\l "_Tc140427095" 題型二：二項(xiàng)式定理 PAGEREF _Tc140427095 \h 5
\l "_Tc140427096" 題型三：簡(jiǎn)單的隨機(jī)抽樣 PAGEREF _Tc140427096 \h 10
\l "_Tc140427097" 題型四：用樣本估計(jì)總體 PAGEREF _Tc140427097 \h 11
\l "_Tc140427098" 題型五：回歸分析 PAGEREF _Tc140427098 \h 18
\l "_Tc140427099" 題型六：獨(dú)立性檢驗(yàn) PAGEREF _Tc140427099 \h 20
\l "_Tc140427100" 題型七：事件與概率 PAGEREF _Tc140427100 \h 20
\l "_Tc140427101" 題型八：離散型隨機(jī)變量及其分布列 PAGEREF _Tc140427101 \h 28
\l "_Tc140427102" 題型九：概率統(tǒng)計(jì)綜合 PAGEREF _Tc140427102 \h 31
題型一：計(jì)數(shù)原理與排列組合
1．(2014高考數(shù)學(xué)安徽理科·第8題)從正方體六個(gè)面的對(duì)角線(xiàn)中任取兩條作為一對(duì)，其中所成的角為60°的共有( )
A．24對(duì)B．30對(duì)C．48對(duì)D．60對(duì)
【答案】C
解析：在正方體中，與成的有,,,，故總數(shù)為對(duì)，故選C．
2．(2020年新高考全國(guó)Ⅰ卷(山東)·第3題)6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每名同學(xué)只去1個(gè)場(chǎng)館，甲場(chǎng)館安排1名，乙場(chǎng)館安排2名，丙場(chǎng)館安排3名，則不同安排方法共有( )
A．120種B．90種
C．60種D．30種
【答案】C
解析：首先從名同學(xué)中選名去甲場(chǎng)館，方法數(shù)有；然后從其余名同學(xué)中選名去乙場(chǎng)館，方法數(shù)有；最后剩下的名同學(xué)去丙場(chǎng)館．故不同的安排方法共有種．故選：C
3．(2020年新高考全國(guó)卷Ⅱ數(shù)學(xué)(海南)·第6題)要安排3名學(xué)生到2個(gè)鄉(xiāng)村做志愿者，每名學(xué)生只能選擇去一個(gè)村，每個(gè)村里至少有一名志愿者，則不同的安排方法共有( )
A．2種B．3種C．6種D．8種
【答案】C
解析：第一步，將3名學(xué)生分成兩個(gè)組，有種分法
第二步，將2組學(xué)生安排到2個(gè)村，有種安排方法
所以，不同的安排方法共有種，故選：C
4．(2022新高考全國(guó)II卷·第5題)有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有( )
A．12種B．24種C．36種D．48種
【答案】B
解析：因?yàn)楸∫谝黄?，先把丙丁捆綁，看做一個(gè)元素，連同乙，戊看成三個(gè)元素排列,有種排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個(gè)元素的中間兩個(gè)位置任選一個(gè)位置插入，有2種插空方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學(xué)共有：種不同的排列方式，
故選：B
5．(2023年全國(guó)甲卷理科·第9題)現(xiàn)有5名志愿者報(bào)名參加公益活動(dòng)，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動(dòng)，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有( )
A．120B．60C．30D．20
【答案】B
解析：不妨記五名志愿者為，
假設(shè)連續(xù)參加了兩天公益活動(dòng)，再?gòu)氖Ｓ嗟?人抽取2人各參加星期六與星期天的公益活動(dòng)，共有種方法，
同理：連續(xù)參加了兩天公益活動(dòng)，也各有種方法，
所以恰有1人連續(xù)參加了兩天公益活動(dòng)的選擇種數(shù)有種．
故選：B．
6．(2014高考數(shù)學(xué)重慶理科·第9題)某次聯(lián)歡會(huì)要安排3個(gè)歌舞類(lèi)節(jié)目、2個(gè)小品類(lèi)節(jié)目和1個(gè)相聲類(lèi)節(jié)目的演出順序，則類(lèi)節(jié)目不相鄰的排法種數(shù)是( )
A．72B．120C．144D．3
【答案】B
解析：歌舞類(lèi)節(jié)目較多可先排,然后將三個(gè)歌舞類(lèi)節(jié)目中間的兩個(gè)空排滿(mǎn)，分成兩種情況：第一種，插入的是兩個(gè)小品類(lèi)節(jié)目，種類(lèi)為；第二種，插入的是一個(gè)小品一個(gè)相聲，種類(lèi)為。所以總的種樹(shù)為
7．(2014高考數(shù)學(xué)四川理科·第6題)六個(gè)人從左至右排成一行，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，則不同的排法共有( )
A．192種B．216種C．240種D．288種
【答案】B
解析：當(dāng)最左端為甲時(shí)，不同的排法共有種；當(dāng)最左端為乙時(shí)，不同的排法共有種。共有+種
8．(2014高考數(shù)學(xué)遼寧理科·第6題)6把椅子擺成一排，3人隨機(jī)就座，任何兩人不相鄰的做法種數(shù)為( )
A．144B．120C．72D．24
【答案】D
解析：第一步：3人全排，有=6種方法，第二步：3人全排形成4個(gè)空，在前3個(gè)或后3個(gè)或中間兩個(gè)空中插入椅子，有4種方法，第三步：根據(jù)乘法原理可得所求坐法種數(shù)為6×4=24種．
解析2：將6把椅子依次編號(hào)為1，2,3，，4,5,6，故任何兩人不相鄰的做法，可安排：“1,3,5,”，“1,3,6”，“1,4,6”，“2,4,6”號(hào)位置就坐，故總數(shù)為4=24．
9．(2015高考數(shù)學(xué)四川理科·第6題)用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中比40000大的偶數(shù)共有( )
A．144個(gè)B．120個(gè)C．96個(gè)D．72個(gè)
【答案】B
解析：
據(jù)題意，萬(wàn)位上只能排4、5．若萬(wàn)位上排4，則有個(gè)；若萬(wàn)位上排5，則有個(gè)．所以共有個(gè)．選B．
10．(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科·第6題)安排3名志愿者完成4項(xiàng)工作，每人至少完成1項(xiàng)，每項(xiàng)工作由1人完成，則不同的安排方式共有( )
A．12種B．18種C．24種D．36種
【答案】 D
【命題意圖】本題主要考查基本計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用，以考查考生的邏輯分析能力和運(yùn)算求解能力
為主．
【解析】解法一：分組分配之分人
首先 分組
將三人分成兩組，一組為三個(gè)人，有種可能，另外一組從三人在選調(diào)一人，有種可
能；
其次 排序
兩組前后在排序，在對(duì)位找工作即可，有種可能；共計(jì)有36種可能．
解法二：分組分配之分工作
工作分成三份有種可能，在把三組工作分給3個(gè)人有可能，共計(jì)有36種可能．
解法三：分組分配之人與工作互動(dòng)
先讓先個(gè)人個(gè)完成一項(xiàng)工作，有種可能，剩下的一項(xiàng)工作在有3人中一人完成有
種可能，但由兩項(xiàng)工作人數(shù)相同，所以要除以，共計(jì)有36種可能．
解法四：占位法
其中必有一個(gè)完成兩項(xiàng)工作，選出此人，讓其先占位，即有中可能；剩下的兩項(xiàng)工作
由剩下的兩個(gè)人去完成，即有種可能，按分步計(jì)數(shù)原理求得結(jié)果為36種可能．
解法五：隔板法和環(huán)桌排列
首先讓其環(huán)桌排列，在插兩個(gè)隔板，有種可能，在分配給3人工作有種可能，按分
步計(jì)數(shù)原理求得結(jié)果為36種可能．
11．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科·第5題)如圖，小明從街道的處出發(fā)，先到處與小紅會(huì)合，再一起到位于處的老年公寓參加志愿者活動(dòng)，則小明到老年公寓可以選擇的最短路徑條數(shù)為( )
( )
A．24B．18C．12D．9
