1.已知i是虛數(shù)單位，則 21?i的虛部為( )
A. 1B. iC. 22D. 22i
2.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，直線AC和直線BC1所成的角為( )
A. π6B. π4C. π3D. π2
3.已知△ABC中內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若B=60°，b=3，則a+csinA+sinC=( )
A. 36B. 16C. 2 3D. 6
4.已知某種設(shè)備在一年內(nèi)需要維修的概率為0.2.用計(jì)算器產(chǎn)生1～5之間的隨機(jī)數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)隨機(jī)數(shù)1時(shí)，表示一年內(nèi)需要維修，其概率為0.2，由于有3臺(tái)設(shè)備，所以每3個(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表3臺(tái)設(shè)備一年內(nèi)需要維修的情況，現(xiàn)產(chǎn)生20組隨機(jī)數(shù)如下：
412 451 312 533 224 344 151 254 424 142
435 414 335 132 123 233 314 232 353 442
據(jù)此估計(jì)一年內(nèi)至少有1臺(tái)設(shè)備需要維修的概率為( )
A. 0.4B. 0.45C. 0.55D. 0.6
5.已知等腰△ABC中，A=23π，則BC在BA上的投影向量為( )
A. 32BAB. ?32BAC. 3BAD. ?3BA
6.已知平面向量a,b滿足a+b=(2,k),a?b=(1,1).若a//b，則k=( )
A. ?2B. ?12C. 12D. 2
7.已知三棱錐A?BCD中，AB⊥平面BCD，AB=4，BC=3，CD=5，BD=7，則該三棱錐外接球的表面積為( )
A. 196π3B. 244π3C. 196π5D. 244π5
8.已知△ABC中角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，滿足asinA+C2=bsinA，且csAa+csBb=2sinBsinC3sinA.則a+2c的最大值為( )
A. 6B. 4 3C. 2 3D. 2 7
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。
9.已知z1、z2都是復(fù)數(shù)，下列選項(xiàng)正確的是( )
A. 若|z1|=|z2|，則z1=±z2B. 若z2≠0，則|z1z2|=|z1||z2|
C. 若z12+z22=0，則z1=z2=0D. 若z12=z22，則|z1|=|z2|
10.下列對(duì)各事件發(fā)生的概率判斷正確的是( )
A. 某學(xué)生在上學(xué)的路，上要經(jīng)過(guò)4個(gè)路口，假設(shè)在各路口是否遇到紅燈是相互獨(dú)立的，遇到紅燈的概率都是13，那么該生在上學(xué)路上到第3個(gè)路口首次遇到紅燈的概率為427
B. 三人獨(dú)立地破譯一份密碼，他們能單獨(dú)譯出的概率分別為15，13，14，假設(shè)他們破譯密碼是彼此獨(dú)立的，則此密碼被破譯的概率為35
C. 從1，2，3，4中任取2個(gè)不同的數(shù)，則取出的2個(gè)數(shù)之差的絕對(duì)值為2的概率是13
D. 設(shè)兩個(gè)獨(dú)立事件A和B都不發(fā)生的概率為19，A發(fā)生B不發(fā)生的概率與B發(fā)生A不發(fā)生的概率相同，則事件A發(fā)生的概率是29
11.如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別是棱AD，DD1，CD的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的有( )
A. 直線A1G與直線C1E為異面直線
B. 直線A1G與平面ADD1A1所成角的正弦值為13
C. 二面角D1?AC?B1的平面角余弦值為13
D. 過(guò)點(diǎn)B，E，F(xiàn)的平面截正方體的截面面積為92
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知水平放置的四邊形ABCD的斜二測(cè)直觀圖為矩形A′B′C′D′，已知A′B′=3，B′C′=32，則四邊形ABCD的面積為______．
13.在△ABC中，其內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若B=3π4，b=6，a2+c2=2 2ac，則△ABC的面積為______．
14.定義軸截面為正三角形的圓錐為等邊圓錐，軸截面為正方形的圓柱為等邊圓柱，已知一個(gè)等邊圓錐的底面圓的直徑為2，在該圓錐內(nèi)放置一個(gè)等邊圓柱，并且圓柱在該圓錐內(nèi)可以任意轉(zhuǎn)動(dòng)，則該圓柱的體積的最大值為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。
15.(本小題13分)
已知復(fù)數(shù)z=a+bi，a，b∈R．
(1)若a=m2+m?2，b=2m2?m?3，m∈R，z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，求m的范圍．
(2)若|z?1|=1，求a+b的最大值．
16.(本小題15分)
如圖，在四棱錐P?ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，PA⊥底面ABCD，PA=2，M是線段PD的中點(diǎn)．
(Ⅰ)求證：PB//平面AMC；
(Ⅱ)求三棱錐P?ACM的體積；
(Ⅲ)求直線BM與底面ABCD所成角的正切值．
17.(本小題15分)
在△ABC中，1+sinAsinB=cs2B?sin2A+sin2C.
