注意事項
1．考生要認真填寫考場號和座位序號。
2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B 鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。
3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。
一、選擇題(每小題3分,共30分)
1．三角形的三邊長分別是a、b、c，下列各組數(shù)據(jù)中，能組成直角三角形的是（ ）
A．4，5，6B．7，12，15C．5，13，12D．8，8，11
2．如圖，在等邊三角形中，、分別為、上的點，且，、相交于點，，垂足為．則的值是（ ）．
A．2B．C．D．
3．如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線與∠ACB的外角平分線相交于D點，∠A=50°，則∠D=（ ）
A．15°
B．20°
C．25°
D．30°
4．若實數(shù)m、n滿足等式|m﹣2|+=0，且m、n恰好是等腰△ABC的兩條邊的邊長，則△ABC的周長是( )
A．6B．8C．8或10D．10
5．如圖，△ABC中，AB=AC，∠C=72°，AB的垂直平分線DE交AC于D，交AB于E，則∠BDC的度數(shù)為（ ）
A．82°B．72°C．60°D．36°
6．在平面直角坐標系中，點在第（ ）象限．
A．一B．二C．三D．四
7．下列多項式中能用完全平方公式分解的是( )
A．x2﹣x+1B．1﹣2x+x2C．﹣a2+b2﹣2abD．4x2+4x﹣1
8．已知多邊形的每一個外角都是72°，則該多邊形的內(nèi)角和是( )
A．700°B．720°C．540°D．1080°
9．下列各運算中，計算正確的是（ ）
A．B．C．D．
10．下列命題是假命題的是（ ）
A．有一個外角是120°的等腰三角形是等邊三角形
B．等邊三角形有3條對稱軸
C．有兩邊和一角對應相等的兩個三角形全等
D．有一邊對應相等的兩個等邊三角形全等
二、填空題(每小題3分,共24分)
11．觀察下列圖形的排列規(guī)律（其中△，○，☆，□分別表示三角形，圓，五角星，正方形）：□○△☆□○△☆□○……，則第2019個圖形是________．（填圖形名稱）
12．如圖，在一個長為8cm，寬為5cm的長方形草地上，放著一根長方體的木塊，它的棱和草地寬AD平行且棱長大于AD，木塊從正面看是邊長為2cm的正方形，一只螞蟻從點A處到達點C處需要走的最短路程是_____．
13．在中，將，按如圖所示方式折疊，點，均落于邊上一點處，線段，為折痕，若，則______.
14．若4a＝2，4b＝3，則42a+b的值為_____．
15．如圖，已知，點，在邊上，，，點是邊上的點，若使點，，構(gòu)成等腰三角形的點恰好只有一個，則的取值范圍是______．
16．如圖，△ABC的外角∠ACD的平分線CP與內(nèi)角∠ABC的平分線BP交于點P，若∠BPC＝50，∠CAP＝______．
17．如圖，在中，，，是中點，則點關于點的對稱點的坐標是______．
18．若三角形三個內(nèi)角的度數(shù)之比為，最短的邊長是，則其最長的邊的長是__________.
三、解答題(共66分)
19．（10分）某業(yè)主貸款6.6萬元購進一臺機器，生產(chǎn)某種產(chǎn)品．已知產(chǎn)品的成本是每個5元，售價是每個8元，應付的稅款和其它費用是售價的10%．若每個月能生產(chǎn)、銷售6000個產(chǎn)品，問至少幾個月后能賺回這臺機器的貸款？（用列不等式的方法解決）
20．（6分）請閱讀下列材料,并完成相應的任務．
任務:（1）利用上述方法推導立方和公式 (從左往右推導)；
（2）已知,求的值．
21．（6分）解不等式組： ,并把它的解集在數(shù)軸上表示出來.