【答案】B
【解析】有種走法，有種走法，由乘法原理知，共種走法
故選B．
12．(2016高考數(shù)學(xué)北京理科·第8題)袋中裝有偶數(shù)個(gè)球，其中紅球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三個(gè)空盒．每次從袋中任意取出兩個(gè)球，將其中一個(gè)球放入甲盒，如果這個(gè)球是紅球，就將另一個(gè)球放入乙盒，否則就放入丙盒．重復(fù)上述過(guò)程，直到袋中所有球都被放入盒中，則( )
A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球B．乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多
C．乙盒中紅球不多于丙盒中紅球D．乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多
【答案】B
解析：取兩個(gè)球往盒子中放有種情況：
①紅+紅，則乙盒中紅球數(shù)加個(gè)；
②黑+黑，則丙盒中黑球數(shù)加個(gè)；
③紅+黑(紅球放入甲盒中)，則乙盒中黑球數(shù)加個(gè)；
④黑+紅(黑球放入甲盒中)，則丙盒中紅球數(shù)加個(gè)．
因?yàn)榧t球和黑球個(gè)數(shù)一樣，所以①和②的情況一樣多，③和④的情況完全隨機(jī)．
③和④對(duì)B選項(xiàng)中的乙盒中的紅球與丙盒中的黑球數(shù)沒(méi)有任何影響．
①和②出現(xiàn)的次數(shù)是一樣的，所以對(duì)B選項(xiàng)中的乙盒中的紅球與丙盒中的黑球數(shù)的影響次數(shù)一樣．
綜上，選B．
13．(2023年全國(guó)乙卷理科·第7題)甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有( )
A．30種B．60種C．120種D．240種
【答案】C
解析：首先確定相同得讀物，共有種情況，
然后兩人各自的另外一種讀物相當(dāng)于在剩余的5種讀物里，選出兩種進(jìn)行排列，共有種，
根據(jù)分步乘法公式則共有種，
故選：C．
14．(2021年高考全國(guó)乙卷理科·第6題)將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有( )
A．60種B．120種C．240種D．480種
【答案】C
解析：根據(jù)題意，有一個(gè)項(xiàng)目中分配2名志愿者，其余各項(xiàng)目中分配1名志愿者，可以先從5名志愿者中任選2人，組成一個(gè)小組，有種選法；然后連同其余三人，看成四個(gè)元素，四個(gè)項(xiàng)目看成四個(gè)不同的位置，四個(gè)不同的元素在四個(gè)不同的位置的排列方法數(shù)有4！種，根據(jù)乘法原理，完成這件事，共有種不同的分配方案，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查排列組合的應(yīng)用問(wèn)題，屬基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是首先確定人數(shù)的分配情況，然后利用先選后排思想求解．
15．(2014高考數(shù)學(xué)大綱理科·第5題)有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生，從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小組，則不同的選法共有( )
A．60種B．70種C．75種D．150種
【答案】C
解析：第一步：先從6名男醫(yī)生中選出2名男醫(yī)生有種選法；第二步：從5名女醫(yī)生中選出1名，有種選法，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可知選出名男醫(yī)生、名女醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小組的不同選法共有，故選C．
16．(2016高考數(shù)學(xué)四川理科·第4題)用數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五為數(shù)，其中的奇數(shù)個(gè)數(shù)為( )
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】由題意要使組成的數(shù)是奇數(shù)，則末位必為奇數(shù)，則有種，前面四個(gè)數(shù)排列有種
所以共有．
題型二：二項(xiàng)式定理
1．(2023年北京卷·第5題)的展開(kāi)式中的系數(shù)為( )．
A．B．C．40D．80
【答案】D
解析：的展開(kāi)式的通項(xiàng)為
令得
所以的展開(kāi)式中的系數(shù)為
故選：D
2．(2020年高考課標(biāo)Ⅰ卷理科·第8題)的展開(kāi)式中x3y3的系數(shù)為( )
A．5B．10C．15D．20
【答案】C
【解析】展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為(且)
所以的各項(xiàng)與展開(kāi)式的通項(xiàng)的乘積可表示為：
和
在中，令，可得：，該項(xiàng)中的系數(shù)為，
在中，令，可得：，該項(xiàng)中的系數(shù)為
所以的系數(shù)為
故選：C
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理及其展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，還考查了賦值法、轉(zhuǎn)化能力及分析能力，屬于中檔題．
3．(2022高考北京卷·第8題)若，則( )
A．40B．41C．D．
【答案】B
解析:令，則，
令，則，
故，
故選,B．
4．(2020北京高考·第3題)在的展開(kāi)式中，的系數(shù)為( )．
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：，
令可得：，則的系數(shù)為：．故選：C．
5．(2019·全國(guó)Ⅲ·理·第4題)的展開(kāi)式中的系數(shù)為( )
A．12B．16C．20D．24
【答案】A
【解析】因?yàn)?，所以的系?shù)為，故選A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二項(xiàng)式定理，利用展開(kāi)式通項(xiàng)公式求展開(kāi)式指定項(xiàng)的系數(shù)，是常規(guī)考法。
6．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷(理)·第5題)的展開(kāi)式中的系數(shù)為( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，令，解得，故含的系數(shù)為，故選C．
7．(2014高考數(shù)學(xué)浙江理科·第5題)在的展開(kāi)式中，記項(xiàng)的系數(shù)為，則( )
A．45B．60C．120D．210
【答案】C
解析：的展開(kāi)式中，
含的系數(shù)是：
含的系數(shù)是
含的系數(shù)是
含的系數(shù)是
故選：C．
8．(2014高考數(shù)學(xué)四川理科·第2題)在的展開(kāi)式中，含項(xiàng)的系數(shù)為( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：含項(xiàng)為
9．(2014高考數(shù)學(xué)湖南理科·第4題)的展開(kāi)式中的系數(shù)是( )
A．－20B．－5C．5D．20
【答案】A
解析:第項(xiàng)展開(kāi)式為,
則時(shí), ,故選A．
10．(2014高考數(shù)學(xué)湖北理科·第2題)若二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的系數(shù)是，則實(shí)數(shù)( )
A．2B．C．1D．
【答案】C
解析：,令，得，即，解得．
11．(2014高考數(shù)學(xué)福建理科·第10題)用a代表紅球，b代表藍(lán)球，c代表黑球，由加法原理及乘法定理，從1個(gè)紅球和1個(gè)藍(lán)球中取出若干個(gè)球的所有取法可由的展開(kāi)式表示出來(lái)，如：“1”表示一個(gè)球都不取、“a”表示取出一個(gè)紅球，而“ab”用表示把紅球和藍(lán)球都取出來(lái)，以此類(lèi)推，下列各式中，其展開(kāi)式可用來(lái)表示從5個(gè)無(wú)區(qū)別的紅球、5個(gè)有區(qū)別的黑球中取出若干個(gè)球，且所有的藍(lán)球都取出或都不取出的所有取法的是( )
