬于基礎題．
16．【分析】根據(jù)所給條件建立方程化簡即可求出軌跡方程，再由圓的切線的性質(zhì)及所給四邊形面積求出|PC|＝4，由圓心到直線距離小于等于4建立不等式求解即可．
【解答】解：設（x，y）是圓C上的任意一點，則，
化簡得圓C的方程為（x+4）2+y2＝12．
圓心C的坐標為（﹣4，0），半徑為，由題意知PM⊥CM，PN⊥CN，
所以，，解得|PC|＝4．
又點P在直線l：3x+4y+m＝0上，所以|PC|不小于C到直線l的距離，
即，解得﹣8≤m≤32，即實數(shù)m的取值范圍是[﹣8，32]．
故答案為：（x+4）2+y2＝12；[﹣8，32]．
【點評】本題主要考查了圓的標準方程，考查了直線與圓的位置關系，屬于基礎題．
四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
17．【分析】（1）由直線斜率與傾斜角的關系，求k的值；
（2）求出直線l在x軸，y軸上的截距，根據(jù)方程得到k的值，可求直線l的方程．
【解答】解：（1）由題意可得，
（2）在直線l的方程中，令y＝0，得，即，
令x＝0，得y＝1﹣2k，即b＝1﹣2k，
由a＝﹣3b，得，即6k2﹣5k+1＝0，解得或，
所以直線l的方程為x﹣3y+1＝0或x﹣2y＝0．
【點評】本題考查了直線的點斜式、截距式方程，是基礎題．
18．【分析】（1）利用直線的兩點式求得直線BC的方程為x﹣y﹣4＝0，由點到直線距離公式即可求出結(jié)果；
（2）設△ABC的外接圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F＝0，代入坐標聯(lián)立解方程組即可求得結(jié)果．
【解答】解：（1）直線BC的方程為，
化簡可得x﹣y﹣4＝0，
所以點A到直線BC的距離．
（2）設ABC的外接圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F＝0，
將A，B，C的坐標代入，得
，即解得；
故所求圓的方程為x2+y2﹣4x﹣2y﹣4＝0．
【點評】本題主要考查點到直線的距離公式，屬于中檔題．
19．【分析】（1）設出點M的坐標，根據(jù)題意列出滿足的等量關系，整理化簡即可求得軌跡方程；
（2）設P（x，y），A（m，n），根據(jù)題意結(jié)合可得A（x，3y），代入圓A的方程即可求得軌跡方程．
【解答】解：（1）設點M的坐標為（x，y），
由題意可得，兩邊平方得，
整理得，所以點M的軌跡方程為．
（2）依題意，設P（x，y），A（m，n），則B（x，0），
因為，則，
則，可得，解得，即A（x，3y）．
因為點A在圓x2+y2＝9上，則x2+9y2＝9，即，
所以點P的軌跡方程是，點P的軌跡是橢圓．
【點評】本題考查軌跡方程的求法，以及橢圓的方程，考查方程思想和運算能力，屬于中檔題．
20．【分析】（1）根據(jù)直線與圓相切，根據(jù)點到直線距離公式求出半徑，再應用圓的標準方程即可求解；
（2）根據(jù)幾何法求弦長，再結(jié)合面積公式計算即可．
【解答】解：（1）由已知可設圓心C（0，b）（b，0），
則，解得b＝﹣3或b＝7（舍），
所以圓C的方程為x2+（y+3）2＝16；
（2）設圓心C到直線l2的距離為d，
則，
即d4﹣16d2+64＝0，解得，
又，所以，解得，
所以直線l2的方程為或．
【點評】本題考查了直線與圓的位置關系，屬于中檔題．
21．【分析】（1）由橢圓標準方程可寫出頂點以及焦點坐標，由斜率之積可得，即可求出離心率；
（2）設出點M坐標，寫出直線MA和MB的方程求出交點P，Q坐標，利用化簡的表達式即可求得結(jié)果．
【解答】解：（1）根據(jù)題意可得橢圓C的上頂點的坐標為（0，b），左、右焦點的坐標分別為（﹣c，0），（c，0），
由題意可知，即，
又a2＝b2+c2，所以，即，
可得橢圓C的離心率．
（2）由|AB|＝6，得2a＝6，即，
所以橢圓C的方程為．
如圖所示：
設M（x0，y0），則，即，
又A（﹣3，0），B（3，0），則直線MA的方程為，
直線MB的方程為；
因為直線MA，MB分別與直線l：x＝5交于點P，Q，
可得，
所以．
即．
【點評】本題考查了直線與橢圓的綜合，橢圓的性質(zhì)，考查了轉(zhuǎn)化思想和方程思想，屬中檔題．
22．【分析】（1）由題意原點O在圓C上或圓外，則點O到圓心的距離大于等于半徑，從而可得答案．
（2）若存在實數(shù)a，使得∠ANM＝∠BNM，則kAN+kBN＝0，由此條件先求出M，N的坐標，假設出交點A，B的坐標，表示出kAN，kBN，最后利用韋達定理解出a．
【解答】解：（1）因為過原點O能作出直線與圓C相切，所以原點O在圓C上或圓外．
所以，即，解得m≥﹣5，
所以所求實數(shù)m的取值范圍是[﹣5，+∞）．
（2）在x2+y2﹣（m+6）x﹣2y+m+5＝0中，令y＝0得x2﹣（m+6）x+m+5＝0，即（x﹣1）（x﹣m﹣5）＝0，解得x＝1，或x＝m+5，
因為m＞﹣4，點M在點N的左側(cè)，所以M（1，0），N（m+5，0）．
假設存在實數(shù)m，使得∠ANM＝∠BNM，則NA、NB的斜率互為相反數(shù)．
①當直線AB與x軸垂直時，顯然∠ANM＝∠BNM，此時m是大于﹣4的任意實數(shù)．
②當直線AB與x軸不垂直時，設直線AB的方程為y＝k（x﹣1），代入x2+y2＝4，得（1+k2）x2﹣2k2x+k2﹣4＝0，
設A（x1，y1），B（x2，y2），則．
，
而（x1﹣1）（x2﹣m﹣5）+（x2﹣1）（x1﹣m﹣5）＝2x1x2﹣（m+6）（x1+x2）+2（m+5）
＝
＝，
令，解得m＝﹣1（滿足m＞﹣4）．
所以m＝﹣1時，kNA+kNB＝0．
綜上所述，存在實數(shù)m＝﹣1，使得∠ANM＝∠BNM．
【點評】本題考查圓的方程和直線與圓的位置關系、兩直線的位置關系，考查方程思想和運算能力、推理能力，屬于中檔題．

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