必 備 知 識兩個(gè)計(jì)數(shù)原理(1)分類加法計(jì)數(shù)原理：完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝________種不同的方法．(2)完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝________種不同的方法．
【常用結(jié)論】1．分類加法計(jì)數(shù)原理的推廣：完成一件事有n類不同方案，在第1類方案中有m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，……，在第n類方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法．2．分步乘法計(jì)數(shù)原理的推廣：完成一件事需要n個(gè)步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法．
夯 實(shí) 基 礎(chǔ)1．思考辨析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，某兩類不同方案中的方法可以相同．(　　)(2)在分類加法計(jì)數(shù)原理中，每類方案中的方法都能直接完成這件事．(　　)(3)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，只有各步驟都完成后，這件事情才算完成．(　　)(4)在分步乘法計(jì)數(shù)原理中，每個(gè)步驟中完成這個(gè)步驟的方法是各不相同的．(　　)
2．(教材改編)從4本不同的課外讀物中，買3本送給3名同學(xué)，每人各1本，則不同的送法種數(shù)是(　　)A．12　　　B．24　　　C．64　　　D．81
解析：從4本書中選3本有4種選法，把選出的3本書送給3名同學(xué)，有6種送法，所以不同的送法有：4×6＝24(種)．故選B.
3.如圖，從甲地到乙地有2條路，從乙地到丁地有4條路；從甲地到丙地有4條路，從丙地到丁地有2條路．則從甲地到丁地共有________條不同的路．
解析：如果由甲地經(jīng)乙地到丁地，有2×4＝8種不同的路線；如果由甲地經(jīng)丙地到丁地，有4×2＝8種不同的路線；因此，從甲地到丁地共有8＋8＝16種不同的路線．
4．(易錯(cuò))6名同學(xué)爭奪3項(xiàng)冠軍，不同的結(jié)果有________種．(用具體數(shù)字作答)
解析：每一項(xiàng)冠軍的情況都有6種，故6名學(xué)生爭奪三項(xiàng)冠軍，獲得冠軍的種數(shù)是63＝216(種)．
1.理解分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理．2．會用分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理解決一些簡單的實(shí)際問題．
問題思考·夯實(shí)技能　【問題】　在解題過程中，如何判斷使用分類加法計(jì)數(shù)原理還是分步乘法計(jì)數(shù)原理？
提示：如果已知的每類辦法中的每一種方法都能完成這件事，應(yīng)該用分類加法計(jì)數(shù)原理；如果每類辦法中的每一種方法只能完成事件的一部分，就用分步乘法計(jì)數(shù)原理．
解析：由題意知，共有4根算籌．當(dāng)十位1根，個(gè)位3根，共有2個(gè)兩位數(shù)；當(dāng)十位2根，個(gè)位2根，共有4個(gè)兩位數(shù)；當(dāng)十位3根，個(gè)位1根，共有2個(gè)兩位數(shù)；當(dāng)十位4根，個(gè)位0根，共有2個(gè)兩位數(shù)，所以一共有10個(gè)兩位數(shù)．故選C.
題后師說(1)根據(jù)問題的特點(diǎn)確定一個(gè)合適的分類標(biāo)準(zhǔn)，分類標(biāo)準(zhǔn)要統(tǒng)一，不能遺漏．(2)分類時(shí)，注意完成這件事的任何一種方法必須屬于某一類，不能重復(fù)．
題型二 分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用例 2 有六名同學(xué)報(bào)名參加三個(gè)智力項(xiàng)目，每項(xiàng)恰好報(bào)一人，且每人至多參加一項(xiàng)，則共有多少種不同的報(bào)名方法？
解析：每項(xiàng)恰好報(bào)一人，且每人至多參加一項(xiàng)，因此可由項(xiàng)目選人，第一個(gè)項(xiàng)目有6種選法，第二個(gè)項(xiàng)目有5種選法，第三個(gè)項(xiàng)目有4種選法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同報(bào)名方法共有6×5×4＝120(種)．
【變式練習(xí)1】　若將本例條件“每項(xiàng)恰好報(bào)一人，且每人至多參加一項(xiàng)”改為“每人恰好參加一項(xiàng)，每項(xiàng)人數(shù)不限”，則有多少種不同的報(bào)名方法？?