A．B．
C．D．
【答案】A
解析：所有的藍(lán)球都取出或都不取出的所有取法中，與取紅球的個(gè)數(shù)和黑球的個(gè)數(shù)無(wú)關(guān)，而紅球籃球是無(wú)區(qū)別，黑球是有區(qū)別的，
根據(jù)分布計(jì)數(shù)原理，第一步取紅球，紅球的取法有，
第二步取藍(lán)球，有，
第三步取黑球，有，
所以所有的藍(lán)球都取出或都不取出的所有取法有，故選：A．
12．(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科·第10題)的展開(kāi)式中，的系數(shù)為( )
A．10B．20C．30D．60
【答案】C
解析：在的5個(gè)因式中，2個(gè)取因式中剩余的3個(gè)因式中1個(gè)取，其余因式取y,故的系數(shù)為=30，故選 C．
13．(2015高考數(shù)學(xué)陜西理科·第4題)二項(xiàng)式的展開(kāi)式中的系數(shù)為15，則( )
A．7B．6C．5D．4
【答案】B
解析：二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)是，令得的系數(shù)是，因?yàn)榈南禂?shù)為，所以，即，解得：或，因?yàn)椋?，故選B．
14．(2015高考數(shù)學(xué)湖南理科·第6題)已知的展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)為30，則( )
A．B．C．6D-6
【答案】D．
分析：，令，可得，故選D．
15．(2015高考數(shù)學(xué)湖北理科·第3題)已知的展開(kāi)式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：因?yàn)榈恼归_(kāi)式中第4項(xiàng)與第8項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，所以，解得，
所以二項(xiàng)式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為．
16．(2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷理科·第6題)展開(kāi)式中的系數(shù)為( )
A．B．C．D．
【答案】 C
【解析】因?yàn)?則展開(kāi)式中含的項(xiàng)為,展開(kāi)式中含的項(xiàng)為,故前系數(shù)為,選C．
17．(2017年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷理科·第4題)的展開(kāi)式中的系數(shù)為( )
A．B．C．40D．80
【答案】 C
【解析】,
由 展開(kāi)式的通項(xiàng)公式: 可得:
當(dāng) 時(shí), 展開(kāi)式中 的系數(shù)為 ,
當(dāng) 時(shí), 展開(kāi)式中 的系數(shù)為 ,
則 的系數(shù)為．
故選C．
18．(2016高考數(shù)學(xué)四川理科·第2題)設(shè)為虛數(shù)單位，則的展開(kāi)式中含有的項(xiàng)為( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】由二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)知，則有，所以．
題型三：簡(jiǎn)單的隨機(jī)抽樣
1．(2023年新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ卷·第3題) 某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部?jī)蓪庸渤槿?0名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有( )．
A．種B．種
C．種D．種
【答案】D
解析：根據(jù)分層抽樣的定義知初中部共抽取人，高中部共抽取，
根據(jù)組合公式和分步計(jì)數(shù)原理則不同的抽樣結(jié)果共有種．
故選：D．
2．(2019·全國(guó)Ⅲ·理·第3題) 《西游記》《三國(guó)演義》《水滸傳》和《紅樓夢(mèng)》是中國(guó)古典文學(xué)瑰寶，并稱(chēng)為中國(guó)古典小說(shuō)四大名著．某中學(xué)為了解本校學(xué)生閱讀四大名著的情況，隨機(jī)調(diào)查了100位學(xué)生，其中閱讀過(guò)《西游記》或《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有90位，閱讀過(guò)《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有80位，閱讀過(guò)《西游記》且閱讀過(guò)《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生共有60位，則該校閱讀過(guò)《西游記》的學(xué)生人數(shù)與該校學(xué)生總數(shù)比值的估計(jì)值為( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】由題意得，閱讀過(guò)《西游記》的學(xué)生人數(shù)為，則其與該校學(xué)生人數(shù)之比為．故選C．
另解：記看過(guò)《西游記》的學(xué)生為集合A，看過(guò)《紅樓夢(mèng)》的學(xué)生為集合B．則由題意可得韋恩圖：
則看過(guò)《西游記》的人數(shù)為70人，則其與該校學(xué)生人數(shù)之比為．故選C．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查抽樣數(shù)據(jù)的統(tǒng)計(jì)，滲透了數(shù)據(jù)處理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．根據(jù)容斥原理或韋恩圖，利用轉(zhuǎn)化與化歸思想解題．但平時(shí)對(duì)于這類(lèi)題目接觸少，學(xué)生初讀題目時(shí)可能感到無(wú)從下手。
3．(2014高考數(shù)學(xué)湖南理科·第2題) 對(duì)一個(gè)容量為的總體抽取容量為的樣本，當(dāng)選取簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣、系統(tǒng)抽樣和分層抽樣三種不同方法抽取樣本時(shí)，總體中每個(gè)個(gè)體被抽中的概率分別是則( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：根據(jù)隨機(jī)抽樣的原理可得簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，分層抽樣，系統(tǒng)抽樣都必須滿(mǎn)足每個(gè)個(gè)體被抽到的概率相等．即，故選D
4．(2014高考數(shù)學(xué)廣東理科·第6題) 已知某地區(qū)中小學(xué)學(xué)生人數(shù)和近視情況分別如圖1和如圖2所示，為了解該地區(qū)中小學(xué)生的近視形成原因，用分層抽樣的方法抽取2％的學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，則樣本容量和抽取的高中生近視人數(shù)分別為( )
小學(xué)生
3500名
初中生
4500名
高中生
2000名
( )
A．100，10B．200,10C．100，20D．200，20
【答案】D．
解析：總?cè)藬?shù)為10000人，，其中高中生抽取人，故抽取的高中生近視人數(shù)為人
題型四：用樣本估計(jì)總體
5．(2021年高考全國(guó)甲卷理科·第2題) 為了解某地農(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，對(duì)該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入進(jìn)行抽樣調(diào)查，將農(nóng)戶(hù)家庭年收入調(diào)查數(shù)據(jù)整理得到如下頻率分布直方圖：
根據(jù)此頻率分布直方圖，下面結(jié)論中不正確的是( )
A．該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入低于4．5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)比率估計(jì)為6%
