一、單選題：本大題共8小題，每個小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.
1．阿基米德(公元前287年～公元前212年)是古希臘偉大的物理學家，數(shù)學家和天文學家，并享有“數(shù)學之神”的稱號.他研究拋物線的求積法，得出了著名的阿基米德定理．在該定理中，拋物線的弦與過弦的端點的兩切線所圍成的三角形被稱為“阿基米德三角形”．若拋物線上任意兩點 SKIPIF 1 < 0 處的切線交于點 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 為“阿基米德三角形”，且當線段 SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過拋物線的焦點 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 具有以下特征：（1） SKIPIF 1 < 0 點必在拋物線的準線上；（2） SKIPIF 1 < 0 ；（3） SKIPIF 1 < 0 ．若經(jīng)過拋物線 SKIPIF 1 < 0 的焦點的一條弦為 SKIPIF 1 < 0 ，“阿基米德三角形”為 SKIPIF 1 < 0 ，且點 SKIPIF 1 < 0 在直線 SKIPIF 1 < 0 上，則直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】根據(jù)題意，可知 SKIPIF 1 < 0 點在拋物線的準線 SKIPIF 1 < 0 上，又點 SKIPIF 1 < 0 在直線 SKIPIF 1 < 0 上，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .故選：A.
2．橢圓 SKIPIF 1 < 0 中，點 SKIPIF 1 < 0 為橢圓的右焦點，點A為橢圓的左頂點，點B為橢圓的短軸上的頂點，若 SKIPIF 1 < 0 ，此橢圓稱為“黃金橢圓”，“黃金橢圓”的離心率為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】設 SKIPIF 1 < 0 為橢圓的半焦距，由題意可得 SKIPIF 1 < 0 ，由對稱性可設 SKIPIF 1 < 0 ,
則 SKIPIF 1 < 0 ,因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 ,解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍）.故選:B.
3．加斯帕爾-蒙日是1819世紀法國著名的幾何學家．如圖，他在研究圓錐曲線時發(fā)現(xiàn)：橢圓的任意兩條互相垂直的切線的交點都在同一個圓上，其圓心是橢圓的中心，這個圓被稱為“蒙日圓”．若長方形 SKIPIF 1 < 0 的四邊均與橢圓 SKIPIF 1 < 0 相切，則下列說法錯誤的是（ ）

A．橢圓 SKIPIF 1 < 0 的離心率為 SKIPIF 1 < 0 B．橢圓 SKIPIF 1 < 0 的蒙日圓方程為 SKIPIF 1 < 0
C．若 SKIPIF 1 < 0 為正方形，則 SKIPIF 1 < 0 的邊長為 SKIPIF 1 < 0 D．長方形 SKIPIF 1 < 0 的面積的最大值為18
【解析】由橢圓方程知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，離心率為 SKIPIF 1 < 0 ，A正確；
當長方形 SKIPIF 1 < 0 的邊與橢圓的軸平行時，長方形的邊長分別為 SKIPIF 1 < 0 和4，其對角線長為 SKIPIF 1 < 0 ，因此蒙日圓半徑為 SKIPIF 1 < 0 ，圓方程為 SKIPIF 1 < 0 ，B正確；
設矩形的邊長分別為 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，當且僅當 SKIPIF 1 < 0 時取等號，所以長方形 SKIPIF 1 < 0 的面積的最大值是20，此時該長方形 SKIPIF 1 < 0 為正方形，邊長為 SKIPIF 1 < 0 ，C正確，D錯誤．
故選：D．
4．2022年卡塔爾世界杯中的數(shù)字元素——會徽（如圖）正視圖近似伯努利雙紐線.定義：在平面直角坐標系 SKIPIF 1 < 0 中，把到定點 SKIPIF 1 < 0 的距離之積等于 SKIPIF 1 < 0 的點的軌跡稱為雙紐線 SKIPIF 1 < 0 .已知 SKIPIF 1 < 0 是雙紐線 SKIPIF 1 < 0 上的一點，下列說法錯誤的是（ ）
A．雙紐線 SKIPIF 1 < 0 關于原點 SKIPIF 1 < 0 成中心對稱
B． SKIPIF 1 < 0
C．雙曲線 SKIPIF 1 < 0 上滿足 SKIPIF 1 < 0 的點 SKIPIF 1 < 0 有兩個
D． SKIPIF 1 < 0 的最大值為 SKIPIF 1 < 0
【解析】由到定點 SKIPIF 1 < 0 的距離之積等于 SKIPIF 1 < 0 的點的軌跡稱為雙紐線 SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ，
將 SKIPIF 1 < 0 替換方程中的 SKIPIF 1 < 0 ，方程不變，故雙紐線 SKIPIF 1 < 0 關于原點 SKIPIF 1 < 0 成中心對稱，故A正確；
由等面積法得 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，故B正確；
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以雙曲線 SKIPIF 1 < 0 上滿足 SKIPIF 1 < 0 的點 SKIPIF 1 < 0 有一個，故C錯誤；
因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦定理得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值為 SKIPIF 1 < 0 ，故D正確，
故選：C.
