1.(10分)已知函數(shù)f(x)=aex-x,a∈R.若f(x)有兩個不同的零點x1,x2.證明:x1+x2>2.
【證明】由f(x)=aex-x=0,得xex-a=0,
令g(x)=xex-a,則g'(x)=1-xex,
由g'(x)=1-xex>0,得xx,
所以e2-x>ex,即e2-x-ex>0,
所以H'(x)>0,所以H(x)在(-∞,1)上單調(diào)遞增.
所以H(x1)1),
所以k'(t)=1t-2(t+1)-2(t-1)(t+1)2=(t-1)2t(t+1)2>0,所以當t>1時,k(t)單調(diào)遞增,
所以k(t)>k(1)=0,
所以ln t-2(t-1)t+1>0,故x1+x2>2.
2.(10分)(2023·六安模擬)已知函數(shù)f(x)=xln x-ax2+x(a∈R).
(1)證明:曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線l恒過定點;
(2)若f(x)有兩個零點x1,x2,且x2>2x1,證明:x1x2>8e2.
【證明】(1)函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),由f(x)=xln x-ax2+x,得f'(x)=ln x-2ax+2,則f'(1)=2(1-a),又f(1)=1-a,則曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切線l的方程為y-(1-a)=2(1-a)(x-1),即y=2(1-a)(x-12),顯然恒過定點(12,0).
(2)若f(x)有兩個零點x1,x2,則x1ln x1-ax12+x1=0,x2ln x2-ax22+x2=0,得a=ln x1x1+1x1=ln x2x2+1x2.
因為x2>2x1>0,令x2=tx1(t>2),則ln x1x1+1x1=ln(tx1)tx1+1tx1,
得ln x1=lntt-1-1,則ln x2=ln (tx1)=ln t+ln x1=tlntt-1-1,
所以ln (x1x2)=ln x1+ln x2=lntt-1-1+tlntt-1-1=(t+1)lntt-1-2.
令h(t)=(t+1)lntt-1-2(t>2),則h'(t)=-2lnt+t-1t(t-1)2,
令φ(t)=-2ln t+t-1t(t>2),則φ'(t)=-2t+1+1t2=(t-1)2t2>0,
則φ(t)在(2,+∞)上單調(diào)遞增,所以φ(t)>φ(2)=32-2ln 2>0.
所以h'(t)=φ(t)(t-1)2>0,則h(t)在(2,+∞)上單調(diào)遞增,所以h(t)>h(2)=3ln 2-2=ln 8e2,即ln (x1x2)>ln 8e2,故x1x2>8e2.
【加練備選】
(2022·全國甲卷)已知函數(shù)f(x)=exx-ln x+x-a.
(1)若f(x)≥0,求a的取值范圍;
(2)證明:若f(x)有兩個零點x1,x2,則x1x20,解得x>1,
故函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞減,(1,+∞)上單調(diào)遞增,
故f(x)min=f(1)=e+1-a,要使得f(x)≥0恒成立,僅需e+1-a≥0,
故a≤e+1,故a的取值范圍是(-∞,e+1];
(2)由已知若函數(shù)f(x)有兩個零點,
故f(1)=e+1-ae+1,
不妨設(shè)00,所以F(x)在(0,1a)上單調(diào)遞增,
所以F(x)

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