22．（8分）八年級為籌備紅色研學旅行活動，王老師開車前往距學校180的研學訓練營地考察，出發(fā)后第一小時內(nèi)按原計劃的速度勻速行駛，一小時后以原來速度的1.5倍勻速行駛，并比原計劃提前了40到達研學訓練營地．求王老師前一小時行駛速度．
23．（8分）先化簡，再求值，其中x＝1．
24．（8分）某校為了滿足學生借閱圖書的需求，計劃購買一批新書．為此，該校圖書管理員對一周內(nèi)本校學生從圖書館借出各類圖書的數(shù)量進行了統(tǒng)計，結(jié)果如下圖．
請你根據(jù)統(tǒng)計圖中的信息，解答下列問題：
（1）補全條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖；
（2）該校學生最喜歡借閱哪類圖書？
（3）該校計劃購買新書共600本，若按扇形統(tǒng)計圖中的百分比來相應地確定漫畫、科普、文學、其它這四類圖書的購買量，求應購買這四類圖書各多少本？
（無原圖）
25．（10分）解分式方程：.
26．（10分）已知，如圖，為等邊三角形，點在邊上，點在邊上，并且和相交于點于．
（1）求證：；
（2）求的度數(shù)；
（3）若，，則______．
參考答案
一、選擇題(每小題3分,共30分)
1、C
【解析】試題分析：A、42+52=16+25=41≠62，所以4、5、6不能組成直角三角形；
B、72+122=49+144=193≠152，所以7、12、15不能組成直角三角形；
C、52+122=25+144=169=132，所以5、12、13可以組成直角三角形；
D、82+82=64+64=128≠112，所以8、8、11不能組成直角三角形；
故選C．
考點：勾股定理的逆定理．
2、A
【分析】因為AG⊥CD，△AGF為直角三角形，根據(jù)三角函數(shù)證明∠GAF=30°或∠AFD=60°即可，需要證明△ADF∽△ABE，通過證明△ABE≌△CAD可以得出．
【詳解】∵三角形ABC是等邊三角形，
∴AB=CA，∠ABE=∠CAD=60°，
在△ABE和△CAD中，
，
∴△ABE≌△CAD（SAS）．
∴∠AEB=∠CDA，又∠EAD為公共角，
∴△ADF∽△ABE．
∴∠AFD=∠B=60°．
∵AG垂直CD，即∠AGF=90°，
∴∠GAF=30°，
∴AF=2FG，即．
故選：A．
【點睛】
此題主要考查等邊三角形的性質(zhì)、三角形全等的判定與性質(zhì)及有30°角的直角三角形的性質(zhì)等知識；難度較大，有利于培養(yǎng)同學們鉆研和探索問題的精神，證明線段是2倍關系的問題往往要用到有30°角的直角三角形的性質(zhì)求解，要熟練掌握．
3、C
【解析】根據(jù)角平分線的定義和三角形的外角的性質(zhì)即可得到∠D=∠A．
解：∵∠ABC的平分線與∠ACB的外角平分線相交于D點，
∴∠1=∠ACE，∠2=∠ABC，
又∠D=∠1﹣∠2，∠A=∠ACE﹣∠ABC，
∴∠D=∠A=25°．
故選C．
4、D
【分析】由已知等式，結(jié)合非負數(shù)的性質(zhì)求m、n的值，再根據(jù)m、n分別作為等腰三角形的腰，分類求解．
【詳解】解：∵|m-2|+=0，
∴m-2=0，n-4=0，
解得m=2，n=4，
當m=2作腰時，三邊為2，2，4，不符合三邊關系定理；
當n=4作腰時，三邊為2，4，4，符合三邊關系定理，周長為：2+4+4=1．
故選D．
【點睛】
本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，非負數(shù)的性質(zhì)．關鍵是根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)求m、n的值，再根據(jù)m或n作為腰，分類求解．
5、B
【分析】先根據(jù)AB＝AC，∠C的度數(shù)，求出∠ABC的度數(shù)，再由垂直平分線的性質(zhì)求出∠ABD的度數(shù)，再由三角形內(nèi)角與外角的性質(zhì)解答即可．
【詳解】解：∵AB＝AC，∠C＝72°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∴∠A=36°
∵DE垂直平分AB，
∴∠A＝∠ABD＝36°，
∴∠BDC＝∠A＋∠ABD＝36°＋36°＝72°．
故選：B．
【點睛】
點評：本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理、等腰三角形的性質(zhì)，解答此題的關鍵是熟知線段垂直平分線的性質(zhì)，即線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等．
6、B
【分析】根據(jù)各象限內(nèi)點的坐標特征解答．
【詳解】∵-2＜0，3＞0
∴點P(?2,3)在第二象限
故選B.
