TOC \ "1-1" \h \u \l "_Tc22736" 題型01三角函數(shù)單調(diào)性 PAGEREF _Tc22736 \h 1
\l "_Tc19078" 題型02 求周期 PAGEREF _Tc19078 \h 3
\l "_Tc11553" 題型03 非同名函數(shù)平移 PAGEREF _Tc11553 \h 6
\l "_Tc22024" 題型04 對(duì)稱(chēng)軸最值應(yīng)用 PAGEREF _Tc22024 \h 8
\l "_Tc16732" 題型05 對(duì)稱(chēng)中心最值應(yīng)用 PAGEREF _Tc16732 \h 11
\l "_Tc1210" 題型06 輔助角最值 PAGEREF _Tc1210 \h 14
\l "_Tc17473" 題型07 正余弦換元型最值 PAGEREF _Tc17473 \h 17
\l "_Tc23483" 題型08 一元二次型換元最值 PAGEREF _Tc23483 \h 20
\l "_Tc31308" 題型09 分式型最值 PAGEREF _Tc31308 \h 21
\l "_Tc31241" 題型10 最值型綜合 PAGEREF _Tc31241 \h 23
\l "_Tc2355" 題型11 恒等變形：求角 PAGEREF _Tc2355 \h 25
\l "_Tc3720" 題型12恒等變形：拆角求值（分式型） PAGEREF _Tc3720 \h 27
\l "_Tc3133" 題型13 恒等變形：拆角求值（復(fù)合型） PAGEREF _Tc3133 \h 29
\l "_Tc14193" 題型14 恒等變形：拆角求值（正切型對(duì)偶） PAGEREF _Tc14193 \h 31
\l "_Tc8334" 高考練場(chǎng) PAGEREF _Tc8334 \h 33

題型01三角函數(shù)單調(diào)性
【解題攻略】
【典例1-1】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，則使得 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 都單調(diào)遞增的一個(gè)區(qū)間是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，判斷各選項(xiàng)是否正確.
【詳解】當(dāng) SKIPIF 1 < 0 從 SKIPIF 1 < 0 增加到 SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 從0遞減到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 從 SKIPIF 1 < 0 遞增到1，
所以 SKIPIF 1 < 0 從 SKIPIF 1 < 0 遞減到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 從 SKIPIF 1 < 0 遞減到 SKIPIF 1 < 0 ，A錯(cuò)誤；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 從 SKIPIF 1 < 0 增加到 SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 從 SKIPIF 1 < 0 遞減到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 從1遞減到 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 從 SKIPIF 1 < 0 遞增到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 從 SKIPIF 1 < 0 遞減到 SKIPIF 1 < 0 ，B錯(cuò)誤；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 從 SKIPIF 1 < 0 增加到 SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 從 SKIPIF 1 < 0 遞減到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 從 SKIPIF 1 < 0 遞減到 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 從 SKIPIF 1 < 0 遞增到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 從 SKIPIF 1 < 0 遞減到 SKIPIF 1 < 0 ，C錯(cuò)誤；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 從 SKIPIF 1 < 0 增加到 SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 從-1遞增到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 從 SKIPIF 1 < 0 遞減到0，
所以 SKIPIF 1 < 0 從 SKIPIF 1 < 0 遞增到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 從 SKIPIF 1 < 0 遞增到 SKIPIF 1 < 0 ，D正確；
故選：D
【典例1-2】已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，則f（x）（ ）
A．在（0， SKIPIF 1 < 0 ）單調(diào)遞減B．在（0，π）單調(diào)遞增
C．在（— SKIPIF 1 < 0 ，0）單調(diào)遞減D．在（— SKIPIF 1 < 0 ，0）單調(diào)遞增
【答案】D
【分析】先用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)得到 SKIPIF 1 < 0 ，再將選項(xiàng)代入檢驗(yàn)，求出正確答案.
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 ，
故當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 不單調(diào)，AB錯(cuò)誤；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增，
故D正確故選：D
【變式1-1】（2022上·福建莆田·高三?？迹┖瘮?shù) SKIPIF 1 < 0 的單調(diào)遞增區(qū)間為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】先換元,求定義域再結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,最后根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求解即可.
【詳解】設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞增，取 SKIPIF 1 < 0 單調(diào)增的部分，
所以可得： SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 答案：A.
【變式1-2】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）函數(shù) SKIPIF 1 < 0 在下列某個(gè)區(qū)間上單調(diào)遞增，這個(gè)區(qū)間是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】由二倍角公式結(jié)合輔助角公式化簡(jiǎn)可得 SKIPIF 1 < 0 的表達(dá)式，求出其單調(diào)增區(qū)間，結(jié)合選項(xiàng)，即可判斷出答案.
【詳解】∵ SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 的單調(diào)遞增區(qū)間為 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，
∴函數(shù) SKIPIF 1 < 0 在區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增.故選：A
【變式1-3】（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考二模）“ SKIPIF 1 < 0 ”是“函數(shù) SKIPIF 1 < 0 在區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】A
【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性和參數(shù)范圍即可求解.
【詳解】若函數(shù) SKIPIF 1 < 0 區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增，
則令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
結(jié)合 SKIPIF 1 < 0 是區(qū)間，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
“ SKIPIF 1 < 0 ”是“ SKIPIF 1 < 0 ”的充分不必要條件,故選：A.
.
題型02 求周期
【解題攻略】
【典例1-1】（2023下·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期（ ）
A．與 SKIPIF 1 < 0 有關(guān)，且與 SKIPIF 1 < 0 有關(guān)B．與 SKIPIF 1 < 0 有關(guān)，但與 SKIPIF 1 < 0 無(wú)關(guān)
C．與 SKIPIF 1 < 0 無(wú)關(guān)，且與 SKIPIF 1 < 0 無(wú)關(guān)D．與 SKIPIF 1 < 0 無(wú)關(guān)，但與 SKIPIF 1 < 0 有關(guān)
【答案】D
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的周期性，結(jié)合周期成倍數(shù)關(guān)系的兩個(gè)函數(shù)之和，其周期為這兩個(gè)函數(shù)的周期的最小公倍數(shù)這一結(jié)論，解答即可.
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 ，
對(duì)于 SKIPIF 1 < 0 ，其最小正周期為 SKIPIF 1 < 0 ，對(duì)于 SKIPIF 1 < 0 ，其最小正周期為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以對(duì)于任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的最小正周期都為 SKIPIF 1 < 0 ，
對(duì)于 SKIPIF 1 < 0 ，其最小正周期為 SKIPIF 1 < 0 ，
故當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，其最小正周期為 SKIPIF 1 < 0 ；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，其最小正周期為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小正周期與 SKIPIF 1 < 0 無(wú)關(guān)，但與 SKIPIF 1 < 0 有關(guān).
故選：D.
【典例1-2】（2023上·福建廈門(mén)·高三福建省廈門(mén)第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）以下函數(shù)中最小正周期為 SKIPIF 1 < 0 的個(gè)數(shù)是（ ）
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【分析】對(duì)于A，直接畫(huà)出函數(shù)圖象驗(yàn)證即可；對(duì)于BCD，舉出反例推翻即可.
【詳解】畫(huà)出函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象如圖所示：

由圖可知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的最小正周期為 SKIPIF 1 < 0 ，滿(mǎn)足題意；
對(duì)于 SKIPIF 1 < 0 而言， SKIPIF 1 < 0 ，即函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的最小正周期不是 SKIPIF 1 < 0 ，不滿(mǎn)足題意；
對(duì)于 SKIPIF 1 < 0 而言， SKIPIF 1 < 0 ，即函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的最小正周期不是 SKIPIF 1 < 0 ，不滿(mǎn)足題意；
對(duì)于 SKIPIF 1 < 0 而言， SKIPIF 1 < 0 ，即函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的最小正周期不是 SKIPIF 1 < 0 ，不滿(mǎn)足題意；綜上所述，滿(mǎn)足題意的函數(shù)的個(gè)數(shù)有1個(gè).故選：A.