解析：每人都可以從這三個(gè)項(xiàng)目中選報(bào)一項(xiàng)，各有3種不同的報(bào)名方法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同的報(bào)名方法有36＝729(種)．
【變式練習(xí)2】　若將本例條件“每項(xiàng)恰好報(bào)一人，且每人至多參加一項(xiàng)”改為“每項(xiàng)恰好報(bào)一人，但每人參加的項(xiàng)目不限”，則有多少種不同的報(bào)名方法？
解析：每人參加的項(xiàng)目不限，因此每一個(gè)項(xiàng)目都可以從這6個(gè)人中選出1人參加，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，可得不同的報(bào)名方法有63＝216(種)．
題后師說(1)利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問題時(shí)要注意按事件發(fā)生的過程來合理分步，即分步是有先后順序的，并且分步必須滿足：完成一件事的各個(gè)步驟是相互依存的，只有各個(gè)步驟都完成了，才算完成這件事．(2)分步必須滿足的兩個(gè)條件：一是各步驟相互獨(dú)立，互不干擾；二是步與步之間確保連續(xù)，逐步完成．
鞏固訓(xùn)練2“數(shù)獨(dú)九宮格”原創(chuàng)者是18世紀(jì)的瑞士數(shù)學(xué)家歐拉，它的游戲規(guī)則很簡單，將1到9這九個(gè)自然數(shù)填到如圖所示的小九宮格的9個(gè)空格里，每個(gè)空格填一個(gè)數(shù)，且9個(gè)空格的數(shù)字各不相同，若中間空格已填數(shù)字5，且只填第二行和第二列，并要求第二行從左至右及第二列從上至下所填的數(shù)字都是從小到大排列的，則不同的填法種數(shù)為(　　)A．72 B．108C．144 D．196
解析：按題意，5的上方和左邊只能從1，2，3，4中選取，5的下方和右邊只能從6，7，8，9中選取．第一步，填上方空格，有4種方法；第二步，填左方空格，有3種方法；第三步，填下方空格，有4種方法；第四步，填右方空格，有3種方法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，填法總數(shù)為4×3×4×3＝144.故選C.
題型三 兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用角度一　與數(shù)字有關(guān)的問題例 3 [2024·河南新鄉(xiāng)模擬]由數(shù)字0，1，2，3，4，5，6，7組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，則能被5整除的三位數(shù)共有__________個(gè)．
解析：能被5整除的三位數(shù)說明末尾數(shù)字是5或0，當(dāng)末尾數(shù)字是5時(shí)，百位數(shù)字除了0有6種不同的選法，十位有6種不同的選法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理一共有6×6＝36(種)方法；當(dāng)末尾數(shù)字是0時(shí)，百位數(shù)字有7種不同的選法，十位有6種不同的選法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理一共有7×6＝42(種)方法；則一共有36＋42＝78(種)．
角度二　與幾何有關(guān)的問題例 4 [2024·浙江溫州模擬]一個(gè)圓的圓周上均勻分布6個(gè)點(diǎn)，在這些點(diǎn)與圓心共7個(gè)點(diǎn)中，任取3個(gè)點(diǎn)，這3個(gè)點(diǎn)能構(gòu)成不同的等邊三角形個(gè)數(shù)為__________．
角度三　涂色問題例 5 現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)三種顏色，對如圖所示的正五角星的內(nèi)部涂色(分割成六個(gè)不同區(qū)域)，要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色且相鄰部分(有公共邊的兩個(gè)區(qū)域)的顏色不同，則不同的涂色方法有(　　)A．48種 　B．64種 　C．96種 　D．144種
解析：根據(jù)題意，假設(shè)正五角星的區(qū)域?yàn)锳，B，C，D，E，F(xiàn)，如圖所示，先對A區(qū)域涂色，有3種方法，再對B，C，D，E，F(xiàn)這5個(gè)區(qū)域進(jìn)行涂色，∵B，C，D，E，F(xiàn)這5個(gè)區(qū)域都與A相鄰，∴每個(gè)區(qū)域都有2種涂色方法，∴共有3×2×2×2×2×2＝96(種)涂色方法．故選C.
