?第5講　橢　圓

1．橢圓的定義
條件
結論1
結論2
平面內的動點M與平面內的兩個定點F1，F(xiàn)2
M點的
軌跡為
橢圓
F1、F2為橢圓的焦點
|F1F2|為橢圓的焦距
|MF1|＋|MF2|＝2a
2a＞|F1F2|
2.橢圓的標準方程和幾何性質
標準方程
＋＝1(a＞b＞0)
＋＝1(a＞b＞0)
圖形


性質
范圍
－a≤x≤a
－b≤y≤b
－b≤x≤b
－a≤y≤a
對稱性
對稱軸：x軸、y軸
對稱中心：(0，0)
頂點
A1(－a，0)，A2(a，0)
B1(0，－b)，B2(0，b)
A1(0，－a)，A2(0，a)
B1(－b，0)，B2(b，0)
軸
長軸A1A2的長為2a
短軸B1B2的長為2b
焦距
|F1F2|＝2c
離心率
e＝，e∈(0，1)
a，b，c的關系
c2＝a2－b2
3.點與橢圓的位置關系
已知點P(x0，y0)，橢圓＋＝1(a>b>0)，則
(1)點P(x0，y0)在橢圓內?＋1.
4．橢圓中四個常用結論
(1)P是橢圓上一點，F(xiàn)為橢圓的焦點，則|PF|∈[a－c，a＋c]，即橢圓上的點到焦點距離的最大值為a＋c，最小值為a－c.
(2)橢圓的通徑(過焦點且垂直于長軸的弦)長為，通徑是最短的焦點弦．
(3)P是橢圓上不同于長軸兩端點的任意一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的兩焦點，則△PF1F2的周長為2(a＋c)．
(4)設P，A，B是橢圓上不同的三點，其中A，B關于原點對稱，直線PA，PB斜率存在且不為0，則直線PA與PB的斜率之積為定值－.

[疑誤辨析]
判斷正誤(正確的打“√”，錯誤的打“×”)
(1)平面內與兩個定點F1，F(xiàn)2的距離之和等于常數的點的軌跡是橢圓．(　　)
(2)橢圓的離心率e越大，橢圓就越圓．(　　)
(3)橢圓既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形．(　　)
(4)方程mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)表示的曲線是橢圓．(　　)
(5)＋＝1(a>b>0)與＋＝1(a>b>0)的焦距相同．(　　)
答案：(1)×　(2)×　(3)√　(4)√　(5)√
[教材衍化]
1．(選修2-1P40例1改編)若F1(－3，0)，F(xiàn)2(3，0)，點P到F1，F(xiàn)2距離之和為10，則P點的軌跡方程是(　　)
A.＋＝1　　　　　　 B.＋＝1
C.＋＝1 D.＋＝1或＋＝1
解析：選A.設點P的坐標為(x，y)，因為|PF1|＋|PF2|＝10>|F1F2|＝6，所以點P的軌跡是以F1，F(xiàn)2為焦點的橢圓，其中a＝5，c＝3，b＝＝4，故點P的軌跡方程為＋＝1.故選A.
2．(選修2-1P49A組T6改編)設橢圓的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F2作橢圓長軸的垂線交橢圓于點P，若△F1PF2為等腰直角三角形，則橢圓的離心率是(　　)
A. B.
C．2－ D.－1
解析：選D.設橢圓方程為＋＝1，依題意，顯然有|PF2|＝|F1F2|，則＝2c，即＝2c，即e2＋2e－1＝0，又00，10－m－(m－2)＝4，所以m＝4.當焦點在y軸上時，m－2>10－m>0，m－2－(10－m)＝4，所以m＝8.所以m＝4或8.
答案：4或8
3．已知點P是橢圓＋＝1上y軸右側的一點，且以點P及焦點F1，F(xiàn)2為頂點的三角形的面積等于1，則點P的坐標為________．
解析：設P(x，y)，由題意知c2＝a2－b2＝5－4＝1，所以c＝1，則F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)．由題意可得點P到x軸的距離為1，所以y＝±1，把y＝±1代入＋＝1，得x＝±，又x>0，所以x＝，所以P點坐標為或.
答案：或