【變式1-1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）下列函數(shù)中是奇函數(shù)，且最小正周期是 SKIPIF 1 < 0 的函數(shù)是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】確定 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為偶函數(shù)，排除，驗(yàn)證D選項(xiàng)滿(mǎn)足條件，得到答案.
【詳解】對(duì)選項(xiàng)A： SKIPIF 1 < 0 ，函數(shù)定義域?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
函數(shù)為偶函數(shù)，排除；
對(duì)選項(xiàng)B： SKIPIF 1 < 0 ，函數(shù)定義域?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
函數(shù)為偶函數(shù)，排除；
對(duì)選項(xiàng)C： SKIPIF 1 < 0 ，函數(shù)定義域?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
函數(shù)為偶函數(shù)，排除；
對(duì)選項(xiàng)D： SKIPIF 1 < 0 ，函數(shù)定義域?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，函數(shù)為奇函數(shù)， SKIPIF 1 < 0 ，滿(mǎn)足條件；
故選：D.
【變式1-2】（2023·廣東·統(tǒng)考二模）已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的定義域?yàn)镽，則“ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為周期函數(shù)”是“ SKIPIF 1 < 0 為周期函數(shù)”的（ ）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
【答案】D
【分析】根據(jù)通過(guò)反例和周期的性質(zhì)判斷即可.
【詳解】?jī)蓚€(gè)周期函數(shù)之和是否為周期函數(shù)，取決于兩個(gè)函數(shù)的周期的比是否為有理數(shù)，若為有理數(shù)，則有周期，若不為有理數(shù)，則無(wú)周期.
SKIPIF 1 < 0 的周期為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的周期為 SKIPIF 1 < 0 ，則當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，只有周期的整數(shù)倍才是函數(shù)的周期，則不是充分條件；
若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 為周期函數(shù)，但 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為周期函數(shù)不正確，故不是必要條件；因此為不充分不必要條件.故選：D
【變式1-3】（2023上·江蘇·高三專(zhuān)題練習(xí)）在函數(shù)① SKIPIF 1 < 0 ，② SKIPIF 1 < 0 ，③ SKIPIF 1 < 0 ，④ SKIPIF 1 < 0 中，最小正周期為π的函數(shù)有（ ）
A．①③B．①④
C．③④D．②③
【答案】D
【分析】根據(jù)函數(shù)圖象的翻折變換和周期公式可得.
【詳解】①由余弦函數(shù)的奇偶性可知， SKIPIF 1 < 0 ，最小值周期為 SKIPIF 1 < 0 ；
②由翻折變換可知，函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象如圖：
由圖知 SKIPIF 1 < 0 的最小值周期為 SKIPIF 1 < 0 ；
③由周期公式得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值周期為 SKIPIF 1 < 0 ；
④ SKIPIF 1 < 0 的最小值周期為 SKIPIF 1 < 0 .
故選：D
題型03 非同名函數(shù)平移
【解題攻略】
【典例1-1】（2023秋·山東·高三山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谀┮玫胶瘮?shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象，只需將函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象（ ）
A．先向右平移 SKIPIF 1 < 0 個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度
B．先向左平移 SKIPIF 1 < 0 個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度
C．先向右平移 SKIPIF 1 < 0 個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度
D．先向左平移 SKIPIF 1 < 0 個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度
【答案】B
【解析】根據(jù) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 可判斷.
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 先向左平移 SKIPIF 1 < 0 個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移1個(gè)單位長(zhǎng)度可得到 SKIPIF 1 < 0 的圖象.
故選：B.
【典例1-2】（2021春·河南許昌·高三許昌實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？迹┮玫胶瘮?shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象，只需將函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象（ ）
A．向左平移 SKIPIF 1 < 0 個(gè)單位長(zhǎng)度B．向右平移 SKIPIF 1 < 0 個(gè)單位長(zhǎng)度
C．向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度D．向右平移1個(gè)單位長(zhǎng)度
【答案】C
【分析】把 SKIPIF 1 < 0 化成 SKIPIF 1 < 0 可得平移的發(fā)現(xiàn)及其長(zhǎng)度.
【詳解】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
所以要得到函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象，
只需把函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象上所有的點(diǎn)向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度.
故選：C.
【變式1-1】（2020春·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）要得到函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象，只需將函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象（ ）
A．向左平移 SKIPIF 1 < 0 個(gè)單位B．向右平移 SKIPIF 1 < 0 個(gè)單位
C．向左平移 SKIPIF 1 < 0 個(gè)單位D．向右平栘 SKIPIF 1 < 0 個(gè)單位
【答案】C
【解析】由題意利用函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象變換規(guī)律，得出結(jié)論．
【詳解】解：要得到函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象，
只需將函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象向左平移 SKIPIF 1 < 0 個(gè)單位即可，
故選：C．
【變式1-2】（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）為得到函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象，只需將函數(shù) SKIPIF 1 < 0 圖象上所有的點(diǎn)（ ）
A．向左平移 SKIPIF 1 < 0 個(gè)單位長(zhǎng)度B．向右平移 SKIPIF 1 < 0 個(gè)單位長(zhǎng)度
C．向左平移 SKIPIF 1 < 0 個(gè)單位長(zhǎng)度D．向右平移 SKIPIF 1 < 0 個(gè)單位長(zhǎng)度
【答案】D
【分析】先得到 SKIPIF 1 < 0 ，再利用平移變換求解.
【詳解】解：因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
將其圖象上所有的點(diǎn)向右平移 SKIPIF 1 < 0 個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象.A，B，C都不滿(mǎn)足.故選：D
【變式1-3】（2022·河南鶴壁·鶴壁高中?？寄M預(yù)測(cè)）已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，為了得到函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象只需將y=f（x）的圖象（ ）
A．向右平移 SKIPIF 1 < 0 個(gè)單位B．向右平移 SKIPIF 1 < 0 個(gè)單位
C．向左平移 SKIPIF 1 < 0 個(gè)單位D．向左平移 SKIPIF 1 < 0 個(gè)單位
【答案】C
【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 即可得到平移方法.
【詳解】函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以為了得到函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象只需將y=f（x）的圖象向左平移 SKIPIF 1 < 0 個(gè)單位.
故選：C
題型04 對(duì)稱(chēng)軸最值應(yīng)用
【解題攻略】
【典例1-1】已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的最大值為 SKIPIF 1 < 0 ，若存在實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，使得對(duì)任意實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，總有 SKIPIF 1 < 0 成立，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
湖北省荊州市沙市中學(xué)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期數(shù)學(xué)試題
【答案】B
【分析】
結(jié)合三角恒等變換求得 SKIPIF 1 < 0 的最大值和最小值，并求得 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【詳解】
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí) SKIPIF 1 < 0 取得最大值為 SKIPIF 1 < 0 .
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí) SKIPIF 1 < 0 取得最小值為 SKIPIF 1 < 0 .
依題意，存在實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，使得對(duì)任意實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，總有 SKIPIF 1 < 0 成立，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 是整數(shù)， SKIPIF 1 < 0 為奇數(shù)，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0 .