B．該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入不低于10．5萬(wàn)元農(nóng)戶(hù)比率估計(jì)為10%
C．估計(jì)該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入的平均值不超過(guò)6．5萬(wàn)元
D．估計(jì)該地有一半以上的農(nóng)戶(hù)，其家庭年收入介于4．5萬(wàn)元至8．5萬(wàn)元之間
【答案】C
解析：因?yàn)轭l率直方圖中的組距為1，所以各組的直方圖的高度等于頻率．樣本頻率直方圖中的頻率即可作為總體的相應(yīng)比率的估計(jì)值．
該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入低于4．5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)的比率估計(jì)值為,故A正確；
該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入不低于10．5萬(wàn)元的農(nóng)戶(hù)比率估計(jì)值為,故B正確；
該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入介于4．5萬(wàn)元至8．5萬(wàn)元之間的比例估計(jì)值為,故D正確；
該地農(nóng)戶(hù)家庭年收入的平均值的估計(jì)值為(萬(wàn)元)，超過(guò)6．5萬(wàn)元，故C錯(cuò)誤．
綜上，給出結(jié)論中不正確的是C．
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查利用樣本頻率直方圖估計(jì)總體頻率和平均值，屬基礎(chǔ)題，樣本的頻率可作為總體的頻率的估計(jì)值，樣本的平均值的估計(jì)值是各組的中間值乘以其相應(yīng)頻率然后求和所得值，可以作為總體的平均值的估計(jì)值．注意各組的頻率等于．
6．(2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）·第2題) 某社區(qū)通過(guò)公益講座以普及社區(qū)居民的垃圾分類(lèi)知識(shí)．為了解講座效果，隨機(jī)抽取10位社區(qū)居民，讓他們?cè)谥v座前和講座后各回答一份垃圾分類(lèi)知識(shí)問(wèn)卷，這10位社區(qū)居民在講座前和講座后問(wèn)卷答題的正確率如下圖：
則( )
A．講座前問(wèn)卷答題的正確率的中位數(shù)小于
B．講座后問(wèn)卷答題正確率的平均數(shù)大于
C．講座前問(wèn)卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差小于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差
D．講座后問(wèn)卷答題的正確率的極差大于講座前正確率的極差
【答案】B
【解析】講座前中位數(shù)為,所以錯(cuò)；
講座后問(wèn)卷答題的正確率只有一個(gè)是個(gè),剩下全部大于等于,所以講座后問(wèn)卷答題的正確率的平均數(shù)大于,所以B對(duì)；
講座前問(wèn)卷答題的正確率更加分散,所以講座前問(wèn)卷答題的正確率的標(biāo)準(zhǔn)差大于講座后正確率的標(biāo)準(zhǔn)差,所以C錯(cuò)；
講座后問(wèn)卷答題的正確率的極差為，
講座前問(wèn)卷答題的正確率的極差為,所以錯(cuò)．
故選:B．
7．(2021高考天津·第4題) 從某網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)推薦的影視作品中抽取部，統(tǒng)計(jì)其評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)，將所得個(gè)評(píng)分?jǐn)?shù)據(jù)分為組：、、、，并整理得到如下的頻率分布直方圖，則評(píng)分在區(qū)間內(nèi)的影視作品數(shù)量是 ( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：由頻率分布直方圖可知，評(píng)分在區(qū)間內(nèi)的影視作品數(shù)量為．
故選：D．
8．(2020天津高考·第4題) 從一批零件中抽取80個(gè)，測(cè)量其直徑(單位：)，將所得數(shù)據(jù)分為9組：，并整理得到如下頻率分布直方圖，則在被抽取的零件中，直徑落在區(qū)間內(nèi)的個(gè)數(shù)為( )
( )
A．10B．18C．20D．36
【答案】B
【解析】根據(jù)直方圖，直徑落在區(qū)間之間的零件頻率為：，
則區(qū)間內(nèi)零件的個(gè)數(shù)為：．故選：B．
9．(2019·全國(guó)Ⅱ·理·第6題) 若，則( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】取，滿(mǎn)足，，知A錯(cuò)，排除A；因?yàn)椋狟錯(cuò)，排除B；取，，滿(mǎn)足，，知D錯(cuò)，排除D，因?yàn)閮绾瘮?shù)是增函數(shù)，，所以，故選C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)、冪函數(shù)性質(zhì)及絕對(duì)值意義，滲透了邏輯推理和運(yùn)算能力素養(yǎng)，利用特殊值排除即可判斷．
10．(2019·全國(guó)Ⅱ·理·第5題) 演講比賽共有位評(píng)委分別給出某選手的原始評(píng)分，評(píng)定該選手的成績(jī)時(shí)，從個(gè)原始評(píng)分中去掉個(gè)最高分、個(gè)最低分，得到個(gè)有效評(píng)分．個(gè)有效評(píng)分與個(gè)原始評(píng)分相比，不變的數(shù)字特征是( )
A．中位數(shù)B．平均數(shù)C．方差D．極差
【答案】A
【解析】設(shè)位評(píng)委評(píng)分按從小到大排列為．則①原始中位數(shù)為，去掉最低分，最高分，后剩余，中位數(shù)仍為，∴A正確．
②原始平均數(shù)，后來(lái)平均數(shù)
平均數(shù)受極端值影響較大，∴ 與不一定相同，B不正確；
③，，
由②易知，C不正確；
④原極差，后來(lái)極差顯然極差變小，D不正確．
【點(diǎn)評(píng)】本題旨在考查學(xué)生對(duì)中位數(shù)、平均數(shù)、方差、極差本質(zhì)的理解．可不用動(dòng)筆，直接得到答案，亦可采用特殊數(shù)據(jù)，特值法篩選答案．
11．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷Ⅰ（理）·第3題) 某地區(qū)經(jīng)過(guò)一一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍，實(shí)現(xiàn)翻番．為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖:
則下面結(jié)論中不正確的是( )
A．新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少B．新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以
C．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍
D．新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過(guò)了經(jīng)濟(jì)收入的一半
【答案】A
解析：設(shè)建設(shè)前經(jīng)濟(jì)收入為，建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入為．
A項(xiàng)，種植收入37×﹣60%=14%＞0，故建設(shè)后，種植收入增加，故A項(xiàng)錯(cuò)誤．
B項(xiàng)，建設(shè)后，其他收入為5%×2=10%，建設(shè)前，其他收入為4%，故10%÷4%=2．5＞2，故B項(xiàng)正確．
C項(xiàng)，建設(shè)后，養(yǎng)殖收入為30%×2=60%，建設(shè)前，養(yǎng)殖收入為30%，故60%÷30%=2，故C項(xiàng)正確．