5．橢圓具有光學性質：從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)過橢圓反射后，反射光線過橢圓的另一個焦點(如圖).已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦點分別為 SKIPIF 1 < 0 ，過 SKIPIF 1 < 0 的直線與橢圓E交與點A，B，過點A作橢圓的切線l，點B關于l的對稱點為M，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】如圖，由橢圓的光學性質可得 SKIPIF 1 < 0 三點共線.
設 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
所以 SKIPIF 1 < 0 .故選：A.
6．定義： 橢圓 SKIPIF 1 < 0 中長度為整數(shù)的焦點弦(過焦點的弦)為 “好弦”． 則橢圓 SKIPIF 1 < 0 中所有 “好弦” 的長度之和為（ ）
A．162B．166C．312D．364
【解析】由已知可得 SKIPIF 1 < 0 ， 所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即橢圓 SKIPIF 1 < 0 的右焦點坐標為 SKIPIF 1 < 0 ，對于過右焦點的弦 SKIPIF 1 < 0 ，則有：
當弦 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 軸重合時，則弦長 SKIPIF 1 < 0 ，
當弦 SKIPIF 1 < 0 不與 SKIPIF 1 < 0 軸重合時，設 SKIPIF 1 < 0 ，
聯(lián)立方程 SKIPIF 1 < 0 ，消去x得： SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，綜上所述： SKIPIF 1 < 0 ，故弦長為整數(shù)有 SKIPIF 1 < 0 ，
由橢圓的對稱性可得：“好弦” 的長度和為 SKIPIF 1 < 0 ．故選 ：B．
7．某數(shù)學愛好者以函數(shù)圖像組合如圖“愛心”獻給在抗疫一線的白衣天使，向他們表達崇高的敬意！愛心輪廓是由曲線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 構成，若a， SKIPIF 1 < 0 ，c依次成等比數(shù)列，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】由“愛心”圖知 SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過點 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．由“愛心”圖知 SKIPIF 1 < 0 必過點 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
若a， SKIPIF 1 < 0 ，c，依次成等比數(shù)列，則 SKIPIF 1 < 0 ，從而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．故選:A．
8．數(shù)學中有許多寓意美好的曲線，曲線 SKIPIF 1 < 0 被稱為“四葉玫瑰線”（如圖所示）.給出下列三個結論：
①曲線 SKIPIF 1 < 0 關于直線 SKIPIF 1 < 0 對稱；
②曲線 SKIPIF 1 < 0 上任意一點到原點的距離都不超過1；
③存在一個以原點為中心?邊長為 SKIPIF 1 < 0 的正方形，使曲線 SKIPIF 1 < 0 在此正方形區(qū)域內（含邊界）.
