【例1】 （1）（2024·長春質(zhì)檢）已知雙曲線C：x2－y24＝1，過點P（1，1）作直線l，使l與C有且只有一個公共點，則滿足上述條件的直線l共有（ ）
A.1條 B.2條
C.3條 D.4條
（2）過點P（4，2）作一條直線，與雙曲線C：x22－y2＝1相交于A，B兩點，若P為線段AB的中點，則｜AB｜＝（ ）
A.22 B.23
C.33 D.43
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解題技法
直線與雙曲線位置關(guān)系問題的解題策略
（1）直線與雙曲線位置關(guān)系的判斷方法：將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立消去一個未知數(shù)，得到一個一元二次方程，以ax2＋bx＋c＝0為例：①若a≠0且Δ＞0，直線與雙曲線相交，有兩個公共點；②若a≠0且Δ＝0，直線與雙曲線相切，有且只有一個公共點；③若a≠0且Δ＜0，直線與雙曲線相離，沒有公共點；④若a＝0且b≠0，直線與雙曲線的漸近線平行，只有一個公共點；⑤若a＝0且b＝0，直線為雙曲線的漸近線，與雙曲線相離，沒有公共點；
（2）對于雙曲線中的弦長和中點弦等問題，可以類比橢圓的處理思路，借助方程思想，將問題進行化歸轉(zhuǎn)化.
已知雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的一個焦點為（5，0），一條漸近線方程為2x－y＝0.
（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知傾斜角為3π4的直線l與雙曲線C交于A，B兩點，且線段AB中點的縱坐標(biāo)為4，求直線l的方程.
【例2】 （1）已知M（x0，y0）是雙曲線C：x22－y2＝1上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個焦點，若MF1·MF2＜0，則y0的取值范圍是 ；
（2）（2024·嘉興模擬）已知點M（－5，0），點P在曲線x29－y216＝1（x＞0）上運動，點Q在曲線（x－5）2＋y2＝1上運動，則｜PM｜2｜PQ｜的最小值是 .
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解題技法
與雙曲線有關(guān)最值（范圍）問題的解題方法
（1）幾何法：若題目中的待求量有明顯的幾何特征，則考慮利用雙曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理等知識確定極端位置后數(shù)形結(jié)合求解；
（2）代數(shù)法：①構(gòu)建函數(shù)法：若題目中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先引入變量構(gòu)建以待求量為因變量的函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值；②構(gòu)建不等式法：利用已知或隱含的不等關(guān)系，構(gòu)建以待求量為元的不等式求解.
已知雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的離心率為103，雙曲線上的點到焦點的最小距離為10－3，則雙曲線上的點到點A（5，0）的最小距離為 .
【例3】 某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀測點的報告：正西、正北兩個觀測點同時聽到了一聲巨響，正東觀測點聽到的時間比其他兩觀測點晚4 s.已知各觀測點到該中心的距離都是1 020 m.則該巨響發(fā)生在接報中心的（聲音的傳播速度為340 m/s）（ ）
A.北偏西45°方向，距離68010 mB.南偏東45°方向，距離68010 m
C.北偏西45°方向，距離6805 mD.南偏東45°方向，距離6805 m
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解題技法
利用雙曲線解決實際問題的基本步驟
（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；
（2）求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（3）根據(jù)雙曲線方程及定義解決實際應(yīng)用問題（注意實際意義）.
某團隊在基地O點西側(cè)、東側(cè)20千米處分別設(shè)有A，B兩站點，測量距離發(fā)現(xiàn)一點P滿足｜PA｜－｜PB｜＝20千米，可知P在以點A，B為焦點的雙曲線上.以O(shè)點為坐標(biāo)原點，正東方向為x軸正半軸方向，正北方向為y軸正半軸方向，建立平面直角坐標(biāo)系，點P在基地O點北偏東60°處，則P點的坐標(biāo)為 .
“三案”破解圓錐曲線中的離心率問題
離心率是圓錐曲線的一個重要元素，它的變化直接導(dǎo)致曲線形狀甚至是類型的變化，求圓錐曲線的離心率或范圍問題是近幾年高考的熱點，這類問題所涉及的知識點較多、綜合性強，解法靈活，內(nèi)涵豐富，具有極好的素養(yǎng)評價功能.
一、以代數(shù)方案破解離心率問題
【例1】 （1）已知橢圓x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦點為F1，F(xiàn)2，以｜F1F2｜為直徑的圓與橢圓有四個交點，則橢圓離心率的取值范圍為（ ）
A.（22，1） B.［22，1）
C.（12，1） D.［12，1）
（2）已知雙曲線x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，點B為雙曲線虛軸的上端點，A為雙曲線的左頂點，若∠ABF＝π2，則雙曲線的離心率為（ ）
A.2 B.3
C.5 D.1+52
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點評 利用代數(shù)方案破解圓錐曲線中的離心率問題就是利用橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中的參數(shù)a（b）用代數(shù)方法求出它們的值或范圍，進而求得離心率的值或范圍.