D項(xiàng)，建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入總和為(30%+28%)×2=58%×2a，經(jīng)濟(jì)收入為2，故(58%×2a)÷2a=58%＞50%，故D項(xiàng)正確，因?yàn)槭沁x擇不正確的一項(xiàng)．
故選：A．
12．(2014高考數(shù)學(xué)陜西理科·第9題) 設(shè)樣本數(shù)據(jù)的均值和方差分別為1和4，若(為非零常數(shù)，)，則的均值和方差分別為( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析: 若兩組樣本數(shù)據(jù)滿(mǎn)足,則故選A．
13．(2014高考數(shù)學(xué)山東理科·第7題) 為了研究某藥品的療效，選取若干名志愿者進(jìn)行臨床試驗(yàn)，所有志愿者的舒張壓數(shù)據(jù)(單位：)的分組區(qū)間為，，，，，將其按從左到右的順序分別編號(hào)為第一組，第二組，．．．．．．，第五組．如圖是根據(jù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)制成的頻率分布直方圖．已知第一組與第二組共有人，第三組中沒(méi)有療效的有人，則第三組中有療效的人數(shù)為( )
A．B．C．D．
【答案】
解析：由圖可知，樣本總數(shù)為，設(shè)第三組中有療效的人數(shù)為，則，解得．
14．(2015高考數(shù)學(xué)重慶理科·第3題) 重慶市2013年各月的平均氣溫()數(shù)據(jù)的莖葉圖如下：
則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是( )
A．19B．20C．21．5D．23
【答案】B．
解析：從莖葉圖知所有數(shù)據(jù)為8，9，12，15，18，20，20，23，23，28，31，32，中間兩個(gè)數(shù)為20，20，故中位數(shù)為20，選B．．
考點(diǎn)：本題考查莖葉圖的認(rèn)識(shí)，考查中位數(shù)的概念．
15．(2015高考數(shù)學(xué)陜西理科·第2題) 某中學(xué)初中部共有110名教師，高中部共有150名教師，其性別比例如圖所示，則該校女教師的人數(shù)為( )
( )
A．93B．123C．137D．167
【答案】C
解析：該校女老師的人數(shù)是，故選C．
16．(2015高考數(shù)學(xué)湖北理科·第2題) 我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有“米谷粒分”題：糧倉(cāng)開(kāi)倉(cāng)收糧，有人送來(lái)米1534石，驗(yàn)得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得254粒內(nèi)夾谷28粒，則這批米內(nèi)夾谷約為( )
A．134石B．169石C．338石D．1365石
【答案】B
解析：依題意，這批米內(nèi)夾谷約為石，選B．
17．(2015高考數(shù)學(xué)安徽理科·第6題) 若樣本數(shù)據(jù)，，，的標(biāo)準(zhǔn)差為，則數(shù)據(jù)，，，的標(biāo)準(zhǔn)差為( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：設(shè)樣本數(shù)據(jù)，，，的標(biāo)準(zhǔn)差為，則，即方差，而數(shù)據(jù)，，，的方差，所以其標(biāo)準(zhǔn)差為．故選C．
18．(2016高考數(shù)學(xué)山東理科·第3題) 某高校調(diào)查了200名學(xué)生每周的自習(xí)時(shí)間(單位：小時(shí))，制成了如圖所示的頻率分布直方圖，其中自習(xí)時(shí)間的范圍是，樣本數(shù)據(jù)分組為，，，，．根據(jù)直方圖，這200名學(xué)生中每周的自習(xí)時(shí)間不少于小時(shí)的人數(shù)是( )
A．56B．60C．120D．140
【答案】D
【解析】由頻率分布直方圖知，自習(xí)時(shí)間不少于22．5小時(shí)為后三組，有(人)，選D．
題型五：回歸分析
1．(2023年天津卷·第7題) 調(diào)查某種群花萼長(zhǎng)度和花瓣長(zhǎng)度，所得數(shù)據(jù)如圖所示，其中相關(guān)系數(shù)，下列說(shuō)法正確的是( )
( )
A．花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度沒(méi)有相關(guān)性
B．花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度呈現(xiàn)負(fù)相關(guān)
C．花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度呈現(xiàn)正相關(guān)
D．若從樣本中抽取一部分，則這部分的相關(guān)系數(shù)一定是
【答案】C
解析：根據(jù)散點(diǎn)的集中程度可知，花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度有相關(guān)性，A選項(xiàng)錯(cuò)誤
散點(diǎn)的分布是從左下到右上，從而花瓣長(zhǎng)度和花萼長(zhǎng)度呈現(xiàn)正相關(guān)性，B選項(xiàng)錯(cuò)誤，C選項(xiàng)正確；
由于是全部數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)，取出來(lái)一部分?jǐn)?shù)據(jù)，相關(guān)性可能變強(qiáng)，可能變?nèi)酰慈〕龅臄?shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)不一定是，D選項(xiàng)錯(cuò)誤
故選：C
2．(2014高考數(shù)學(xué)重慶理科·第3題) 已知變量與正相關(guān)，且由觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)算得樣本的平均數(shù)，，則由該觀(guān)測(cè)數(shù)據(jù)算得的線(xiàn)性回歸方程可能是( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析：根據(jù)線(xiàn)性回歸方程過(guò)定點(diǎn)的特點(diǎn)，代入驗(yàn)證只有A選項(xiàng)的直線(xiàn)過(guò)點(diǎn)。
3．(2014高考數(shù)學(xué)湖北理科·第4題) 根據(jù)如下樣本數(shù)據(jù)
得到的回歸方程為，則( )
A．,B．,
C．,D．,
【答案】B
解析：由樣本數(shù)據(jù)可知y值總體上是隨x值的增大而減少的．故b＜0，又回歸直線(xiàn)過(guò)第一象限，故縱截距a＞0．
4．(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)2理科·第3題) 根據(jù)下面給出的2004年至2013年我國(guó)二氧化硫排放量(單位：萬(wàn)噸)柱形圖。以下結(jié)論不正確的是( )
2004年
2005年
2006年
2007年
2008年
2009年
2010年
2011年
2012年
2013年
1900
2000
2100
2200
2300
2400
2500
2600
2700
( )
A．逐年比較，2008年減少二氧化硫排放量的效果最顯著
B．2007年我國(guó)治理二氧化硫排放顯現(xiàn)成效
C．2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量呈減少趨勢(shì)
D．2006年以來(lái)我國(guó)二氧化硫年排放量與年份正相關(guān)
【答案】D
解析：由柱形圖得，從2006年以來(lái)，我國(guó)二氧化硫排放量呈下降趨勢(shì)，故年排放量與年份負(fù)相關(guān)，故選D．
考點(diǎn)：正、負(fù)相關(guān)．
5．(2015高考數(shù)學(xué)福建理科·第4題) 為了解某社區(qū)居民的家庭年收入與年支出的關(guān)系，隨機(jī)調(diào)查了該社區(qū)5戶(hù)家庭，得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)表：
根據(jù)上表可得回歸直線(xiàn)方程，其中，據(jù)此估計(jì)，該社區(qū)一戶(hù)收入為15萬(wàn)元家庭的年支出為( )
A．11．4萬(wàn)元B．11．8萬(wàn)元C．12．0萬(wàn)元D．12．2萬(wàn)元
【答案】B
