【解題技巧】數(shù)軸動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題主要步驟：
①畫圖——在數(shù)軸上表示出點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)情況：運(yùn)動(dòng)方向和速度；
②寫點(diǎn)——寫出所有點(diǎn)表示的數(shù)：一般用含有t的代數(shù)式表示，向右運(yùn)動(dòng)用“+”表示，向左運(yùn)動(dòng)用“-”表示；
③表示距離——右—左，若無(wú)法判定兩點(diǎn)的左右需加絕對(duì)值；
④列式求解——根據(jù)條件列方程或代數(shù)式，求值。
注意：要注意動(dòng)點(diǎn)是否會(huì)來(lái)回往返運(yùn)動(dòng)。
題型1. 單動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題
例1.（2022·河北石家莊·七年級(jí)期末）如圖，已知A，B（B在A的左側(cè)）是數(shù)軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)為8，且AB＝12，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)，在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，M，N始終為AP，BP的中點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）秒，則下列結(jié)論中正確的有（ ）
①B對(duì)應(yīng)的數(shù)是－4；②點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，t＝6；③BP＝2時(shí)，t＝5；④在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段MN的長(zhǎng)度不變
A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)
【答案】C
【分析】①根據(jù)兩點(diǎn)間距離進(jìn)行計(jì)算即可；②利用路程除以速度即可；③分兩種情況，點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)，點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)，由題意求出AP的長(zhǎng)，再利用路程除以速度即可；④分兩種情況，點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)，點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)，利用線段的中點(diǎn)性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可．
【詳解】解：設(shè)點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)是x，
∵點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)為8，且AB=12，
∴8-x=12，∴x=-4，∴點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)是-4，故①正確；
由題意得：12÷2=6（秒），∴點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，t=6，故②正確；
分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，
∵AB=12，BP=2，∴AP=AB-BP=12-2=10，
∴10÷2=5（秒），∴BP=2時(shí)，t=5，
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，∵AB=12，BP=2，∴AP=AB+BP=12+2=14，
∴14÷2=7（秒），∴BP=2時(shí)，t=7，綜上所述，BP=2時(shí)，t=5或7，故③錯(cuò)誤；
分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，
∵M(jìn)，N分別為AP，BP的中點(diǎn)，∴MP=AP，NP=BP，
∴MN=MP+NP=AP+BP=AB=×12=6，
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，∵M(jìn)，N分別為AP，BP的中點(diǎn)，∴MP=AP，NP=BP，
∴MN=MP-NP=AP-BP=AB=×12=6，
∴在點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段MN的長(zhǎng)度不變，故④正確；
所以，上列結(jié)論中正確的有3個(gè)，故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形分析是解題的關(guān)鍵．
變式1．（2021·北京·人大附中七年級(jí)期末）已知有理數(shù)滿足：．如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)是原點(diǎn)，點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)是，線段在直線上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），，
下列結(jié)論①；②當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，；
③當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，若點(diǎn)是線段延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，則；
④在線段運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，若為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn)，則線段的長(zhǎng)度不變．
其中正確的是（ ）
A．①③B．①④C．①②③④D．①③④
【答案】D
【分析】根據(jù)平方式和絕對(duì)值的非負(fù)性求出a和b的值，然后根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間距離的計(jì)算方法和中點(diǎn)的表示方法去證明命題的正確性．
【詳解】解：∵，，且，
∴，，解得，，故①正確；
當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，∵，，∴，故②錯(cuò)誤；
設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)是，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)B表示的數(shù)是2，
，，，
∴，故③正確；
設(shè)點(diǎn)B表示的數(shù)是，則點(diǎn)C表示的數(shù)是，
∵M(jìn)是OB的中點(diǎn)，∴點(diǎn)M表示的數(shù)是，
∵N是AC的中點(diǎn)，∴點(diǎn)N表示的數(shù)是，
則，故④正確．故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)軸上兩點(diǎn)之間距離的求解，中點(diǎn)的表示方法．
題型2. 單動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題（規(guī)律變化）
例2.（2021·浙江溫州·七年級(jí)期中）如圖，在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示﹣4，點(diǎn)B表示﹣1，點(diǎn)C表示8，P是數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)．
(1)求點(diǎn)A與點(diǎn)C的距離．(2)若PB表示點(diǎn)P與點(diǎn)B之間的距離，PC表示點(diǎn)P與點(diǎn)C之間的距離，當(dāng)點(diǎn)P滿足PB＝2PC時(shí)，請(qǐng)求出在數(shù)軸上點(diǎn)P表示的數(shù)．(3)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B開始第一次向左移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度，第二次向右移動(dòng)2個(gè)單位長(zhǎng)度，第三次向左移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度，第四次向右移動(dòng)4個(gè)單位長(zhǎng)度，依此類推…在這個(gè)移動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)P滿足PC＝2PA時(shí)，則點(diǎn)P移動(dòng) 次．
【答案】(1)12(2)17或5(3)2或29
【分析】(1)根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可得A與C的距離；
(2)設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)是x，根據(jù)題意列出方程，再解方程即可；
(3)設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)是x，根據(jù)題意列出方程可得x=?16或0，再根據(jù)點(diǎn)P的移動(dòng)規(guī)律可得答案．
(1)解：AC＝|8-(-4)|＝12，故答案為：12；
(2)解：設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)是x，則PB＝|x＋1|，PC＝|x﹣8|，
∴|x＋1|＝2|x﹣8|，解得x＝17或5；
(3)解：設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)是x，則PA＝|x＋4|，PC＝|x﹣8|，
∴|x﹣8|＝2|x＋4|，解得x＝﹣16或0，
根據(jù)點(diǎn)P的移動(dòng)規(guī)律，它到達(dá)的數(shù)字分別是﹣2，0，﹣3，1，﹣4，2，﹣5，3，……，
它移動(dòng)奇數(shù)次到達(dá)的數(shù)是從﹣2開始連續(xù)的負(fù)整數(shù)，故移動(dòng)到﹣16需29次，移動(dòng)到0需2次．
故答案為：2或29．
【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)字的變化類、實(shí)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)、數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，熟練掌握絕對(duì)值的性質(zhì)、實(shí)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)、數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離是解決本題的關(guān)鍵．
變式2．（2021·江蘇·泰州中學(xué)附屬初中七年級(jí)階段練習(xí)）在如圖的數(shù)軸上，一動(dòng)點(diǎn)Q從原點(diǎn)O出發(fā)，沿?cái)?shù)軸以每秒鐘4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度來(lái)回移動(dòng)，其移動(dòng)方式是先向右移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左移動(dòng)2個(gè)單位長(zhǎng)度，又向右移動(dòng)3個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左移動(dòng)4個(gè)單位長(zhǎng)度，又向右移動(dòng)5個(gè)單位長(zhǎng)度…
（1）求出2.5秒鐘后動(dòng)點(diǎn)Q所處的位置；
（2）求出7秒鐘后動(dòng)點(diǎn)Q所處的位置；
（3）如果在數(shù)軸上有一個(gè)定點(diǎn)A，且A與原點(diǎn)O相距48個(gè)單位長(zhǎng)度，問(wèn)：動(dòng)點(diǎn)Q從原點(diǎn)出發(fā)，可能與點(diǎn)A重合嗎？若能，則第一次與點(diǎn)A重合需多長(zhǎng)時(shí)間？若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】（1）-2 ；（2）4 ；（3）1140秒或1164秒．
【分析】（1）先根據(jù)路程=速度×?xí)r間求出2.5秒鐘走過(guò)的路程，然后根據(jù)左減右加列式計(jì)算即可得解；
（2）先根據(jù)路程=速度×?xí)r間求出7秒鐘走過(guò)的路程，然后根據(jù)左減右加列式計(jì)算即可得解；
（3）分點(diǎn)A在原點(diǎn)左邊與右邊兩種情況分別求出動(dòng)點(diǎn)走過(guò)的路程，然后根據(jù)時(shí)間=路程÷速度計(jì)算即可得解．
【詳解】解：（1）∵4×2.5=10，
∴點(diǎn)Q走過(guò)的路程是1+2+3+4=10，
Q處于：1-2+3-4=4-6=-2；
（2）∵4×7=28，
∴點(diǎn)Q走過(guò)的路程是1+2+3+4+5+6+7=28，
Q處于：1-2+3-4+5-6+7=-3+7=4；
（3）①當(dāng)點(diǎn)A在原點(diǎn)右邊時(shí)，設(shè)需要第n次到達(dá)點(diǎn)A，則
，
解得n=95，
∴動(dòng)點(diǎn)Q走過(guò)的路程是
1+|-2|+3+|-4|+5+…+|-94|+95
=1+2+3+…+95
=
=4560，
∴時(shí)間=4560÷4=1140(秒)；
②當(dāng)點(diǎn)A原點(diǎn)左邊時(shí)，設(shè)需要第n次到達(dá)點(diǎn)A，則=48，
解得n=96，
∴動(dòng)點(diǎn)Q走過(guò)的路程是
1+|-2|+3+|-4|+5+…+95+|-96|
=1+2+3+…+96
=
=4656，
∴時(shí)間=4656÷4=1164(秒) ．
【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸的知識(shí)，弄清題中的移動(dòng)規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．（3）題注意要分情況討論求解，弄清楚跳到點(diǎn)A處的次數(shù)的計(jì)算方法是關(guān)鍵，可以動(dòng)手操作一下便不難得解．
題型3. 雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題（勻速）
例3.（2021·陜西·西安鐵一中濱河學(xué)校七年級(jí)期中）如圖：在數(shù)軸上A點(diǎn)表示數(shù)a，B點(diǎn)表示數(shù)b，C點(diǎn)表示數(shù)c，且a，b滿足|a+3|+（b﹣9）2＝0，c＝1．
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）點(diǎn)P為數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)，其對(duì)應(yīng)的數(shù)為x，則當(dāng)x 時(shí)，代數(shù)式|x﹣a|﹣|x﹣b|取得最大值，最大值為 ；
（3）點(diǎn)P從點(diǎn)A處以1個(gè)單位/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)；同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B處以2個(gè)單位/秒的速度也向左運(yùn)動(dòng)，在點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)C后，以原來(lái)的速度向相反的方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（t≤8）秒，求第幾秒時(shí)，點(diǎn)P、Q之間的距離是點(diǎn)B、Q之問(wèn)距離的2倍？
【答案】（1）﹣3，9；（2）≥9，12；（3）秒或秒．
【分析】（1）由|a+3|+（b﹣9）2＝0，根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)得|a+3|＝0，（b﹣9）2＝0，即可求出a＝﹣3、b＝9；
（2）由（1）得a＝﹣3、b＝9，則代數(shù)式|x﹣a|﹣|x﹣b|即代數(shù)式|x+3|﹣|x﹣9|，按x＜﹣3、﹣3≤x＜9及x≥9分類討論，分別求出相應(yīng)的代數(shù)式的值或范圍，再確定代數(shù)式的最大值；