【點睛】
此題考查點的坐標，解題關鍵在于掌握各象限內(nèi)點的坐標特征.
7、B
【分析】根據(jù)完全平方公式：a2±2ab+b2＝（a±b）2可得答案．
【詳解】A．x2﹣x+1不能用完全平方公式分解，故此選項錯誤；
B．1﹣2x+x2= (1-x)2能用完全平方公式分解，故此選項正確；
C．﹣a2+b2﹣2ab不能用完全平方公式分解，故此選項錯誤；
D．4x2+4x﹣1不能用完全平方公式分解，故此選項錯誤．
故選：B．
【點睛】
此題主要考查因式分解，解題的關鍵是熟知完全平方公式的運用．
8、C
【分析】由題意可知外角和是360°，除以一個外角度數(shù)即為多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式可求得該多邊形的內(nèi)角和．
【詳解】解：∵多邊形的每一個外角都是72°，
∴多邊形的邊數(shù)為：5，
∴該多邊形的內(nèi)角和為：(5﹣2)×180°=540°．
故選：C．
【點睛】
本題考查多邊形的內(nèi)外角和，用到的知識點為：多邊形的邊數(shù)與外角的個數(shù)的關系；n邊形的內(nèi)角和公式為（n-2）×180°．
9、C
【分析】根據(jù)積的乘方、同底數(shù)冪的除法、多項式的乘法逐項判斷即可.
【詳解】A. ，錯誤；
B. ，錯誤；
C. ，正確；
D. ，錯誤.
故選C.
【點睛】
本題考查積的乘方、同底數(shù)冪的除法、多項式的乘法等知識，熟練掌握各計算公式是解題的關鍵.
10、C
【解析】解：A． 外角為120°，則相鄰的內(nèi)角為60°，根據(jù)有一個角為60°的等腰三角形是等邊三角形可以判斷，故A選項正確；
B． 等邊三角形有3條對稱軸，故B選項正確；
C．當兩個三角形中兩邊及一角對應相等時，其中如果角是這兩邊的夾角時，可用SAS來判定兩個三角形全等，如果角是其中一邊的對角時，則可不能判定這兩個三角形全等，故此選項錯誤；
D．利用SSS．可以判定三角形全等．故D選項正確；
故選C．
二、填空題(每小題3分,共24分)
11、三角形
【分析】根據(jù)圖形的變化規(guī)律：每四個圖形為一組，按照正方形、圓、三角形、五角星的順序循環(huán)變化即可求解．
【詳解】觀察圖形的變化可知：
每四個圖形為一組，按照正方形、圓、三角形、五角星的順序循環(huán)變化，
2019÷4＝504…3
所以第2019個圖形是三角形．
故答案為：三角形．
【點睛】
本題考查了圖形的變化類，解決本題的關鍵是觀察圖形的變化尋找規(guī)律．
12、13cm．
【分析】解答此題要將木塊展開，然后根據(jù)兩點之間線段最短解答．
【詳解】由題意可知，將木塊展開，
相當于是AB+2個正方形的寬，
∴長為8+2×2＝12cm；寬為5cm．
于是最短路徑為：＝13cm．
故答案為13cm．
【點睛】
本題考查了四邊形中點到點的距離問題，掌握勾股定理是解題的關鍵．
13、
【分析】由折疊的性質(zhì)，得到∠MQN=∠B，∠EQF=∠C，由三角形內(nèi)角和定理，得到∠B+∠C=98°，根據(jù)平角的定義，即可得到答案.