其中，正確結論的序號是（ ）
A．①②B．②③C．①③D．①②③
【解析】對于①，用 SKIPIF 1 < 0 替換方程中的 SKIPIF 1 < 0 ，方程形式不變，
所以曲線 SKIPIF 1 < 0 關于直線 SKIPIF 1 < 0 對稱，故①正確，
對于②，設點 SKIPIF 1 < 0 是曲線上任意一點，則 SKIPIF 1 < 0 ，則點 SKIPIF 1 < 0 到原點的距離為 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，當且僅當 SKIPIF 1 < 0 時取等號，故②正確，
對于③，由②可知，包含該曲線的以原點為圓心的最小的圓的半徑為1，
所以最小圓應該是包含該曲線的最小正方形的內切圓，即正方形的邊長最短為2，故③錯誤.
故選：A
二、多選題：本大題共4小題，每個小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，只有一項或者多項是符合題目要求的.
9．在平面內，若曲線 SKIPIF 1 < 0 上存在點 SKIPIF 1 < 0 ，使點 SKIPIF 1 < 0 到點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的距離之和為10，則稱曲線 SKIPIF 1 < 0 為“有用曲線”，以下曲線是“有用曲線”的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】設點 SKIPIF 1 < 0 的坐標為 SKIPIF 1 < 0 ，因為點 SKIPIF 1 < 0 到點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的距離之和為10，
由橢圓的定義可得點 SKIPIF 1 < 0 的軌跡方程為： SKIPIF 1 < 0 ，
對A，由 SKIPIF 1 < 0 整理得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
因此曲線 SKIPIF 1 < 0 上存在點 SKIPIF 1 < 0 滿足條件，所以 SKIPIF 1 < 0 是“有用曲線”，故A正確；
對B，因為曲線 SKIPIF 1 < 0 在曲線 SKIPIF 1 < 0 的內部，無交點，所以 SKIPIF 1 < 0 不是“有用曲線”，故B錯誤；
對C，曲線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 有交點 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 是“有用曲線”，故C正確；
對D，曲線 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 也有交點，所以 SKIPIF 1 < 0 是“有用曲線"，故D正確.
故選：ACD.
10．卵形曲線也叫卵形線，是常見曲線的一種，分笛卡爾卵形線和卡西尼卵形線.卡西尼卵形線是平面內與兩個定點（叫做焦點）距離之積等于常數(shù)的點的軌跡.設焦點 SKIPIF 1 < 0 是平面內兩個定點， SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 是定長），特別地，當 SKIPIF 1 < 0 時的卡西尼卵形線又稱為伯努利雙紐線，某同學通過類比橢圓與雙曲線的研究方法，對伯努利雙紐線進行了相關性質的探究，得到下列結論，其中正確的是（ ）
A．曲線過原點
B．關于原點中心對稱且關于坐標軸成軸對稱
C．方程為 SKIPIF 1 < 0
D．曲線上任意點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
【解析】設 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ，
化簡得到： SKIPIF 1 < 0 ，故C正確；
曲線過原點，A正確；關于原點中心對稱且關于坐標軸成軸對稱，B正確；
驗證知 SKIPIF 1 < 0 在曲線上，故D錯誤.
故選：ABC.