故選：B
【典例1-2】（2022屆湘贛十四校高三聯(lián)考第二次考試?yán)頂?shù)試題=）已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象向右平移 SKIPIF 1 < 0 個(gè)單位長(zhǎng)度得到 SKIPIF 1 < 0 的圖象，若 SKIPIF 1 < 0 為 SKIPIF 1 < 0 的一條對(duì)稱(chēng)軸，則 SKIPIF 1 < 0 __________．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
直接利用三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變換和平移變換得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再利用三角函數(shù)對(duì)稱(chēng)性列方程求解即可．
【詳解】
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 是 SKIPIF 1 < 0 的一條對(duì)稱(chēng)軸，
∴ SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 .故答案為 SKIPIF 1 < 0
【變式1-1】已知把函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象向右平移 SKIPIF 1 < 0 個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)一半，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象，若 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最大值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】
先化簡(jiǎn)函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，然后根據(jù)圖像的變換得函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的解析式，通過(guò)判斷得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 同時(shí)令 SKIPIF 1 < 0 取得最大值或最小值時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，再結(jié)合函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖像，即可求得 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【詳解】
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ．將圖象向右平移至 SKIPIF 1 < 0 個(gè)單位長(zhǎng)度，
再把橫坐標(biāo)縮小到原來(lái)一半，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 同時(shí)令 SKIPIF 1 < 0 取得最大值或最小值時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ．當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
根據(jù)函數(shù)的圖象可知 SKIPIF 1 < 0 的最大值為 SKIPIF 1 < 0 個(gè)周期的長(zhǎng)度，即 SKIPIF 1 < 0
故選：C.
【變式1-2】（河南省三門(mén)峽市2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期階段性檢測(cè)理科數(shù)學(xué)試題）.將函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的 SKIPIF 1 < 0 ，縱坐標(biāo)不變，再把所得的圖象向左平移 SKIPIF 1 < 0 個(gè)單位長(zhǎng)度，然后再把所得的圖象向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象，若 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最大值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】
根據(jù)三角函數(shù)平移變換,先求得 SKIPIF 1 < 0 的解析式.根據(jù) SKIPIF 1 < 0 ,可知 SKIPIF 1 < 0 ,即 SKIPIF 1 < 0 .根據(jù) SKIPIF 1 < 0 可分別求得 SKIPIF 1 < 0 的最大值和 SKIPIF 1 < 0 的最小值,即可求得 SKIPIF 1 < 0 的最大值.
【詳解】
根據(jù)平移變換將函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象上的所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的 SKIPIF 1 < 0 ,縱坐標(biāo)不變,再把所得的圖象向左平移 SKIPIF 1 < 0 個(gè)單位長(zhǎng)度,然后再把所得的圖象向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度,
可得 SKIPIF 1 < 0
由 SKIPIF 1 < 0 ,
可知 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 的最大值為 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0
則 SKIPIF 1 < 0 的最大值為 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值為 SKIPIF 1 < 0
故選:A
【變式1-3】（2021屆安徽省馬鞍山二中高三下學(xué)期4月高考模擬數(shù)學(xué)試題）將函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象向左平移 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象，若使 SKIPIF 1 < 0 成立的a、b有 SKIPIF 1 < 0 ，則下列直線(xiàn)中可以是函數(shù) SKIPIF 1 < 0 圖象的對(duì)稱(chēng)軸的是
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】
根據(jù)三角函數(shù)平移關(guān)系求出 SKIPIF 1 < 0 的解析式，結(jié)合 SKIPIF 1 < 0 成立的 SKIPIF 1 < 0 有 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 的關(guān)系，結(jié)合最小值建立方程求出 SKIPIF 1 < 0 的值即可.
解：將函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象向左平移 SKIPIF 1 < 0 （ SKIPIF 1 < 0 ）個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象，
即 SKIPIF 1 < 0 ，若 SKIPIF 1 < 0 成立，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 一個(gè)取最大值1，一個(gè)取最小值?1，不妨設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍），
即 SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸方程為 SKIPIF 1 < 0 .故選：D.
題型05 對(duì)稱(chēng)中心最值應(yīng)用
【解題攻略】
【典例1-1】（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的兩條相鄰對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為 SKIPIF 1 < 0 ，則下列點(diǎn)的坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 的對(duì)稱(chēng)中心的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根據(jù)相鄰對(duì)稱(chēng)軸之間距離可得最小正周期為 SKIPIF 1 < 0 ，由此可求得 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 解析式；利用正弦型函數(shù)對(duì)稱(chēng)中心的求法可求得對(duì)稱(chēng)中心，對(duì)比選項(xiàng)可得結(jié)果.
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 兩條相鄰對(duì)稱(chēng)軸之間的距離為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 最小正周期 SKIPIF 1 < 0 ，
解得： SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，解得： SKIPIF 1 < 0 ，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 的對(duì)稱(chēng)中心為 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為 SKIPIF 1 < 0 .
故選：C.
【典例1-2】（2022·天津南開(kāi)·二模）函數(shù) SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，其圖象的一個(gè)最低點(diǎn)是 SKIPIF 1 < 0 ，距離 SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)最近的對(duì)稱(chēng)中心為 SKIPIF 1 < 0 ，則（ ）
A． SKIPIF 1 < 0
B． SKIPIF 1 < 0 是函數(shù) SKIPIF 1 < 0 圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸
C． SKIPIF 1 < 0 時(shí)，函數(shù) SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞增
D． SKIPIF 1 < 0 的圖象向右平移 SKIPIF 1 < 0 個(gè)單位后得到 SKIPIF 1 < 0 的圖象，若 SKIPIF 1 < 0 是奇函數(shù)，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】由函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)求出 SKIPIF 1 < 0 ，由周期求出 SKIPIF 1 < 0 ，由最低點(diǎn)求出 SKIPIF 1 < 0 的值，可得函數(shù)的解析式，再利用三角函數(shù)的圖像和性質(zhì)，得出結(jié)論．
【詳解】解： SKIPIF 1 < 0 函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的圖象的一個(gè)最低點(diǎn)是 SKIPIF 1 < 0 ，
距離 SKIPIF 1 < 0 點(diǎn)最近的對(duì)稱(chēng)中心為 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，故A錯(cuò)誤；
SKIPIF 1 < 0 ，故函數(shù)關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 對(duì)稱(chēng)，故B錯(cuò)誤；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，函數(shù) SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞增，故C正確；
把 SKIPIF 1 < 0 的圖象向右平移 SKIPIF 1 < 0 個(gè)單位后得到 SKIPIF 1 < 0 的圖象，
若 SKIPIF 1 < 0 是奇函數(shù)，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 的最小值是 SKIPIF 1 < 0 ，故D錯(cuò)誤，
故選：C
【變式1-1】．（2022·四川涼山·三模（理））將函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象向左平移 SKIPIF 1 < 0 個(gè)單位，再將縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的4倍（橫坐標(biāo)不變）得到函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象，且 SKIPIF 1 < 0 的圖象上一條對(duì)稱(chēng)軸與一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心的最小距離為 SKIPIF 1 < 0 ，對(duì)于函數(shù) SKIPIF 1 < 0 有以下幾個(gè)結(jié)論：
（1） SKIPIF 1 < 0 ；
（2）它的圖象關(guān)于直線(xiàn) SKIPIF 1 < 0 對(duì)稱(chēng)；
（3）它的圖象關(guān)于點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 對(duì)稱(chēng)；
（4）若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ；
則上述結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【分析】先根據(jù)圖像平移的性質(zhì)求出 SKIPIF 1 < 0 的函數(shù)解析式，逐項(xiàng)代入分析即可.