二、以幾何方案破解離心率問題
類型1 從定義入手，建立參數(shù)a，b，c的關(guān)系
【例2】 已知橢圓E：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的右焦點為F，短軸的一個端點為M，直線l：3x－4y＝0交橢圓E于A，B兩點.若｜AF｜＋｜BF｜＝4，點M到直線l的距離不小于45，則橢圓E的離心率的取值范圍是（ ）
A.（0，32］ B.（0，34］
C.［32，1） D.［34，1）
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點評 本例以曲線上一點到兩焦點的距離之和等于某值給出，使我們自然聯(lián)想到橢圓、雙曲線的定義構(gòu)建焦點三角形，再結(jié)合其他條件建立參數(shù)a，b，c之間的關(guān)系式，進而求得離心率的值或范圍.
類型2 從點的坐標(biāo)入手，建立參數(shù)a，b，c的關(guān)系
【例3】 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線C1：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的漸近線與拋物線C2：x2＝2py（p＞0）交于點O，A，B，若△OAB的垂心為C2的焦點，則C1的離心率為 .
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點評 從與參數(shù)a，b，c相關(guān)的點入手，利用圖形中點、線所具有的平行、垂直、對稱、相等、共線等幾何特征，結(jié)合圓錐曲線的頂點、焦點、漸近線等相關(guān)量，建立與參數(shù)a，b，c相關(guān)的關(guān)系式，進而求得離心率的值或范圍.
類型3 從幾何圖形的特征入手，建立a，b，c的關(guān)系
【例4】 過雙曲線x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左焦點F作圓4x2＋4y2＝a2的切線，切點為E，延長FE交雙曲線右支于點P，若E為PF的中點，則雙曲線的離心率為 .
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點評 從圓錐曲線中某些圖形的幾何特征入手（如直角三角形、等腰三角形、圓、圓的切線等），建立關(guān)于a，b，c的關(guān)系式，進而求得離心率的值或范圍.
三、以解三角形方案破解離心率問題
【例5】 設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，O是坐標(biāo)原點.過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P.若｜PF1｜＝6｜OP｜，則C的離心率為（ ）
A.5 B.2
C.3 D.2
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點評 把圓錐曲線的離心率問題與解三角形完美的結(jié)合，通過正、余弦定理及圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì)，尋找與參數(shù)a，b，c相關(guān)的齊次關(guān)系，進而求得離心率的值或范圍.
1.（2024·南京模擬）已知橢圓E：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的兩條弦AB，CD相交于點P（點P在第一象限），且AB⊥x軸，CD⊥y軸.若｜PA｜∶｜PB｜∶｜PC｜∶｜PD｜＝1∶3∶1∶5，則橢圓E的離心率為（ ）
A.55 B.105
C.255 D.2105
2.已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，點P是雙曲線C上在第一象限內(nèi)的一點，若sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，則雙曲線C的離心率的取值范圍為（ ）
A.（1，2） B.（1，3）
C.（3，＋∞） D.（2，3）
參考答案與解析

直線與雙曲線的位置關(guān)系
【例1】 （1）（2024·長春質(zhì)檢）已知雙曲線C：x2－y24＝1，過點P（1，1）作直線l，使l與C有且只有一個公共點，則滿足上述條件的直線l共有（ ）
A.1條 B.2條
C.3條 D.4條
（2）過點P（4，2）作一條直線，與雙曲線C：x22－y2＝1相交于A，B兩點，若P為線段AB的中點，則｜AB｜＝（ ）
A.22 B.23
C.33 D.43
答案：（1）D （2）D
解析：（1）當(dāng)直線l斜率不存在時，直線方程為x＝1，顯然與雙曲線只有一個公共點（1，0）；當(dāng)直線l斜率存在時，設(shè)直線l方程為y－1＝k（x－1），與雙曲線方程聯(lián)立，消y得（4－k2）x2＋2k（k－1）x－（k2－2k＋5）＝0，當(dāng)4－k2＝0，即k＝±2時，方程有唯一實根，符合題意；當(dāng)4－k2≠0，即k≠±2時，若方程有唯一實根，則Δ＝4k2（k－1）2＋4（4－k2）·（k2－2k＋5）＝0，解得k＝52.故滿足與C有且只有一個公共點的直線l共有4條.
（2）法一 由題意可知，直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的斜率為k，則直線AB的方程為y＝k（x－4）＋2.由y＝k（x－4）+2，x22－y2=1，消去y，整理得（1－2k2）x2＋8k（2k－1）x－32k2＋32k－10＝0.設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），因為P（4，2）為線段AB的中點，所以x1＋x2＝－8k（2k－1）1－2k2＝8，解得k＝1，所以x1x2＝－32k2+32k－101－2k2＝10，所以｜AB｜＝1+k2·（x1＋x2）2－4x1x2＝43.故選D.