【詳解】解：由折疊的性質(zhì)，得到∠MQN=∠B，∠EQF=∠C，
∵∠A+∠B+∠C=180°，
∴∠B+∠C=180°98°，
∴∠MQN+∠EQF=98°，
∴；
故答案為：.
【點睛】
本題考查了折疊的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，以及平角的定義，解題的關鍵是熟練掌握折疊的性質(zhì)進行解題.
14、1
【分析】根據(jù)冪的乘方以及同底數(shù)冪的乘法法則計算即可．
【詳解】解：∵4a＝2，4b＝3，
∴42a+b
＝（4a）2?4b
＝22×3
＝4×3
＝1．
故答案為：1．
【點睛】
本題主要考查了冪的乘方與積的乘方以及同底數(shù)冪的乘法，熟記冪的運算法則是解答本題的關鍵．
15、或
【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分類討論，分別求解范圍即可．
【詳解】①如圖1，當時，即，
以為圓心，以1為半徑的圓交于點，此時，
則點，，構(gòu)成的等腰三角形的點恰好只有一個．
②如圖1．當時，即，
過點作于點，∴．
∴，作的垂直平分線交于點，則．
此時，以，，構(gòu)成的等腰三角形的點恰好有1個．
則當時，以，，構(gòu)成的等腰三角形恰好只有一個．
綜上，當或時，以，，構(gòu)成的等腰三角形恰好只有一個．
【點睛】
本題考查等腰三角形的判定，主要通過數(shù)形結(jié)合的思想解決問題，解題關鍵在于熟練掌握已知一邊，作等腰三角形的畫法．
16、40°
【分析】過點P作PF⊥AB于F，PM⊥AC于M，PN⊥CD于N，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)和內(nèi)角和定理，得到∠BAC度數(shù)，再利用角平分線的性質(zhì)以及直角三角形全等的判定，得出∠CAP=∠FAP，即可得到答案．
【詳解】解：過點P作PF⊥AB于F，PM⊥AC于M，PN⊥CD于N，如圖：
設∠PCD=x，
∵CP平分∠ACD，
∴∠ACP=∠PCD=x，PM=PN，
∴∠ACD=2x，
∵BP平分∠ABC，
∴∠ABP=∠PBC，PF=PM=PN，
∵∠BPC＝50°，
∴∠ABP=∠PBC=，
∴,
∴，
∴，
在Rt△APF和Rt△APM中，
∵PF=PM，AP為公共邊，
∴Rt△APF≌Rt△APM（HL），
∴∠FAP=∠CAP，
∴；
故答案為：40°；
【點睛】
本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，以及全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關鍵是熟練掌握所學的知識進行解題，正確求出是關鍵．
17、 ()．
【分析】過點A作AD⊥OB于D，然后求出AD、OD的長，從而得到點A的坐標，再根據(jù)中點坐標公式，求出點C的坐標，然后利用中點坐標公式求出點O關于點C的對稱點坐標，即可．
【詳解】如圖，過點A作AD⊥OB于D，
∵OA=OB=3，∠AOB=45°，
∴AD=OD=3÷=，
∴點A(，)，B(3，0)，
∵C是AB中點，
∴點C的坐標為()，
∴點O關于點C的對稱點的坐標是：()
故答案為：()．
【點睛】
本題主要考查圖形與坐標，掌握等腰直角三角形的三邊之比以及線段中點坐標公式，是解題的關鍵．
18、10cm
【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求得三個角的度數(shù)分別為30°，60°，90°，再根據(jù)30°角所對的直角邊是斜邊的一半即可求解．
【詳解】∵三角形三個內(nèi)角的度數(shù)之比為，
∴三個角的度數(shù)分別為60°，30°，90°，
∵最短的邊長是5cm，
∴最長的邊的長為10cm．
故答案為：10cm．
【點睛】
此題主要考查含30度角的直角三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理的綜合運用．
三、解答題(共66分)
19、至少5個月后該業(yè)主能賺回這臺機器的貸款．
【分析】設需要個月能賺回這臺機器的貸款，根據(jù)題意列出不等式求解即可.
