1．（5分）若直線l的傾斜角為α，且45°≤α≤135°，則直線l斜率的取值范圍為（ ）
A．[1，+∞）B．（﹣∞，﹣1]
C．[﹣1，1]D．[1，+∞）∪（﹣∞，﹣1]
2．（5分）已知直線l的一個(gè)方向向量為（2，﹣1），且經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），則直線l的方程為（ ）
A．x﹣y﹣1＝0B．x+y﹣1＝0C．x﹣2y﹣1＝0D．x+2y﹣1＝0
3．（5分）已知直線l1：（3+2λ）x+（4+λ）y+（﹣2+2λ）＝0（λ∈R），l2：x+y﹣2＝0，若l1∥l2，則l1與l2間的距離為（ ）
A．B．C．2D．2
4．（5分）若直線kx﹣y+2k﹣1＝0恒過點(diǎn)A，點(diǎn)A也在直線mx+ny+2＝0上，其中m，n均為正數(shù)，則mn的最大值為（ ）
A．B．C．1D．2
5．（5分）已知實(shí)數(shù)x，y滿足3x﹣4y﹣6＝0，則的最小值為（ ）
A．2B．C．D．
6．（5分）我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將底面為矩形且一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽馬．如圖，四棱錐P﹣ABCD為陽馬，PA⊥平面ABCD，且EC＝2PE，若，則x+y+z＝（ ）
A．1B．2C．D．
7．（5分）如圖，在長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1＝AD＝2，AB＝3，P為線段BD上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線AP與平面AB1D1所成角的正弦值取最大值時(shí)，＝（ ）
A．B．C．D．
8．（5分）如圖，在平行六面體ABCD﹣A1B1C1D1中，以頂點(diǎn)A為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都是a，且AB⊥AD，∠A1AB＝∠A1AD＝60°，E為CC1的中點(diǎn)，則點(diǎn)E到直線AC1的距離為（ ）
A．B．C．D．
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
（多選）9．（5分）已知直線l1：（a+1）x+ay+2＝0，l2：ax+（1﹣a）y﹣1＝0，則（ ）
A．l1恒過點(diǎn)（2，﹣2）
B．若l1∥l2，則
C．若l1⊥l2，則a2＝1
D．當(dāng)0≤a≤1時(shí)，l2不經(jīng)過第三象限
（多選）10．（5分）已知ABCD﹣A1B1C1D1為正方體，下列說法中正確的是（ ）
A．
B．
C．向量與向量的夾角是60°
D．正方體ABCD﹣A1B1C1D1的體積為
（多選）11．（5分）在正三棱柱ABC﹣A'B'C'中，所有棱長(zhǎng)為1，又BC'與B'C交于點(diǎn)O，則（ ）
A．＝
B．AO⊥B'C
C．三棱錐A﹣BB'O的體積為
D．AO與平面BB′C′C所成的角為
（多選）12．（5分）下列物體中，能夠被整體放入棱長(zhǎng)為1（單位：m）的正方體容器（容器壁厚度忽略不計(jì)）內(nèi)的有（ ）
A．直徑為0.99m的球體
B．所有棱長(zhǎng)均為1.4m的四面體
C．底面直徑為0.01m，高為1.8m的圓柱體
D．底面直徑為1.2m，高為0.01m的圓柱體
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．（5分）已知向量，，，若，，共面，則x等于 ．
14．（5分）過點(diǎn)A（3，﹣1）且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程是 ．
15．（5分）一條光線經(jīng)過點(diǎn)A（3，5）射到直線x+y+1＝0上，被反射后經(jīng)過點(diǎn)B（2，1），則入射光線所在直線的方程為 ．
16．（5分）如圖，球O為長(zhǎng)方體ABCD﹣A1B1C1D1內(nèi)能放入的體積最大的球，EF是球O的一條直徑，P為該長(zhǎng)方體表面上的動(dòng)點(diǎn)，且AA1＝2AB＝2AD＝4，則的最大值為 ．
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚．
17．（10分）根據(jù)下列條件，求直線的一般方程．
（1）過點(diǎn)A（3，1）且與直線x+3y+2＝0平行；
（2）與直線2x﹣y+1＝0垂直，且與x，y軸的正半軸圍成的三角形的面積等于4．