　　　　　　橢圓的定義及應用
(1)(2019·高考浙江卷)已知橢圓＋＝1的左焦點為F，點P在橢圓上且在x軸的上方．若線段PF的中點在以原點O為圓心，|OF|為半徑的圓上，則直線PF的斜率是________．
(2)(2020·杭州模擬)已知F1、F2是橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的兩個焦點，P為橢圓C上的一點，且PF1⊥PF2，若△PF1F2的面積為9，則b＝________．
【解析】　(1)如圖，取PF的中點M，連接OM，由題意知|OM|＝|OF|＝2，設橢圓的右焦點為F1，連接PF1.在△PFF1中，OM為中位線，所以|PF1|＝4，由橢圓的定義知|PF|＋|PF1|＝6，所以|PF|＝2，因為M為PF的中點，所以|MF|＝1.在等腰三角形OMF中，過O作OH⊥MF于點H，所以|OH|＝＝，所以kPF＝tan∠HFO＝＝.
(2)設|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，則
所以2r1r2＝(r1＋r2)2－(r＋r)＝4a2－4c2＝4b2，
所以S△PF1F2＝r1r2＝b2＝9，所以b＝3.
【答案】　(1)　(2)3

(變條件)本例(2)中增加條件“△PF1F2的周長為18”，其他條件不變，求該橢圓的方程．
解：由原題得b2＝a2－c2＝9，
又2a＋2c＝18，所以a－c＝1，解得a＝5，
故橢圓的方程為＋＝1.

(1)橢圓定義的應用范圍
①確認平面內與兩定點有關的軌跡是否為橢圓．
②解決與焦點有關的距離問題．
(2)焦點三角形的結論
橢圓上的點P(x0，y0)與兩焦點構成的△PF1F2叫作焦點三角形．如圖所示，設∠F1PF2＝θ.
①|PF1|＋|PF2|＝2a.
②4c2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1||PF2|cos θ.
③焦點三角形的周長為2(a＋c)．
④S△PF1F2＝|PF1||PF2|·sin θ＝b2·＝b2tan ＝c|y0|，當|y0|＝b，即P為短軸端點時，S△PF1F2取最大值，為bc.　

1．(2020·溫州模擬)設F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1的兩個焦點，P是橢圓上的一點，且|PF1|∶|PF2|＝2∶1，則△PF1F2的面積為(　　)
A．4　　　　　　　　　　　 B．6
C．2 D．4
解析：選A.因為點P在橢圓上，所以|PF1|＋|PF2|＝6，又因為|PF1|∶|PF2|＝2∶1，所以|PF1|＝4，|PF2|＝2，又易知|F1F2|＝2，顯然|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，故△PF1F2為直角三角形，所以△PF1F2的面積為×2×4＝4.故選A.
2．已知兩圓C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，動圓在圓C1內部且和圓C1相內切，和圓C2相外切，則動圓圓心M的軌跡方程為________．
解析：設動圓M的半徑為r，則|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16，又|C1C2|＝80，n>0，且m≠n)．因為橢圓經過P1，P2兩點，所以P1，P2點坐標適合橢圓方程，則
①②兩式聯(lián)立，解得
所以所求橢圓方程為＋＝1.
答案：＋＝1
2．已知橢圓C1：＋y2＝1，橢圓C2以C1的長軸為短軸，且與C1有相同的離心率，則橢圓C2的方程為________．
解析：法一：(待定系數法)由已知可設橢圓C2的方程為＋＝1(a>2)，其離心率為，故＝，
解得a＝4，故橢圓C2的方程為＋＝1.
法二：(橢圓系法)因橢圓C2與C1有相同的離心率，且焦點在y軸上，故設C2：＋x2＝k(k>0)，即＋＝1.
又2＝2×2，故k＝4，故C2的方程為＋＝1.
答案：＋＝1
3．與橢圓＋＝1有相同離心率且經過點(2，－)的橢圓的方程為________________．
解析：法一：(待定系數法)
因為e＝＝＝＝＝，若焦點在x軸上，設所求橢圓方程為＋＝1(m>n>0)，
則1－＝.從而＝，＝.
又＋＝1，所以m2＝8，n2＝6.
所以方程為＋＝1.
若焦點在y軸上，設方程為＋＝1(h>k>0)，則＋＝1，且＝，解得h2＝，k2＝.
故所求方程為＋＝1.
法二：(橢圓系法)
若焦點在x軸上，設所求橢圓方程為＋＝t(t>0)，將點 (2，－)代入，得t＝＋＝2.故所求方程為＋＝1.
若焦點在y軸上，設方程為＋＝λ(λ>0)，
代入點(2，－)，得λ＝，故所求方程為＋＝1.
答案：＋＝1或＋＝1