法二 設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x122－y12＝1①，x222－y22＝1②，由①－②得12（x1－x2）（x1＋x2）－（y1－y2）（y1＋y2）＝0.因為P（4，2）為線段AB的中點，所以x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，所以4（x1－x2）－4（y1－y2）＝0，即x1－x2＝y(tǒng)1－y2，易知x1≠x2，所以直線AB的斜率k＝y(tǒng)1－y2x1－x2＝1，則直線AB的方程為y＝x－2.由y＝x－2，x22－y2=1，消去y，整理得x2－8x＋10＝0，所以x1＋x2＝8，x1x2＝10，所以｜AB｜＝1+k2·（x1＋x2）2－4x1x2＝43.
解題技法
直線與雙曲線位置關(guān)系問題的解題策略
（1）直線與雙曲線位置關(guān)系的判斷方法：將直線方程與雙曲線方程聯(lián)立消去一個未知數(shù)，得到一個一元二次方程，以ax2＋bx＋c＝0為例：①若a≠0且Δ＞0，直線與雙曲線相交，有兩個公共點；②若a≠0且Δ＝0，直線與雙曲線相切，有且只有一個公共點；③若a≠0且Δ＜0，直線與雙曲線相離，沒有公共點；④若a＝0且b≠0，直線與雙曲線的漸近線平行，只有一個公共點；⑤若a＝0且b＝0，直線為雙曲線的漸近線，與雙曲線相離，沒有公共點；
（2）對于雙曲線中的弦長和中點弦等問題，可以類比橢圓的處理思路，借助方程思想，將問題進行化歸轉(zhuǎn)化.
已知雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的一個焦點為（5，0），一條漸近線方程為2x－y＝0.
（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知傾斜角為3π4的直線l與雙曲線C交于A，B兩點，且線段AB中點的縱坐標(biāo)為4，求直線l的方程.
解：（1）由焦點可知c＝5，
又一條漸近線方程為2x－y＝0，
所以ba＝2，
由c2＝a2＋b2可得5＝a2＋4a2，
解得a2＝1，b2＝4，
故雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2－y24＝1.
（2）設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），線段AB中點的坐標(biāo)為（x0，4），
則x12－y124＝1， ①
x22－y224＝1， ②
②－①得x22－x12＝y(tǒng)224－y124，
即k＝4x04＝x0，又k＝tan 3π4＝－1，
所以x0＝－1，
所以直線l的方程為y－4＝－（x＋1），
即x＋y－3＝0.
雙曲線中的最值（范圍）問題
【例2】 （1）已知M（x0，y0）是雙曲線C：x22－y2＝1上的一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2是C的兩個焦點，若MF1·MF2＜0，則y0的取值范圍是 －33，33 ；
（2）（2024·嘉興模擬）已知點M（－5，0），點P在曲線x29－y216＝1（x＞0）上運動，點Q在曲線（x－5）2＋y2＝1上運動，則｜PM｜2｜PQ｜的最小值是 20 .
解析：（1）因為F1（－3，0），F(xiàn)2（3，0），x022－y02＝1，所以MF1·MF2＝（－3－x0，－y0）·（3－x0，－y0）＝x02＋y02－3＜0，即3y02－1＜0，解得－33＜y0＜33.
（2）如圖，在雙曲線x29－y216＝1中，a＝3，b＝4，c＝a2＋b2＝5，圓（x－5）2＋y2＝1的圓心為C（5，0），半徑r＝1.所以雙曲線x29－y216＝1的左、右焦點分別為M，C.由雙曲線的定義可得｜PM｜＝｜PC｜＋2a＝｜PC｜＋6，｜PQ｜≤｜PC｜＋1，所以｜PM｜2｜PQ｜≥(|PC｜+6）2｜PC｜+1＝（｜PC｜＋1）＋25｜PC｜+1＋10≥2(|PC｜+1）·25｜PC｜+1＋10＝20，當(dāng)且僅當(dāng)｜PC｜＝4時，等號成立，故｜PM｜2｜PQ｜的最小值是20.
解題技法
與雙曲線有關(guān)最值（范圍）問題的解題方法
（1）幾何法：若題目中的待求量有明顯的幾何特征，則考慮利用雙曲線的定義、幾何性質(zhì)以及平面幾何中的定理等知識確定極端位置后數(shù)形結(jié)合求解；
（2）代數(shù)法：①構(gòu)建函數(shù)法：若題目中的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先引入變量構(gòu)建以待求量為因變量的函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值；②構(gòu)建不等式法：利用已知或隱含的不等關(guān)系，構(gòu)建以待求量為元的不等式求解.
已知雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的離心率為103，雙曲線上的點到焦點的最小距離為10－3，則雙曲線上的點到點A（5，0）的最小距離為 62 .
解析：因為雙曲線C的離心率為103，所以ca＝103，①.因為雙曲線上同側(cè)頂點到焦點的距離即雙曲線上的點到焦點的最小距離，所以c－a＝10－3，②.由①②可得c＝10，a＝3，所以b2＝c2－a2＝1，所以雙曲線C的方程為x29－y2＝1.設(shè)P（x，y）（x≤－3或x≥3）是雙曲線x29－y2＝1上的任意一點，則｜AP｜＝（x－5）2＋y2＝（x－5）2＋x29－1＝10x29－10x+24＝109（x2－9x）+24＝109（x－92）2＋32，所以當(dāng)x＝92時，｜AP｜取得最小值，｜AP｜min＝32＝62.