(1)求角C的大??；
(2)若D在邊AB上，DC⊥CB，且AC= 3,AD=1，求△ABC的面積S．
18.(本小題17分)
某市為了了解人們對(duì)“中國(guó)夢(mèng)”的偉大構(gòu)想的認(rèn)知程度，針對(duì)本市不同年齡和不同職業(yè)的人舉辦了一次“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，滿分100分(95分及以上為認(rèn)知程度高)，結(jié)果認(rèn)知程度高的有m人，按年齡分成5組，其中第一組：[20,25)，第二組：[25,30)，第三組：[30,35)，第四組：[35,40)，第五組：[40,45]，得到如圖所示的頻率分布直方圖，已知第一組有10人．
(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這些人的平均年齡和第80百分位數(shù)；
(2)現(xiàn)從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取20人，擔(dān)任本市的“中國(guó)夢(mèng)”宣傳使者．
(i)若有甲(年齡38)，乙(年齡40)兩人已確定人選宣傳使者，現(xiàn)計(jì)劃從第四組和第五組被抽到的使者中，再隨機(jī)抽取2名作為組長(zhǎng)，求甲、乙兩人至少有一人被選上的概率；
(ii)若第四組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為37和52，第五組宣傳使者的年齡的平均數(shù)與方差分別為43和1，據(jù)此估計(jì)這m人中35?45歲所有人的年齡的方差．
19.(本小題17分)
歐拉(1707?1783)，他是數(shù)學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家之一，他發(fā)現(xiàn)并證明了歐拉公式eiθ=csθ+isinθ，從而建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系，若將其中的θ取作π就得到了歐拉恒等式eiπ+1=0，它是令人著迷的一個(gè)公式，它將數(shù)學(xué)里最重要的幾個(gè)量聯(lián)系起來(lái)，兩個(gè)超越數(shù)——自然對(duì)數(shù)的底數(shù)e，圓周率π，兩個(gè)單位——虛數(shù)單位i和自然數(shù)單位1，以及被稱為人類偉大發(fā)現(xiàn)之一的0，數(shù)學(xué)家評(píng)價(jià)它是“上帝創(chuàng)造的公式”，請(qǐng)你根據(jù)歐拉公式：eiθ=csθ+isinθ，解決以下問題：
(1)將復(fù)數(shù)eπ3i+eπi表示成a+bi(a,b∈R,i為虛數(shù)單位)的形式；
(2)求|eπ2i+eθi|(θ∈R)的最大值；
(3)若zn=1，則z=zk(k=0,1,2,?,n?1)，這里zk=cs2kπn+isin2kπn(k=0,1,2,?,n?1)，稱zk為1的一個(gè)n次單位根，簡(jiǎn)稱單位根.類比立方差公式，我們可以獲得x5?1=(x?1)(x4+x3+x2+x1+1)，復(fù)數(shù)z=e2π5，H(x)=x2+x+2，求H(z)H(z2)H(z3)H(z4)的值．
參考答案
1.C
2.C
3.C
4.B
5.A
6.D
7.B
8.D
9.BD
10.ABC
11.BC
12.9 2
13.3
14.2π(2 3?3)3
15.解：(1)由題意知m2+m?2>02m2?m?3

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