18．（12分）已知直線l1：3x+2y+6＝0，直線l2：2x﹣3m2y+18＝0，直線l3：2mx﹣3y+12＝0．
（1）若l1與l2的傾斜角互補(bǔ)，求m的值；
（2）當(dāng)m為何值時(shí)，三條直線能圍成一個(gè)直角三角形．
19．（12分）△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，其中，且滿足．
（1）求△ABC的外接圓半徑；
（2）若∠B的平分線BD交AC于點(diǎn)D，且，求△ABC的面積．
20．（12分）如圖，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝4．點(diǎn)A2，B2，C2，D2分別在棱AA1，BB1，CC1，DD1上，AA2＝1，BB2＝DD2＝2，CC2＝3．
（1）證明：B2C2∥A2D2；
（2）點(diǎn)P在棱BB1上，當(dāng)二面角P﹣A2C2﹣D2為150°時(shí)，求B2P．
21．（12分）圖①是直角梯形ABCD，AB∥CD，∠D＝90°，四邊形ABCE是邊長(zhǎng)為2的菱形，并且∠BCE＝60°，以BE為折痕將△BCE折起，使點(diǎn)C到達(dá)C1的位置，且AC1＝．
（1）求證：平面BC1E⊥平面ABED；
（2）在棱DC1上是否存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到平面ABC1的距離為？若存在，求出直線EP與平面ABC1所成角的正弦值；若不存在，請(qǐng)說明理由．
2023-2024學(xué)年江西省南昌高二（上）第一次月考數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．
1．【分析】根據(jù)傾斜角和斜率關(guān)系求解．
【解答】解：直線傾斜角為45°時(shí)，斜率為1，直線傾斜角為135°時(shí)，斜率為﹣1，
當(dāng)傾斜角為90°時(shí)，斜率不存在，
因?yàn)閗＝tanα在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，
所以當(dāng)45°≤α≤135°時(shí)，k的取值范圍是[1，+∞）∪（﹣∞，﹣1]．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線的斜率，屬于基礎(chǔ)題．
2．【分析】根據(jù)已知條件，先求出直線l的斜率，再結(jié)合直線的點(diǎn)斜式公式，即可求解．
【解答】解：直線l的一個(gè)方向向量為（2，﹣1），
則直線l的斜率為，
直線l過點(diǎn)A（1，0），
則y﹣0＝，即x+2y﹣1＝0．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線的點(diǎn)斜式公式，屬于基礎(chǔ)題．
3．【分析】由題意，利用兩直線平行，一次項(xiàng)系數(shù)之比相等，但不等于常數(shù)項(xiàng)之比，求得λ值，再利用兩平直線間的距離公式，計(jì)算求得結(jié)果．
【解答】解：∵直線l1：（3+2λ）x+（4+λ）y+（﹣2+2λ）＝0（λ∈R），l2：x+y﹣2＝0，l1∥l2，
∴＝≠，∴λ＝1，∴直線l1：x+y＝0，
則l1與l2間的距離為＝，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查兩直線平行的性質(zhì)，兩直線平行，一次項(xiàng)系數(shù)之比相等，但不等于常數(shù)項(xiàng)之比，兩平直線間的距離公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
4．【分析】先求出A，代入可得m，n的關(guān)系，然后結(jié)合基本不等式即可求解．
【解答】解：由kx﹣y+2k﹣1＝0可得k（x+2）﹣（y+1）＝0，
故直線恒過定點(diǎn)A（﹣2，﹣1），
則﹣2m﹣n+2＝0，
所以2m+n＝2，m＞0，n＞0，
則2＝2m+n，當(dāng)且僅當(dāng)2m＝n＝1，即m＝，n＝1時(shí)取等號(hào)，
所以mn．
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了直線恒過定點(diǎn)，基本不等式求解最值，屬于基礎(chǔ)題．
5．【分析】因?yàn)椋剑降淖钚≈导礊辄c(diǎn)N（0，1）到直線3x﹣4y﹣6＝0的距離，即可得答案．
【解答】解：∵＝，
∴上式可看成是一個(gè)動(dòng)點(diǎn)M（x，y）到定點(diǎn)N（0，1）的距離，