雙曲線模型的實際應(yīng)用
【例3】 某中心接到其正東、正西、正北方向三個觀測點的報告：正西、正北兩個觀測點同時聽到了一聲巨響，正東觀測點聽到的時間比其他兩觀測點晚4 s.已知各觀測點到該中心的距離都是1 020 m.則該巨響發(fā)生在接報中心的（聲音的傳播速度為340 m/s）（ ）
A.北偏西45°方向，距離68010 m
B.南偏東45°方向，距離68010 m
C.北偏西45°方向，距離6805 m
D.南偏東45°方向，距離6805 m
解析：A 如圖，以接報中心為原點O，正東、正北方向分別為x軸，y軸的正方向，建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)A，B，C分別是正西、正東、正北觀測點，則A（－1 020，0），B（1 020，0），C（0，1 020）.設(shè)P（x，y）為巨響發(fā)生點.由已知｜PA｜＝｜PC｜，故P在AC的垂直平分線PO上，PO的方程為y＝－x，又B點比A點晚4 s聽到爆炸聲，故｜PB｜－｜PA｜＝340×4＝1 360，可知P點在以A，B為焦點的雙曲線x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）上，依題意得a＝680，c＝1 020，∴b2＝c2－a2＝1 0202－6802＝5×3402，故雙曲線方程為x26802－y25×3402＝1，將y＝－x 代入上式，得x＝±6805，∵｜PB｜＞｜PA｜，∴x＝－6805，y＝6805，即P（－6805，6805）， 故｜PO｜＝68010.故巨響發(fā)生在接報中心的北偏西45°方向，距中心68010 m處.
解題技法
利用雙曲線解決實際問題的基本步驟
（1）建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系；
（2）求出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（3）根據(jù)雙曲線方程及定義解決實際應(yīng)用問題（注意實際意義）.
某團隊在基地O點西側(cè)、東側(cè)20千米處分別設(shè)有A，B兩站點，測量距離發(fā)現(xiàn)一點P滿足｜PA｜－｜PB｜＝20千米，可知P在以點A，B為焦點的雙曲線上.以O(shè)點為坐標(biāo)原點，正東方向為x軸正半軸方向，正北方向為y軸正半軸方向，建立平面直角坐標(biāo)系，點P在基地O點北偏東60°處，則P點的坐標(biāo)為 1522，562 .
解析：設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0），則a＝10，c＝20，∴b2＝c2－a2＝300，∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2100－y2300＝1.由題意可得直線OP：y＝33x，由x2100－y2300=1，y＝33x，可得x＝1522，y＝562，∴P1522，562.
“三案”破解圓錐曲線中的離心率問題

離心率是圓錐曲線的一個重要元素，它的變化直接導(dǎo)致曲線形狀甚至是類型的變化，求圓錐曲線的離心率或范圍問題是近幾年高考的熱點，這類問題所涉及的知識點較多、綜合性強，解法靈活，內(nèi)涵豐富，具有極好的素養(yǎng)評價功能.
一、以代數(shù)方案破解離心率問題
【例1】 （1）已知橢圓x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦點為F1，F(xiàn)2，以｜F1F2｜為直徑的圓與橢圓有四個交點，則橢圓離心率的取值范圍為（ ）
A.（22，1） B.［22，1）
C.（12，1） D.［12，1）
（2）已知雙曲線x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，點B為雙曲線虛軸的上端點，A為雙曲線的左頂點，若∠ABF＝π2，則雙曲線的離心率為（ ）
A.2 B.3
C.5 D.1+52
答案：（1）A （2）D
解析：（1）因為以｜F1F2｜為直徑的圓與橢圓有四個交點，所以b＜c，即b2＜c2，a2－c2＜c2，a2＜2c2，所以e2＞12，即e＞22，又因為0＜e＜1，所以橢圓離心率的取值范圍為（22，1）.故選A.
（2）由已知得，F(xiàn)的坐標(biāo)為（c，0），B的坐標(biāo)為（0，b），A的坐標(biāo)為（－a，0），所以BA＝（－a，－b），BF＝（c，－b），又∠ABF＝π2，所以BA·BF＝0，故b2＝ac，即c2－a2＝ac，所以e2－e－1＝0，解得e＝1+52（負值舍去），故選D.
點評 利用代數(shù)方案破解圓錐曲線中的離心率問題就是利用橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中的參數(shù)a（b）用代數(shù)方法求出它們的值或范圍，進而求得離心率的值或范圍.
