1．[2024·黑龍江佳木斯模擬]二項(xiàng)式(eq \r(3,x)＋eq \f(1,2x))8的展開式的常數(shù)項(xiàng)是( )
A．4 B．5C．6 D．7
2．[2024·河北滄州模擬]在(x＋y＋2)5的展開式中，xy3的系數(shù)是( )
A．24 B．32C．36 D．40
3．[2024·河南焦作模擬]若(x＋eq \f(4,x2))n的展開式中常數(shù)項(xiàng)為240，則正整數(shù)n的值為( )
A．6 B．7C．8 D．9
4．[2024·河南安陽(yáng)模擬](1＋eq \f(x,y))(x＋2y)6的展開式中x2y4的系數(shù)為( )
A．192 B．240C．432 D．256
5．[2024·山東日照模擬]已知(2x－1)3－(x＋2)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，則a0＋a2＋a4＝( )
A．－54 B．－52C．－50 D．－48
6．[2024·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)模擬]設(shè)(1＋x)＋(1＋x)2＋…＋(1＋x)7＋(1＋x)8＝a0＋a1x＋…＋a7x7＋a8x8，則a2＝( )
A．84 B．56C．36 D．28
7．[2024·山西懷仁模擬]在(x＋eq \f(2,x))6的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)為( )
A．20 B．160C．180 D．240
8．[2024·河北唐山模擬]已知(ax＋1)(2x－1)6展開式中x5的系數(shù)為48，則實(shí)數(shù)a＝( )
A．1 B．－1C．2 D．－2
9．(素養(yǎng)提升)(2x＋eq \f(a,x))(2x－eq \f(1,x))5的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為3，則該展開式中常數(shù)項(xiàng)為( )
A．40 B．160C．0 D．320
10．(素養(yǎng)提升)在(x＋1)(x－2)(x＋3)(x－4)(x＋5)的展開式中，含x3的項(xiàng)的系數(shù)是( )
A．－23 B．－3C．3 D．15
二、多項(xiàng)選擇題
11．[2024·山東煙臺(tái)模擬]在(eq \f(2,x)－x)6的展開式中，下列說(shuō)法正確的是( )
A．常數(shù)項(xiàng)為160
B．第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大
C．第3項(xiàng)的系數(shù)最大
D．所有項(xiàng)的系數(shù)和為64
12．(素養(yǎng)提升)[2024·山西晉中模擬](1＋ax)2023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2023x2023，若a1＝－6069，則下列結(jié)論正確的有( )
A．a(chǎn)＝3
B．a(chǎn)0＋a1＋a2＋…＋a2023＝－22023
C．eq \f(a1,3)＋eq \f(a2,32)＋…＋eq \f(a2023,32023)＝－1
D．(1＋ax)2023的展開式中第1012項(xiàng)的系數(shù)最大
三、填空題
13．[2024·安徽蚌埠模擬](eq \f(2,x)－x)6的展開式中x2的系數(shù)為________．
14．[2024·河北邯鄲模擬](eq \r(3,x)＋eq \f(1,\r(x)))8的展開式中，有理項(xiàng)是________．(用關(guān)于x的式子表示)
15．[2024·河北秦皇島模擬](x2－ax＋y)5的展開式中，x3y2的系數(shù)為10，則a＝________．
優(yōu)生選做題
16．[2024·江西南昌模擬]若(2x2－eq \f(1,x))n的展開式中有且僅有第五項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開式中系數(shù)最大的是( )
A．第二項(xiàng)B．第三項(xiàng)
C．第四項(xiàng)D．第五項(xiàng)
17．[2024·山東菏澤模擬]設(shè)a∈Z，且0≤a≤13，若512023＋a能被13整除，則a＝( )
A．0 B．1C．11 D．12
課后定時(shí)檢測(cè)案73 二項(xiàng)式定理
1．解析：二項(xiàng)式(eq \r(3,x)＋eq \f(1,2x))8＝(xeq \f(1,3)＋eq \f(1,2)x－1)8展開式的通項(xiàng)公式為Tk＋1＝C eq \\al(\s\up11(k),\s\d4(8)) ×(xeq \f(1,3))8－k×(eq \f(1,2)x－1)k＝(eq \f(1,2))k×C eq \\al(\s\up11(k),\s\d4(8)) ×xeq \f(8,3)－eq \f(4,3)k，令eq \f(8,3)－eq \f(4,3)k＝0得k＝2，所以常數(shù)項(xiàng)為(eq \f(1,2))2×C eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(8)) ＝eq \f(1,4)×eq \f(8×7,2×1)＝7.故選D.
答案：D
2．解析：根據(jù)題意，xy3的項(xiàng)為C eq \\al(\s\up11(1),\s\d4(5)) x·C eq \\al(\s\up11(3),\s\d4(4)) y3·C eq \\al(\s\up11(1),\s\d4(1)) ×2＝40xy3，所以xy3的系數(shù)是40.故選D.
答案：D
3．解析：二項(xiàng)式(x＋eq \f(4,x2))n展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝C eq \\al(\s\up11(k),\s\d4(n)) xn－k(eq \f(4,x2))k＝C eq \\al(\s\up11(k),\s\d4(n)) xn－3k·4k，所以n－3k＝0且C eq \\al(\s\up11(k),\s\d4(n)) ·4k＝240，顯然0≤k≤n且為整數(shù)，即n為3的倍數(shù)，故排除B、C；又4k為240的因數(shù)，所以k＝1或k＝2，當(dāng)k＝1時(shí)n＝3，此時(shí)C eq \\al(\s\up11(1),\s\d4(3)) ·41＝12≠240，不符合題意；當(dāng)k＝2時(shí)n＝6，此時(shí)C eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(6)) ·42＝240符合題意．故選A.