11．已知曲線C的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，集合 SKIPIF 1 < 0 ，若對于任意的 SKIPIF 1 < 0 ，都存在 SKIPIF 1 < 0 ，使得 SKIPIF 1 < 0 成立，則稱曲線C為Σ曲線.下列方程所表示的曲線中，是Σ曲線的有（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【解析】A： SKIPIF 1 < 0 的圖象既關于x軸對稱，也關于y軸對稱，且圖象是封閉圖形.所以對于任意的點 SKIPIF 1 < 0 ，存在著點Q（x2，y2）使得 SKIPIF 1 < 0 ，所以滿足；
B： SKIPIF 1 < 0 的圖象是雙曲線，且雙曲線的漸近線斜率為±1，所以漸近線將平面分為四個夾角為90°的區(qū)域，當P，Q在雙曲線同一支上，此時 SKIPIF 1 < 0 ，當P，Q不在雙曲線同一支上，此時 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 不滿足；
C： SKIPIF 1 < 0 的圖象是焦點在x軸上的拋物線，且關于x軸對稱，設P為拋物線上一點，過O點作OP的垂線，則垂線一定與拋物線交于Q點，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
D：取P（0，1），若 SKIPIF 1 < 0 ，則有 SKIPIF 1 < 0 顯然不成立，所以此時 SKIPIF 1 < 0 不成立，
故選：AC
12．中國結是一種手工編織工藝品，因為其外觀對稱精致，可以代表漢族悠久的歷史，符合中國傳統(tǒng)裝飾的習俗和審美觀念，故命名為中國結.中國結的意義在于它所顯示的情致與智慧正是漢族古老文明中的一個側面，也是數(shù)學奧秘的游戲呈現(xiàn).它有著復雜曼妙的曲線，卻可以還原成最單純的二維線條.其中的八字結對應著數(shù)學曲線中的雙紐線.曲線 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 是雙紐線，則下列結論正確的是（ ）
A．曲線 SKIPIF 1 < 0 的圖象關于原點對稱
B．曲線 SKIPIF 1 < 0 經(jīng)過5個整點（橫、縱坐標均為整數(shù)的點）
C．曲線 SKIPIF 1 < 0 上任意一點到坐標原點 SKIPIF 1 < 0 的距離都不超過3
D．若直線 SKIPIF 1 < 0 與曲線 SKIPIF 1 < 0 只有一個交點，則實數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍為 SKIPIF 1 < 0
【解析】把 SKIPIF 1 < 0 代入 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以曲線 SKIPIF 1 < 0 的圖象關于原點對稱，故A正確；
令 SKIPIF 1 < 0 解得 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ，即曲線經(jīng)過 SKIPIF 1 < 0 ，結合圖象， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
因此結合圖象曲線 SKIPIF 1 < 0 只能經(jīng)過3個整點， SKIPIF 1 < 0 ，故B錯誤；
SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以曲線 SKIPIF 1 < 0 上任意一點到坐標原點 SKIPIF 1 < 0 的距離 SKIPIF 1 < 0 ，即都不超過3，故 C正確；
直線 SKIPIF 1 < 0 與曲線 SKIPIF 1 < 0 一定有公共點 SKIPIF 1 < 0 ，
若直線 SKIPIF 1 < 0 與曲線 SKIPIF 1 < 0 只有一個交點，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，整理得 SKIPIF 1 < 0 無解，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故D正確.
故選：ACD.
三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.
13．古希臘數(shù)學家阿基米德利用“逼近法”得到橢圓的面積除以圓周率等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積，已知橢圓C的面積為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 分別是橢圓C的兩個焦點，過 SKIPIF 1 < 0 的直線交橢圓C于A，B兩點，若 SKIPIF 1 < 0 的周長為8，則橢圓C的離心率為 ．
【解析】由題意可知： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 .
14．定義：點 SKIPIF 1 < 0 為曲線 SKIPIF 1 < 0 外的一點， SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 上的兩個動點，則 SKIPIF 1 < 0 取最大值時， SKIPIF 1 < 0 叫點 SKIPIF 1 < 0 對曲線 SKIPIF 1 < 0 的張角.已知點 SKIPIF 1 < 0 為拋物線 SKIPIF 1 < 0 上的動點，設 SKIPIF 1 < 0 對圓 SKIPIF 1 < 0 的張角為 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為 .
【解析】如圖， SKIPIF 1 < 0 ，
要使 SKIPIF 1 < 0 最小，則 SKIPIF 1 < 0 最大，即需 SKIPIF 1 < 0 最小.
設 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
∴當 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
此時 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .
15．在平面直角坐標系xOy中，點M不與原點О重合，稱射線OM與 SKIPIF 1 < 0 的交點N為點M的“中心投影點”，曲線 SKIPIF 1 < 0 上所有點的“中心投影點”構成的曲線長度是
【解析】曲線 SKIPIF 1 < 0 的漸近線方程為： SKIPIF 1 < 0 ，設漸近線與圓 SKIPIF 1 < 0 的交點分別為 SKIPIF 1 < 0 ,如下圖：則曲線 SKIPIF 1 < 0 上所有點的“中心投影點”構成的曲線為圓弧 SKIPIF 1 < 0
由題意 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 ，
16．在平面直角坐標系中， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，若在曲線C上存在一點P，使得∠APB為鈍角，則稱曲線上存在“鈍點”，下列曲線中，有“鈍點”的曲線為 ．（填序號）
① SKIPIF 1 < 0 ；② SKIPIF 1 < 0 ；③ SKIPIF 1 < 0 ；④ SKIPIF 1 < 0 ；⑤ SKIPIF 1 < 0 ．
【解析】設點 SKIPIF 1 < 0 的坐標為 SKIPIF 1 < 0 ，若∠APB為鈍角，則 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 不共線，所以 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
化簡可得 SKIPIF 1 < 0 ，反之若 SKIPIF 1 < 0 ，則∠APB為鈍角，
對于曲線 SKIPIF 1 < 0 ，取曲線上的點 SKIPIF 1 < 0 ，因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 為鈍角，
故曲線 SKIPIF 1 < 0 為有“鈍點”的曲線；
對于曲線 SKIPIF 1 < 0 ，若曲線上的點 SKIPIF 1 < 0 為“鈍點”，
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，矛盾
所以曲線 SKIPIF 1 < 0 不是有“鈍點”的曲線；
對于曲線 SKIPIF 1 < 0 ，若曲線上點 SKIPIF 1 < 0 為“鈍點”，
則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，矛盾
所以曲線 SKIPIF 1 < 0 不是有“鈍點”的曲線；
對于曲線 SKIPIF 1 < 0 ，取曲線上的點 SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 為鈍角，
故曲線 SKIPIF 1 < 0 為有“鈍點”的曲線；
對于曲線 SKIPIF 1 < 0 ，取曲線上的點 SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 為鈍角，故曲線 SKIPIF 1 < 0 為有“鈍點”的曲線.
所以曲線①④⑤為有“鈍點”的曲線.
故答案為：①④⑤.
四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．
17．我們把具有公共焦點、公共對稱軸的兩段圓錐曲線弧合成的封閉曲線稱為“盾圓”．
(1)設橢圓 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 與雙曲線 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 有相同的焦點 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，M是橢圓 SKIPIF 1 < 0 與雙曲線 SKIPIF 1 < 0 的公共點，且 SKIPIF 1 < 0 的周長為6，求橢圓 SKIPIF 1 < 0 的方程；
(2)如圖，已知“盾圓”D的方程為 SKIPIF 1 < 0 設“盾圓”D上的任意一點M到 SKIPIF 1 < 0 的距離為 SKIPIF 1 < 0 ，M到直線 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 的距離為 SKIPIF 1 < 0 ，求證： SKIPIF 1 < 0 為定值．
【解析】（1）設橢圓的半焦距為 SKIPIF 1 < 0 ，因為 SKIPIF 1 < 0 的周長為6，所以a＋c＝3，
因為橢圓 SKIPIF 1 < 0 與雙曲線 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 有相同的焦點，所以c＝1，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．所以橢圓 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）設“盾圓”D上的任意一點M的坐標為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
當 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；
當 SKIPIF 1 < 0 時， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
所以 SKIPIF 1 < 0 為定值．
18．焦距為2c的橢圓 SKIPIF 1 < 0 （a＞b＞0），如果滿足“2b=a+c”，則稱此橢圓為“等差橢圓”．
(1)如果橢圓 SKIPIF 1 < 0 （a＞b＞0）是“等差橢圓”，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)對于焦距為12的“等差橢圓”，點A為橢圓短軸的上頂點，P為橢圓上異于A點的任一點，Q為P關于原點O的對稱點（Q也異于A），直線AP、AQ分別與x軸交于M、N兩點，判斷以線段MN為直徑的圓是否過定點？說明理由．
【解析】（1）因為橢圓 SKIPIF 1 < 0 （a＞b＞0）是“等差橢圓”，所以2b=a+c，