即為點(diǎn)N到直線3x﹣4y﹣6＝0上任意一點(diǎn)M（x，y）到定點(diǎn)N（0，1）的距離，
∴S＝|MN|的最小值應(yīng)為點(diǎn)N到直線l的距離，
即：Smin＝＝2．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與圓的位置關(guān)系及點(diǎn)到直線的距離公式，也考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．
6．【分析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得．
【解答】解：如圖，四棱錐P﹣ABCD為陽馬，
PA⊥平面ABCD，且EC＝2PE，，
因?yàn)镋C＝2PE，所以，
所以
＝
＝
＝
＝
＝
＝，
又，所以，則x+y+z＝1．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量線性運(yùn)算法則等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
7．【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出直線AP與平面AB1D1所成角的正弦值的最大值，得到λ的值即可．
【解答】解：以點(diǎn)D為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系D﹣xyz，如圖所示：
所以D（0，0，0），A（2，0，0）B（2，3，0），B1（2，3，2），D1（0，0，2），
故，設(shè)，則P（2λ，3λ，0），
所以，，，
設(shè)平面AB1D1的法向量為，
則，整理得，取z＝3，則，
故直線AP與平面AB1D1所成角的正弦值滿足＝，
當(dāng)時(shí)，直線AP與平面AB1D1所成角的正弦值取最大值，即．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直線與平面所成的角，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．
8．【分析】設(shè)＝，＝，＝，可得＝++，＝﹣，利用向量法可求點(diǎn)E到直線AC1的距離．
【解答】解：設(shè)＝，＝，＝，
∴＝++＝++，＝﹣＝﹣，
∴?＝（++）?（﹣）＝﹣?﹣?﹣＝﹣×a2×﹣×a2×﹣a2＝﹣a2，
||2＝（++）2＝+++2?+2?+2?＝a2+a2+a2+a2+a2＝5a2，
∴|cs＜，＞|＝||＝＝，
∴sin＜，＞＝＝，
∴點(diǎn)E到直線AC1的距離為d＝||sin＜，＞＝×a＝a．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查點(diǎn)到線的距離的求法，考查向量法的應(yīng)用，屬中檔題．
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9．【分析】對(duì)于A，直線l1：（a+1）x+ay+2＝0，即a（x+y）+x+2＝0，列出方程組，即可求解，
對(duì)于B，結(jié)合直線平行的性質(zhì)，即可求解，
對(duì)于C，結(jié)合直線垂直的性質(zhì)，即可求解，
對(duì)于D，結(jié)合l2不經(jīng)過第三象限，即可求解．
【解答】解：直線l1：（a+1）x+ay+2＝0，即a（x+y）+x+2＝0，
令，解得x＝﹣2，y＝2，
故l1恒過點(diǎn)（﹣2，2），故A錯(cuò)誤，
若l1∥l2，則（a+1）（1﹣a）＝a2，解得，故B正確，
若l1⊥l2，則a（a+1）+a（1﹣a）＝0，解得a＝0，故C錯(cuò)誤，
若l2不經(jīng)過第三象限，
當(dāng)1﹣a≠0時(shí)，，，解得0≤a＜1，
當(dāng)1﹣a＝0時(shí)，直線l2：x＝1不經(jīng)過第三象限，
綜上所述，當(dāng)0≤a≤1時(shí)，l2不經(jīng)過第三象限，故D正確．
故選：BD．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線垂直、平行的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
10．【分析】本題考查的是用向量的知識(shí)和方法研究正方體中的線線位置關(guān)系及夾角與體積．用到向量的加法、減法、夾角及向量的數(shù)量積，研究了正方體中的線線平行、垂直，異面直線的夾角及正方體的對(duì)角線的計(jì)算、體積的計(jì)算．
【解答】解：由向量的加法得到：，∵，∴，所以A正確；
∵，AB1⊥A1C，∴，故B正確；