（3）先由點(diǎn)C表示的數(shù)是1，點(diǎn)B表示的數(shù)是9，計(jì)算出B、C兩點(diǎn)之間的距離，確定t的取值范圍，再按t的不同取值范圍分別求出相應(yīng)的t的值即可．
【詳解】解：（1）∵|a+3|≥0，（b﹣9）2≥0，且|a+3|+（b﹣9）2＝0，
∴|a+3|＝0，（b﹣9）2＝0，∴a＝﹣3，b＝9，故答案為：﹣3，9．
（2）∵a＝﹣3，b＝9，∴代數(shù)式|x﹣a|﹣|x﹣b|即代數(shù)式|x+3|﹣|x﹣9|，
當(dāng)x＜﹣3時(shí)，|x+3|﹣|x﹣9|＝﹣（x+3）﹣（9﹣x）＝﹣12；
當(dāng)﹣3≤x＜9時(shí)，|x+3|﹣|x﹣9|＝x+3﹣（9﹣x）＝2x﹣6，
∵﹣12≤2x﹣6＜12，∴﹣12≤|x+3|﹣|x﹣9|＜12；
當(dāng)x≥9時(shí)，|x+3|﹣|x﹣9|＝x+3﹣（x﹣9）＝12，
綜上所述，|x+3|﹣|x﹣9|的最大值為12，
故答案為：≥9，12．
（3）∵點(diǎn)C表示的數(shù)是1，點(diǎn)B表示的數(shù)是9，
∴B、C兩點(diǎn)之間的距離是9﹣1＝8，
當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)C重合時(shí)，則2t＝8，解得t＝4，
當(dāng)0＜t≤4時(shí)，如圖1，點(diǎn)P表示的數(shù)是﹣3﹣t，點(diǎn)Q表示的數(shù)是9﹣2t，
根據(jù)題意得9﹣2t﹣（﹣3﹣t）＝2×2t，解得t＝；
當(dāng)4＜t≤8時(shí)，如圖2，點(diǎn)P表示的數(shù)仍是﹣3﹣t，
∵1+（2t﹣8）＝2t﹣7，∴點(diǎn)Q表示的數(shù)是2t﹣7，
根據(jù)題意得2t﹣7﹣（﹣3﹣t）＝2（16﹣2t），解得t＝，
綜上所述，第秒或第秒，點(diǎn)P、Q之間的距離是點(diǎn)B、Q之間距離的2倍．
【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸、數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，一元一次方程的應(yīng)用、絕對(duì)值的幾何意義等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度一般，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．
變式3．（2022·河南洛陽(yáng)·七年級(jí)期末）數(shù)軸體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，若數(shù)軸上點(diǎn)A，B表示的數(shù)分別為a，b，則A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為．如：點(diǎn)A表示的數(shù)為2，點(diǎn)B表示的數(shù)為3，則．
問(wèn)題提出：(1)填空：如圖，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為?2，點(diǎn)B表示的數(shù)為13，A、B兩點(diǎn)之間的距離______，線段AB的中點(diǎn)表示的數(shù)為______．
(2)拓展探究：若點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)．以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t>0）
①用含t的式子表示：t秒后，點(diǎn)Р表示的數(shù)為______；點(diǎn)Q表示的數(shù)為______；
②求當(dāng)t為何值時(shí)，P、Q兩點(diǎn)相遇，并寫出相遇點(diǎn)所表示的數(shù)．
(3)類比延伸：在（2）的條件下，如果P、Q兩點(diǎn)相遇后按照原來(lái)的速度繼續(xù)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)各自到達(dá)線段AB的端點(diǎn)后立即改變運(yùn)動(dòng)方向，并以原來(lái)的速度在線段AB上做往復(fù)運(yùn)動(dòng)，那么再經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間P、Q兩點(diǎn)第二次相遇．請(qǐng)直接寫出所需要的時(shí)間和此時(shí)相遇點(diǎn)所表示的數(shù)．
【答案】(1)；(2)①；；②當(dāng)t為3時(shí)，P、Q兩點(diǎn)相遇；相遇點(diǎn)所表示的數(shù)是7
(3)所需要的時(shí)間為9秒；相遇點(diǎn)所表示的數(shù)是1
【分析】（1）由A表示的數(shù)為?2，點(diǎn)B表示的數(shù)為13，即得AB＝15，線段AB的中點(diǎn)表示的數(shù)為；（2）①t秒后，點(diǎn)P表示的數(shù)為?2＋3t，點(diǎn)Q表示的數(shù)為 13?2t；
②根據(jù)題意得：?2＋3t＝13?2t，即可解得t＝3，相遇點(diǎn)所表示的數(shù)為?2＋3×3＝7；
（3）由已知返回途中，P表示的數(shù)是13?3（t?5），Q表示的數(shù)是?2＋2（t?），即得：13?3（t?5）＝?2＋2（t?），可解得t＝9，第二次相遇點(diǎn)所表示的數(shù)為：13?3×（9?5）＝1．
(1)∵A表示的數(shù)為?2，點(diǎn)B表示的數(shù)為13，
∴AB＝|13?（?2）|＝15，線段AB的中點(diǎn)表示的數(shù)為；故答案為：15；．
(2)①t秒后，點(diǎn)P表示的數(shù)為?2＋3t，點(diǎn)Q表示的數(shù)為13?2t；故答案為：?2＋3t；13?2t．
②根據(jù)題意得：?2＋3t＝13?2t，解得t＝3，相遇點(diǎn)所表示的數(shù)為?2＋3×3＝7；
答：當(dāng)t為3時(shí)，P，Q兩點(diǎn)相遇，相遇點(diǎn)所表示的數(shù)是7．
(3)由已知得：P運(yùn)動(dòng)5秒到B，Q運(yùn)動(dòng)秒到A，
返回途中，P表示的數(shù)是13?3（t?5），Q表示的數(shù)是?2＋2（t?），
根據(jù)題意得：13?3（t?5）＝?2＋2（t?），解得t＝9，
第二次相遇點(diǎn)所表示的數(shù)為：13?3×（9?5）＝1，
答：所需要的時(shí)間為9秒，相遇點(diǎn)所表示的數(shù)是1．
【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，用含t的代數(shù)式表示運(yùn)動(dòng)后的點(diǎn)所表示
的數(shù)．
題型4.雙動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題（變速）
例4.（2021·江蘇·無(wú)錫市江南中學(xué)七年級(jí)期中）已知點(diǎn)O是數(shù)軸的原點(diǎn)，點(diǎn)A、B、C在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是﹣12、b、c，且b、c滿足（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以2單位/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以1個(gè)單位/秒速度向左運(yùn)動(dòng)，O、B兩點(diǎn)之間為“變速區(qū)”，規(guī)則為從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B期間速度變?yōu)樵瓉?lái)的一半，之后立刻恢復(fù)原速，從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O期間速度變?yōu)樵瓉?lái)的3倍，之后立刻恢復(fù)原速，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 _____秒時(shí)，P、Q兩點(diǎn)到點(diǎn)B的距離相等．
【答案】或30
【分析】利用已知條件先求出B、C在數(shù)軸表示的數(shù)，根據(jù)不同時(shí)間段，通過(guò)討論P(yáng)、 Q點(diǎn)的不同位置，找到對(duì)應(yīng)的邊長(zhǎng)關(guān)系，列出關(guān)于的方程，進(jìn)行求解即可．
【詳解】∵（b﹣9）2+|c﹣15|＝0，
∴b﹣9＝0，c﹣15＝0，∴b＝9，c＝15，
∴B表示的數(shù)是9，C表示的數(shù)是15，
①當(dāng)0≤t≤6時(shí)，P在線段OA上，Q在線段BC上，此時(shí)不存在P、Q兩點(diǎn)到點(diǎn)B的距離相等；
②當(dāng)6＜t≤9時(shí)，P、Q都在線段OB上，P表示的數(shù)為t﹣6，Q表示的數(shù)是9﹣3（t﹣6），
∴P、Q兩點(diǎn)到點(diǎn)B的距離相等只需t﹣6＝9﹣3（t﹣6），解得t＝，
③當(dāng)9＜t≤15時(shí)，P在線段OB上，Q在線段OA上，此時(shí)不存在P、Q兩點(diǎn)到點(diǎn)B的距離相等；
④當(dāng)t＞15時(shí)，P在射線BC上，Q在射線OA上，P表示的數(shù)為9+2（t﹣15），Q表示的數(shù)是﹣（t﹣9），∴P、Q兩點(diǎn)到點(diǎn)B的距離相等只需9+2（t﹣15）﹣9＝9﹣[﹣（t﹣9）]，解得t＝30，
綜上所述，P、Q兩點(diǎn)到點(diǎn)B的距離相等，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒或30秒，
故答案為：或30．
【點(diǎn)睛】本題主要是考查了數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，熟練地通過(guò)動(dòng)點(diǎn)在不同時(shí)間段的運(yùn)動(dòng)，進(jìn)行分類討論，找到等量關(guān)系，列出關(guān)于時(shí)間的方程，并進(jìn)行求解，這是解決這類問(wèn)題的主要思路．
變式4．（2022·江蘇鹽城·七年級(jí)期中）如圖，點(diǎn)、、在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是、、，且、滿足，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)以單位/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以個(gè)單位/秒速度向左運(yùn)動(dòng)，、兩點(diǎn)之間為“變速區(qū)”，規(guī)則為從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)期間速度變?yōu)樵瓉?lái)的一半，之后立刻恢復(fù)原速，從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)期間速度變?yōu)樵瓉?lái)的倍，之后立刻恢復(fù)原速，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．
（1）____，____，、兩點(diǎn)間的距離為____個(gè)單位；
（2）①若動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)時(shí)，求的值；
②當(dāng)、兩點(diǎn)相遇時(shí)，求相遇點(diǎn)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的數(shù)；
（3）當(dāng)___時(shí)，、兩點(diǎn)到點(diǎn)的距離相等．
【答案】（1）9，20，32；（2）①；②相遇點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為6；（3）當(dāng)t=12或25時(shí)，點(diǎn)P、Q到點(diǎn)B的距離相等．
【分析】（1）根據(jù)可先求出b、c的值，然后再由數(shù)軸兩點(diǎn)距離可求解；
（2）①點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C可得當(dāng)點(diǎn)P在AO上時(shí)，點(diǎn)P在OB上時(shí)及點(diǎn)P在BC上時(shí)，然后分別求出時(shí)間，進(jìn)而問(wèn)題可求解；
②由題意易得當(dāng)點(diǎn)C到達(dá)變速點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P所運(yùn)動(dòng)到的位置可求，然后再根據(jù)相遇問(wèn)題進(jìn)行求解，最后在利用數(shù)軸求解即可；
（3）由（1）（2）及題意可分：①當(dāng)時(shí)，②當(dāng)時(shí)，③當(dāng)點(diǎn)Q的速度變?yōu)?單位/秒時(shí)，即，④當(dāng)點(diǎn)Q和點(diǎn)P都過(guò)了“變速區(qū)”，即，然后根據(jù)數(shù)軸兩點(diǎn)距離及線段的和差關(guān)系進(jìn)行列方程求解即可．
【詳解】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴A、C兩點(diǎn)距離為：；
故答案為9，20，32；
（2）①由題意可分：當(dāng)點(diǎn)P從A運(yùn)動(dòng)到O和從B運(yùn)動(dòng)到C時(shí)，所需時(shí)間為：，
點(diǎn)P從點(diǎn)O到點(diǎn)B屬于變速區(qū)，所以速度為2÷2=1單位/秒，此時(shí)所需時(shí)間為9÷1=9s，
∴點(diǎn)P從點(diǎn)A到點(diǎn)C的時(shí)間為：；
②當(dāng)點(diǎn)C到達(dá)變速點(diǎn)B時(shí)，所需時(shí)間為11÷1=11s，此時(shí)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為：，即在數(shù)軸上所表示的數(shù)為5，此時(shí)點(diǎn)Q的速度為1×3=3單位/秒，
∴，
∴5+1×1=6，
∴相遇點(diǎn)所表示的數(shù)為6；
（3）由（1）（2）及題意可分：
①當(dāng)時(shí)，如圖所示：
則有AB=21，AP=2t，PB=21-2t，BC=11，BQ=11-t，
∵BP=BQ，
∴，
解得：（不符合題意，舍去）；
②當(dāng)時(shí)，如圖所示：
∵點(diǎn)P的速度為1單位/秒，Q速度不變，
∴，BQ=11-t，
∵PB=BQ，
∴，方程無(wú)解；
③當(dāng)點(diǎn)Q的速度變?yōu)?單位/秒時(shí)，即，如圖所示：
∴PB=15-t，，
∵PB=BQ，
∴，
解得t=12，
④當(dāng)點(diǎn)Q和點(diǎn)P都過(guò)了“變速區(qū)”，即，如圖所示：
∴，，
∵PB=BQ，
∴，
解得：；
綜上所述：當(dāng)t=12或25時(shí)，點(diǎn)P、Q到點(diǎn)B的距離相等；
故答案為12或25．
【點(diǎn)睛】本題主要考查數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題及線段的和差、一元一次方程的解法，熟練掌握數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題及線段的和差、一元一次方程的解法是解題的關(guān)鍵．
題型5.多動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題
例5.（2022·福建·廈門市金雞亭中學(xué)七年級(jí)期中）已知數(shù)軸上兩點(diǎn)A、B所表示的數(shù)分別為a和b，且滿足|a＋3|＋(b－9)2＝0，O為原點(diǎn)；
(1) a＝ ，b＝ .(2) 若點(diǎn)C從O點(diǎn)出發(fā)向右運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)3秒后點(diǎn)C到A點(diǎn)的距離等于點(diǎn)C到B點(diǎn)距離，求點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)速度？（結(jié)合數(shù)軸，進(jìn)行分析.）
(3) 若點(diǎn)D以2個(gè)單位每秒的速度從點(diǎn)O向右運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)以3個(gè)單位每秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以6個(gè)單位每秒的速度向右運(yùn)動(dòng)．在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，M、N分別為PD、OQ的中點(diǎn)，問(wèn)的值是否發(fā)生變化，請(qǐng)說(shuō)明理由.（注：PD指的是點(diǎn)P與D之間的線段，而算式PQ－OD指線段PQ與OD長(zhǎng)度的差.類似的，其它的兩個(gè)大寫字母寫在一起時(shí)意義一樣 .