【詳解】解：由題意得：
SKIPIF 1 < 0 ，向左平移 SKIPIF 1 < 0 個(gè)單位，再將縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)為原來(lái)的4倍（橫坐標(biāo)不變）得到函數(shù) SKIPIF 1 < 0 .
對(duì)于選項(xiàng)A：由 SKIPIF 1 < 0 的圖象上一條對(duì)稱(chēng)軸與一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心的最小距離為 SKIPIF 1 < 0 ，最小正周期 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，所以（1）錯(cuò)誤；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，代入 SKIPIF 1 < 0 可知 SKIPIF 1 < 0 ，故圖像的一條對(duì)稱(chēng)軸是 SKIPIF 1 < 0 ，故（2）正確；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，代入 SKIPIF 1 < 0 可知 SKIPIF 1 < 0 ，故圖像的一個(gè)對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是 SKIPIF 1 < 0 ，故（3）正確；
若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
因此 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的取值范圍是 SKIPIF 1 < 0 ，故（4）正確；
由上可知（2）（3）（4）正確，正確的個(gè)數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 個(gè).
故選：C
【變式1-2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）將函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象分別向左、向右各平移 SKIPIF 1 < 0 個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得的兩個(gè)圖象對(duì)稱(chēng)中心重合，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．2C．3D．6
【答案】A
【分析】根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換求得 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)函數(shù) SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的對(duì)稱(chēng)中心重合，得到 SKIPIF 1 < 0 ，即可求解.
【詳解】解：將函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象分別向左平移 SKIPIF 1 < 0 個(gè)單位長(zhǎng)度后，
可得 SKIPIF 1 < 0
將函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象分別向右各平移 SKIPIF 1 < 0 個(gè)單位長(zhǎng)度后，
可得 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)楹瘮?shù) SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 的對(duì)稱(chēng)中心重合，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0 .故選：A.
【變式1-3】（2021·安徽·六安一中高三階段練習(xí)（理））已知 SKIPIF 1 < 0 的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為 SKIPIF 1 < 0 ，把 SKIPIF 1 < 0 的圖像向右平移 SKIPIF 1 < 0 個(gè)單位后，可以得到偶函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】利用輔助角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，即可求出函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo)，再根據(jù)三角函數(shù)的平移變換規(guī)則得到 SKIPIF 1 < 0 的解析式，結(jié)合函數(shù)的奇偶性，求出 SKIPIF 1 < 0 的取值，從而計(jì)算可得；
【詳解】解：因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，把 SKIPIF 1 < 0 的圖像向右平移 SKIPIF 1 < 0 個(gè)單位得到 SKIPIF 1 < 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 為偶函數(shù)，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，所以當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí) SKIPIF 1 < 0 ；故選：D
題型06 輔助角最值
【解題攻略】
【典例1-1】（江西省上饒市（天佑中學(xué)、余干中學(xué)等）六校2021屆高三下學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0 ，則實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】
由 SKIPIF 1 < 0 可得出不等式 SKIPIF 1 < 0 對(duì)任意的 SKIPIF 1 < 0 恒成立，化簡(jiǎn)得出 SKIPIF 1 < 0 ，分 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 兩種情況討論，結(jié)合 SKIPIF 1 < 0 可求得實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍.
【詳解】
SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，
由題意可知，對(duì)任意的 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 .
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 成立；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，函數(shù) SKIPIF 1 < 0 在區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增，則 SKIPIF 1 < 0 ，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 .
綜上所述，實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是 SKIPIF 1 < 0 .故選：C.
【典例1-2】已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上的值域?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍為_(kāi)_____.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
化簡(jiǎn)得 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，再結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)可求解.
【詳解】由題意得 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 .因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 .
又當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞減，且 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
【變式1-1】.已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，周期 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且在 SKIPIF 1 < 0 處取得最大值，則使得不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立的實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的最小值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】先根據(jù)三角恒等變換和三角形函數(shù)的性質(zhì)，以及同角的三角函數(shù)的關(guān)系可得 SKIPIF 1 < 0 ，①，再根據(jù) SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，②，通過(guò)①②求出 SKIPIF 1 < 0 的值，再根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，則 SKIPIF 1 < 0 ，即可求出答案．
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 處取得最大值， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，①， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，②，
① SKIPIF 1 < 0 ②得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 （舍去），
由①得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 在第一象限， SKIPIF 1 < 0 取 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
使 SKIPIF 1 < 0 最小，則 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，若不等式 SKIPIF 1 < 0 恒成立，則 SKIPIF 1 < 0 ，故選：B
【變式1-2】（浙江省紹興市諸暨市海亮高級(jí)中學(xué)2021-2022學(xué)年高三上學(xué)期12月選考數(shù)學(xué)試題）已知當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，函數(shù) SKIPIF 1 < 0 取到最大值，則 SKIPIF 1 < 0 是（ ）
A．奇函數(shù)，在 SKIPIF 1 < 0 時(shí)取到最小值；B．偶函數(shù)，在 SKIPIF 1 < 0 時(shí)取到最小值；
C．奇函數(shù)，在 SKIPIF 1 < 0 時(shí)取到最小值；D．偶函數(shù)，在 SKIPIF 1 < 0 時(shí)取到最小值；
【答案】B
【分析】由輔助角公式可得 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù) SKIPIF 1 < 0 時(shí) SKIPIF 1 < 0 有最大值可得
SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù)奇偶性并計(jì)算 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 可得答案.
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，取 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 有最大值 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為偶函數(shù)，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故B正確，故選：B.
【變式1-3】（江蘇省淮安市淮陰中學(xué)2020屆高三下學(xué)期5月高考模擬數(shù)學(xué)試題）若存在正整數(shù)m使得關(guān)于x的方程 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有兩個(gè)不等實(shí)根，則正整數(shù)n的最小值是______．
【答案】4
【分析】化簡(jiǎn) SKIPIF 1 < 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有兩個(gè)不等實(shí)根，轉(zhuǎn)化為 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有兩個(gè)不等實(shí)根，故 SKIPIF 1 < 0 ，即可得出答案．
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 ，
其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，+
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有兩個(gè)不等實(shí)根，
SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上有兩個(gè)不等實(shí)根，
則 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
①對(duì)任意 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，恒成立．由②得 SKIPIF 1 < 0 ，存在 SKIPIF 1 < 0 ，成立，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．故答案為：4
題型07 正余弦換元型最值
【解題攻略】
【典例1-1】（2021下·上海徐匯·高三南洋中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的值域?yàn)? ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】利用換元法，令 SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)而可得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用函數(shù)的單調(diào)性即可求解.
【詳解】由 SKIPIF 1 < 0 令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，又對(duì)勾函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的單調(diào)遞減區(qū)間為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ；
單調(diào)遞增區(qū)間為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，結(jié)合對(duì)勾函數(shù)的圖象，如下：
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以函數(shù)的值域?yàn)?SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
【典例1-2】（2022·高三單元測(cè)試）函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的值域?yàn)? ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】利用 SKIPIF 1 < 0 通過(guò)換元將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為含未知量 SKIPIF 1 < 0 的函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，再解出函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的值域即為函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的值域.