所以c=2b﹣a，又c2=a2﹣b2，所以（2b﹣a）2=a2﹣b2，化簡得 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）過定點（0，±10），理由如下：
由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
橢圓方程為： SKIPIF 1 < 0 ，所以A（0，8），設P（x0，y0）（x0≠0），則Q（﹣x0，﹣y0），
所以直線AP的方程為： SKIPIF 1 < 0 ，令y=0，得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以以MN為直徑的圓的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
結合 SKIPIF 1 < 0 ，化簡得 SKIPIF 1 < 0 ，令x=0，得y=±10，所以該圓恒過定點（0，±10）．
19．已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 ： SKIPIF 1 < 0 ，點 SKIPIF 1 < 0 為橢圓短軸的上端點， SKIPIF 1 < 0 為橢圓上異于 SKIPIF 1 < 0 點的任一點，若 SKIPIF 1 < 0 點到 SKIPIF 1 < 0 點距離的最大值僅在 SKIPIF 1 < 0 點為短軸的另一端點時取到，則稱此橢圓為“圓橢圓”.
（1）若 SKIPIF 1 < 0 ，判斷橢圓 SKIPIF 1 < 0 是否為“圓橢圓”；
（2）若橢圓 SKIPIF 1 < 0 是“圓橢圓”，求 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍.
【解析】（1）由題意： SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
設 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
二次函數(shù)開口向下，對稱軸 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 上單調遞減，
∴ SKIPIF 1 < 0 時函數(shù)值最大，此時 SKIPIF 1 < 0 為橢圓的短軸的另一個端點，∴橢圓是“圓橢圓”；
（2）由（1）：橢圓方程： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
設 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴二次項系數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，函數(shù)開口向下，由題意得，當且僅當 SKIPIF 1 < 0 時函數(shù)值達到最大，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，
綜上， SKIPIF 1 < 0 的范圍為 SKIPIF 1 < 0 .
20．中國結是一種手工編制工藝品，因其外觀對稱精致，符合中國傳統(tǒng)裝飾的審美觀念，廣受中國人喜愛. 它有著復雜奇妙的曲線，卻可以還原成單純的二維線條，其中的“八字結”對應著數(shù)學曲線中的伯努利雙紐線. 在 SKIPIF 1 < 0 平面上，我們把與定點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 距離之積等于 SKIPIF 1 < 0 的動點的軌跡稱為伯努利雙紐線， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為該曲線的兩個焦點. 數(shù)學家雅各布?伯努利曾將該曲線作為橢圓的一種類比開展研究. 已知曲線 SKIPIF 1 < 0 是一條伯努利雙紐線.
(1)求曲線C的焦點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的坐標；
(2)試判斷曲線C上是否存在兩個不同的點A，B（異于坐標原點O），使得以AB為直徑的圓過坐標原點O.如果存在，求出A，B坐標；如果不存在，請說明理由.
【解析】（1）方法一：設焦點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
曲線 SKIPIF 1 < 0 與x軸正半軸交于點 SKIPIF 1 < 0 ，
由題意知 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因此 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
方法二：設焦點 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，由題意知 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
整理得 SKIPIF 1 < 0 ，于是 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .因此， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
（2）假設曲線C上存在兩點A，B，使得以AB為直徑的圓過坐標原點O，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由題意知直線OA，OB斜率均存在，不妨設直線OA的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，直線OB的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
將直線OA的方程與曲線C聯(lián)立，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .
解得 SKIPIF 1 < 0 ，同理 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 不可能成立，于是假設不成立，
即曲線C上不存在兩點A，B，使得以AB為直徑的圓過坐標原點O.