【答案】（1）-3、9；（2）點(diǎn)C的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度；（3）的值沒有發(fā)生變化，理由見解析.
【分析】（1）根據(jù)幾個(gè)非負(fù)數(shù)的和為0，則每一個(gè)數(shù)都是0，建立關(guān)于a、b的方程即可求出a、b的值；（2）根據(jù)點(diǎn)C從O點(diǎn)出發(fā)向右運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)3秒后點(diǎn)C到A點(diǎn)的距離等于點(diǎn)C到B點(diǎn)距離，可表示，，再由CA=CB建立關(guān)于x的方程求解即可；（3）根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度和方向，分別用含t的代數(shù)式表示點(diǎn)D、P、Q、M、N對(duì)應(yīng)的數(shù)，再分別求出PQ、OD、MN的長(zhǎng)，然后求出的值為常量，即可得出結(jié)論.
【詳解】（1）∵|a＋3|＋(b－9)2＝0，
∴a+3=0，b-9=0，解得a=-3，b=9；
（2）設(shè)3秒后點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)為x，則，，
∵CA=CB，∴，
當(dāng)，無(wú)解；
當(dāng)，解得x=3，此時(shí)點(diǎn)C的速度為3÷3=1個(gè)單位每秒，
∴點(diǎn)C的速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度；
（3）的值沒有發(fā)生變化，理由如下：設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，
則點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的數(shù)為2t；點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為-3-3t；點(diǎn)Q對(duì)應(yīng)的數(shù)為9+6t；
點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù)為-1.5-0.5t；點(diǎn)N對(duì)應(yīng)的數(shù)為4.5+3t；
則PQ=9t+12，OD=2t，MN=3.5t+6，
∴，為定值，
即的值沒有發(fā)生變化.
【點(diǎn)睛】本題考查列代數(shù)式和一元一次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)軸表示的數(shù)正確列出代數(shù)式.
變式5．（2022·全國(guó)·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖一，已知數(shù)軸上，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)，以個(gè)單位每秒的速度沿射線的方向向右運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒
(1)線段__________．
(2)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到的延長(zhǎng)線時(shí)_________．（用含的代數(shù)式表示）
(3)如圖二，當(dāng)秒時(shí)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，求此時(shí)的長(zhǎng)度．
(4)當(dāng)點(diǎn)從出發(fā)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，以個(gè)單位每秒的速度沿射線向右運(yùn)動(dòng)，
①點(diǎn)表示的數(shù)為：_________（用含的代數(shù)式表示），
點(diǎn)表示的數(shù)為：__________（用含的代數(shù)式表示）．
②存在這樣的值，使、、三點(diǎn)有一點(diǎn)恰好是以另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出值．______________．
【答案】(1) (2) (3) (4)①； ②秒或秒或秒
【分析】（1）由數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離的定義求解即可，數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離等于數(shù)軸上兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)的差的絕對(duì)值；
（2）結(jié)合“路程＝速度×?xí)r間”以及兩點(diǎn)間的距離公式，用點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)路程－可求解；
（3）當(dāng)秒時(shí)，根據(jù)路程＝速度×?xí)r間，得到，所以，再 由點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，利用中點(diǎn)的定義得到，，最后由即可得到結(jié)論．
（4）①設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)時(shí)，以個(gè)單位每秒的速度沿射線的方向向右運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，以個(gè)單位每秒的速度沿射線向右運(yùn)動(dòng)，結(jié)合“路程＝速度×?xí)r間”，再利用數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離公式，則點(diǎn)所表示的數(shù)是點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程加上點(diǎn)所表示的數(shù)，點(diǎn)所表示的數(shù)是點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)路程加上點(diǎn)所表示的數(shù)即可．
②結(jié)合①的結(jié)論和點(diǎn)所表示的數(shù)，分三種情況討論即可．
(1)解：∵在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示的數(shù)為－6，點(diǎn)B表示的數(shù)為8，
∴．
故答案為：14
(2)∵在數(shù)軸上，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)時(shí)，以個(gè)單位每秒的速度沿射線的方向向右運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒，
∴，
∴．
故答案為：
(3)∵點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)時(shí)，以個(gè)單位每秒的速度沿射線的方向向右運(yùn)動(dòng)，
當(dāng)秒時(shí)，，
∴，
又∵點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，
∴，，
∴．
∴此時(shí)的長(zhǎng)度為．
(4)①設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為，當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)時(shí)，以個(gè)單位每秒的速度沿射線的方向向右運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)，以個(gè)單位每秒的速度沿射線向右運(yùn)動(dòng)，
∴，，
∴點(diǎn)所表示的數(shù)為：，點(diǎn)所表示的數(shù)為：，
故答案為：；
②結(jié)合①的結(jié)論和點(diǎn)所表示的數(shù)，可知：
點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)所表示的數(shù)為：，點(diǎn)所表示的數(shù)為：，
分以下三種情況：
若點(diǎn)為中點(diǎn)，則，
∴，
解得：；
若點(diǎn)為中點(diǎn)，則，
∴，
解得：；
若點(diǎn)為中點(diǎn)，則，
∴，
解得：．
綜上所述，當(dāng)為秒或秒或秒時(shí)，、、三點(diǎn)中有一點(diǎn)恰好是以另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)．
【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，一元一次方程的應(yīng)用，中點(diǎn)的定義，注意分情況討論．解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用含有t的式子表示動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)P和點(diǎn)Q表示的數(shù)．
題型6. 新定義問(wèn)題
例6.（2021·江西贛州·七年級(jí)期中）定義：若A，B，C為數(shù)軸上三點(diǎn)，若點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離是點(diǎn)C到點(diǎn)B的距離2倍，我們就稱點(diǎn)C是的美好點(diǎn)．
例如；如圖1，點(diǎn)A表示的數(shù)為，點(diǎn)B表示的數(shù)為2．表示1的點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離是2，到點(diǎn)B的距離是1，那么點(diǎn)C是的美好點(diǎn)；又如，表示0的點(diǎn)D到點(diǎn)A的距離是1，到點(diǎn)B的距高是2，那么點(diǎn)D就不是的美好點(diǎn)，但點(diǎn)D是的美好點(diǎn)．
如圖2，M，N為數(shù)軸上兩點(diǎn)，點(diǎn)M所表示的數(shù)為，點(diǎn)N所表示的數(shù)為2．
（1）點(diǎn)E，F(xiàn)，G表示的數(shù)分別是，6.5，11，其中是美好點(diǎn)的是________；寫出美好點(diǎn)H所表示的數(shù)是___________．
（2）現(xiàn)有一只電子螞蟻P從點(diǎn)N開始出發(fā)，以2個(gè)單位每秒的速度向左運(yùn)動(dòng)．當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)P恰好為M和N的美好點(diǎn)？
【答案】（1）G，-4或-16；（2）1.5或3或9
【分析】（1）根據(jù)美好點(diǎn)的定義，結(jié)合圖2，直觀考察點(diǎn)E，F(xiàn)，G到點(diǎn)M，N的距離，只有點(diǎn)G符合條件．結(jié)合圖2，根據(jù)美好點(diǎn)的定義，在數(shù)軸上尋找到點(diǎn)N的距離是到點(diǎn)M的距離2倍的點(diǎn)，在點(diǎn)的移動(dòng)過(guò)程中注意到兩個(gè)點(diǎn)的距離的變化．
（2）根據(jù)美好點(diǎn)的定義，分情況分別確定P點(diǎn)的位置，進(jìn)而可確定t的值．
【詳解】解：（1）根據(jù)美好點(diǎn)的定義，結(jié)合圖2，直觀考察點(diǎn)E，F(xiàn)，G到點(diǎn)M，N的距離，只有點(diǎn)G符合條件，故答案是：G．
結(jié)合圖2，根據(jù)美好點(diǎn)的定義，在數(shù)軸上尋找到點(diǎn)N的距離是到點(diǎn)M的距離2倍的點(diǎn)，點(diǎn)N的右側(cè)不存在滿足條件的點(diǎn)，點(diǎn)M和N之間靠近點(diǎn)M一側(cè)應(yīng)該有滿足條件的點(diǎn)，進(jìn)而可以確定-4符合條件．點(diǎn)M的左側(cè)距離點(diǎn)M的距離等于點(diǎn)M和點(diǎn)N的距離的點(diǎn)符合條件，進(jìn)而可得符合條件的點(diǎn)是-16．故答案是：-4或-16．
（2）根據(jù)美好點(diǎn)的定義，P，M和N中恰有一個(gè)點(diǎn)為其余兩點(diǎn)的美好點(diǎn)分6種情況，
第一情況：當(dāng)P為【M，N】的美好點(diǎn)，點(diǎn)P在M，N之間，如圖1，
當(dāng)MP=2PN時(shí)，PN=3，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為2-3=-1，因此t=1.5秒；
第二種情況，當(dāng)P為【N，M】的美好點(diǎn)，點(diǎn)P在M，N之間，如圖2，
當(dāng)2PM=PN時(shí)，NP=6，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為2-6=-4，因此t=3秒；
第三種情況，P為【N，M】的美好點(diǎn)，點(diǎn)P在M左側(cè)，如圖3，
當(dāng)PN=2MN時(shí)，NP=18，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為2-18=-16，因此t=9秒；
綜上所述，t的值為：1.5或3或9．