【詳解】令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
又因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的值域?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
【變式1-1】已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最大值為_(kāi)__________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0 ## SKIPIF 1 < 0
【分析】設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，用換元法化為二次函數(shù)求解．
【詳解】設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ．
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
【變式1-2】（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）若函數(shù) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍為
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】化簡(jiǎn)函數(shù)f（x），根據(jù)f（x）在區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減，f′（x）≤0恒成立，由此解不等式求出a的取值范圍．
【詳解】由函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，且f(x)在區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減，
∴在區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 上,f′(x)=?sin2x+3a(csx?sinx)+2a?1≤0恒成立，∵設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，
∴當(dāng)x∈ SKIPIF 1 < 0 時(shí), SKIPIF 1 < 0 ,t∈[?1,1]，即?1≤csx?sinx≤1，令t∈[?1,1],sin2x=1?t2∈[0,1]，
原式等價(jià)于t2+3at+2a?2≤0，當(dāng)t∈[?1,1]時(shí)恒成立，令g(t)=t2+3at+2a?2，
只需滿(mǎn)足 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，綜上，可得實(shí)數(shù)a的取值范圍是 SKIPIF 1 < 0 ，故選：A.
【變式1-3】（河南省信陽(yáng)高級(jí)中學(xué)2020-2021學(xué)年高三數(shù)學(xué)試題）已知實(shí)數(shù)，若函數(shù)的最大值為，則a的值為_(kāi)___________.
【答案】
【分析】
利用換元法，令，結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，將函數(shù) SKIPIF 1 < 0 化為關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的函數(shù)，然后分類(lèi)求最值.
【詳解】設(shè)，則，則，
，，
對(duì)稱(chēng)軸方程為，當(dāng)時(shí)，，解得（舍）或（舍）；
當(dāng)時(shí)，，
解得.故答案為：.
題型08 一元二次型換元最值
【典例1-1】（2022·高三單元測(cè)試）若 SKIPIF 1 < 0 ，則函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的最大值與最小值之和為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】利用誘導(dǎo)公式可化簡(jiǎn)函數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)余弦型函數(shù)值域的求法可求得 SKIPIF 1 < 0 ，結(jié)合二次函數(shù)最值的求法可求得 SKIPIF 1 < 0 的最大值和最小值，加和即可求得結(jié)果.
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ；當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ；
SKIPIF 1 < 0 .故選：C.
【典例1-2】（2021上·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？迹┖瘮?shù) SKIPIF 1 < 0 的最小值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【解析】用二倍角公式及誘導(dǎo)公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，再結(jié)合二次函數(shù)最值即可求得最值.
【詳解】由 SKIPIF 1 < 0
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 所以當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí) SKIPIF 1 < 0
故選：B
【變式1-1】（2023下·上海長(zhǎng)寧·高三統(tǒng)考）已知關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的不等式 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 內(nèi)恒成立，則實(shí)數(shù) SKIPIF 1 < 0 的取值范圍是 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】分離參數(shù)后，求函數(shù)的最大值即可.
【詳解】由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，因 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 上恒成立，設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，
則二次函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的對(duì)稱(chēng)軸為 SKIPIF 1 < 0 ，
因其開(kāi)口向下，所以 SKIPIF 1 < 0 時(shí)函數(shù) SKIPIF 1 < 0 單調(diào)遞增，所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，故答案為： SKIPIF 1 < 0
【變式1-2】（2021下·北京·高三?？迹┮阎瘮?shù) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 的最大值為
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【分析】將 SKIPIF 1 < 0 代入解析式即可求 SKIPIF 1 < 0 的值；利用二倍角公式化簡(jiǎn)，令 SKIPIF 1 < 0 ，轉(zhuǎn)化為關(guān)于 SKIPIF 1 < 0 的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求最值.
【詳解】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，對(duì)稱(chēng)軸為 SKIPIF 1 < 0 ，開(kāi)口向上，
所以當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí) SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最大值為 SKIPIF 1 < 0 ，故答案為： SKIPIF 1 < 0 ； SKIPIF 1 < 0 .
【變式1-3】（2021·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的最大值為 .
【答案】2
【分析】由 SKIPIF 1 < 0 ，換元令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，得函數(shù)為 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，然后利用二次函數(shù)的性質(zhì)求其最值即可
【詳解】解： SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，由于 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸為直線(xiàn) SKIPIF 1 < 0 ，且拋物線(xiàn)開(kāi)口向上，
所以當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 取得最大值 SKIPIF 1 < 0 ，
所以函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的最大值為2，
故答案為：2
題型09 分式型最值
【解題攻略】
【典例1-1】（2022上·浙江紹興·高三諸暨中學(xué)階段練習(xí)）函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的最大值是 ，最小值為 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
【詳解】∵ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，變形可得 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
即 SKIPIF 1 < 0 解得： SKIPIF 1 < 0
故答案為最大值是 SKIPIF 1 < 0 ， 最小值為 SKIPIF 1 < 0
【典例1-2】（2023上·新疆克拉瑪依·高三?？茧A段練習(xí)）函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的值域?yàn)?
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】將函數(shù)式化簡(jiǎn)，利用正弦函數(shù)的有界性求出函數(shù)的值域；
【詳解】由 SKIPIF 1 < 0 ，得定義域?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，
即有 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
故函數(shù)的值域?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ．
【變式1-1】（2022上·上海徐匯·高三上海市南洋模范中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的值域?yàn)? .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】化簡(jiǎn)得到 SKIPIF 1 < 0 ，計(jì)算 SKIPIF 1 < 0 故 SKIPIF 1 < 0 得到答案.
【詳解】 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 故 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
故答案為： SKIPIF 1 < 0
【變式1-2】（2020下·安徽六安·高三六安一中校考階段練習(xí)）函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的值域?yàn)? ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【解析】將函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，變形為 SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù) SKIPIF 1 < 0 求解.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù) SKIPIF 1 < 0 所以 SKIPIF 1 < 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0
【變式1-3】函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的最小值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】對(duì) SKIPIF 1 < 0 變形，得到 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，利用 SKIPIF 1 < 0 的幾何意義求解其取值范圍，進(jìn)而得到 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，從而求出 SKIPIF 1 < 0 的最小值.
【詳解】
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí),因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的含義是點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 與單位圓上的點(diǎn) SKIPIF 1 < 0 的連線(xiàn)的斜率，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，綜合得， SKIPIF 1 < 0 ， 故最小值為： SKIPIF 1 < 0 .
故選：B.
題型10 最值型綜合
【典例1-1】（2021·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為銳角， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】由已知結(jié)合誘導(dǎo)公式及兩角和的正切公式，先進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后代入到所求式子后，結(jié)合基本不等式即可求出最值，即可得出答案．
【詳解】解：∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)取等號(hào)，所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0 .故選：A.
【典例1-2】已知銳角 SKIPIF 1 < 0 滿(mǎn)足 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為_(kāi)___．
【答案】8
【分析】根據(jù)兩角差的余弦公式，可得 SKIPIF 1 < 0 ，令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)基本不等式“1”的活用，計(jì)算化簡(jiǎn)，即可得答案.
【詳解】因?yàn)殇J角 SKIPIF 1 < 0 滿(mǎn)足 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，由題意得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)取等號(hào)，此時(shí) SKIPIF 1 < 0 的最小值 SKIPIF 1 < 0 ．故答案為：8
【變式1-1】若 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】利用 SKIPIF 1 < 0 ，及基本不等式中“1”的妙用即可求解.
【詳解】解：∵ SKIPIF 1 < 0 ，
∴ SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)等號(hào)成立.
∴ SKIPIF 1 < 0 的取值范圍為 SKIPIF 1 < 0 .故選：B.
【變式1-2】（2022·山東·高三開(kāi)學(xué)考試）已知 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根據(jù) SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù)兩角和的正切公式可得 SKIPIF 1 < 0 ，結(jié)合基本不等式即可得出答案.
【詳解】解：因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
又因 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
解得 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 （舍去），
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)，取等號(hào)，
所以 SKIPIF 1 < 0 的最小值為 SKIPIF 1 < 0 .故選：D.