二、以幾何方案破解離心率問題
類型1 從定義入手，建立參數(shù)a，b，c的關(guān)系
【例2】 已知橢圓E：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的右焦點為F，短軸的一個端點為M，直線l：3x－4y＝0交橢圓E于A，B兩點.若｜AF｜＋｜BF｜＝4，點M到直線l的距離不小于45，則橢圓E的離心率的取值范圍是（ ）
A.（0，32］ B.（0，34］
C.［32，1） D.［34，1）
解析：A 設(shè)左焦點為F1，連接AF1，BF1（圖略），則四邊形BF1AF是平行四邊形，故｜AF1｜＝｜BF｜，所以｜AF｜＋｜BF｜＝｜AF｜＋｜AF1｜＝4＝2a，所以a＝2，設(shè)M（0，b），M到直線l的距離不小于45，得4b5≥45，故b≥1，即a2－c2≥1，0＜c2≤3，所以0＜e≤32，故選A.
點評 本例以曲線上一點到兩焦點的距離之和等于某值給出，使我們自然聯(lián)想到橢圓、雙曲線的定義構(gòu)建焦點三角形，再結(jié)合其他條件建立參數(shù)a，b，c之間的關(guān)系式，進而求得離心率的值或范圍.
類型2 從點的坐標(biāo)入手，建立參數(shù)a，b，c的關(guān)系
【例3】 在平面直角坐標(biāo)系xOy中，雙曲線C1：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的漸近線與拋物線C2：x2＝2py（p＞0）交于點O，A，B，若△OAB的垂心為C2的焦點，則C1的離心率為 32 .
解析：C1：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的漸近線方程為y＝±bax，聯(lián)立漸近線方程與拋物線方程得交點的坐標(biāo)A（2pba，2pb2a2），B（－2pba，2pb2a2），又由于C2：x2＝2py（p＞0）的焦點F（0，p2），△OAB的垂心為C2的焦點，故有AF⊥OB，則kAF＝2pb2a2－p22pba＝ab，即b2a2＝54，c2a2＝a2＋b2a2＝94，e＝ca＝32.
點評 從與參數(shù)a，b，c相關(guān)的點入手，利用圖形中點、線所具有的平行、垂直、對稱、相等、共線等幾何特征，結(jié)合圓錐曲線的頂點、焦點、漸近線等相關(guān)量，建立與參數(shù)a，b，c相關(guān)的關(guān)系式，進而求得離心率的值或范圍.
類型3 從幾何圖形的特征入手，建立a，b，c的關(guān)系
【例4】 過雙曲線x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左焦點F作圓4x2＋4y2＝a2的切線，切點為E，延長FE交雙曲線右支于點P，若E為PF的中點，則雙曲線的離心率為 102 .
解析：設(shè)雙曲線x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的右焦點為F1，因為E為PF的中點，O為FF1的中點，所以O(shè)E為△FPF1的中位線，有｜PF1｜＝2｜OE｜，又PF與圓相切于點E，圓的半徑為a2，所以有｜PF1｜＝a，又｜PF｜－｜PF1｜＝2a，所以｜PF｜＝3a，在Rt△OEF中，｜OE｜2＋｜EF｜2＝｜OF｜2，即（a2）2＋（3a2）2＝c2，所以e2＝104，e＝102.
點評 從圓錐曲線中某些圖形的幾何特征入手（如直角三角形、等腰三角形、圓、圓的切線等），建立關(guān)于a，b，c的關(guān)系式，進而求得離心率的值或范圍.
三、以解三角形方案破解離心率問題
【例5】 設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，O是坐標(biāo)原點.過F2作C的一條漸近線的垂線，垂足為P.若｜PF1｜＝6｜OP｜，則C的離心率為（ ）
A.5 B.2
C.3 D.2
解析：C 因為點F2（c，0）到漸近線y＝bax的距離｜PF2｜＝｜bca－0｜1+（ba）2＝b（b＞0），而｜OF2｜＝c，所以在Rt△OPF2中，由勾股定理可得｜OP｜＝c2－b2＝a，所以｜PF1｜＝6｜OP｜＝6a.在Rt△OPF2中，cs∠PF2O＝｜PF2｜｜OF2｜＝bc，在△F1F2P中，cs∠PF2O＝｜PF2｜2＋｜F1F2｜2?|PF1｜22｜PF2｜·｜F1F2｜＝b2+4c2－6a22b·2c，所以bc＝b2+4c2－6a24bc?3b2＝4c2－6a2，則有3（c2－a2）＝4c2－6a2，解得ca＝3（負值舍去），即e＝3.故選C.
點評 把圓錐曲線的離心率問題與解三角形完美的結(jié)合，通過正、余弦定理及圓錐曲線的定義、幾何性質(zhì)，尋找與參數(shù)a，b，c相關(guān)的齊次關(guān)系，進而求得離心率的值或范圍.
1.（2024·南京模擬）已知橢圓E：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的兩條弦AB，CD相交于點P（點P在第一象限），且AB⊥x軸，CD⊥y軸.若｜PA｜∶｜PB｜∶｜PC｜∶｜PD｜＝1∶3∶1∶5，則橢圓E的離心率為（ ）
A.55 B.105
C.255 D.2105
解析：B 由題意可知，點A，C在第一象限，如圖.設(shè)｜PA｜＝｜PC｜＝t，則｜PB｜＝3t，｜PD｜＝5t，由橢圓的對稱性知A（2t，2t），C（3t，t），∴4t2a2＋4t2b2＝1，9t2a2＋t2b2＝1，消去t可得5a2＝3b2，即3a2＝5b2＝5（a2－c2），得2a2＝5c2，∴橢圓E的離心率e＝105.故選B.