【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸、美好點(diǎn)的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考創(chuàng)新題目．
變式6．（2022·福建南平·七年級(jí)期末）【閱讀】在數(shù)軸上，若點(diǎn)A表示數(shù)a，點(diǎn)B表示數(shù)b，則點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離為．例如：兩點(diǎn)A，B表示的數(shù)分別為3，-1，那么．
(1)若，則x的值為 ．
(2)當(dāng)x＝ （x是整數(shù)）時(shí)，式子成立．
(3)在數(shù)軸上，點(diǎn)A表示數(shù)a，點(diǎn)P表示數(shù)p．我們定義：
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P叫點(diǎn)A的1倍伴隨點(diǎn)，
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P叫點(diǎn)A的2倍伴隨點(diǎn)，
……
當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P叫點(diǎn)A的n倍伴隨點(diǎn)．
試探究以下問(wèn)題：若點(diǎn)M是點(diǎn)A的1倍伴隨點(diǎn)，點(diǎn)N是點(diǎn)B的2倍伴隨點(diǎn)，是否存在這樣的點(diǎn)A和點(diǎn)B，使得點(diǎn)M恰與點(diǎn)N重合，若存在，求出線段AB的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
【答案】(1)5或1 (2)-2、-1、0、1
(3)存在這樣的點(diǎn)A和點(diǎn)B，使得點(diǎn)M恰與點(diǎn)N重合，線段AB的長(zhǎng)為3或1
【分析】（1）根據(jù)數(shù)軸上，兩點(diǎn)間的距離，即可求解；
（2）根據(jù)題意可得表示x的點(diǎn)到表示1的點(diǎn)與表示x的點(diǎn)到表示2的點(diǎn)的距離之和為3，再由，即可求解；
（3）設(shè)點(diǎn)M表示的數(shù)為m，則點(diǎn)M與點(diǎn)N重合時(shí)，點(diǎn)N表示的數(shù)為m，根據(jù)題意可得
，然后分四種情況討論，即可求解．
(1)解：∵，∴在數(shù)軸上到3和x的點(diǎn)的距離為2，
∴x=5或x=1，故答案為：5或1；
(2)解：∵，∴表示x的點(diǎn)到表示1的點(diǎn)與表示x的點(diǎn)到表示2的點(diǎn)的距離之和為3，
∵，∴，
∵ x是整數(shù)，∴x取-2、-1、0、1；故答案為：-2、-1、0、1；
(3)解：存在，理由如下：設(shè)點(diǎn)M表示的數(shù)為m，則點(diǎn)M與點(diǎn)N重合時(shí)，點(diǎn)N表示的數(shù)為m，
∵點(diǎn)M是點(diǎn)A的1倍伴隨點(diǎn)，點(diǎn)N是點(diǎn)B的2倍伴隨點(diǎn)，
∴，∴，
當(dāng)時(shí)，，∴，即AB=1；
當(dāng)時(shí)，，∴，即AB=3；
當(dāng)時(shí)，，∴，即AB=3；
當(dāng)時(shí)，，∴，即AB=1；
綜上所述，存在這樣的點(diǎn)A和點(diǎn)B，使得點(diǎn)M恰與點(diǎn)N重合，線段AB的長(zhǎng)為3或1．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，絕對(duì)值的性質(zhì)，理解新定義，并利用數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想解答是解題的關(guān)鍵．
數(shù)軸上的三種動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題
數(shù)軸的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，無(wú)論在平時(shí)練習(xí)，還是月考，期中期末考試中屬于壓軸題的版塊，其過(guò)程復(fù)雜，情況多變。那么，本專題對(duì)其中?？嫉娜N題型（求時(shí)間、求距離或者對(duì)應(yīng)點(diǎn)、定值問(wèn)題）做出詳細(xì)分析與梳理。
【知識(shí)點(diǎn)梳理】
1.數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離
數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)為分別為a、b，則A與B間的距離AB=|a－b|；
2.數(shù)軸上點(diǎn)移動(dòng)規(guī)律
數(shù)軸上點(diǎn)向右移動(dòng)則數(shù)變大（增加），向左移動(dòng)數(shù)變小（減?。?；
當(dāng)數(shù)a表示的點(diǎn)向右移動(dòng)b個(gè)單位長(zhǎng)度后到達(dá)點(diǎn)表示的數(shù)為a+b；向左移動(dòng)b個(gè)單位長(zhǎng)度后到達(dá)點(diǎn)表示的數(shù)為a－b.
類型一、求值（速度、時(shí)間、距離）
例1．如圖在數(shù)軸上A點(diǎn)表示數(shù)a，B點(diǎn)表示數(shù)b，a，b滿足＋＝0；
(1)點(diǎn)A表示的數(shù)為 ；點(diǎn)B表示的數(shù)為 ；
(2)若點(diǎn)A與點(diǎn)C之間的距離表示為AC，點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離表示為BC，請(qǐng)?jiān)跀?shù)軸上找一點(diǎn)C，使AC＝2BC，則C點(diǎn)表示的數(shù) ；
(3)若在原點(diǎn)O處放一擋板，一小球甲從點(diǎn)A處以1個(gè)單位／秒的速度向左運(yùn)動(dòng)；同時(shí)另一小球乙從點(diǎn)B處以2個(gè)單位／秒的速度也向左運(yùn)動(dòng)，在碰到擋板后 （忽略球的大小，可看作一點(diǎn)） 以原來(lái)的速度向相反的方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（秒），請(qǐng)分別表示出甲，乙兩小球到原點(diǎn)的距離 （用t表示）．
【答案】(1)-2；6；(2)或14
(3)甲球與原點(diǎn)的距離為：t+2；當(dāng)時(shí)，乙球到原點(diǎn)的距離為；當(dāng)時(shí)，乙球到原點(diǎn)的距離為
【解析】(1)解：∵|a+2|+|b?6|=0，∴a+2=0，b?6=0，解得，a=?2，b=6，
∴點(diǎn)A表示的數(shù)為?2，點(diǎn)B表示的數(shù)為6．故答案為：?2；6．
(2)設(shè)數(shù)軸上點(diǎn)C表示的數(shù)為c，
∵AC=2BC，∴|c?a|=2|c?b|，即|c+2|=2|c?6|，
∵AC=2BC>BC，∴點(diǎn)C不可能在BA的延長(zhǎng)線上，則C點(diǎn)可能在線段AB上和線段AB的延長(zhǎng)線上，
①當(dāng)C點(diǎn)在線段AB上時(shí)，則有?2?c?6，
得c+2=2(6?c)，解得：c=；
②當(dāng)C點(diǎn)在線段AB的延長(zhǎng)線上時(shí)，則有c>6，得c+2=2(c?6)，解得c=14，
故當(dāng)AC=2BC時(shí)，c=或c=14；故答案為：或14．
(3)∵甲球運(yùn)動(dòng)的路程為：1?t=t，OA=2，∴甲球與原點(diǎn)的距離為：t+2；
乙球到原點(diǎn)的距離分兩種情況：
當(dāng)03時(shí)，乙球從原點(diǎn)O處開始一直向右運(yùn)動(dòng)，此時(shí)乙球到原點(diǎn)的距離為：2t?6(t>3)．
例2．如圖，數(shù)軸上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)A，B起始位置所表示的數(shù)分別為，4，A，B兩點(diǎn)各自以一定的速度在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，已知A點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為2個(gè)單位/秒．
(1)若A，B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)相向而行，正好在原點(diǎn)處相遇，請(qǐng)直接寫出B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度．
(2)若A，B兩點(diǎn)于起始位置按上述速度同時(shí)出發(fā)，向數(shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，幾秒時(shí)兩點(diǎn)相距8個(gè)單位長(zhǎng)度？
(3)若A，B兩點(diǎn)于起始位置按上述速度同時(shí)出發(fā)，向數(shù)軸負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，C點(diǎn)從原點(diǎn)出發(fā)作同方向的運(yùn)動(dòng)，如果在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，始終有，求C點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度．
【答案】(1)1個(gè)單位/秒；(2)4秒和20秒；(3)個(gè)單位/秒
【解析】(1)解：B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為：
=1個(gè)單位/秒．
(2)∵OA+OB=8+4=12＞8，且A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)速度大于B點(diǎn)的速度，
∴分兩種情況，
①當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為=4秒．
②當(dāng)點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為=20秒，
綜合①②得，4秒和20秒時(shí)，兩點(diǎn)相距都是8個(gè)單位長(zhǎng)度；
(3)設(shè)點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)速度為x個(gè)單位/秒，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，根據(jù)題意得知
8+（2-x）×t=[4+（x-1）×t]×2，整理，得2-x=2x-2，解得x=，
故C點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度為個(gè)單位/秒．
【變式訓(xùn)練1】如圖，將一條數(shù)軸在原點(diǎn)O和點(diǎn)B處各折一下，得到一條“折線數(shù)軸”．圖中點(diǎn)A表示-10，點(diǎn)B表示10，點(diǎn)C表示18，我們稱點(diǎn)A和點(diǎn)C在數(shù)軸上相距28個(gè)長(zhǎng)度單位．動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以2單位/秒的速度沿著“折線數(shù)軸”的正方向運(yùn)動(dòng)，從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B期間速度變?yōu)樵瓉?lái)的一半，之后立刻恢復(fù)原速；動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以1單位/秒的速度沿著數(shù)軸的負(fù)方向運(yùn)動(dòng)，從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O期間速度變?yōu)樵瓉?lái)的兩倍，之后也立刻恢復(fù)原速．設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒．問(wèn)：
(1)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C需要多少時(shí)間？
(2)求P、Q兩點(diǎn)相遇時(shí)，t的值和相遇點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的數(shù)．
【答案】(1)動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C需要19秒；
(2)P、Q兩點(diǎn)相遇時(shí)，t的值為秒，相遇點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的數(shù)是．
【解析】(1)解：由圖可知：動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至C分成三段，分別為AO、OB、BC，
AO段時(shí)間為＝5，OB段時(shí)間為=10，BC段時(shí)間為=4，
∴動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至C點(diǎn)需要時(shí)間為5+10+4=19（秒），