∵△ACD1是等邊三角形，∴∠AD1C＝60°，又A1B∥D1C，∴異面直線AD1與A1B所成的夾角為60°，但是向量與向量的夾角是120°，故C不正確；
∵AB⊥AA1，∴，故＝0，因此D不正確．
故選：AB．
【點(diǎn)評(píng)】本題把正方體中的線線位置關(guān)系及夾角與向量的有關(guān)知識(shí)結(jié)合起來進(jìn)行考查．熟練掌握正方體中的線線位置關(guān)系及夾角與向量的有關(guān)知識(shí)方法是做好本題的關(guān)鍵．
11．【分析】畫出圖形，利用空間向量的基本定理，判斷A；通過三角形中的直線的位置關(guān)系判斷B，三棱錐的體積判斷C，直線u平面所成角的大小判斷D．
【解答】解：連接O與BC的中的D，連接AD，可得＝．所以A正確；
在三角形AB'C中，O是B'C的中點(diǎn)，AC＝1，AB'＝，B'C＝所以，AO⊥B'C，不正確；
三棱錐A﹣BB'O的體積為：VO﹣ABB′＝＝＝，正確；
AO與平面BB′C′C所成的角為∠AOD，
tan∠AOD＝＝＝，所以，所以D不正確；
故選：AC．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，涉及直線與平面所成角，直線與直線垂直，幾何體的體積以及空間向量的關(guān)系，考查分析問題解決問題的能力，是中檔題．
12．【分析】對(duì)于A，由正方體的內(nèi)切球直徑大于0.99可判斷；對(duì)于B，由正方體內(nèi)部最大的正四面體的棱長(zhǎng)大于1.4可判斷；對(duì)于C，由正方體的體對(duì)角線小于1.8可判斷；對(duì)于D，取E，F(xiàn)，G，H，I，J都為棱中點(diǎn)，則六邊形EFGHIJ為正六邊形，由正六邊形的內(nèi)切圓直徑大于1.2可判斷．
【解答】解：對(duì)于A，棱長(zhǎng)為1的正方體內(nèi)切球的直徑為1＞0.99，選項(xiàng)A正確；
對(duì)于B，如圖，
正方體內(nèi)部最大的正四面體D﹣A1BC1的棱長(zhǎng)為，選項(xiàng)B正確；
對(duì)于C，棱長(zhǎng)為1的正方體的體對(duì)角線為，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，（法一）如圖，六邊形EFGHIJ為正六邊形，E，F(xiàn)，G，H，I，J為棱的中點(diǎn)，
高為0.01米可忽略不計(jì)，看作直徑為1.2米的平面圓，
六邊形EFGHIJ棱長(zhǎng)為米，∠GFH＝∠GHF＝30°，
所以米，故六邊形EFGHIJ內(nèi)切圓直徑為米，
而，選項(xiàng)D正確．
（法二）因?yàn)?.2m＞1m，可知底面正方形不能包含圓柱的底面圓，
如圖，
過AC1的中點(diǎn)O作OE⊥AC1，設(shè)OE∩AC＝E，
可知，
則，即，解得，
且，即，
故以AC1為軸可能對(duì)稱放置底面直徑為1.2m的圓柱，
若底面直徑為1.2m的圓柱與正方體的上下底面均相切，
設(shè)圓柱的底面圓心為O1，與正方體的下底面的切點(diǎn)為M，
可知，AC1⊥O1M，O1M＝0.6，
則，
即，解得，
根據(jù)對(duì)稱性可知圓柱的高為，
所以能夠被整體放入正方體內(nèi)，故熏香D正確．
故選：ABD．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查簡(jiǎn)單幾何體的體積，考查空間想象能力與運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．【分析】設(shè)＝m+n，則（1，x，﹣2）＝（n，m，2m），列方程組即可求解x的值．
【解答】解：∵向量，，，，，共面，
∴設(shè)＝m+n，則（1，x，﹣2）＝（n，m，2m），
∴，解得x＝m＝﹣1．
故答案為：﹣1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查共面向量定理的應(yīng)用，考查方程思想與運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
14．【分析】當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，用點(diǎn)斜式求得直線方程．當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為x+y＝k，把點(diǎn)（3，﹣1）代入直線的方程可得k值，從而求得所求的直線方程，綜合可得結(jié)論．
【解答】解：當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，方程為y＝﹣x，即x+3y＝0．