【變式1-3】已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象過(guò)點(diǎn)（0， SKIPIF 1 < 0 ），最小正周期為 SKIPIF 1 < 0 ，且最小值為－1.若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值域是 SKIPIF 1 < 0 ，則m的取值范圍是_____.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】
根據(jù)題意易求 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ，由圖象過(guò)（0， SKIPIF 1 < 0 ）， SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，從而得函數(shù)解析式，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，由余弦函數(shù)性質(zhì)及值域，可得 SKIPIF 1 < 0 ，求解即可.
【詳解】
由函數(shù)最小值為－1， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，因?yàn)樽钚≌芷跒?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，
又圖象過(guò)點(diǎn)（0， SKIPIF 1 < 0 ）,所以 SKIPIF 1 < 0 而 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，從而 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ．因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ,且 SKIPIF 1 < 0 ，
由余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)可知： SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，故填 SKIPIF 1 < 0 .
題型11 恒等變形：求角
【解題攻略】
【典例1-1】（2023上·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在△ABC中，tan A＋tan B＋tan C＝3 SKIPIF 1 < 0 ，tan2B＝tan A·tan C，則角B等于（ ）
A．30°B．45°C．120°D．60°
【答案】D
【分析】由兩角和的正切公式，結(jié)合誘導(dǎo)公式可證tan A＋tan B＋tan C＝tan Atan Btan C，再結(jié)合已知條件求得tan B＝ SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)而得解.
【詳解】由兩角和的正切公式變形得：
tan A＋tan B＝tan(A＋B)(1－tan Atan B)＝tan(180°－C)(1－tan Atan B)
＝－tan C(1－tan Atan B)＝－tan C＋tan Atan Btan C，
∴tan A＋tan B＋tan C＝－tan C＋tan Atan Btan C＋tan C＝tan Atan Btan C＝3 SKIPIF 1 < 0 .
∵tan2B＝tan Atan C，∴tan3B＝3 SKIPIF 1 < 0 ，∴tan B＝ SKIPIF 1 < 0 ，B＝60°.故選：D.
【典例1-2】（2023上·浙江杭州·高三學(xué)軍中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 =（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0
C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根據(jù)給定條件利用三角恒等變換求出 SKIPIF 1 < 0 的值，再判斷 SKIPIF 1 < 0 的范圍即可得解.
【詳解】因 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
因 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，有 SKIPIF 1 < 0 ，
于是得 SKIPIF 1 < 0 ，因此， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 .故選：C
【變式1-1】（2023上·山東·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】先對(duì)已知等式化簡(jiǎn)結(jié)合 SKIPIF 1 < 0 可求出 SKIPIF 1 < 0 ，則可求出 SKIPIF 1 < 0 ，然后對(duì) SKIPIF 1 < 0 變形化簡(jiǎn)可得 SKIPIF 1 < 0 ，從而可求出 SKIPIF 1 < 0 的值.
【詳解】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．
由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ．
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ．故選：C
【變式1-2】（2023上·山西臨汾·高三山西省臨汾市第三中學(xué)校校聯(lián)考）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】化切為弦，結(jié)合 SKIPIF 1 < 0 ，得到 SKIPIF 1 < 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，求出 SKIPIF 1 < 0 .
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 故選：C
【變式1-3】（2023上·湖南長(zhǎng)沙·高三周南中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】C
【分析】根據(jù)給定的等式，利用平方關(guān)系及差角的余弦求出 SKIPIF 1 < 0 ，再借助正弦函數(shù)的單調(diào)性求解作答.
【詳解】由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，
兩邊平方得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ，知 SKIPIF 1 < 0 ，又 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
即有 SKIPIF 1 < 0 ，因此 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0
故選：C
題型12恒等變形：拆角求值（分式型）
【解題攻略】
【典例1-1】（2021·廣西·統(tǒng)考一模） SKIPIF 1 < 0 ＝ （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【解析】先求出 SKIPIF 1 < 0 ，然后，利用 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 的值求解即可
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
令 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以， SKIPIF 1 < 0 ，
所以， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 故選：A
【典例1-2】（2022上·云南昆明·高三東川明月中學(xué)?？迹┤?SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的值為（ ）
A．1B．4C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【答案】B
【分析】依題意可得 SKIPIF 1 < 0 ，再利用輔助角公式、二倍角公式及誘導(dǎo)公式計(jì)算可得；
【詳解】解：因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ；
故選：B
【變式1-1】（2023·四川資陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)） SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．1
【答案】A
【分析】利用同角的商數(shù)關(guān)系、輔助角公式、兩角和的余弦公式及二倍角公式化簡(jiǎn)即可得答案.
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 .故選：A.
【變式1-2】（2023上·山東泰安·高三新泰市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)） SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B．1C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【答案】B
【分析】化切為弦通分變形，逆用兩角和的正弦公式與二倍角公式化簡(jiǎn)可得.
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，故選：B.
【變式1-3】（20219上·西藏山南·高三山南二中?？茧A段練習(xí)）求 SKIPIF 1 < 0 的值（ ）
A．1B．3C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】化切為弦，通分后變形，利用兩角和的正弦及余弦求解．
【詳解】解： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0
題型13 恒等變形：拆角求值（復(fù)合型）
【解題攻略】
【典例1-1】（2023上·云南昆明·高三統(tǒng)考）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】利用二倍角余弦公式可求得 SKIPIF 1 < 0 ，利用兩角和差余弦公式可依次求得 SKIPIF 1 < 0 和 SKIPIF 1 < 0 .
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 .故選：D.
【典例1-2】（2023上·陜西渭南·高三統(tǒng)考）已知 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 都是銳角, SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】根據(jù)題意判斷 SKIPIF 1 < 0 的范圍,從而求出 SKIPIF 1 < 0 的值,將 SKIPIF 1 < 0 寫(xiě)為 SKIPIF 1 < 0 ,再用兩角和與差的余弦公式代入化簡(jiǎn)即可.
【詳解】由于 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 都是銳角,則 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,
所以 SKIPIF 1 < 0 , SKIPIF 1 < 0 ,所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .故選:B
【變式1-1】（2020上·江西·高三奉新縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）若 SKIPIF 1 < 0 均為銳角且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】根據(jù) SKIPIF 1 < 0 求出 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù) SKIPIF 1 < 0 可求得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 均為銳角且 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
【變式1-2】（2022下·上海閔行·高三上海市七寶中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）已知 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ．
【答案】 SKIPIF 1 < 0 /－0.8
【分析】已知等式變形為 SKIPIF 1 < 0 ，引入函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，即有 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)得 SKIPIF 1 < 0 的關(guān)系，再結(jié)合 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 的表達(dá)式，從而利用誘導(dǎo)公式、二倍角公式求得結(jié)論．
【詳解】由 SKIPIF 1 < 0 得 SKIPIF 1 < 0 ，
設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 為銳角，
已知條件即為 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，或 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 與已知矛盾，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
則 SKIPIF 1 < 0 ，
故答案為： SKIPIF 1 < 0 ．
【變式1-3】（2023上·河北石家莊·高三?？茧A段練習(xí)）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】結(jié)合角度范圍及三角函數(shù)值，可求出 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的角度值，進(jìn)而可求 SKIPIF 1 < 0
【詳解】由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 或 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，.故 SKIPIF 1 < 0 .
故答案為： SKIPIF 1 < 0
題型14 恒等變形：拆角求值（正切型對(duì)偶）
【典例1-1】（2023上·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】根據(jù)已知條件求得 SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù)兩角和與差的三角函數(shù)公式，即可得出答案．
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ．
故選：D．
【典例1-2】（2023下·江西贛州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知角 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．-2
【答案】C
【分析】根據(jù)正余弦的和差角公式化簡(jiǎn)，由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，再根據(jù) SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)而求解即可.