答：動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)C需要19秒；
(2)解：點(diǎn)Q經(jīng)過(guò)8秒后從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到OB段，
而點(diǎn)P經(jīng)過(guò)5秒后從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到OB段，經(jīng)過(guò)3秒后還在OB段，∴P、Q兩點(diǎn)在OB段相遇，
設(shè)點(diǎn)Q經(jīng)過(guò)8秒后從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到OB段，再經(jīng)進(jìn)y秒與點(diǎn)P在OB段相遇，
依題意得：3+y+2y=10，解得：y=，∴P、Q兩點(diǎn)相遇時(shí)經(jīng)過(guò)的時(shí)間為8+=（秒），
此時(shí)相遇點(diǎn)M在“折線數(shù)軸”上所對(duì)應(yīng)的數(shù)是為3+=；
答：P、Q兩點(diǎn)相遇時(shí)，t的值為秒，相遇點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的數(shù)是．
【變式訓(xùn)練2】如圖，已知、、是數(shù)軸上三點(diǎn)，點(diǎn)表示的數(shù)為4，，．
(1)點(diǎn)表示的數(shù)是______，點(diǎn)表示的數(shù)是______．
(2)動(dòng)點(diǎn)、分別從、同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（）秒．
①用含的代數(shù)式表示：點(diǎn)表示的數(shù)為______，點(diǎn)表示是數(shù)為______；
②當(dāng)時(shí)，點(diǎn)、之間的距離為______；
③當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，用含的代數(shù)式表示點(diǎn)、之間的距離；
④當(dāng)點(diǎn)、到點(diǎn)的距離相等時(shí)，直接寫出的值．
【答案】(1)，6；(2)①，；②7；③；④t的值為或10
【解析】(1)解：A點(diǎn)在B點(diǎn)左邊，B點(diǎn)表示4，AB=8，∴A點(diǎn)表示的數(shù)，4-8=-4；
C點(diǎn)在B點(diǎn)右邊，BC=2，∴C點(diǎn)表示的數(shù)為：4+2=6；
(2)解：①P點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)，∴P點(diǎn)表示的數(shù)為-4+2t；
Q點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)，∴Q點(diǎn)表示的數(shù)為6-t；
②t=1時(shí)，P點(diǎn)-2，Q點(diǎn)5，兩點(diǎn)距離=5-（-2）=7；
③∵Q點(diǎn)在右，P點(diǎn)在左，∴兩點(diǎn)距離=6-t-（-4+2t）=10-3t，
④當(dāng)P，Q相遇時(shí)，兩點(diǎn)到C點(diǎn)距離相等，此時(shí)2t+t=10，解得：t=，
當(dāng)P點(diǎn)在C點(diǎn)右邊，Q點(diǎn)在C點(diǎn)左邊時(shí)，-4+2t-6=6-（6-t），解得：t=10，
∴t的值為或10；
【變式訓(xùn)練3】如圖，點(diǎn)A、B為數(shù)軸上的點(diǎn)（點(diǎn)A在數(shù)軸的正半軸），，N為AB的中點(diǎn)，且點(diǎn)N表示的數(shù)為2．
(1)點(diǎn)A表示的數(shù)為______，點(diǎn)B表示的數(shù)為______；
(2)點(diǎn)M為數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C是AM的中點(diǎn)，若，求點(diǎn)M表示的數(shù)，并畫出點(diǎn)M的位置；
(3)點(diǎn)P從點(diǎn)N出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)P、Q之間的距離為3時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值．
【答案】(1)6，﹣2；(2)8或4；(3)1秒或7秒．
【解析】(1)解：∵，N為AB的中點(diǎn)，∴AN＝BN＝AB＝4
∵點(diǎn)N表示的數(shù)為2，點(diǎn)A在點(diǎn)N的右側(cè)，點(diǎn)B在點(diǎn)N的左側(cè)
∴點(diǎn)A表示的數(shù)為2＋4＝6，點(diǎn)B表示的數(shù)為2－4＝﹣2，即點(diǎn)A表示的數(shù)為6，點(diǎn)B表示的數(shù)為﹣2，
故答案為：6，﹣2
(2)解：當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)A的右側(cè)時(shí)，如圖1所示，
∵ C是AM的中點(diǎn)，CM＝1，∴AM＝2CM＝2，∴點(diǎn)M表示的數(shù)是6＋2＝8；
當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)A的左側(cè)時(shí)，如圖2所示，
∵ C是AM的中點(diǎn)，CM＝1，∴AM＝2CM＝2，
∴點(diǎn)M表示的數(shù)是6－2＝4．故點(diǎn)M表示的數(shù)是8或4；
(3)解：當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q的右側(cè)，即點(diǎn)P還沒追上點(diǎn)Q時(shí)，如圖3，
由題意得t＋4－2t＝3，解得t＝1，
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q的左側(cè)，即點(diǎn)P追上點(diǎn)Q并超過(guò)點(diǎn)Q時(shí)，如圖4所示，
由題意得2t－t－4＝3，解得t＝7，
∴點(diǎn)P、Q之間的距離為3時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間t＝1秒或7秒．
類型二、定值問(wèn)題
例1．已知：a是單項(xiàng)式-xy2的系數(shù)，b是最小的正整數(shù)，c是多項(xiàng)式2m2n－m3n2－m－2的次數(shù)．請(qǐng)回答下列問(wèn)題：
(1)請(qǐng)直接寫出a、b、c的值．a(chǎn)＝ ，b＝ ，c＝ ．
(2)數(shù)軸上，a、b、c三個(gè)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A、B、C，點(diǎn)A、B、C同時(shí)開始在數(shù)軸上運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)B和點(diǎn)C分別以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度和3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向右運(yùn)動(dòng)，假設(shè)t秒鐘過(guò)后，若點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離表示為BC，點(diǎn)A與點(diǎn)B之間的距離表示為AB，點(diǎn)A與點(diǎn)C之間的距離表示為AC．
①t秒鐘過(guò)后，AC的長(zhǎng)度為 （用含t的關(guān)系式表示）；
②請(qǐng)問(wèn)：BC-AB的值是否會(huì)隨著時(shí)間t的變化而改變？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)求出其值．
【答案】(1)-1，1，5；(2)①4t＋6；②不會(huì)變化，2
【解析】(1)解：由題意得，
單項(xiàng)式-xy2的系數(shù)a＝-1，最小的正整數(shù)b＝1，
多項(xiàng)式2m2n-m3n2-m-2的次數(shù)c＝5；
故答案為：-1，1，5
(2)①t秒后點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)為a-t，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)為b＋t，點(diǎn)C對(duì)應(yīng)的數(shù)為c＋3t，
故AC＝|c＋3t-a＋t|＝|5＋4t＋1|＝6＋4t；
故答案為：6＋4t
②∵BC＝5＋3t-（1＋t）＝4＋2t，
AB＝1＋t-（-1-t）＝2＋2t；
∴BC-AB＝4＋2t-2-2t＝2，
故BC-AB的值不會(huì)隨時(shí)間t的變化而改變．其值為2．
【變式訓(xùn)練1】如圖，已知數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為12，B是數(shù)軸上一點(diǎn)．且．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．
(1)寫出數(shù)軸上點(diǎn)B表示的數(shù)___，點(diǎn)P表示的數(shù)___（用含t的代數(shù)式表示）；
(2)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，問(wèn)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少秒時(shí)追上點(diǎn)Q；
(3)若M為AP的中點(diǎn)，N為PB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，線段MN的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)你畫出圖形，并求出線段MN的長(zhǎng)．
【答案】(1)﹣8，12﹣5t；(2)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)10秒時(shí)追上點(diǎn)Q；
(3)線段MN的長(zhǎng)度不發(fā)生變化，都等于10；理由見解析．
【解析】(1)解：∵點(diǎn)A表示的數(shù)為12，B在A點(diǎn)左邊，AB=20，
∴點(diǎn)B表示的數(shù)是12-20=-8，
∵動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）秒，
∴點(diǎn)P表示的數(shù)是12-5t．故答案為：-8，12-5t；
(2)解：設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)x秒追上點(diǎn)Q，Q表示的數(shù)是-8-3t，
根據(jù)題意得：12-5x=-8-3x，解得：x=10，
∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)10秒時(shí)追上點(diǎn)Q；
(3)解：線段MN的長(zhǎng)度不發(fā)生變化，都等于10；理由如下：
∵點(diǎn)A表示的數(shù)為12，點(diǎn)P表示的數(shù)是12-5t，M為AP的中點(diǎn)，
∴M表示的數(shù)是，
∵點(diǎn)B表示的數(shù)是-8，點(diǎn)P表示的數(shù)是12-5t，N為PB的中點(diǎn)，
∴N表示的數(shù)是，
∴MN=（12-t）-（2-t）=10．
【變式訓(xùn)練2】如圖，已知數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為9，B是數(shù)軸負(fù)方向上一點(diǎn)，且．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．
(1)數(shù)軸上點(diǎn)B表示的數(shù)為_____，點(diǎn)P表示的數(shù)為________；（用含t的代數(shù)式表示）
(2)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)P，Q同時(shí)出發(fā)，問(wèn)t為何值時(shí)，點(diǎn)P追上點(diǎn)Q？此時(shí)P點(diǎn)表示的數(shù)是多少？
(3)若點(diǎn)M是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段的中點(diǎn)．點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，線段的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變化，請(qǐng)求出的長(zhǎng)度；
【答案】(1)，；(2)－16；(3)不發(fā)生變化，
【解析】(1)解：∵數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為8，且AB=14，
∴點(diǎn)B表示的數(shù)為?6，
點(diǎn)P表示的數(shù)為，
故答案為：，．
(2)解：設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，在點(diǎn)C處追上點(diǎn)Q，如圖，則，
因?yàn)椋裕獾茫?