當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為x+y＝k，把點(diǎn)（3，﹣1）代入直線的方程可得k＝2，
故直線方程是x+y﹣2＝0．
綜上，所求的直線方程為x+y﹣2＝0或x+3y＝0．
故答案為：x+y﹣2＝0或x+3y＝0．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查用待定系數(shù)法求直線方程，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，注意當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)的情況，這是解題的易錯(cuò)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．
15．【分析】利用對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)可得B（2，1）關(guān)于直線x+y+1＝0的對(duì)稱點(diǎn)，再利用點(diǎn)斜式即可得出結(jié)論．
【解答】解：設(shè)B（2，1）關(guān)于直線x+y+1＝0的對(duì)稱點(diǎn)為P（a，b），則×（﹣1）＝﹣1，++1＝0，
解得a＝﹣2，b＝﹣3．
∴點(diǎn)P（﹣2，﹣3）在入射光線所在直線上，
則入射光線所在直線的方程為：y﹣5＝（x﹣3），化為：8x﹣5y+1＝0，
故答案為：8x﹣5y+1＝0．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了對(duì)稱點(diǎn)的性質(zhì)及其求法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．
16．【分析】將，轉(zhuǎn)化為，，可得＝﹣1，點(diǎn)P為四邊形ABCD的頂點(diǎn)時(shí)，||取最大值，即可求解．
【解答】解：由題意得，球O的半徑為1，
＝（）?（）＝+++＝+＝﹣1，
當(dāng)球O與平面A1B1C1D1相切，點(diǎn)P為四邊形ABCD的頂點(diǎn)時(shí)，||取最大值，
2﹣1≤AO2﹣1＝10．
故答案為：10．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量的應(yīng)用，是中檔題．
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步聚．
17．【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合直線平行的性質(zhì)，設(shè)出所求直線，再將點(diǎn)（3，1）代入該直線，即可求解．
（2）根據(jù)已知條件，結(jié)合直線垂直的性質(zhì)，設(shè)出所求直線，將結(jié)合三角形面積公式，即可求解．
【解答】解：（1）由題意可設(shè)直線為x+3y+b＝0，
將點(diǎn)（3，1）代入x+3y+b+0，解得b＝﹣6，
故所求直線的方程為x+3y﹣6＝0．
（2）∵所求直線與直線2x﹣y+1＝0垂直，
∴可設(shè)直線為x+2y+m＝0（m＜0），
當(dāng)x＝0時(shí)，y＝，當(dāng)y＝0時(shí)，x＝﹣m，
∵所求直線與x，y軸的正半軸圍成的三角形的面積等于4，
∴，解得m＝﹣4或m＝4（舍去），
故所求直線為x+2y﹣4＝0．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查直線平行，垂直的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．
18．【分析】（1）由l1與l2的傾斜角互補(bǔ)，列式求解m值即可；
（2）根據(jù)題意，讓每?jī)蓷l直線分別垂直，由垂直充要條件，得到關(guān)于m的方程，再求出m的值．
【解答】解：（1）直線l1：3x+2y+6＝0的斜率為﹣，
直線l2：2x﹣3m2y+18＝0的斜率為，
∵l1與l2的傾斜角互補(bǔ)，∴，解得m＝；
（2）由題意，若3x+2y+6＝0和2x﹣3m2y+18＝0垂直，
則3×2+2×（﹣3m2）＝0，解得m＝±1，
經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)m＝1時(shí)，后面兩條直線平行，構(gòu)不成三角形，故m＝﹣1；
同理，若3x+2y+6＝0和2mx﹣3y+12＝0垂直
則6m﹣6＝0，解得m＝1，應(yīng)舍去；
