一、單項(xiàng)選擇題
1．已知4a2＋b2＝6，則ab的最大值為( )
A．34 B．32
C．52 D．3
2．已知00，y>0，所以x·2y≤x+2y22，即2xy≤x+2y24，因?yàn)閤＋2y＋2xy＝8，所以2xy＝8－(x＋2y)，所以8－(x＋2y)≤x+2y24，整理得(x＋2y)2＋4(x＋2y)－32≥0，解得x＋2y≤－8(舍去)或x＋2y≥4(當(dāng)且僅當(dāng)x＝2y時(shí)等號(hào)成立)，所以x＋2y的最小值為4，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，x2?x+9x?1＝x?12+x?1+9x?1＝－1?x+91?x＋1≤－29＋1＝－5，當(dāng)且僅當(dāng)－(x－1)＝－9x?1，即x＝－2時(shí)，等號(hào)成立．故D正確．]
8．ABD [因?yàn)?x＋y＝3，且x，y均為正實(shí)數(shù)，所以由基本不等式得2x＋y＝3≥22xy，即xy≤98，4x＋2y≥24x×2y＝222x+y＝42，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝y(tǒng)時(shí)等號(hào)成立，A，B正確；
由不等式a2+b22≥a+b2，得4x2+y22≥2x+y2，所以4x2＋y2≥2x+y22，即x2＋y24≥98，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝y(tǒng)時(shí)等號(hào)成立，C錯(cuò)誤或x2+y24=144x2+y2=143?y2+y2=14 2y?322+92 ≥98.
因?yàn)?x＋y＝3，所以xy+1x＝xy+13x(2x＋y)＝23+xy+y3x≥23＋2xy·y3x＝23+233，當(dāng)且僅當(dāng)y＝3x時(shí)等號(hào)成立，D正確．故選ABD.]
9．[9，＋∞) [6，＋∞) [因?yàn)閍＞0，b>0，所以ab－3＝a＋b≥2ab，于是ab－2ab－3≥0，解得ab≤－1(舍去)或ab≥3，所以ab≥9，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝3時(shí)，等號(hào)成立，所以ab的取值范圍是[9，＋∞)．
因?yàn)閍＞0，b>0，所以a＋b＋3＝ab ≤a+b22，變形，得(a＋b)2－4(a＋b)－12≥0，解得a＋b≥6，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝3時(shí)取等號(hào)，即a＋b的取值范圍是[6，＋∞)．]
10．12 (－∞，9] [因?yàn)閤＋y＝1，所以xy≤x+y22＝14，
所以x2＋y2＝(x＋y)2－2xy≥1－14×2＝12，當(dāng)且僅當(dāng)x＝y(tǒng)＝12時(shí)取等號(hào)，即x2＋y2的最小值為12.
若a≤1x+4y恒成立，則a≤1x+4ymin，
因?yàn)?x +4y＝1x+4y(x＋y)＝5＋yx+4xy≥5＋2yx·4xy＝9，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝y(tǒng)，即x＝13，y＝23時(shí)等號(hào)成立，所以1x+4y的最小值為9，即a≤9，
故實(shí)數(shù)a的取值范圍是(－∞，9].]
11．解：設(shè)直角梯形的高為x cm，
∵宣傳欄(圖中陰影部分)的面積之和為1 440 cm2，且海報(bào)上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為2 cm，
∴海報(bào)寬AD＝(x＋4)cm，海報(bào)長DC＝1 440x+8cm，
故S矩形ABCD＝AD·DC＝(x＋4)1 440x+8＝8x＋5 760x＋1 472≥28x·5 760x＋1 472＝1925＋1 472，
當(dāng)且僅當(dāng)8x＝5 760x，即x＝125時(shí)，等號(hào)成立．
∴當(dāng)直角梯形的高為125 cm時(shí)，用紙量最少．
12．解：(1)由題意得，可變成本為14v2元，固定成本為a元，所用時(shí)間為1 000v小時(shí)，所以y＝1 000v14v2+a＝1 00014v+av，定義域?yàn)?0，80].
(2)y＝1 00014v+av≥1 000×2a4＝1 000a，當(dāng)14v＝av時(shí)，得v＝2a，因?yàn)?a恒成立，
令x＋1＝t，x+42x+1＝t+32t＝t＋9t＋6，t∈[4，7].
令g(t)＝t＋9t＋6，則g(t)在t∈[4，7]上單調(diào)遞增，故g(t)min＝12.25.
所以a的取值范圍為(0，12.25)．
點(diǎn)撥：當(dāng)f (x)＝x＋ax(a＞0)不能用基本不等式求最值(“＝”取不到)時(shí)，要用對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性

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