　　　　　　橢圓的幾何性質(高頻考點)
橢圓的幾何性質是高考的熱點，高考中多以小題出現(xiàn)，試題難度一般較大．主要命題角度有：
(1)由橢圓的方程研究其性質；
(2)求橢圓離心率的值(范圍)；
(3)由橢圓的性質求參數的值(范圍)；
(4)橢圓性質的應用．
角度一　由橢圓的方程研究其性質
已知橢圓＋＝1(a>b>0)的一個焦點是圓x2＋y2－6x＋8＝0的圓心，且短軸長為8，則橢圓的左頂點為(　　)
A．(－3，0) B．(－4，0)
C．(－10，0) D．(－5，0)
【解析】　因為圓的標準方程為(x－3)2＋y2＝1，
所以圓心坐標為(3，0)，所以c＝3.又b＝4，
所以a＝＝5.
因為橢圓的焦點在x軸上，
所以橢圓的左頂點為(－5，0)．
【答案】　D
角度二　求橢圓離心率的值(范圍)
(1)(2020·麗水模擬)橢圓C的兩個焦點分別是F1，F(xiàn)2，若C上的點P滿足|PF1|＝|F1F2|，則橢圓C的離心率e的取值范圍是(　　)
A．e≤ B．e≥
C.≤e≤ D．00)的右焦點F(c，0)關于直線y＝x的對稱點Q在橢圓上，則橢圓的離心率是________．
【解析】　(1)因為橢圓C上的點P滿足|PF1|＝|F1F2|，所以|PF1|＝×2c＝3c.
由a－c≤|PF1|≤a＋c，
解得≤≤.
所以橢圓C的離心率e的取值范圍是.
(2)設橢圓的另一個焦點為F1(－c，0)，如圖，連接QF1，QF，設QF與直線y＝x交于點M.

由題意知M為線段QF的中點，且OM⊥FQ，
又O為線段F1F的中點，
所以F1Q∥OM，
所以F1Q⊥QF，|F1Q|＝2|OM|.
在Rt△MOF中，tan∠MOF＝＝，|OF|＝c，
可解得|OM|＝，|MF|＝，
故|QF|＝2|MF|＝，|QF1|＝2|OM|＝.
由橢圓的定義得|QF|＋|QF1|＝＋＝2a，
整理得b＝c，所以a＝＝c，
故e＝＝.
【答案】　(1)C　(2)
角度三　由橢圓的性質求參數的值(范圍)
已知橢圓mx2＋4y2＝1的離心率為，則實數m等于(　　)
A．2 B．2或
C．2或6 D．2或8
【解析】　顯然m>0且m≠4，當0b>0)的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線bx－ay＋2ab＝0相切，則C的離心率為(　　)
A. B.
C. D.
解析：選A.以線段A1A2為直徑的圓的方程為x2＋y2＝a2，由原點到直線bx－ay＋2ab＝0的距離d＝＝a，得a2＝3b2，所以C的離心率e＝＝，選A.
3．橢圓＋y2＝1上到點C(1，0)的距離最小的點P的坐標為________．
解析：設點P(x，y)，則
|PC|2＝(x－1)2＋y2＝(x－1)2＋
＝x2－2x＋2＝＋.
因為－2≤x≤2，所以當x＝時，|PC|min＝，
此時點P的坐標為或.
答案：或