2.已知F1，F(xiàn)2分別是雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，點P是雙曲線C上在第一象限內(nèi)的一點，若sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，則雙曲線C的離心率的取值范圍為（ ）
A.（1，2） B.（1，3）
C.（3，＋∞） D.（2，3）
解析：A 在△PF1F2中，sin∠PF2F1＝3sin∠PF1F2，由正弦定理，得｜PF1｜＝3｜PF2｜，又點P是雙曲線C上在第一象限內(nèi)的一點，所以｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，所以｜PF1｜＝3a，｜PF2｜＝a，在△PF1F2中，由｜PF1｜＋｜PF2｜＞｜F1F2｜，得3a＋a＞2c，即2a＞c，所以e＝ca＜2，又e＞1，所以1＜e＜2.故選A.
1.若直線x＝a與雙曲線x24－y2＝1有兩個交點，則a的值可以是（ ）
A.4 B.2
C.1 D.－2
解析：A 因為在雙曲線x24－y2＝1中，x≥2或x≤－2，所以若x＝a與雙曲線有兩個交點，則a＞2或a＜－2，故只有A符合題意.
2.已知F是雙曲線C：x2－y23＝1的右焦點，P是C上一點，且PF與x軸垂直，點A的坐標(biāo)是（1，3），則△APF的面積為（ ）
A.13 B.12
C.23 D.32
解析：D 由c2＝a2＋b2＝4得c＝2，所以F（2，0），將x＝2代入x2－y23＝1，得y＝±3，所以｜PF｜＝3.又A的坐標(biāo)是（1，3），故△APF的面積為12×3×（2－1）＝32.
3.已知等軸雙曲線的中心在坐標(biāo)原點，焦點在x軸上，與直線y＝12x交于A，B兩點，若｜AB｜＝215，則該雙曲線的方程為（ ）
A.x2－y2＝6
B.x2－y2＝9
C.x2－y2＝16
D.x2－y2＝25
解析：B 設(shè)等軸雙曲線的方程為x2－y2＝a2（a＞0），與y＝12x聯(lián)立，得34x2－a2＝0.設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則x1＋x2＝0，x1·x2＝－4a23，∴｜AB｜＝1+（12）2×433a＝215，∴a＝3，雙曲線方程為x2－y2＝9，故選B.
4.如圖所示的半圓形區(qū)域為一個油桃園.每年油桃成熟時，園主都需要雇傭工人采摘，并沿兩條路徑將采摘好的油桃運送到C處，有兩種路徑可供選擇，路徑1：先集中到A處，再沿AC運送；路徑2：先集中到B處，再沿BC運送.園主在果園中畫定了一條界線，使得從該界線上的點出發(fā)，按這兩種路徑運送油桃至C處所走路程同樣遠.已知AC＝300 m，BC＝400 m，AC⊥BC，若這條界線是曲線E的一部分，則曲線E為（ ）
A.圓 B.橢圓
C.拋物線 D.雙曲線
解析：D 從界線上的點P出發(fā)，經(jīng)A到C與經(jīng)B到C所走的路程是一樣的，即｜AP｜＋｜AC｜＝｜BP｜＋｜BC｜，所以｜AP｜－｜BP｜＝｜BC｜－｜AC｜，又｜BC｜＝400，｜AC｜＝300，所以｜AP｜－｜BP｜＝400－300＝100，因為｜AB｜＝｜AC｜2＋｜BC｜2＝500，所以根據(jù)雙曲線的定義可知曲線E為雙曲線的一部分.故選D.
5.設(shè)O為坐標(biāo)原點，直線x＝2a與雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線分別交于D，E兩點，若△ODE的面積為8，則C的焦距的最小值為（ ）
A.32 B.16
C.8 D.4
解析：D 由題意可得雙曲線的漸近線方程為y＝±bax，令x＝2a，得y＝±2b，不妨取D（2a，2b），E（2a，－2b），則S△ODE＝12×2a×4b＝4ab＝8，所以ab＝2.又c2＝a2＋b2≥2ab＝4，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時取等號，所以C的焦距的最小值為2×2＝4.故選D.
6.（多選）設(shè)F1，F(xiàn)2為雙曲線C：x2－y2b2＝1（b＞0）的左、右焦點，過F2的直線交雙曲線C的右支于P，Q兩點，直線l：3x－y＝0為雙曲線C的一條漸近線，則（ ）
A.b＝3
B.弦PQ長的最小值為6
C.存在點P，使得｜PF1｜＝3
D.點P到直線m：3x－y＋2＝0距離的最小值為1
解析：AB 由題知，a＝1，漸近線3x－y＝0?y＝3x?ba＝3?b＝3，c＝2，故A正確；｜PQ｜為雙曲線右支上的焦點弦，則其為通徑，即與x軸垂直時最短，｜PQ｜min＝2b2a＝2×3＝6，故B正確；根據(jù)雙曲線定義知｜PF1｜－｜PF2｜＝2a?｜PF1｜＝2a＋｜PF2｜≥2a＋c－a＝a＋c＝1＋2＝3，∴當(dāng)P為雙曲線右頂點（1，0）時，｜PF1｜取最小值3，但此時F2P與雙曲線的右支沒有兩個交點，故C錯誤；∵直線m和雙曲線的漸近線l平行，故雙曲線上點P到直線m的距離沒有最小值，故D錯誤.故選A、B.