所以點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)5秒時(shí)，在點(diǎn)C處追上點(diǎn)Q．
當(dāng)時(shí)，．此時(shí)P點(diǎn)表示的數(shù)是．
(3)解：不發(fā)生變化．理由是：
因?yàn)镸是線段的中點(diǎn)，N是線段的中點(diǎn)，所以．
分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，如圖所示，
所以．
②當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)，如圖所示，
所以．
綜上所述，線段的長(zhǎng)度不發(fā)生變化，其值為．
【變式訓(xùn)練3】點(diǎn)A、B在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為a、b，且a、b滿足．
(1)如圖1，求線段AB的長(zhǎng)；
(2)若點(diǎn)C在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)為x，且x是方程的根，在數(shù)軸上是否存在點(diǎn)P使，若存在，求出點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)，若不存在，說(shuō)明理由；
(3)如圖2，點(diǎn)P在B點(diǎn)右側(cè)，PA的中點(diǎn)為M，N為PB靠近于B點(diǎn)的四等分點(diǎn)，當(dāng)P在B的右側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)，有兩個(gè)結(jié)論：①的值不變；②的值不變，其中只有一個(gè)結(jié)論正確，請(qǐng)判斷正確的結(jié)論，并直接寫出該值．
【答案】(1)4；(2)存在，當(dāng)點(diǎn)P表示的數(shù)為-1.5或3.5時(shí)，；理由見解析
(3)結(jié)論①正確，=2
【解析】(1)解：∵|a+1|+（b-3）2=0，∴a+1=0，b-3=0，∴a=-1，b=3，
∴AB=|-1-3|=4．答：AB的長(zhǎng)為4；
(2)解：存在，∵，∴x=-2，∴BC==5．
設(shè)點(diǎn)P在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的數(shù)是m，∵，∴|m+1|+|m-3|=5，
令m+1=0，m-3=0，∴m=-1或m=3．
①當(dāng)m≤-1時(shí)，-m-1+3-m=5，m=-1.5；
②當(dāng)-1＜m≤3時(shí)，m+1+3-m=5，（舍去）；
③當(dāng)m＞3時(shí)，m+1+m-3=5，m=3.5．∴當(dāng)點(diǎn)P表示的數(shù)為-1.5或3.5時(shí)，；
(3)解：設(shè)P點(diǎn)所表示的數(shù)為n，∴PA=n+1，PB=n-3．
∵PA的中點(diǎn)為M，∴PM=PA=．
∵N為PB的四等分點(diǎn)且靠近于B點(diǎn)，∴BN=PB=，∴①PM-2BN=-2×=2（不變），
②PM+BN=+×=（隨點(diǎn)P的變化而變化），
∴正確的結(jié)論為①，且PM-2BN=2．
類型三、點(diǎn)之間的位置關(guān)系問(wèn)題
例1．如圖，已知在數(shù)軸上有A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A表示的數(shù)為8，點(diǎn)B在A點(diǎn)的左邊，且．若有一動(dòng)點(diǎn)P從數(shù)軸上點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿著數(shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．
(1)解決問(wèn)題：
①當(dāng)時(shí)，寫出數(shù)軸上點(diǎn)B，P所表示的數(shù)；
②若點(diǎn)P，Q分別從A，B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，問(wèn)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多少秒與點(diǎn)Q相距3個(gè)單位長(zhǎng)度？
(2)探索問(wèn)題：若M為AQ的中點(diǎn)，N為BP的中點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)P在A，B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，探索線段MN與線段PQ的數(shù)量關(guān)系（寫出過(guò)程）．
【答案】(1)①點(diǎn)B表示-4，點(diǎn)P表示5；②1.8秒或3秒
(2)2MN+PQ=12或2MN-PQ=12，過(guò)程見解析
【解析】(1)解：①∵點(diǎn)A表示的數(shù)為8，B在A點(diǎn)左邊，AB=12，∴點(diǎn)B表示的數(shù)是8-12=-4，
∵動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，
∴點(diǎn)P表示的數(shù)是8-3×1=5．
②設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)x秒時(shí)，與Q相距3個(gè)單位長(zhǎng)度，
則AP=3x，BQ=2x，
∵AP+BQ=AB-3，∴3x+2x=9，解得：x=1.8，
∵AP+BQ=AB+3，∴3x+2x=15，解得：x=3．
∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)1.8秒或3秒時(shí)與點(diǎn)Q相距3個(gè)單位長(zhǎng)度．
(2)2MN+PQ=12或2MN-PQ=12；理由如下：
P在Q右側(cè)時(shí)有：MN=MQ+NP-PQ=AQ+BP-PQ=（AQ+BP-PQ）-PQ=AB-PQ=（12-PQ），
即2MN+PQ=12．
同理P在Q左側(cè)時(shí)有：2MN-PQ=12．
例2.如圖，在數(shù)軸上A點(diǎn)表示的數(shù)為a，B點(diǎn)表示的數(shù)為b，C點(diǎn)表示的數(shù)為c，b是最大的負(fù)整數(shù)，且a，c滿足|a+3|+（c﹣9）2＝0．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A后立刻返回到點(diǎn)C，到達(dá)點(diǎn)C后再返回到點(diǎn)A并停止．
(1)a＝ ，b＝ ；
(2)點(diǎn)P從點(diǎn)B離開后，在點(diǎn)P第二次到達(dá)點(diǎn)B的過(guò)程中，經(jīng)過(guò)x秒鐘，PA+PB+PC＝13，求x的值．
(3)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)的同時(shí)，數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)M，N分別從點(diǎn)A和點(diǎn)C同時(shí)出發(fā)，相向而行，速度分別為每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度和每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度，假設(shè)t秒鐘時(shí)，P、M、N三點(diǎn)中恰好有一個(gè)點(diǎn)是另外兩個(gè)點(diǎn)的中點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出所有滿足條件的t的值．
【答案】(1)﹣3，﹣1；(2)或1或或；(3)1，，，8．
【解析】(1)解：b是最大的負(fù)整數(shù)，即b=﹣1，|a+3|+（c﹣9）2＝0，
∴|a+3|=0，（c﹣9）2＝0，∴a=﹣3，c=9，故答案為：﹣3，﹣1；
(2)解：AB=2，BC=10，AC=12，PA+PB+PC＝13，PA+PC=12，則PB=1，
∴此時(shí)P點(diǎn)位置為﹣2或0，根據(jù)P的運(yùn)動(dòng)軌跡得：
由B到A時(shí)：x=1÷3=，由A到B時(shí)：x=3÷3=1，由B到C時(shí)：x=5÷3=，
由C到B時(shí)：x=23÷3=；故x的值為:或1或或．
(3)解：當(dāng)P點(diǎn)由B到A運(yùn)動(dòng)時(shí)P=﹣3t－1（0≤t＜），
當(dāng)P點(diǎn)由A到C運(yùn)動(dòng)時(shí)P=﹣3＋（3t－2）=3t－5（≤t＜），
當(dāng)P點(diǎn)由C到B運(yùn)動(dòng)時(shí)P=9－（3t－14）=﹣3t＋23（≤t≤8），
當(dāng)M點(diǎn)由A到C運(yùn)動(dòng)時(shí)M=4t－3，當(dāng)N點(diǎn)由C到A運(yùn)動(dòng)時(shí)N=﹣5t＋9，
PM相遇時(shí)3t＋4t=2，t=，MN相遇時(shí)4t＋5t=12，t=，PN相遇時(shí)3t＋5t=12＋2，t=，
0≤t＜，P在中間，則4t－3﹣5t＋9=2（﹣3t－1）解得t=﹣舍去；
＜t＜，M在中間，則﹣5t＋9﹣3t－1=2（4t－3）解得t=舍去；
≤t＜，M在中間，則﹣5t＋9＋3t－5=2（4t－3）解得t=1；
＜t＜，N在中間，則4t－3＋3t－5=2（﹣5t＋9）解得t=；
＜t＜，P在中間，則4t－3﹣5t＋9=2（3t－5）解得t=；
≤t≤8，P在中間，則4t－3﹣5t＋9=2（﹣3t＋23）解得t=8；故t的值為：1，，，8．
【變式訓(xùn)練1】如圖，已知A、B、C是數(shù)軸上三點(diǎn)，點(diǎn)O為原點(diǎn)，點(diǎn)C表示的數(shù)為6，BC＝4， AB＝12．
(1)寫出數(shù)軸上點(diǎn)A、B表示的數(shù)；
(2)動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從A、C同時(shí)出發(fā)，沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)．點(diǎn)P的速度是每秒6個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)Q的速度是每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)M為AP的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線段CQ上，且CN＝CQ，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（t＞0）秒．
①求數(shù)軸上點(diǎn)M、N表示的數(shù)（用含t的式子表示）；
②當(dāng)M、B、N三個(gè)點(diǎn)中的其中一個(gè)點(diǎn)是另兩點(diǎn)構(gòu)成的線段的中點(diǎn)的時(shí)候，求t的值．
【答案】(1)A點(diǎn)表示-10， B表示2，
(2)①點(diǎn)M表示的數(shù)為：-10+3t，點(diǎn)N表示的數(shù)為：6+t，②t的值為：2秒或秒或20秒；
【解析】(1)解：∵O為原點(diǎn)，C表示6，BC=4，∴B表示2，∵AB=12，∴A點(diǎn)表示-10；
(2)解：①∵點(diǎn)P從A點(diǎn)以每秒6個(gè)單位長(zhǎng)度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，∴P點(diǎn)表示的數(shù)為-10+6t，
∵點(diǎn)M為AP的中點(diǎn)，∴點(diǎn)M表示的數(shù)為：（-10-10+6t）=-10+3t，
∵點(diǎn)Q從C點(diǎn)以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，
∴Q點(diǎn)表示的數(shù)為6+3t，
∵點(diǎn)N為CQ，∴點(diǎn)N表示的數(shù)為：6+×（6+3t-6）=6+t，
②當(dāng)M是B、N中點(diǎn)，B點(diǎn)在左側(cè)時(shí)，BM=MN，即-10+3t-2=6+t-（-10+3t），解得：t=，
當(dāng)B是M、N中點(diǎn)，M點(diǎn)在左側(cè)時(shí)，BM=BN，即2-（-10+3t）=6+t-2，解得：t=2，
當(dāng)N是B、M中點(diǎn)，B點(diǎn)在左側(cè)時(shí)，BN=MN，即6+t-2=-10+3t-（6+t），解得：t=20，
∴t的值為：2秒或秒或20秒；
【變式訓(xùn)練2】已知，如圖1：數(shù)軸上有A、B、C三點(diǎn)，點(diǎn)A表示的數(shù)為－5， 點(diǎn)B表示的數(shù)為13， 點(diǎn)C表示的數(shù)為－2，將一條長(zhǎng)為9個(gè)單位長(zhǎng)度的線段MN放在該數(shù)軸上（點(diǎn)M在點(diǎn)N的左邊）．
(1)求線段AB中點(diǎn)表示的數(shù)；
(2)如圖2：若從點(diǎn)M與點(diǎn)A重合開始，將線段MN以0.3個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度沿?cái)?shù)軸向右移動(dòng)，經(jīng)過(guò)x秒后，點(diǎn)N恰為線段BC的中點(diǎn)，求x的值；