答案：A
4．解析：原式即(1＋eq \f(x,y))(x＋2y)6，化簡(jiǎn)得(1＋xy－1)(x＋2y)6，展開式中x2y4項(xiàng)為C eq \\al(\s\up11(5),\s\d4(6)) ·(xy－1)·x·(2y)5＋C eq \\al(\s\up11(4),\s\d4(6)) x2·(2y)4＝432x2y4，系數(shù)為432.故選C.
答案：C
5．解析：(2x－1)3－(x＋2)4＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4，
令x＝1，得(2－1)3－(1＋2)4＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＝－80；
令x＝－1，得(－2－1)3－(－1＋2)4＝a0－a1＋a2－a3＋a4＝－28；
由兩式相加得2(a0＋a2＋a4)＝－108，
所以a0＋a2＋a4＝－54.故選A.
答案：A
6．解析：依題意，a2＝C eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(2)) ＋C eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(3)) ＋…＋C eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(8)) ＝C eq \\al(\s\up11(3),\s\d4(3)) ＋C eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(3)) ＋…＋C eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(8)) ＝C eq \\al(\s\up11(3),\s\d4(4)) ＋C eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(4)) ＋…＋C eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(8)) ＝…＝C eq \\al(\s\up11(3),\s\d4(8)) ＋C eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(8)) ＝C eq \\al(\s\up11(3),\s\d4(9)) ＝84.故選A.
答案：A
7．解析：(x＋eq \f(2,x))6展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝C eq \\al(\s\up11(k),\s\d4(6)) ·x6－k·(eq \f(2,x))k＝C eq \\al(\s\up11(k),\s\d4(6)) ·2k·x6－2k，k＝0，1，2，…，6，二項(xiàng)式系數(shù)為C eq \\al(\s\up11(k),\s\d4(6)) ，k＝0，1，2，…，6，當(dāng)k＝3時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)最大，則該項(xiàng)的系數(shù)為C eq \\al(\s\up11(3),\s\d4(6)) ·23＝160.故選B.
答案：B
8．解析：二項(xiàng)式(2x－1)6的通項(xiàng)公式為：Tk＋1＝C eq \\al(\s\up11(k),\s\d4(6)) (2x)6－k·(－1)k＝C eq \\al(\s\up11(k),\s\d4(6)) ·26－k·(－1)k·x6－k，(ax＋1)(2x－1)6的展開式中，x5的系數(shù)為aC eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(6)) 24×(－1)2＋1×C eq \\al(\s\up11(1),\s\d4(6)) 25×(－1)＝15×16a－32×6＝48，解得a＝1.故選A.
答案：A
9．解析：(2x＋eq \f(a,x))(2x－eq \f(1,x))5的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為3，令x＝1，可知2＋a＝3，a＝1，故(2x＋eq \f(1,x))(2x－eq \f(1,x))5＝2x(2x－eq \f(1,x))5＋eq \f(1,x)(2x－eq \f(1,x))5，(2x－eq \f(1,x))5展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝C eq \\al(\s\up11(k),\s\d4(5)) ·(2x)5－k·(－eq \f(1,x))k＝C eq \\al(\s\up11(k),\s\d4(5)) ·25－k·(－1)kx5－2k，分別取k＝3和k＝2得到常數(shù)項(xiàng)為：2×C eq \\al(\s\up11(3),\s\d4(5)) ·25－3·(－1)3＋C eq \\al(\s\up11(2),\s\d4(5)) ·25－2·(－1)2＝0，故選C.
答案：C
10．解析：由組合知識(shí)可知，含x3的求解，需要從5個(gè)因式中，3個(gè)因式選擇x，2個(gè)因式選擇常數(shù)，則含x3的項(xiàng)的系數(shù)是(－4)×5＋3×5＋3×(－4)＋(－2)×5＋(－2)×3＋(－2)×(－4)＋1×5＋1×(－4)＋1×3＋1×(－2)＝－23.故選A.
答案：A
11．解析：展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝C eq \\al(\s\up11(k),\s\d4(6)) (eq \f(2,x))6－k(－x)k＝26－k(－1)kC eq \\al(\s\up11(k),\s\d4(6)) x2k－6，由2k－6＝0，得k＝3，所以常數(shù)項(xiàng)為23(－1)3C eq \\al(\s\up11(3),\s\d4(6)) ＝－160，A錯(cuò)誤；展開式共有7項(xiàng)，所以第4項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，B正確；由通項(xiàng)公式可得k為偶數(shù)時(shí)，系數(shù)才有可能取到最大值，由T1＝64x－6，T3＝240x－2，T5＝60x2，T7＝x6，可知第3項(xiàng)的系數(shù)最大，C正確；令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a6＝(2－1)6＝1，所有項(xiàng)的系數(shù)和為1，D錯(cuò)誤．故選BC.
答案：BC
12．解析：對(duì)于A，a1＝C eq \\al(\s\up11(1),\s\d4(2023)) ·a＝2023a＝－6069，可得a＝－3，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?1－3x)2023＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2023x2023，令x＝1，則a0＋a1＋a2＋…＋a2023＝(1－3)2023＝－22023，故B正確；對(duì)于C，令x＝0，則a0＝1，令x＝eq \f(1,3)，則eq \f(a1,3)＋eq \f(a2,32)＋…＋eq \f(a2023,32023)＝(1－3×eq \f(1,3))2023－a0＝－a0＝－1，故C正確；對(duì)于D，由展開式知，a2n>0，a2n－1

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