若2x﹣3m2y+18＝0和2mx﹣3y+12＝0垂直，
則4m+9m2＝0，解得m＝0或m＝﹣，經(jīng)驗(yàn)證均符合題意，
故m的值為：0，﹣1，．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查兩直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，考查構(gòu)成直角三角形的條件，考查了分類討論思想，屬基礎(chǔ)題．
19．【分析】（1）根據(jù)正弦定理及余弦定理求出角，再由正弦定理得解；
（2）根據(jù)角平分線利用三角形面積間的關(guān)系得ac＝a+c，再由余弦定理，求出ac即可得解．
【解答】解：（1），
由正弦定理，得，則a2+c2﹣b2＝ac，
即，
因?yàn)?＜B＜π，
所以，
設(shè)△ABC的外接圓半徑為R，由正弦定理知，
所以△ABC的外接圓半徑為；
（2）由BD平分∠ABC，得S△ABC＝S△ABD+S△BCD，
則，即ac＝a+c，
在△ABC中，由余弦定理可得，
又，
則a2+c2﹣ac＝18，
聯(lián)立，可得a2c2﹣3ac﹣18＝0，解得ac＝6（ac＝﹣3舍去），
故．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查解三角形，考查轉(zhuǎn)化能力，屬于中檔題．
20．【分析】（1）建系，根據(jù)坐標(biāo)法及向量共線定理，即可證明；
（2）建系，根據(jù)向量法，向量夾角公式，方程思想，即可求解．
【解答】解：（1）證明：根據(jù)題意建系如圖，則有：
B2（0，2，2），C2（0，0，3），A2（2，2，1），D2（2，0，2），
∴，，
∴，又B2，C2，A2，D2四點(diǎn)不共線，
∴B2C2∥A2D2；
（2）在（1）的坐標(biāo)系下，可設(shè)P（0，2，t），t∈[0，4]，
又由（1）知C2（0，0，3），A2（2，2，1），D2（2，0，2），
∴，，，
設(shè)平面PA2C2的法向量為，
則，取，
設(shè)平面A2C2D2的法向量為，
則，取，
∴根據(jù)題意可得|cs150°|＝|cs＜，＞|＝，
∴，
∴t2﹣4t+3＝0，又t∈[0，4]，
∴解得t＝1或t＝3，
∴P為B1B2的中點(diǎn)或B2B的中點(diǎn)，
∴B2P＝1．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用向量法證明線線平行，利用向量法求解二面角問題，向量共線定理及向量夾角公式的應(yīng)用，方程思想，屬中檔題．
21．【分析】（1）在圖①中，連接AC，交BE于O，可推出AC⊥BE，且，在圖②中，相交直線OA，OC1均與BE垂直，則∠AOC1是二面角A﹣BE﹣C1的平面角，由勾股定理可得OA⊥OC1，進(jìn)而可得答案．
（2）由（1）知，分別以直線OA，OB，OC1為x，y，z軸建立如圖②所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，λ∈[0，1]，可得的坐標(biāo)，求出平面ABC1的一個(gè)法向量，由于P到平面ABC1的距離為，則，解得λ，設(shè)直線EP與平面ABC1所成的角為θ，進(jìn)而可得答案．
【解答】解：（1）證明：如圖所示，
在圖①中，連接AC，交BE于O，因?yàn)樗倪呅蜛BCE是邊長(zhǎng)為2的菱形，且∠BCE＝60°，
所以AC⊥BE，且，
在圖②中，相交直線OA，OC1均與BE垂直，
所以∠AOC1是二面角A﹣BE﹣C1的平面角，
因?yàn)椋?br>所以，
所以O(shè)A⊥OC1，
所以平面BC1E⊥平面ABED．
（2）由（1）知，分別以直線OA，OB，OC1為x，y，z軸建立如圖②所示的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，B（0，1，0），E（0，﹣1，0），
所以，，，，，
設(shè)，λ∈[0，1]，
則，
設(shè)平面ABC1的一個(gè)法向量，
則，
令x＝1，則y＝，z＝1，
所以．
因?yàn)镻到平面ABC1的距離為，
所以，
解得，
由，得（xP﹣，yP+，zP）＝（﹣，，），
所以xP＝，yP＝﹣，zP＝，
所以，
所以．
設(shè)直線EP與平面ABC1所成的角為θ，
所以．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與平面的位置關(guān)系，解題關(guān)鍵是空間向量法的應(yīng)用，屬于中檔題．

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