(3)如圖3：在（2）的基礎(chǔ)上，若線段MN向右移動(dòng)的同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開始以0.6個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度也沿?cái)?shù)軸向右移動(dòng)，設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為t秒，當(dāng)P、N、B三個(gè)點(diǎn)中恰有一個(gè)點(diǎn)為另兩個(gè)點(diǎn)所組成線段的中點(diǎn)時(shí)，求t的值．
【答案】(1)4；(2)5；(3)或
【解析】(1)解：線段AB中點(diǎn)表示的數(shù)為，∴線段AB中點(diǎn)表示的數(shù)為4；
(2)解：點(diǎn)N表示的數(shù)為：-5+9=4
線段BC中點(diǎn)表示的數(shù)為：
根據(jù)題意，得4+0.3x=5.5，解得：x=5，
∴點(diǎn)N恰為線段BC的中點(diǎn)重合時(shí)，x的值為5；
(3)解：當(dāng)點(diǎn)N恰為線段BP的中點(diǎn)時(shí)，根據(jù)題意，得，方程無(wú)解，
當(dāng)點(diǎn)P恰為線段BN的中點(diǎn)時(shí)，根據(jù)題意，得，解得：t=，
當(dāng)點(diǎn)B恰為線段PN的中點(diǎn)時(shí)，根據(jù)題意，得，解得：t=，
綜上，當(dāng)P、N、B三個(gè)點(diǎn)中恰有一個(gè)點(diǎn)為另兩個(gè)點(diǎn)所組成線段的中點(diǎn)時(shí)，t的值為或．
【變式訓(xùn)練3】已知A、B、C為數(shù)軸上三點(diǎn)，若點(diǎn)C到A的距離是點(diǎn)C到B的距離的2倍，我們就稱點(diǎn)C是的優(yōu)點(diǎn)．
例如：如圖1，A，B為數(shù)軸上兩點(diǎn)，點(diǎn)A表示的數(shù)為－1，點(diǎn)B表示的數(shù)為2，表示數(shù)1的點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離是2，到點(diǎn)B的距離是1，那么點(diǎn)C是的優(yōu)點(diǎn)；表示數(shù)0的點(diǎn)D到點(diǎn)C的距離是1，到點(diǎn)B的距離是2，那么點(diǎn)D是的優(yōu)點(diǎn)．
(1)在圖1中，點(diǎn)C是的優(yōu)點(diǎn)，也是（A，_____________）的優(yōu)點(diǎn)；點(diǎn)D是的優(yōu)點(diǎn)，也是（B，_____________）的優(yōu)點(diǎn)；
(2)如圖2，A，B為數(shù)軸上兩點(diǎn)，點(diǎn)A所表示的數(shù)為－2，點(diǎn)B所表示的數(shù)為4．設(shè)數(shù)所表示的點(diǎn)是的優(yōu)點(diǎn)，求的值；
(3)如圖3，A，B為數(shù)軸兩點(diǎn)，點(diǎn)A所表的數(shù)為－20，點(diǎn)B所表示的數(shù)為40．現(xiàn)有一只電子螞蟻Р從點(diǎn)B出發(fā)，以5個(gè)單位每秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)A停止，設(shè)點(diǎn)Р的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，在點(diǎn)Р運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在P、A和B中恰有一個(gè)點(diǎn)為其余兩點(diǎn)的優(yōu)點(diǎn)﹖如果存在請(qǐng)求出t的值；如果不存在，說(shuō)明理由．
【答案】(1)D，A；(2)10或2；(3)當(dāng)或或時(shí)，P、A和B中恰有一個(gè)點(diǎn)為其余兩點(diǎn)的優(yōu)點(diǎn)
【解析】(1)解：A，B為數(shù)軸上兩點(diǎn)，點(diǎn)A表示的數(shù)為－1，點(diǎn)D表示的數(shù)為0，表示數(shù)1的點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離是2，到點(diǎn)D的距離是1，那么點(diǎn)C是的優(yōu)點(diǎn)；表示數(shù)0的點(diǎn)D到點(diǎn)B的距離是2，到點(diǎn)A的距離是1，那么點(diǎn)D是A的優(yōu)點(diǎn)，
故答案為：D；A；
(2)解：由題意得，
∴或，
解得或；
(3)解：由題意得運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)點(diǎn)P表示的數(shù)為，
∴，，，
當(dāng)A是（B，P）的優(yōu)點(diǎn)時(shí)，
∴，
數(shù)軸上的四種動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題
【知識(shí)點(diǎn)梳理】
1.數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離
數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)表示的數(shù)為分別為a、b，則A與B間的距離AB=|a－b|；
2.數(shù)軸上點(diǎn)移動(dòng)規(guī)律
數(shù)軸上點(diǎn)向右移動(dòng)則數(shù)變大（增加），向左移動(dòng)數(shù)變?。p?。?；
當(dāng)數(shù)a表示的點(diǎn)向右移動(dòng)b個(gè)單位長(zhǎng)度后到達(dá)點(diǎn)表示的數(shù)為a+b；向左移動(dòng)b個(gè)單位長(zhǎng)度后到達(dá)點(diǎn)表示的數(shù)為a－b.
類型一、求動(dòng)點(diǎn)表示的數(shù)
例.在數(shù)軸上，點(diǎn)，在原點(diǎn)的兩側(cè)，分別表示數(shù)，2，將點(diǎn)向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)．若，則的值為（ ）
A．B．C．或D．
【答案】C
【解析】∵CO=BO，B點(diǎn)表示2，∴點(diǎn)C表示的數(shù)為±2，
∴a=-2-3=-5或a=2-3=-1，
故選：C．
【變式訓(xùn)練1】在數(shù)軸上，點(diǎn)P從某點(diǎn)A開始移動(dòng)，先向右移動(dòng)5個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左移動(dòng)4個(gè)單位長(zhǎng)度，最后到達(dá)，則點(diǎn)A表示的數(shù)是（ ）
A．3B．C．D．
【答案】C
【解析】由題意可得：-1+4-5=-2，
故選C．
【變式訓(xùn)練2】如圖，將一個(gè)半徑為1個(gè)單位長(zhǎng)度的圓片上的點(diǎn)A放在原點(diǎn)，并把圓片沿?cái)?shù)軸滾動(dòng)1周，點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)的位置，則點(diǎn)表示的數(shù)是 _______；若起點(diǎn)A開始時(shí)是與—1重合的，則滾動(dòng)2周后點(diǎn)表示的數(shù)是______．
【答案】或 或
【解析】因?yàn)榘霃綖?的圓的周長(zhǎng)為2，
所以每滾動(dòng)一周就相當(dāng)于圓上的A點(diǎn)平移了個(gè)單位，滾動(dòng)2周就相當(dāng)于平移了個(gè)單位；當(dāng)圓向左滾動(dòng)一周時(shí)，則A'表示的數(shù)為，
當(dāng)圓向右滾動(dòng)一周時(shí)，則A'表示的數(shù)為；
當(dāng)A點(diǎn)開始時(shí)與重合時(shí)，
若向右滾動(dòng)兩周，則A'表示的數(shù)為，
若向左滾動(dòng)兩周，則A'表示的數(shù)為；
故答案為：或；或．
【變式訓(xùn)練3】已知數(shù)軸上點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)為，點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)，且兩點(diǎn)間的距離為8．點(diǎn)P為數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)C在原點(diǎn)位置．
（1）點(diǎn)B的數(shù)為____________；
（2）①若點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離比到點(diǎn)B的距離大2，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為_________；
②數(shù)軸上是否存在點(diǎn)P，使點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離是點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離的2倍？若存在，求出點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
（3）已知在數(shù)軸上存在點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)C的距離之和等于點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離時(shí)，點(diǎn)P對(duì)應(yīng)的數(shù)為___________；
【答案】（1）2；（2）①-1；②或10；（3）-8和-4
【解析】（1）∵點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)為-6，點(diǎn)B在點(diǎn)A右側(cè)，A，B兩點(diǎn)間的距離為8，
∴-6+8=2，即點(diǎn)B表示的數(shù)為2；
（2）①設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)為x，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)，PA＜PB，不符合；
當(dāng)點(diǎn)P在A、B之間，x-（-6）=2-x+2，解得：x=-1；
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)，PA-PB=AB=8，不符合；故答案為：-1；
②當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A的左側(cè)，PA＜PB，不符合；
當(dāng)點(diǎn)P在A、B之間，x-（-6）=2（2-x），解得：x=；
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)，x-（-6）=2（x-2），解得：x=10；∴P對(duì)應(yīng)的數(shù)為或10；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)A左側(cè)時(shí)，-6-x+0-x=2-x，解得：x=-8；
當(dāng)點(diǎn)P在A、O之間時(shí)，x-（-6）+0-x=2-x，解得：x=-4；
當(dāng)點(diǎn)P在O、B之間時(shí)，x-（-6）+x-0=2-x，解得：x=，不符合；
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，x-（-6）+x-0=x-2，解得：x=-8，不符合；
綜上：點(diǎn)P表示的數(shù)為-8和-4．
類型二、求動(dòng)點(diǎn)的速度
例.已知多項(xiàng)式的常數(shù)項(xiàng)是a，次數(shù)是b，且a，b兩個(gè)數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A、B，若點(diǎn)A、點(diǎn)B同時(shí)沿?cái)?shù)軸向正方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A的速度是點(diǎn)B的2倍，且3秒后，，求點(diǎn)B的速度為（ ）
A．B． 或 C．或D．
【答案】C
【解析】∵多項(xiàng)式x3-3xy2-4的常數(shù)項(xiàng)是a，次數(shù)是b，∴a=-4，b=3，
設(shè)B速度為v，則A的速度為2v，3秒后點(diǎn)A在數(shù)軸上表示的數(shù)為（-4+6v），B點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)為3+3v，且OB=3+3v
當(dāng)A還在原點(diǎn)O的左邊時(shí)，OA=0-（-4+6v）=4-6v，
由可得，解得；
當(dāng)A還在原點(diǎn)O的右邊時(shí)，OA=（-4+6v）-0=6v-4，
由可得，解得.
故B的速度為或，選C.