7.直線y＝x＋1與雙曲線x22－y23＝1相交于A，B兩點，則｜AB｜＝ 46.
解析：由y＝x+1，x22－y23=1，得x2－4x－8＝0.設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則Δ>0，x1＋x2=4，x1·x2＝－8，∴｜AB｜＝（1+k2)[(x1＋x2）2－4x1x2]＝2×（16+32）＝46.
8.若直線y＝2x與雙曲線x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）恒有兩個公共點，則雙曲線離心率的取值范圍是 （3，＋∞） .
解析：因為直線y＝2x與雙曲線x2a2－y2b2＝1恒有兩個公共點，所以ba＞2，則e＝ca＝1+b2a2＞1+2＝3，所以雙曲線離心率的取值范圍是（3，＋∞）.
9.以A（2，1）為中點的雙曲線C：2x2－y2＝2的弦所在直線的方程為 4x－y－7＝0 .
解析：設(shè)A（2，1）是弦P1P2的中點，且P1（x1，y1），P2（x2，y2），則x1＋x2＝4，y1＋y2＝2，∵P1，P2在雙曲線上，∴2x12－y12=2，2x22－y22=2，∴2（x1＋x2）（x1－x2）－（y1＋y2）（y1－y2）＝0，∴2×4（x1－x2）＝2（y1－y2），∴k＝y(tǒng)1－y2x1－x2＝4.∴以A（2，1）為中點的雙曲線的弦所在的直線方程為y－1＝4（x－2），整理得4x－y－7＝0.聯(lián)立4x－y－7=0，2x2－y2=2得14x2－56x＋51＝0，∵Δ＝（－56）2－4×14×51＞0.∴以A（2，1）為中點的雙曲線的弦所在的直線方程為4x－y－7＝0.
10.已知雙曲線C：x24－y2＝1，P為雙曲線C上的任意一點.
（1）求證：點P到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個常數(shù)；
（2）設(shè)點A的坐標(biāo)為（3，0），求｜PA｜的最小值.
解：（1）證明：設(shè)P（x1，y1）是雙曲線上任意一點.
該雙曲線的兩條漸近線方程分別是x－2y＝0，x＋2y＝0，
∴點P（x1，y1）到兩條漸近線的距離分別是｜x1－2y1｜5和｜x1+2y1｜5，
它們的乘積是｜x1－2y1｜5·｜x1+2y1｜5＝｜x12－4y12｜5＝45，
故點P到雙曲線C的兩條漸近線的距離的乘積是一個常數(shù).
（2）設(shè)點P的坐標(biāo)為（x，y），則｜PA｜2＝（x－3）2＋y2＝（x－3）2＋x24－1＝54x－1252＋45.
∵｜x｜≥2，∴當(dāng)x＝125時，｜PA｜2取最小值45，
∴｜PA｜的最小值為255.
11.《九章算術(shù)》是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，第九章“勾股”，講述了“勾股定理”及一些應(yīng)用，直角三角形的兩直角邊與斜邊的長分別稱“勾”“股”“弦”，且“勾2＋股2＝弦2”.設(shè)F1，F(xiàn)2分別是雙曲線x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點，直線y＝3x交雙曲線左、右兩支于A，B兩點，若｜BF1｜，｜BF2｜恰好是Rt△F1BF2的“勾”“股”，則此雙曲線的離心率為（ ）
A.3＋1 B.3
C.2 D.5
解析：A 如圖所示，由題意可知，｜OB｜＝｜OF1｜＝｜OF2｜＝c，∠BOF2＝60°，所以｜BF2｜＝c，｜BF1｜＝3c，由雙曲線的定義可得，3c－c＝2a，所以e＝ca＝23－1＝3＋1.故選A.
12.已知雙曲線x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在雙曲線的右支上，且｜PF1｜＝4｜PF2｜，則此雙曲線的離心率e的最大值為 53 .
解析：由雙曲線的定義，知｜PF1｜－｜PF2｜＝2a.又｜PF1｜＝4｜PF2｜，∴｜PF1｜＝83a，｜PF2｜＝23a.在△PF1F2中，由余弦定理，得cs∠F1PF2＝649a2＋49a2－4c22×83a×23a＝178－98e2.求e的最大值，即求cs∠F1PF2的最小值，故當(dāng)∠F1PF2＝π，即178－98e2＝－1時，e取得最大值，此時e2＝259，∴emax＝53.
13.已知雙曲線E：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的離心率為2，點P（2，3）在E上.