解析：由已知得(萬(wàn)元)，(萬(wàn)元)，故，所以回歸直線(xiàn)方程為，當(dāng)社區(qū)一戶(hù)收入為15萬(wàn)元家庭年支出為(萬(wàn)元)，故選B．
6．(2017年高考數(shù)學(xué)山東理科·第5題) 為了研究某班學(xué)生的腳長(zhǎng)(單位:厘米)和身高(單位:厘米)的關(guān)系,從該班隨機(jī)抽取名學(xué)生,根據(jù)測(cè)量數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出與之間有線(xiàn)性相關(guān)關(guān)系,設(shè)其回歸直線(xiàn)方程為．已知,,．該班某學(xué)生的腳長(zhǎng)為,據(jù)此估計(jì)其身高為 ( )
A．B．C．D．
【答案】 C
【解析】， ,選C．
【考點(diǎn)】線(xiàn)性回歸分析
【點(diǎn)評(píng)】(1)判斷兩個(gè)變量是否線(xiàn)性相關(guān)及相關(guān)程度通常有兩種方法:(1)利用散點(diǎn)圖直觀(guān)判斷;(2)將相關(guān)數(shù)據(jù)代入相關(guān)系數(shù)公式求出,然后根據(jù)的大小進(jìn)行判斷．求線(xiàn)性回歸方程時(shí)在嚴(yán)格按照公式求解時(shí),一定要注意計(jì)算的準(zhǔn)確性．
題型六：獨(dú)立性檢驗(yàn)
題型七：事件與概率
1．(2023年全國(guó)甲卷理科·第6題)某地的中學(xué)生中有的同學(xué)愛(ài)好滑冰，的同學(xué)愛(ài)好滑雪，的同學(xué)愛(ài)好滑冰或愛(ài)好滑雪．在該地的中學(xué)生中隨機(jī)調(diào)查一位同學(xué)，若該同學(xué)愛(ài)好滑雪，則該同學(xué)也愛(ài)好滑冰的概率為( )
A0．8B．0．6C．0．5D．0．4
【答案】A
解析：同時(shí)愛(ài)好兩項(xiàng)的概率為，
記“該同學(xué)愛(ài)好滑雪”為事件,記“該同學(xué)愛(ài)好滑冰”為事件，
則，
所以．
故選:．
2．(2023年全國(guó)乙卷理科·第5題)設(shè)O為平面坐標(biāo)系的坐標(biāo)原點(diǎn)，在區(qū)域內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，記該點(diǎn)為A．則直線(xiàn)OA的傾斜角不大于的概率為( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：因?yàn)閰^(qū)域表示以圓心，外圓半徑，內(nèi)圓半徑的圓環(huán)，
則直線(xiàn)的傾斜角不大于的部分如陰影所示，在第一象限部分對(duì)應(yīng)的圓心角，
結(jié)合對(duì)稱(chēng)性可得所求概率．
故選：C．

3．(2021年新高考Ⅰ卷·第8題)有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則( )
A．甲與丙相互獨(dú)立B．甲與丁相互獨(dú)立
C．乙與丙相互獨(dú)立D．丙與丁相互獨(dú)立
【答案】B
解析: ，
故選B．
4．(2021年高考全國(guó)乙卷理科·第8題)在區(qū)間與中各隨機(jī)取1個(gè)數(shù)，則兩數(shù)之和大于的概率為( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析：如圖所示：
設(shè)從區(qū)間中隨機(jī)取出的數(shù)分別為，則實(shí)驗(yàn)的所有結(jié)果構(gòu)成區(qū)域?yàn)椋涿娣e為．
設(shè)事件表示兩數(shù)之和大于，則構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?，即圖中的陰影部分，其面積為，所以．
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查利用線(xiàn)性規(guī)劃解決幾何概型中的面積問(wèn)題，解題關(guān)鍵是準(zhǔn)確求出事件對(duì)應(yīng)的區(qū)域面積，即可順利解出．
5．(2021年高考全國(guó)甲卷理科·第10題)將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，則2個(gè)0不相鄰的概率為( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：將4個(gè)1和2個(gè)0隨機(jī)排成一行，可利用插空法，4個(gè)1產(chǎn)生5個(gè)空，
若2個(gè)0相鄰，則有種排法，若2個(gè)0不相鄰，則有種排法，
所以2個(gè)0不相鄰的概率為．
故選：C．
6．(2020年新高考全國(guó)卷Ⅱ數(shù)學(xué)(海南)·第5題)某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學(xué)生喜歡足球或游泳，60%的學(xué)生喜歡足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是( )
A．62%B．56%
C．46%D．42%
【答案】C
解析：記“該中學(xué)學(xué)生喜歡足球”為事件，“該中學(xué)學(xué)生喜歡游泳”為事件，則“該中學(xué)學(xué)生喜歡足球或游泳”為事件，“該中學(xué)學(xué)生既喜歡足球又喜歡游泳”為事件，
則，，，
所以
所以該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例為．故選：C．
7．(2022新高考全國(guó)I卷·第5題)從2至87個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為( )
AB．C．D．
【答案】D
解析: 從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，共有種不同的取法，
若兩數(shù)不互質(zhì)，不同的取法有：，共7種，
故所求概率． 故選：D．
8．(2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)(理)·第10題)某棋手與甲、乙、丙三位棋手各比賽一盤(pán)，各盤(pán)比賽結(jié)果相互獨(dú)立．已知該棋手與甲、乙、丙比賽獲勝的概率分別為，且．記該棋手連勝兩盤(pán)的概率為p，則( )
A．p與該棋手和甲、乙、丙的比賽次序無(wú)關(guān)B．該棋手在第二盤(pán)與甲比賽，p最大
C．該棋手在第二盤(pán)與乙比賽，p最大D．該棋手在第二盤(pán)與丙比賽，p最大
【答案】D
解析：該棋手連勝兩盤(pán)，則第二盤(pán)為必勝盤(pán)，
記該棋手在第二盤(pán)與甲比賽，比賽順序?yàn)橐壹妆氨滓业母怕示鶠椋?br>則此時(shí)連勝兩盤(pán)的概率為
則
；
記該棋手在第二盤(pán)與乙比賽，且連勝兩盤(pán)的概率為，
則
記該棋手在第二盤(pán)與丙比賽，且連勝兩盤(pán)的概率為
則
則
即，，
則該棋手在第二盤(pán)與丙比賽，最大．選項(xiàng)D判斷正確；選項(xiàng)BC判斷錯(cuò)誤；
與該棋手與甲、乙、丙的比賽次序有關(guān)．選項(xiàng)A判斷錯(cuò)誤． 故選：D
9．(2021高考北京·第8題)某一時(shí)間段內(nèi)，從天空降落到地面上的雨水，未經(jīng)蒸發(fā)、滲漏、流失而在水平面上積聚的深度，稱(chēng)為這個(gè)時(shí)段的降雨量(單位：)．24h降雨量的等級(jí)劃分如下：
在綜合實(shí)踐活動(dòng)中，某小組自制了一個(gè)底面直徑為200mm，高為300mm的圓錐形雨量器．若一次降雨過(guò)程中，該雨量器收集的24h的雨水高度是150mm(如圖所示)，則這24h降雨量的等級(jí)是
A．小雨B．中雨C．大雨D．暴雨
【答案】B
解析：由題意，一個(gè)半徑為的圓面內(nèi)的降雨充滿(mǎn)一個(gè)底面半徑為，高為的圓錐，所以積水厚度，屬于中雨．
故選：B．
10．(2019·全國(guó)Ⅰ·理·第6題)我國(guó)古代典籍《周易》用“卦”描述萬(wàn)物的變化．每一“重卦”由從下到上排列的6個(gè)爻組成，爻分為陽(yáng)爻“”和陰爻“——”，右圖就是一重卦．在所有重卦中隨機(jī)取一重卦，則該重卦恰有3個(gè)陽(yáng)爻的概率是( )
【答案】A
解析：所有的重卦共有個(gè)，而恰有3個(gè)陽(yáng)爻的重卦有個(gè)，所以所求概率為．
11．(2015高考數(shù)學(xué)湖北理科·第7題)在區(qū)間上隨機(jī)取兩個(gè)數(shù)，記為事件“”的概率，為事件“”的概率，為事件“”的概率，則( )