故答案為：C
類型三、求動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間
例.如圖所示，A、B是數(shù)軸上的兩點(diǎn)，O是原點(diǎn)，AO=10，OB=15，點(diǎn)P、Q分別從A、B同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，M為線段AP的中點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t（t≥0） 秒，M、Q兩點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離相等時(shí)，t的值是（ ）
A．或B．或
C．或D．或
【答案】C
【解析】∵O是原點(diǎn)，AO=10，OB=15，∴點(diǎn)A表示的數(shù)是-10，點(diǎn)B表示的數(shù)是15，
∵點(diǎn)P以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，M為線段AP的中點(diǎn)，∴OM=|-10-t|，
∵點(diǎn)Q以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左勻速運(yùn)動(dòng)，∴OQ=|15-4t|，
∵M(jìn)、Q兩點(diǎn)到原點(diǎn)O的距離相等，∴|-10-t|=|15-4t|，
∴-10-t=15-4t或-10-t=-（15-4t），解得：t=或t=1，
故選：C．
【變式訓(xùn)練1】如圖，點(diǎn)在數(shù)軸上表示的數(shù)是，在數(shù)軸上表示的數(shù)是8．若點(diǎn)以6個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向右勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)以2個(gè)單位長(zhǎng)度/秒的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)，問(wèn)：當(dāng)時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為多少秒？（ ）
A．2秒B．13.4秒C．2秒或4秒D．2秒或6秒
【答案】C
【解析】設(shè)當(dāng)AB=8時(shí)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，
①當(dāng)點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊時(shí)，由題意得6t+2t+8=8-（-16），解得：t=2
②當(dāng)點(diǎn)A在點(diǎn)B的右邊時(shí)，6t+2t=8-（-16）+8，解得： t=4．
故選：C．
【變式訓(xùn)練2】如圖，數(shù)軸上的點(diǎn)和點(diǎn)分別表示0和10，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn).點(diǎn)沿以每秒2個(gè)單位的速度往返運(yùn)動(dòng)1次，是線段的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒（不超過(guò)10秒）.若點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)時(shí)，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間的值為（ ）
A．秒或秒B．秒或秒或或秒
C．3秒或7秒D．3秒或或7秒或秒
【答案】B
【解析】∵數(shù)軸上的點(diǎn)和點(diǎn)分別表示0和10，∴OA=10
∵是線段的中點(diǎn)，∴OB=AB=
①當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)O向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，且未到點(diǎn)B時(shí)，如下圖所示，
此時(shí)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程OP=OB－PB=3，∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為3÷2=s；
②當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)O向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，且已過(guò)點(diǎn)B時(shí)，如下圖所示，
此時(shí)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程OP=OB+PB=7，∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為7÷2=s；
③當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)A向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，且未到點(diǎn)B時(shí)，如下圖所示，
此時(shí)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為OA＋AP=OA＋AB－PB=13，∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為13÷2=s；
④當(dāng)點(diǎn)P由點(diǎn)A向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，且已過(guò)點(diǎn)B時(shí)，如下圖所示，
此時(shí)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路程為OA＋AP=OA＋AB＋PB=17，∴點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為17÷2=s；
綜上所述：當(dāng)時(shí)，則運(yùn)動(dòng)時(shí)間的值為秒或秒或或秒
故選B．
【變式訓(xùn)練3】已知數(shù)軸上有三點(diǎn)，分別表示數(shù)，10，若兩只電子螞蟻甲、乙分別從兩點(diǎn)同時(shí)相向而行，甲的速度為4個(gè)單位長(zhǎng)度/秒，乙的速度為6個(gè)單位長(zhǎng)度/秒，
（1）甲、乙兩點(diǎn)在數(shù)軸上哪個(gè)點(diǎn)相遇？
（2）多少秒后甲到三點(diǎn)的距離之和是40個(gè)單位長(zhǎng)度？
【答案】（1）-10.4；（2）2秒或5秒
【解析】（1）設(shè)x秒后甲與乙相遇，則4x+6x=34，解得x=3.4，
4×3.4=13.6，-24+13.6=-10.4．故甲、乙在數(shù)軸上的-10.4相遇；
（2）設(shè)y秒后甲到A，B，C三點(diǎn)的距離之和為40個(gè)單位，
B點(diǎn)距A，C兩點(diǎn)的距離為14+20=34＜40，A點(diǎn)距B、C兩點(diǎn)的距離為14+34=48＞40，C點(diǎn)距A、B的距離為34+20=54＞40，故甲應(yīng)位于AB或BC之間．
①AB之間時(shí)：4y+（14-4y）+（14-4y+20）=40解得y=2；
②BC之間時(shí)：4y+（4y-14）+（34-4y）=40，解得y=5，
綜上：2秒或5秒后甲到三點(diǎn)的距離之和是40個(gè)單位長(zhǎng)度．
類型四、綜合問(wèn)題
例.如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)A、B表示的數(shù)分別為﹣2、4．
（1）若點(diǎn)M到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離相等，那么點(diǎn)M所對(duì)應(yīng)的數(shù)是 ．
（2）若點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)，以1個(gè)單位/秒的速度向左運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)N恰好從點(diǎn)A出發(fā)，以2個(gè)單位/秒的速度向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)M、N兩點(diǎn)在數(shù)軸上的點(diǎn)E相遇，則點(diǎn)E對(duì)應(yīng)的數(shù)是 ．
（3）若點(diǎn)D是數(shù)軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)D到點(diǎn)A的距離與到點(diǎn)B的距離之和等于10時(shí)，則點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的數(shù)是 ．
（4）若點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N從B點(diǎn)出發(fā)以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸勻速運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)M、N同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，經(jīng)過(guò)多少秒后，M、N兩點(diǎn)間的距離為24個(gè)單位長(zhǎng)度．
【答案】（1）1；（2）2；（3）﹣4或6；（4）經(jīng)過(guò)30秒或秒后，M、N兩點(diǎn)間的距離為24個(gè)單位長(zhǎng)度
【解析】（1）∵點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為﹣2、4，∴AB=4-(-2)=6，
∵點(diǎn)M到點(diǎn)A、點(diǎn)B的距離相等，∴MA=3，
∴點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù)是-2+3=1；故答案為：1；
（2）t秒后，點(diǎn)M表示4﹣t，點(diǎn)N表示﹣2+2t，
若兩點(diǎn)相遇則4﹣t＝﹣2+2t，解得t＝2，4﹣2＝2，
所以點(diǎn)E對(duì)應(yīng)的數(shù)是2．故答案為：2；
（3）設(shè)點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的數(shù)是x，∵AB＝6，∴點(diǎn)D不可能在線段AB上．
①點(diǎn)D在A的左邊時(shí)，DA＝﹣2﹣x，DB＝4﹣x，
（﹣2﹣x）+（4﹣x）＝10，解得x＝﹣4；
②點(diǎn)D在B的右邊時(shí)，DA＝2+x，DB＝x﹣4，
（2+x）+（x﹣4）＝10，解得x＝6；故答案為：﹣4或6；
（4）①若點(diǎn)N向右運(yùn)動(dòng)，
t秒后，點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù)是5t﹣2，點(diǎn)N對(duì)應(yīng)的數(shù)是4+4t，
MN＝|（5t﹣2）﹣（4+4t）|＝|t﹣6|＝24，解得t＝30或﹣18（舍去）；
②若點(diǎn)N向左運(yùn)動(dòng)，
t秒后，點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù)是5t﹣2，點(diǎn)N對(duì)應(yīng)的數(shù)是4﹣4t，
MN＝|（5t﹣2）﹣（4﹣4t）|＝|9t﹣6|＝24，解得t＝或﹣2（舍去）；
答：經(jīng)過(guò)30秒或秒后，M、N兩點(diǎn)間的距離為24個(gè)單位長(zhǎng)度．
故答案為：（1）1；（2）2；（3）﹣4或6；（4）經(jīng)過(guò)30秒或秒后，M、N兩點(diǎn)間的距離為24個(gè)單位長(zhǎng)度
【變式訓(xùn)練1】已知若數(shù)軸上點(diǎn)、點(diǎn)表示的數(shù)分別為，則，線段的中點(diǎn)表示的數(shù)為．如圖，數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為8，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向左勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．
（1）填空：
①兩點(diǎn)間的距離______，線段的中點(diǎn)表示的數(shù)為_____；
②用含的代數(shù)式表示：秒后，點(diǎn)表示的數(shù)為_______；點(diǎn)表示的數(shù)為______．
（2）求當(dāng)為何值時(shí)，兩點(diǎn)相遇，并寫出相遇點(diǎn)所表示的數(shù)．
（3）若點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若變化，請(qǐng)說(shuō)明理由；若不變，請(qǐng)求出線段的長(zhǎng)．
【答案】（1）①10，3；②-2+3t，8-2t；（2）t=2，4；（3）5
【解析】（1）①AB=8-（-2）=10，AB中點(diǎn)為=3，故答案為：10，3；
②t秒后，點(diǎn)P表示的數(shù)為-2+3t，點(diǎn)Q表示的數(shù)為8-2t，故答案為：-2+3t，8-2t；
（2）∵當(dāng)P、Q兩點(diǎn)相遇時(shí)，P、Q表示的數(shù)相等
∴-2+3t=8-2t，解得：t=2，∴當(dāng)t=2時(shí)，P、Q相遇，
此時(shí)，-2+3t=-2+3×2=4，∴相遇點(diǎn)表示的數(shù)為4；
（3）∵點(diǎn)M表示的數(shù)為，
點(diǎn)N表示的數(shù)為，∴MN==5．
故答案為：（1）①10，3；②-2+3t，8-2t；（2）t=2，4；（3）5
【變式訓(xùn)練2】如圖，數(shù)軸上原點(diǎn)為O，A，B是數(shù)軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)是a，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)是b，且a，b滿足，動(dòng)點(diǎn)M，N同時(shí)從A，B出發(fā)，分別以1個(gè)單位/秒和3個(gè)單位/秒的速度沿著數(shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒（x＞0）．
（1）A、B兩點(diǎn)間的距離是 ；動(dòng)點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù)是 （用含x的代數(shù)式表示）；動(dòng)點(diǎn)N對(duì)應(yīng)的數(shù)是 ；（用含x的代數(shù)式表示）
（2）幾秒后，線段OM與線段ON恰好滿足3OM＝2ON？
（3）若M，N開始運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，R從﹣1出發(fā)以2個(gè)單位/秒的速度沿著數(shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)R與M不重合時(shí)，求的值．
【答案】（1），，；（2）秒或秒；（3）或
【解析】（1）∵a，b滿足，∴a﹣2＝0，b+4＝0，
∴a＝2，b＝﹣4，
∵點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)是a，點(diǎn)B對(duì)應(yīng)的數(shù)是b，AB＝2﹣（﹣4）＝6．
當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒時(shí)，動(dòng)點(diǎn)M對(duì)應(yīng)的數(shù)是x+2，動(dòng)點(diǎn)N對(duì)應(yīng)的數(shù)是3x﹣4．故答案為：6；x+2；3x﹣4．
（2）由（1）中M，N所對(duì)的數(shù)得OM＝x+2，ON＝3x﹣4，
∵3OM＝2ON， ∴，
①3（2+x）＝2（3x﹣4），解得x＝；②3（2+x）＝﹣2（3x﹣4），解得x＝；
綜上，或秒后，線段OM與線段ON恰好滿足3OM＝2ON；
（3）由題意得動(dòng)點(diǎn)R所對(duì)的數(shù)為﹣1+2x，
，， ∴MB﹣NB＝6+x﹣3x＝6﹣2x，∵2+x＝﹣4+3x，解得x＝3，∴M與N相遇時(shí)時(shí)間為3s，
N與M相遇前，x＜3s時(shí)，＝＝2，
N與M相遇后，x＞3s時(shí)，＝＝＝﹣2，綜上所述的值為2或﹣2．
故答案為：（1），，；（2）秒或秒；（3）或
【變式訓(xùn)練3】如圖，直線l上有A、B、C三點(diǎn)，AB＝8cm，直線l上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)P、Q，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以cm/秒的速度沿AB方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B同時(shí)出發(fā)，以cm/秒的速度沿BC方向運(yùn)動(dòng)．
（1）點(diǎn)P、Q出發(fā)幾秒鐘后，點(diǎn)B是線段PQ的中點(diǎn)？
（2）運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，點(diǎn)P和點(diǎn)Q能否重合？若能重合，幾秒后重合？
（3）運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段PQ與線段AQ的長(zhǎng)度能否相等？說(shuō)明你的理由．
【答案】（1）；（2）能，；（3）能，理由見解析
【解析】（1）設(shè)點(diǎn)P、Q出發(fā)t秒鐘后，點(diǎn)B是線段PQ的中點(diǎn)，則
8﹣t＝t，解得：t＝，即點(diǎn)P、Q出發(fā)秒鐘后，點(diǎn)B是線段PQ的中點(diǎn)；
（2）假設(shè)點(diǎn)P、Q出發(fā)t秒鐘后，點(diǎn)P和點(diǎn)Q重合，則
8+t＝t．解得：t＝；
（3）當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q左側(cè)時(shí)，線段PQ與線段AQ的長(zhǎng)度不可能相等．
當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)Q右側(cè)時(shí)，設(shè)點(diǎn)P、Q出發(fā)t秒鐘后，線段PQ與線段AQ的長(zhǎng)度相等，則
8+t＝t﹣（8+t），
解得：t＝160．
當(dāng)t＝160時(shí)，線段PQ與線段AQ的長(zhǎng)度相等．
故答案為：（1）；（2）能，；（3）能，理由見解析

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