【詳解】由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 .故選：C
【變式1-1】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．1
【答案】D
【分析】確定 SKIPIF 1 < 0 ，計(jì)算得到 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，計(jì)算得到答案.
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 ，化簡(jiǎn)得 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
故 SKIPIF 1 < 0 .
故選：D.
【變式1-2】（2023上·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知角 SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【答案】D
【分析】由兩角和與差公式化簡(jiǎn)后求解．
【詳解】由 SKIPIF 1 < 0 ，可得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 .又 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
即 SKIPIF 1 < 0 ，代入 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 .
故 SKIPIF 1 < 0 故選：D
【變式1-3】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】由兩角和與差的正弦公式、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，進(jìn)行計(jì)算即可求解.
【詳解】根據(jù) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
兩式分別相加、減，可得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ．
易得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，所以上述兩式相除，得 SKIPIF 1 < 0 ．故選：D．
高考練場(chǎng)
1.（2023·江西九江·統(tǒng)考二模）已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 周期為π，在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減
B． SKIPIF 1 < 0 周期為 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減
C． SKIPIF 1 < 0 周期為π，在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增
D． SKIPIF 1 < 0 周期為 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞增
【答案】B
【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的正負(fù)性、單調(diào)性，結(jié)合兩角和差的正弦公式進(jìn)行求解即可.
【詳解】當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
顯然該函數(shù)此時(shí)在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減，
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 時(shí)，即 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ，
因此函數(shù)的周期為 SKIPIF 1 < 0 ，在 SKIPIF 1 < 0 上單調(diào)遞減，故選：B
2.（2023下·江西九江·高三?？迹┖瘮?shù) SKIPIF 1 < 0 的周期不可能為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】令 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 、 SKIPIF 1 < 0 中的兩個(gè)等于零分類(lèi)，結(jié)合三角函數(shù)最小正周期，即可判斷選項(xiàng)A，B，D；
而若 SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即可化簡(jiǎn)得出 SKIPIF 1 < 0 ，再分類(lèi)為 SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 判斷其周期，與假設(shè)矛盾，即可證明最小正周期不可能是 SKIPIF 1 < 0 .
【詳解】當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 時(shí)，函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，最小正周期為 SKIPIF 1 < 0 ，故選項(xiàng)A可能；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 時(shí)，函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，最小正周期為 SKIPIF 1 < 0 ，故選項(xiàng)B可能；
當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 時(shí)，函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，最小正周期為 SKIPIF 1 < 0 ，故選項(xiàng)C可能；
而對(duì)于選項(xiàng)D：
SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
則若 SKIPIF 1 < 0 時(shí)， SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0
與題設(shè)矛盾，故函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的最小正周期不可能是 SKIPIF 1 < 0 ；
故選：D.
3.（2021秋·江西南昌·高三南昌縣蓮塘第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）要得到函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖像，只需將函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖像上所有點(diǎn)的
A．橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的 SKIPIF 1 < 0 (縱坐標(biāo)不變），再向左平移 SKIPIF 1 < 0 個(gè)單位長(zhǎng)度
B．橫坐標(biāo)縮短到原來(lái)的 SKIPIF 1 < 0 (縱坐標(biāo)不變），再向右平移 SKIPIF 1 < 0 個(gè)單位長(zhǎng)度
C．橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍（縱坐標(biāo)不變），再向左平移 SKIPIF 1 < 0 個(gè)單位長(zhǎng)度
D．橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變），再向右平移 SKIPIF 1 < 0 個(gè)單位長(zhǎng)度
【答案】C
【分析】直接利用三角函數(shù)的圖象的伸縮變換和平移變換，求出結(jié)果
【詳解】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，所以將函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的2倍(縱坐標(biāo)不變），再向左平移 SKIPIF 1 < 0 個(gè)單位長(zhǎng)度，就可得到函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖像.
故選C．
4.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，若對(duì)滿(mǎn)足的、有，則______．
【答案】
【分析】
函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后,得到函數(shù)的圖象．若對(duì)滿(mǎn)足的可知，兩個(gè)函數(shù)的最大值與最小值的差為2，討論，與，兩種情況，分別求出值，檢驗(yàn)是否符合條件即可.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的周期為，函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后,
得到函數(shù)的圖象．滿(mǎn)足的可知，一個(gè)取最大值一個(gè)取最小值
因?yàn)?，若，?br>在取最大值，在取得最小值，，
此時(shí)，不合題意，，，在取最小值，在，取得最大值，
，此時(shí)，滿(mǎn)足題意．故答案為．
5.（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)一模（理））已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸與其相鄰的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心的距離為 SKIPIF 1 < 0 ，將 SKIPIF 1 < 0 的圖象向右平移 SKIPIF 1 < 0 個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象．若函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象在區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 上是增函數(shù)，則 SKIPIF 1 < 0 的取值范圍為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】由一條對(duì)稱(chēng)軸與其相鄰的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心的距離求出 SKIPIF 1 < 0 ，由平移得 SKIPIF 1 < 0 利用單調(diào)性列出 SKIPIF 1 < 0 的不等式求解即可
【詳解】由題意，知 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，由 SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 的增區(qū)間為 SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ．∵ SKIPIF 1 < 0 ，∴ SKIPIF 1 < 0 ，故選：B．
6.（2022·河南河南·模擬預(yù)測(cè)（理））已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 在 SKIPIF 1 < 0 處取得最大值，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根輔助角公式和正弦函數(shù)最值求解即可.
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 ，其中 SKIPIF 1 < 0 為銳角， SKIPIF 1 < 0 .
因?yàn)楫?dāng) SKIPIF 1 < 0 處取得最大值，所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 .故選：A
7.（福建省2021屆高三畢業(yè)班總復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)試題）已知直線(xiàn) SKIPIF 1 < 0 與函數(shù) SKIPIF 1 < 0 和函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的圖象分別交于 SKIPIF 1 < 0 兩點(diǎn)，若 SKIPIF 1 < 0 ，則線(xiàn)段 SKIPIF 1 < 0 中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為_(kāi)________.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【詳解】
由題意，知 SKIPIF 1 < 0 ，則線(xiàn)段 SKIPIF 1 < 0 的中點(diǎn)為 SKIPIF 1 < 0 .
而 SKIPIF 1 < 0 .① ；設(shè) SKIPIF 1 < 0 ，②
①、②兩式分別平方，相加，得 SKIPIF 1 < 0 ，解得 SKIPIF 1 < 0 .
又 SKIPIF 1 < 0 ，所以 SKIPIF 1 < 0 ，故 SKIPIF 1 < 0 取 SKIPIF 1 < 0 .
所以線(xiàn)段 SKIPIF 1 < 0 中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為 SKIPIF 1 < 0 .
8.（2021下·高三課時(shí)練習(xí)）函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 的值域?yàn)開(kāi)_____.
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】利用平方關(guān)系將函數(shù)化為 SKIPIF 1 < 0 的二次函數(shù)，配方求值域即可.
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
故 SKIPIF 1 < 0 的值域?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
9.（學(xué)海導(dǎo)航全國(guó)卷大聯(lián)考2021屆高三數(shù)學(xué)（理）試題）已知函數(shù) SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最小值為（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】首先根據(jù)換元法將函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的最小值與函數(shù) SKIPIF 1 < 0 在區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 的最小值，最后利用基本不等式求出函數(shù)的最小值即可.