21．定義：一般地，當 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 時，我們把方程 SKIPIF 1 < 0 表示的橢圓 SKIPIF 1 < 0 稱為橢圓 SKIPIF 1 < 0 的相似橢圓．已知橢圓 SKIPIF 1 < 0 ，橢圓 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ）是橢圓 SKIPIF 1 < 0 的相似橢圓，點 SKIPIF 1 < 0 為橢圓 SKIPIF 1 < 0 上異于其左、右頂點 SKIPIF 1 < 0 的任意一點．
(1)當 SKIPIF 1 < 0 時，若與橢圓 SKIPIF 1 < 0 有且只有一個公共點的直線 SKIPIF 1 < 0 恰好相交于點 SKIPIF 1 < 0 ，直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率分別為 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值；
(2)當 SKIPIF 1 < 0 （e為橢圓 SKIPIF 1 < 0 的離心率）時，設直線 SKIPIF 1 < 0 與橢圓 SKIPIF 1 < 0 交于點 SKIPIF 1 < 0 ，直線 SKIPIF 1 < 0 與橢圓 SKIPIF 1 < 0 交于點 SKIPIF 1 < 0 ，求 SKIPIF 1 < 0 的值．
【解析】（1）設 SKIPIF 1 < 0 ，則直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
記 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
將其代入橢圓 SKIPIF 1 < 0 的方程，消去 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
因為直線 SKIPIF 1 < 0 與橢圓 SKIPIF 1 < 0 有且只有一個公共點，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
將 SKIPIF 1 < 0 代入上式，整理得 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 為關于 SKIPIF 1 < 0 的方程 SKIPIF 1 < 0 的兩根，所以， SKIPIF 1 < 0 ．
又點 SKIPIF 1 < 0 在橢圓 SKIPIF 1 < 0 上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由橢圓 SKIPIF 1 < 0 ，得其離心率 SKIPIF 1 < 0 ，
所以當 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時，橢圓 SKIPIF 1 < 0 的標準方程為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，恰好為橢圓 SKIPIF 1 < 0 的左、右焦點，
易知直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率均存在且不為 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因為 SKIPIF 1 < 0 在橢圓 SKIPIF 1 < 0 上，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
設直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率為 SKIPIF 1 < 0 ，則直線 SKIPIF 1 < 0 的斜率為 SKIPIF 1 < 0 ，所以直線 SKIPIF 1 < 0 的方程為 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
設 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
同理可得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
22．已知曲線 SKIPIF 1 < 0 ，當 SKIPIF 1 < 0 變化時得到一系列的橢圓，我們把它稱為“ SKIPIF 1 < 0 橢圓群”．
(1)求“2-1橢圓群”中橢圓的離心率；
(2)若“ SKIPIF 1 < 0 橢圓群”中的兩個橢圓 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 對應的t分別為 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則稱 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 為“和諧橢圓對”．已知 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 為“和諧橢圓對”，P是 SKIPIF 1 < 0 上的任意一點，過點P作 SKIPIF 1 < 0 的切線交 SKIPIF 1 < 0 于A、B兩點，Q為 SKIPIF 1 < 0 上異于A、B的任意一點，且滿足 SKIPIF 1 < 0 ，問： SKIPIF 1 < 0 是否為定值？若為定值，求出該定值；否則，說明理由．
【解析】（1）由題意可知：“ SKIPIF 1 < 0 橢圓群”的方程為： SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．
（2）由題意得， SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 ，
①當直線 SKIPIF 1 < 0 斜率不存在時，直線 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
代入 SKIPIF 1 < 0 中，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ；若 SKIPIF 1 < 0 ，同理可得 SKIPIF 1 < 0 ．
②當直線 SKIPIF 1 < 0 斜率存在時，設直線 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，
即： SKIPIF 1 < 0 ．∴ SKIPIF 1 < 0 ，
化簡得： SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 可得： SKIPIF 1 < 0 ，
即： SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
因為點Q在橢圓 SKIPIF 1 < 0 上，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
整理，得 SKIPIF 1 < 0 ，
又∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上，∴ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 而： SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
綜上所述， SKIPIF 1 < 0 為定值，且 SKIPIF 1 < 0 ．

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