（1）求E的方程；
（2）過點Q（0，1）的直線l交E于不同的兩點A，B（異于點P），求直線PA，PB的斜率之和.
解：（1）由已知可得E的離心率e＝ca＝2，又c2＝a2＋b2，
∴e2＝c2a2＝1＋b2a2＝4，解得b2＝3a2. ①
∵點P（2，3）在E上，∴4a2－9b2＝1， ②
由①②可得a2＝1，b2＝3.
∴雙曲線E的方程為x2－y23＝1.
（2）由題意知，過點Q（0，1）的直線l的斜率顯然存在，
設(shè)l的方程為y＝kx＋1，A（x1，y1），B（x2，y2），
∵kPQ＝3－12－0＝1，∴當(dāng)k＝1時，l與E的交點與P點重合，故k≠1.
當(dāng)k≠1時，將l的方程代入雙曲線E的方程并整理，得（3－k2）x2－2kx－4＝0，
依題意3－k2≠0，且Δ＝48－12k2＞0，∴k2＜4且k2≠3且k≠1，
因此，x1＋x2＝2k3－k2，x1x2＝－43－k2.
∴kPA＋kPB＝y(tǒng)1－3x1－2＋y2－3x2－2＝kx1+1－3x1－2＋kx2+1－3x2－2＝2k＋（2k－2）（1x1－2＋1x2－2）＝2k＋（2k－2)(x1＋x2－4）x1x2－2（x1＋x2）+4
＝2k＋（2k－2）×2（2k－3)(k+2）－4（k－1)(k+2）＝3.
14.（多選）已知雙曲線C1：x2a12－y2b12＝1（a1＞0，b1＞0）的一條漸近線的方程為y＝3x，且過點（1，32），橢圓C2：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的焦距與雙曲線C1的焦距相同，且橢圓C2的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F1的直線交C2于A，B兩點，若點A（1，y1），則下列說法中正確的有（ ）
A.雙曲線C1的離心率為2
B.雙曲線C1的實軸長為12
C.點B的橫坐標(biāo)的取值范圍為（－2，－1）
D.點B的橫坐標(biāo)的取值范圍為（－3，－1）
解析：AD 雙曲線C1：x2a12－y2b12＝1（a1＞0，b1＞0）的一條漸近線的方程為y＝3x，則可設(shè)雙曲線C1的方程為x2－y23＝λ（λ＞0），∵過點（1，32），∴1－34＝λ，解得λ＝14，∴雙曲線C1的方程為4x2－43y2＝1，即x214－y234＝1，可知雙曲線C1的離心率e＝2，實軸的長為1，故選項A正確，選項B錯誤；由14＋34＝1，可知橢圓C2：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的焦點F1（－1，0），F(xiàn)2（1，0），不妨設(shè)A（1，y1）（y1＞0），代入x2a2＋y2b2＝1，得1a2＋y12b2＝1，∴y1＝b2a，直線AB的方程為y＝b22a（x＋1），聯(lián)立
y＝b22a（x+1),x2a2＋y2b2=1，消去y并整理得（a2＋3）x2＋2（a2－1）x－3a2－1＝0，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得1·xB＝－3a2+1a2+3，可得xB＝－3a2+1a2+3＝－3＋8a2+3，又a2＞1，∴a2＋3＞4，0＜8a2＋3＜2，∴－3＜xB＜－1，故選項C錯誤，選項D正確，故選A、D.
15.已知雙曲線C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的一條漸近線的方程為y＝3x，右焦點F到直線x＝a2c的距離為32.
（1）求雙曲線C的方程；
（2）斜率為1且在y軸上的截距大于0的直線l與雙曲線C相交于B，D兩點，已知A（1，0），若DF·BF＝1，證明：過A，B，D三點的圓與x軸相切.
解：（1）依題意有ba＝3，c－a2c＝32，
∵a2＋b2＝c2，∴c＝2a，∴a＝1，c＝2，
∴b2＝3，
∴雙曲線C的方程為x2－y23＝1.
（2）證明：設(shè)直線l的方程為y＝x＋m（m＞0），
B（x1，x1＋m），D（x2，x2＋m），BD的中點為M，
由y＝x＋m，x2－y23=1得2x2－2mx－m2－3＝0，
∴x1＋x2＝m，x1x2＝－m2+32，
又DF·BF＝1，即（2－x1）（2－x2）＋（x1＋m）·（x2＋m）＝1，
∴m＝0（舍）或m＝2，
∴x1＋x2＝2，x1x2＝－72，M點的橫坐標(biāo)為x1＋x22＝1，
∵DA·BA＝（1－x1）（1－x2）＋（x1＋2）（x2＋2）＝5＋2x1x2＋x1＋x2＝5－7＋2＝0，
∴AD⊥AB，∴過A，B，D三點的圓以點M為圓心，BD為直徑，
∵點M的橫坐標(biāo)為1，∴MA⊥x軸.
∴過A，B，D三點的圓與x軸相切。
直線與雙曲線的位置關(guān)系
雙曲線中的最值（范圍）問題
雙曲線模型的實際應(yīng)用

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