1.設(shè)集合A={x|x∈N}，B={x∈R|2x≥16}，則A∩?RB=( )
A. [0,4]B. [0,4)C. {0,1,2,3}D. {0,1,2,3,4}
【答案】C
【解析】解：由2x≥16，即2x≥24，解得x≥4，故B={x|x≥4}，可得?RB={x|x5D. a2+b22ab>8，D錯(cuò)誤．
故選：B.
根據(jù)條件可得出a=1lg153,b=1lg155，根據(jù)02(a?1)(b?1)=2[1lg153?lg155?(1lg153+1lg155)+1]=2，從而判斷B正確；可得出ab=1lg153?lg155，從而得出ab>4，判斷C錯(cuò)誤；從而可得出a2+b2>8，判斷D錯(cuò)誤．
本題考查了指數(shù)式和對數(shù)式的互化，對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，對數(shù)的換底公式，不等式a2+b2≥2ab和基本不等式a+b≥2 ab的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．
5.我國人臉識別技術(shù)處于世界領(lǐng)先地位.所謂人臉識別，就是利用計(jì)算機(jī)檢測樣本之間的相似度，余弦距離是檢測相似度的常用方法.假設(shè)二維空間中有兩個(gè)點(diǎn)A(x1,y1)，B(x2,y2)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，余弦相似度為向量OA，OB夾角的余弦值，記作cs(A,B)，余弦距離為1?cs(A,B).已知P(csα,sinα)，Q(csβ,sinβ)，R(csα,?sinα)，若P，Q的余弦距離為13，tanα?tanβ=17，則Q，R的余弦距離為( )
A. 12B. 13C. 14D. 17
【答案】A
【解析】解：由題意得OP=(csα,sinα),OQ=(csβ,sinβ),OR=(csα,?sinα)，
則cs(P,Q)=OP?OQ|OP||OQ|=csαcsβ+sinαsinβ=23，
又tanαtanβ=sinαsinβcsαcsβ=17，
∴csαcsβ=7sinαsinβ，
∴sinαsinβ=112，csαcsβ=712，
1?cs(Q,R)=1?(csαcsβ?sinαsinβ)=1?(712?112)=12.
故選：A.
由題設(shè)得OP=(csα,sinα),OQ=(csβ,sinβ),OR=(csα,?sinα)，利用向量夾角公式求得cs(P,Q)，cs(Q,R)，根據(jù)新定義即可求目標(biāo)函數(shù)值．
本題主要考查向量的運(yùn)算，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
6.已知拋物線C：y2=4x和直線l： 3x+y+3 3=0，點(diǎn)P(a,b)為拋物線C上任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到直線l的距離為d，則a+d的最小值為( )
A. 2 3B. 2 3?1C. 2 3?2D. 3?1
【答案】B
【解析】解：由拋物線的方程可得焦點(diǎn)F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x=?1，
所以P到準(zhǔn)線的距離|PF|=a+1，
可得a=|PF|?1，
所以a+d=|PF|+d?1，
要使a+d最小，即|PF|+d最小，而|PF|+d的最小值為F(1,0)到直線l的距離，
即(|PF|+d)min=| 3+0+3 3| ( 3)2+12=2 3，
所以a+d的最小值為2 3?1，
故選：B.
由拋物線的方程可得焦點(diǎn)F的坐標(biāo)及準(zhǔn)線方程，由拋物線的性質(zhì)可得|PF|=a+1，將a+d轉(zhuǎn)化|PF|+d?1，求出|PF|+d的最小值為F到直線l的距離，進(jìn)而求出a+d的最小值．
本題考查拋物線的性質(zhì)的應(yīng)用及直線與拋物線的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．
7.已知雙曲線C：x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F，過F作直線分別與雙曲線的兩漸近線相交于A、B兩點(diǎn)，且OB?BF=0，AB=2BF，則該雙曲線的離心率為( )
A. 2B. 3C. 2D. 5
【答案】B
【解析】解：雙曲線的右焦點(diǎn)為F(c,0)，漸近線方程為bx±ay=0，
OB?BF=0，則有OB⊥BF，F(xiàn)到漸近線的距離BF=bc a2+b2=bcc=b，
|OF|=c，|BF|=b，∴|OB|=a，|AB|=2|BF|=2b，
則tan∠AOB=2ba，tan∠FOB=ba，tan2∠FOB=2?ba1?(ba)2，
由∠AOB=π?2∠FOB，有tan∠AOB+tan2∠FOB=0，即2ba+2?ba1?(ba)2=0，
解得(ba)2=2，則有c2a2=a2+b2a2=3，所以離心率e=ca= 3.
故選：B.
由已知得OB⊥BF，|BF|=b，|OB|=a，利用∠AOB=π?2∠FOB，借助正切值列方程求雙曲線的離心率．
本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查方程思想，考查運(yùn)算求解能力，屬中檔題．
8.信息熵是信息論中的一個(gè)重要概念.設(shè)隨機(jī)變量X所有可能的取值為1，2，…，n，且P(X=i)=pi>0(i=1,2,…，n)，i=1npi=1，定義X的信息熵H(X)=?i=1npilg2pi，若n=2m，隨機(jī)變量Y所有可能的取值為1，2，…，m，且P(Y=j)=pj+p2m+1?j(j=1,2,…，m)，則( )
A. H(X)≥H(Y)B. H(X)≤H(Y)C. H(X)H(Y)
【答案】D
【解析】解：由題P(Y=1)=p1+p2m，P(Y=2)=p2+p2m?1，P(Y=3)=p3+p2m?2，…，P(Y=m)=pm+pm+1，
則H(Y)=?[(p1+p2m)lg2(p1+p2m)+(p2+p2m?1)lg2(p2+p2m?1)+???+(pm+pm+1)lg2(pm+pm+1)]，
又H(X)=?i=1npilg2pi=?(p1lg2p1+p2lg2p2+???+pmlg2pm+???+p2mlg2p2m)，
所以H(Y)?H(X)=p1lg2p1p1+p2m+p2lg2p2p2+p2m?1+???+p2mlg2p2mp1+p2m，
又p1p1+p2m0，∴E2>E1，
∴星等值越小，星星就越亮，故A正確；
對于B：當(dāng)m2=6，m1=1時(shí)，5=?2.5lgE2E1，則E1E2=100，故B正確；
對于C：若m2?m1=?2.5lgE2E1?1，即E2E1>10?1，故C錯(cuò)誤；
對于D：若m2?m1=?2.5lgE2E1>10，則lgE2E10，有e0.1?1>0.1.
令φ(x)=lnx?x+1，φ′(x)=1x?1=1?xx，x>1時(shí)φ′(x)

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