[基礎題組練]
1．已知橢圓＋＝1的焦點在x軸上，焦距為4，則m等于(　　)
A．8　　　　　　　　　　　 B．7
C．6 D．5
解析：選A.因為橢圓＋＝1的焦點在x軸上．
所以解得60)的離心率為，短軸長為4，則橢圓的標準方程為________．
解析：由題意可知e＝＝，2b＝4，得b＝2，
所以解得
所以橢圓的標準方程為＋＝1.
答案：＋＝1
8．(2020·義烏模擬)已知圓(x－2)2＋y2＝1經過橢圓＋＝1(a>b>0)的一個頂點和一個焦點，則此橢圓的離心率e＝________．
解析：圓(x－2)2＋y2＝1經過橢圓＋＝1(a>b>0)的一個頂點和一個焦點，故橢圓的一個焦點為F(1，0)，一個頂點為A(3，0)，所以c＝1，a＝3，因此橢圓的離心率為.
答案：
9．(2020·瑞安四校聯(lián)考)橢圓＋＝1(a為定值，且a＞)的左焦點為F，直線x＝m與橢圓相交于點A，B.若△FAB的周長的最大值是12，則該橢圓的離心率是________．
解析：設橢圓的右焦點為F′，如圖，由橢圓定義知，|AF|＋|AF′|＝|BF|＋|BF′|＝2a.
又△FAB的周長為|AF|＋|BF|＋|AB|≤|AF|＋|BF|＋|AF′|＋|BF′|＝4a，
當且僅當AB過右焦點F′時等號成立．
此時周長最大，即4a＝12，則a＝3.故橢圓方程為＋＝1，
所以c＝2，所以e＝＝.
答案：
10．已知F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦點，點在橢圓上，且點(－1，0)到直線PF2的距離為，其中點P(－1，－4)，則橢圓的標準方程為________．
解析：設F2的坐標為(c，0)(c>0)，則kPF2＝，故直線PF2的方程為y＝(x－c)，即x－y－＝0，點(－1，0)到直線PF2的距離d＝＝＝，即＝4，
解得c＝1或c＝－3(舍去)，所以a2－b2＝1.①
又點在橢圓E上， 所以＋＝1，②
由①②可得所以橢圓的標準方程為＋y2＝1.
答案：＋y2＝1
11．已知點P在以坐標軸為對稱軸的橢圓上，且P到兩焦點的距離分別為5，3，過P且與長軸垂直的直線恰過橢圓的一個焦點．求該橢圓的標準方程．
解：由于焦點的位置不確定，所以設所求的橢圓方程為＋＝1(a＞b＞0)或＋＝1(a＞b＞0)，
由已知條件得
解得a＝4，c＝2，所以b2＝12.
故橢圓方程為＋＝1或＋＝1.
12．已知橢圓＋＝1(a>b>0)，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓的左、右焦點，A為橢圓的上頂點，直線AF2交橢圓于另一點B.
(1)若∠F1AB＝90°，求橢圓的離心率；
(2)若＝2，·＝，求橢圓的方程．
解：(1)若∠F1AB＝90°，則△AOF2為等腰直角三角形，所以有OA＝OF2，即b＝c.所以a＝c，e＝＝.
(2)由題知A(0，b)，F(xiàn)1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，其中c＝，設B(x，y)．由＝2，得(c，－b)＝2(x－c，y)，解得x＝，y＝－，即B.將B點坐標代入＋＝1，得＋＝1，即＋＝1，解得a2＝3c2①.又由·＝(－c，－b)·＝，得b2－c2＝1，即有a2－2c2＝1②.由①②解得c2＝1，a2＝3，從而有b2＝2.所以橢圓的方程為＋＝1.
[綜合題組練]
1．(2020·浙江百校聯(lián)盟聯(lián)考)已知橢圓＋＝1(a>b>0)的右頂點和上頂點分別為A、B，左焦點為F.以原點O為圓心的圓與直線BF相切，且該圓與y軸的正半軸交于點C，過點C的直線交橢圓于M、N兩點．若四邊形FAMN是平行四邊形，則該橢圓的離心率為(　　)
A. B.
C. D.
解析：選A.因為圓O與直線BF相切，所以圓O的半徑為，即|OC|＝，因為四邊形FAMN是平行四邊形，所以點M的坐標為，代入橢圓方程得＋＝1，所以5e2＋2e－3＝0，又0b>0)，
由題意知a＝2，b＝c，又a2＝b2＋c2，則b＝，
所以橢圓的方程為＋＝1.
(2)設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意知，直線l的斜率存在，設其方程為y＝kx＋m，與橢圓方程聯(lián)立，
得
則(2＋k2)x2＋2mkx＋m2－4＝0，
Δ＝(2mk)2－4(2＋k2)(m2－4)>0.
由根與系數的關系知，
又由＝2，即(－x1，m－y1)＝2(x2，y2－m)，
得－x1＝2x2，故
可得＝－2，
整理得(9m2－4)k2＝8－2m2，
又9m2－4＝0時不符合題意，所以k2＝>0，
解得

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