A．B．
C．D．
【答案】B
解析：因?yàn)?，?duì)事件“”，如圖(1)陰影部分，
對(duì)事件“”，如圖(2)陰影部分，
對(duì)為事件“”，如圖(3)陰影部分，
由圖知，陰影部分的面積從下到大依次是，正方形的面積為，
根據(jù)幾何概型公式可得．
(1) (2) (3)
12．(2015高考數(shù)學(xué)廣東理科·第4題)袋中共有15個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中有10個(gè)白球，5個(gè)紅球。從袋中任取2個(gè)球，所取的2個(gè)球中恰有1個(gè)白球，1個(gè)紅球的概率為( )
A．B．C．D．1
【答案】B
解析：從袋中任取個(gè)球共有種，其中恰好個(gè)白球個(gè)紅球共有種，所以恰好個(gè)白球個(gè)紅球的概率為，故選．
13．(2017年高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)Ⅰ卷理科·第2題)如圖,正方形內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖．正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱(chēng)．在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn),則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是( )
( )
A．B．C．D．
【答案】 B
【解析】設(shè)正方形邊長(zhǎng)為,則圓的半徑為,則正方形的面積為,圓的面積為．由圖形的對(duì)稱(chēng)性可知,太極圖中黑白部分面積相等,即各占圓面積的一半．由幾何概型概率的計(jì)算公式得,此點(diǎn)取自黑色部分的概率是,選B．
秒殺解析:由題意可知,此點(diǎn)取自黑色部分的概率即為黑色部分面積占整個(gè)面積的比例,由圖可知其概率,故選B．
14．(2017年高考數(shù)學(xué)山東理科·第8題)從分別標(biāo)有,,,的張卡片中不放回地隨機(jī)抽取次,每次抽取1張．則抽到的2張卡片上的數(shù)奇偶性不同的概率是( )
A．B．C．D．
【答案】 C
【解析】 ,選C．
15．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷理科·第10題)從區(qū)間隨機(jī)抽取個(gè)數(shù),，…，，，，…，，構(gòu)成個(gè)數(shù)對(duì)，，…，，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)共有個(gè)，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率的近似值為( )
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】幾何概型問(wèn)題：樣本空間 其面積為：
事件“兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)”對(duì)應(yīng)的集合為：
其對(duì)應(yīng)區(qū)域面積為：，所以
所以，故選C．
16．(2016高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅰ卷理科·第4題)某公司的班車(chē)在，，發(fā)車(chē)，小明在至之間到達(dá)發(fā)車(chē)站乘坐班車(chē)，且到達(dá)發(fā)車(chē)站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車(chē)時(shí)間不超過(guò)10分鐘的概率是( )
(A)EQ\F(1,3)(B)EQ\F(1,2)(C)EQ\F(2,3)(D)EQ\F(3,4)
【答案】B【解析】如圖所示，畫(huà)出時(shí)間軸：
小明到達(dá)的時(shí)間會(huì)隨機(jī)的落在圖中線(xiàn)段中，而當(dāng)他的到達(dá)時(shí)間落在線(xiàn)段或時(shí)，才能保證他等車(chē)的時(shí)間不超過(guò)10分鐘
17．(2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)1理科·第5題)4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng),則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)的概率( )
A．B．C．D．
【答案】 D
解析:4位同學(xué)各自在周六、周日兩天中任選一天參加公益活動(dòng)共有種,
周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)有兩種情況:①一天一人一天三人有種;②每天2人有種,則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)的概率為;或間接解法:4位同學(xué)都在周六或周日參加公益活動(dòng)有2種,則周六、周日都有同學(xué)參加公益活動(dòng)的概率為;選D．
18．(2014高考數(shù)學(xué)湖北理科·第7題)由不等式組確定的平面區(qū)域記為，不等式組確定的平面區(qū)域記為，在中隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好在內(nèi)的概率為( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：如圖，由題意知平面區(qū)域Ω1的面積＝S△AOM＝×2×2＝2．
Ω1與Ω2的公共區(qū)域?yàn)殛幱安糠?，面積．
由幾何概型得該點(diǎn)恰好落在Ω2內(nèi)的概率．故選D．
19．(2015高考數(shù)學(xué)新課標(biāo)1理科·第4題)投籃測(cè)試中，每人投3次，至少投中2次才能通過(guò)測(cè)試．已知某同學(xué)每次投籃投中的概率為0．6，且各次投籃是否投中相互獨(dú)立，則該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為( )
A．0．648B．432C．0．36D．0．312
【答案】A
解析：根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)公式得，該同學(xué)通過(guò)測(cè)試的概率為=0．648，故選A．
20．(2015高考數(shù)學(xué)陜西理科·第11題)設(shè)復(fù)數(shù)，若，則的概率為( )
A．B．C．D．
【答案】D
解析：
如圖可求得，，陰影面積等于
若，則的概率是，故選D．
題型八：離散型隨機(jī)變量及其分布列
1．(2021年新高考全國(guó)Ⅱ卷·第6題)某物理量的測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布，下列結(jié)論中不正確的是( )
A．越小，該物理量在一次測(cè)量中在的概率越大
B．越小，該物理量在一次測(cè)量中大于10概率為0．5
C．越小，該物理量在一次測(cè)量中小于9．99與大于10．01的概率相等
D．越小，該物理量在一次測(cè)量中落在與落在的概率相等
【答案】D
解析:對(duì)于A(yíng)，為數(shù)據(jù)的方差，所以越小，數(shù)據(jù)在附近越集中，所以測(cè)量結(jié)果落在內(nèi)的概率越大，故A正確；
對(duì)于B，由正態(tài)分布密度曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知該物理量一次測(cè)量大于10的概率為0．5，故B正確；
對(duì)于C，由正態(tài)分布密度曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性可知該物理量一次測(cè)量結(jié)果大于10．01的概率與小于9．99的概率相等，故C正確；
對(duì)于D，因?yàn)樵撐锢砹恳淮螠y(cè)量結(jié)果落在的概率與落在的概率不同，所以一次測(cè)量結(jié)果落在的概率與落在的概率不同，故D錯(cuò)誤,故選D．
2．(2017年高考數(shù)學(xué)浙江文理科·第8題)已知隨機(jī)變量滿(mǎn)足,,．若,則( )
A．,B．,
C．,D．,
【答案】 A
【解析】 (定義法)寫(xiě)出分布列

所以,;,．
因?yàn)?．故選A．
3．(2015高考數(shù)學(xué)湖北理科·第4題)設(shè)，這兩個(gè)正態(tài)分布密度曲線(xiàn)如圖所示．下列結(jié)論中正確的是( )