【詳解】
SKIPIF 1 < 0 ，
令 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 ，
因此函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的最小值與函數(shù) SKIPIF 1 < 0 在區(qū)間 SKIPIF 1 < 0 的最小值相同，
又因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)等號(hào)成立，
所以函數(shù) SKIPIF 1 < 0 的最小值2.故選：B
10.（2021·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）設(shè) SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 均為銳角，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 的最大值是（ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．6D． SKIPIF 1 < 0
【答案】B
【分析】由已知條件可得 SKIPIF 1 < 0 ，而目標(biāo)三角函數(shù)式可化為 SKIPIF 1 < 0 ，結(jié)合基本不等式即可求其最大值.
【詳解】由題意， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 ，
∴由 SKIPIF 1 < 0 為銳角， SKIPIF 1 < 0 ，當(dāng)且僅當(dāng) SKIPIF 1 < 0 ，即 SKIPIF 1 < 0 時(shí)等號(hào)成立．故 SKIPIF 1 < 0 的最大值是 SKIPIF 1 < 0 ．故選：B.
11.．（2023下·安徽亳州·高三亳州二中校考）若 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D． SKIPIF 1 < 0
【答案】A
【分析】根據(jù)三角函數(shù)值確定角的范圍，再根據(jù)角的變換有 SKIPIF 1 < 0 ，根據(jù)三角函數(shù)值確定 SKIPIF 1 < 0 的值.
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 符號(hào)相同，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 可得 SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
由 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，得 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，故選：A．
12.（2022上·遼寧·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）化簡(jiǎn) SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C．2D． SKIPIF 1 < 0
【答案】D
【分析】由三角恒等變換與誘導(dǎo)公式求解即可
【詳解】 SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 ，
故選：D.
13.（2023上·山東青島·高三青島二中?？迹┮阎?SKIPIF 1 < 0 ，且 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 （ ）
A． SKIPIF 1 < 0 B． SKIPIF 1 < 0 C． SKIPIF 1 < 0 D．2
【答案】C
【分析】根據(jù)兩角差的正弦、余弦、正切公式化簡(jiǎn)求解即可.
【詳解】因?yàn)?SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 ，
又 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ，
所以 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0
所以 SKIPIF 1 < 0 .故選：C.
14.（2023上·上海奉賢·高三?？迹┤?SKIPIF 1 < 0 是第三象限角，且 SKIPIF 1 < 0 ，則 SKIPIF 1 < 0 等于 .
【答案】 SKIPIF 1 < 0
【分析】利用差角的正弦公式將已知條件化簡(jiǎn)后求出 SKIPIF 1 < 0 ，再利用平方關(guān)系求出 SKIPIF 1 < 0 ，進(jìn)而求出 SKIPIF 1 < 0 .
【詳解】 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 是第三象限角， SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 ，
SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 .故答案為： SKIPIF 1 < 0 .
A，ω，φ對(duì)函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）圖象的影響
（1）函數(shù)y＝Asin（ωx＋φ）（A＞0，ω＞0）中參數(shù)A．φ、ω的作用
參數(shù)
作用
A
A決定了函數(shù)的值域以及函數(shù)的最大值和最小值，通常稱(chēng)A為振幅.
φ
φ決定了x=0時(shí)的函數(shù)值，通常稱(chēng)φ為初相，ωx＋φ為相位.
ω
ω決定了函數(shù)的周期T＝ SKIPIF 1 < 0 .
（2）圖象的變換
（1）振幅變換
要得到函數(shù)y＝Asinx（A＞0，A≠1）的圖象，只要將函數(shù)y＝sinx的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長(zhǎng)（當(dāng)A＞1時(shí)）或縮短（當(dāng)0＜A＜1時(shí)）到原來(lái)的A倍（橫坐標(biāo)不變）即可得到．
（2）平移變換
要得到函數(shù)y＝sin（x＋φ）的圖象，只要將函數(shù)y＝sinx的圖象上所有點(diǎn)向左（當(dāng)φ＞0時(shí)）或向右（當(dāng)φ＜0時(shí)）平行移動(dòng)|φ|個(gè)單位長(zhǎng)度即可得到．
（3）周期變換
要得到函數(shù)y＝sinωx（x∈R）（其中ω＞0且ω≠1）的圖象，可以把函數(shù)y＝sinx上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短（當(dāng)ω＞1時(shí)）或伸長(zhǎng)（當(dāng)0＜ω＜1時(shí)）到原來(lái)的 SKIPIF 1 < 0 _倍（縱坐標(biāo)不變）即可得到．
求周期方法
直接法：
形如y＝Asin（ωx＋φ）或者y＝Acs（ωx＋φ）函數(shù)的周期T＝ SKIPIF 1 < 0 .y＝Atan（ωx＋φ）的周期是T＝ SKIPIF 1 < 0
觀察法：
形如 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 SKIPIF 1 < 0 等等諸如此類(lèi)的帶絕對(duì)值型，可以通過(guò)簡(jiǎn)圖判定是否有周期，以及最小正周期的值
3.恒等變形轉(zhuǎn)化法。
4.定義證明法
平移變換：
1.基本法：提系數(shù)（就是直接換x，其余的都不動(dòng)）；
2.正到余，余到正：
方法一：誘導(dǎo)公式化為同名（盡量化正為余，因?yàn)橛嘞沂桥己瘮?shù)，可以解決系數(shù)是負(fù)的）；
方法二：直接第極大值法（通過(guò)快速畫(huà)圖，正弦對(duì)應(yīng)第一極大值軸處。余弦即五點(diǎn)第一點(diǎn)處，本方法是重點(diǎn)）
正余弦對(duì)稱(chēng)軸：
最值處，令sin(ωx＋φ) ＝1，則ωx＋φ＝kπ＋eq \f(π,2)(k∈Z)，可求得對(duì)稱(chēng)軸方程；
對(duì)稱(chēng)軸代入，三角函數(shù)部分必為正負(fù)1，還可以理解為輔助角那個(gè)整體取得最大值或者最小值 SKIPIF 1 < 0
正余弦對(duì)稱(chēng)中心：
零點(diǎn)處，令sin(ωx＋φ) ＝0，ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)
對(duì)稱(chēng)中心橫坐標(biāo)代入，三角函數(shù)那部分必為0
SKIPIF 1 < 0
輔助角范圍滿(mǎn)足： SKIPIF 1 < 0
SKIPIF 1 < 0 與 SKIPIF 1 < 0 在同一函數(shù)中一般可設(shè) SKIPIF 1 < 0 進(jìn)行換元．換元時(shí)注意新元的取值范圍．
SKIPIF 1 < 0 之間的互化關(guān)系
1. SKIPIF 1 < 0
2. SKIPIF 1 < 0
分式型求值，主要方向是把分?jǐn)?shù)的分子分母“因式分解”，再通過(guò)“約分”來(lái)達(dá)到求值的目的。
將ωx＋φ看作整體，先求出[0，2π]或[-π,π]的角，再通過(guò)周期推廣到整個(gè)定義域內(nèi)，最后解出x的值或范圍.
分式型求值，主要方向是把分?jǐn)?shù)的分子分母“因式分解”，再通過(guò)“約分”來(lái)達(dá)到求值的目的。
求復(fù)合型角，
以給了函數(shù)值的角度為基角來(lái)拆角。
討論基角的范圍，確認(rèn)基角的正余弦值符號(hào)
所求復(fù)合型角的范圍，以及對(duì)應(yīng)的正（或者余）弦符號(hào)，確認(rèn)對(duì)應(yīng)復(fù)合型角度

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