題后師說1.在綜合應(yīng)用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決問題時(shí)應(yīng)注意：(1)一般是先分類再分步．在分步時(shí)可能又用到分類加法計(jì)數(shù)原理．(2)對于較復(fù)雜的兩個(gè)原理綜合應(yīng)用問題，可恰當(dāng)?shù)亓谐鍪疽鈭D或列出表格，使問題形象化、直觀化．2．解決涂色問題，可按顏色的種數(shù)分類，也可按不同的區(qū)域分步完成．
鞏固訓(xùn)練3(1)用0，1，2，3，4五個(gè)數(shù)字，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位奇數(shù)的個(gè)數(shù)為(　　)A．18 B．24C．30 D．48
解析：(1)由題意可知，末位數(shù)字為1或3，首位數(shù)字有3種選擇，則中間的數(shù)位有3種選擇，由分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，可以組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位奇數(shù)的個(gè)數(shù)為2×32＝18.故選A.
(2)如圖所示，將一個(gè)四棱錐的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩個(gè)端點(diǎn)異色，如果只有5種顏色可供使用，則不同染色方法的種數(shù)為(　　)A．192 B．420C．210 D．72
解析：按照S→A→B→C→D的順序進(jìn)行染色，按照A，C是否同色分類：第一類，A，C同色，由分步乘法計(jì)數(shù)原理有5×4×3×1×3＝180(種)不同的染色方法；第二類，A，C不同色，由分步乘法計(jì)數(shù)原理有5×4×3×2×2＝240(種)不同的染色方法；根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有180＋240＝420種不同的染色方法．故選B.
1．[2024·黑龍江佳木斯模擬]甲、乙分別從4門不同課程中選修1門，且2人選修的課程不同，則不同的選法有(　　)A．6種 B．8種C．12種 D．16種
解析：甲從4門課程中選擇1門，有4種選法；乙再從甲未選的課程中選擇1門，有3種選法；根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得：不同的選法有4×3＝12(種)．故選C.
2．[2024·江蘇揚(yáng)州模擬]用1，2，3，4四個(gè)數(shù)字組成沒有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù)，共有(　　)A．6個(gè) B．18個(gè)C．24個(gè) D．12個(gè)
解析：先排個(gè)位數(shù)，有2種選擇，再排十位和百位，有3×2＝6(種)選擇，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得共有2×6＝12(個(gè))不重復(fù)的三位偶數(shù)，故選D.
3．[2024·山東臨沂模擬]集合M＝{1，－2，3}，N＝{－3，5，6，－4}，從兩個(gè)集合中各取一個(gè)元素作為點(diǎn)的坐標(biāo)，則這樣的坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中表示第二象限內(nèi)不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是(　　)A．2 B．4C．5 D．6
解析：第二象限的橫坐標(biāo)是負(fù)數(shù)，縱坐標(biāo)是正數(shù)．若M集合提供橫坐標(biāo)，N集合提供縱坐標(biāo)，則有1×2＝2，若M集合提供縱坐標(biāo)，N集合提供橫坐標(biāo)，則有2×2＝4，合計(jì)2＋4＝6，即這樣的坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中表示第二象限內(nèi)不同的點(diǎn)的個(gè)數(shù)是6個(gè)，故選D.

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