【詳解】解：設需要個月能賺回這臺機器的貸款，
根據(jù)題意，得，
解得：，
答：至少5個月后該業(yè)主能賺回這臺機器的貸款．
【點睛】
本題是對不等式知識的考查，準確根據(jù)題意列出不等式是解決本題的關鍵.
20、（1）推導見解析；（2），．
【分析】（1）應用添項辦法進行因式分解可得:;（2）根據(jù)配方法和立方差公式可得.
【詳解】解:
解：
【點睛】
考核知識點：因式分解應用.靈活運用因式分解方法轉(zhuǎn)化問題是關鍵.
21、，數(shù)軸圖見解析.
【分析】先分別求出不等式①和②的解，再找出兩個解的公共部分即可得出不等式組的解集，然后根據(jù)數(shù)軸的定義將其表示出來即可．
【詳解】不等式①，移項合并得：
不等式②，去括號得：
移項合并得：
故原不等式組的解集是，將其在數(shù)軸上表示出來如下：
【點睛】
本題考查了一元一次不等式組的解法、數(shù)軸的定義，掌握不等式組的解法是解題關鍵．
22、王老師前一小時的行駛速度為60千米/小時
【分析】設王老師前一小時的行駛速度為x千米/小時，根據(jù)題意列出分式方程，然后解分式方程即可．
【詳解】解：設王老師前一小時的行駛速度為x千米/小時
經(jīng)檢驗：x=60是原分式方程的解．
答：王老師前一小時的行駛速度為60千米/小時．
【點睛】
此題考查的是分式方程的應用，掌握實際問題中的等量關系是解決此題的關鍵．
23、；．
【分析】直接將括號里面通分進而利用分式的混合運算法則計算得出答案．
【詳解】解：原式＝，
當x＝1時，
原式＝．
【點睛】
本題考查的知識點是分式的混合運算——化簡求值，熟練掌握分式的運算順序以及運算法則是解此題的關鍵．
24、（1）（2）該學校學生最喜歡借閱漫畫類圖書．（3）漫畫類 240（本），科普類： 210（本），文學類： 60（本），其它類： 90（本）．
【解析】解：（1）如圖所示
一周內(nèi)該校學生從圖書館借出各類圖書數(shù)量情況統(tǒng)計圖
（2）該學校學生最喜歡借閱漫畫類圖書．
（3）漫畫類：600×40%=240（本），科普類：600×35%=210（本），
文學類：600×10%=60（本），其它類：600×15%=90（本）．
25、x=3
【解析】試題分析：分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗即可得到分式方程的解．
試題解析：解：去分母得：3+x2﹣x=x2，解得：x=3，經(jīng)檢驗x=3是分式方程的解．
點睛：此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗．
26、（1）詳見解析；（2）60°；（3）1．
【分析】（1）結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)，利用SAS可證明，由全等三角形對應邊相等的性質(zhì)可得結(jié)論；
（2）由全等三角形對應角相等可得，再由三角形外角的性質(zhì)可得的度數(shù)；
（3）結(jié)合（2）可得，由直角三角形30度角的性質(zhì)可得BM長，易知BE，由（1）可知AD長.
【詳解】（1）證明：∵為等邊三角形，
∴．
在和中，
∴．
∴．
（2）如圖
∵，
∴．
∴．
（3）
由（2）得，

由（1）得
【點睛】
本題是三角形的綜合題，涉及的知識點有全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)、直角三角形30度角的性質(zhì)，靈活利用全等三角形的性質(zhì)是解題的關鍵.

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