( )
A．
B．
C．對(duì)任意正數(shù)，
D．對(duì)任意正數(shù)，
【答案】C
解析：由正態(tài)密度曲線(xiàn)的性質(zhì)可知，的密度曲線(xiàn)分別關(guān)于、對(duì)稱(chēng)，因此結(jié)合所給圖象可得且的密度曲線(xiàn)較的密度曲線(xiàn)“瘦高”，所以，所以對(duì)任意正數(shù)，．
4．(2015高考數(shù)學(xué)山東理科·第8題)已知某批零件的長(zhǎng)度誤差(單位：毫米)服從正態(tài)分布，從中隨機(jī)取一件，其長(zhǎng)度誤差落在區(qū)間內(nèi)的概率為( )
(附：若隨機(jī)變量ξ服從正態(tài)分布，則，
。)( )
A．4．56%B．13．59%C．27．18%D．31．74%
【答案】B
解析：用表示 零件的長(zhǎng)度，根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)得：
, 故選B．
5．(2015高考數(shù)學(xué)湖南理科·第7題)在如圖所示的正方形中隨機(jī)投擲10000個(gè)點(diǎn)，則落入陰影部分(曲線(xiàn)C為正態(tài)分布N(0,1)的密度曲線(xiàn))的點(diǎn)的個(gè)數(shù)的估計(jì)值為( )
附：若，則，( )
A．2386B．2718C．3413D．4772
【答案】C．
分析：根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)，，故選C．
6．(2018年高考數(shù)學(xué)浙江卷·第7題)設(shè)，隨機(jī)變量的分布列是
則當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)，( )
A．減小B．增大
C．先減小后增大D．先增大后減小
【答案】D
解析：【基本解法1】由，
，
表示開(kāi)口向下的拋物線(xiàn)，對(duì)稱(chēng)軸為，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，
又因?yàn)?，所以?dāng)在內(nèi)增大時(shí)，先增大后減?。?br>【基本解法2】特值法：由，
當(dāng)時(shí)，，；
當(dāng)時(shí)，，；
當(dāng)時(shí)，，．
所以當(dāng)在內(nèi)增大時(shí)，先增大后減?。?br>【基本解法3】
，，
，
表示開(kāi)口向下的拋物線(xiàn)，對(duì)稱(chēng)軸為，所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，
又因?yàn)?，所以?dāng)在內(nèi)增大時(shí)，先增大后減小．
題型九：概率統(tǒng)計(jì)綜合
1．(2020年高考課標(biāo)Ⅲ卷理科·第3題)在一組樣本數(shù)據(jù)中，1，2，3，4出現(xiàn)的頻率分別為，且，則下面四種情形中，對(duì)應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差最大的一組是( )
A．B．
C．D．
【答案】B
解析：對(duì)于A(yíng)選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，
方差為；
對(duì)于B選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，
方差為；
對(duì)于C選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，
方差為；
對(duì)于D選項(xiàng)，該組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，
方差為．
因此，B選項(xiàng)這一組標(biāo)準(zhǔn)差最大．
故選：B．
2．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅲ卷(理)·第8題)某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為，各成員的支付方式相互獨(dú)立，設(shè)為該群體的位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù)，，，則( )
A．B．C．D．
【答案】B
解析：依題意可知，則，解得或
又，所以即，即
所以，故選B．
3．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)Ⅱ卷(理)·第8題)我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果．哥德巴赫猜想是“每個(gè)大于2的偶數(shù)可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和”，如．在不超過(guò)30的素?cái)?shù)中，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的概率是( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析：不超過(guò)30的素?cái)?shù)有2，3，5，7，11，13，17，19，23，29，共10個(gè)，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，共有種方法，因?yàn)?，所以隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和等于30的有3種選法，故概率，故選C．
4．(2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷Ⅰ(理)·第10題)下圖來(lái)自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形。此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形的斜邊,直角邊,．的三邊所圍成的區(qū)域記為I，黑色部分記為II．其余部分記為III．在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自1，II,III的概率分別記為則( )
A．B．C．D．
【答案】A
解析：如圖：設(shè)，∴，∴，
∴，∴，故選A．
5．(2014高考數(shù)學(xué)浙江理科·第9題)已知甲盒中僅有1個(gè)球且為紅球，乙盒中有個(gè)紅球和個(gè)籃球，從乙盒中隨機(jī)抽取個(gè)球放入甲盒中．
(a)放入個(gè)球后，甲盒中含有紅球的個(gè)數(shù)記為；
(b)放入個(gè)球后，從甲盒中取1個(gè)球是紅球的概率記為．
則( )
A．B．
C．D．
【答案】A
解析：
所以；
由已知ξ1的取值為1、2，ξ2的取值為1、2、3，
所以， ，
，
．故選A
6．(2014高考數(shù)學(xué)陜西理科·第6題)從正方形四個(gè)頂點(diǎn)及其中心這5個(gè)點(diǎn)中，任取2個(gè)點(diǎn)，則這2個(gè)點(diǎn)的距離不小于該正方形邊長(zhǎng)的概率為( )
A．B．C．D．
【答案】C
解析: 從正方形四個(gè)頂點(diǎn)及其中心這5個(gè)點(diǎn)中任取2個(gè)點(diǎn)有種,其中小于該正方形邊長(zhǎng)有4種(中心到四個(gè)頂點(diǎn)),所以所求為,故選C．
7．(2014高考數(shù)學(xué)課標(biāo)2理科·第5題)某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0．75，連續(xù)兩為優(yōu)良的概率是0．6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是( )
A．0．8B．0．75C．0．6D．0．45
【答案】A
解析：設(shè)A=“某一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”，B=“隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良”，則，故選A．3
4
5
6
7
8
4．0
2．5
0．5
收入(萬(wàn)元)
8．2
8．6
10．0
11．3
11．9
支出(萬(wàn)元)
6．2
7．5
8．0
8．5
9．8
A．
B．
C．
D．

1
0

1
0

0
1
2
0
1
2
0
1
4

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