第六章平面向量、復數(shù)（綜合檢測）-【一輪復習講義】2025年高考數(shù)學高頻考點題型歸納與方法總結（新高考通用）-試卷下載-教習網(wǎng)

1．已知點在所在平面內(nèi)，滿足，則點是的（）
A．外心B．內(nèi)心C．垂心D．重心
【答案】A
【分析】根據(jù)點到的距離相等可得答案.
【詳解】因為，即點到的距離相等，
所以點是的外心.
故選：A
2．在復平面內(nèi)，復數(shù)z對應的點的坐標是，則（）
A．1＋3iB．1－3iC．－1＋3iD．－1－3i
【答案】D
【分析】由點的坐標確定，再利用復數(shù)乘法法則進行計算
【詳解】由題知，，則．
故選：D．
3．已知向量，，則（）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【分析】平面向量的減法坐標運算，計算向量的模
【詳解】向量，，
則.
故選：D
4．已知向量，不共線，，，，則（）
A．B．C．6D．
【答案】A
【分析】
由向量平行的性質(zhì)計算即可.
【詳解】
因為，所以，
，則
解得.
故選：A.
5．中，內(nèi)角、所對的邊分別為、，若，則角等于（）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)正弦定理邊角互化思想求出的值，再結合的范圍可求出角的值.
【詳解】，由正弦定理得，
，，則，可得.
又，因此，.
故選：C.
【點睛】本題考查利用正弦定理邊角互化思想求角，在計算時要結合角的取值范圍來得出角的值，考查運算求解能力，屬于基礎題.
6．在中，內(nèi)角，，的對邊分別為，，，若，則該三角形的形狀是（）
A．直角三角形B．鈍角三角形
C．銳角三角形D．不確定的
【答案】A
【分析】根據(jù)正弦定理進行邊角互化，進而可判斷三角形形狀.
【詳解】因為，
由正弦定理得，
則該三角形的形狀是直角三角形，
故選：A.
7．在中，，則（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】利用正弦定理將邊化角，即可求出，從而得解.
【詳解】因為，由正弦定理可得，即，
又，所以.
故選：B
8．在直角梯形ABCD中，，點E為BC邊上一點，且，則的取值范圍是（）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】建立平面直角坐標系，利用平面向量運算的坐標表示公式，結合配方法進行求解即可.
【詳解】建立如圖所示的直角坐角坐標系，過作，垂足為，
因為，
所以有，

，設，，
因此有
因為，
所以有，
而，
所以，
當時，有最大值，當，xy有最小值，
所以的取值范圍是
故選：B
【點睛】關鍵點睛：建立平面直角坐標系，利用平面向量運算的坐標表示公式是解題的關鍵.
二、多項選擇題
9．已知為虛數(shù)單位，復數(shù)，下列結論正確的有（）
A．
B．
C．若，則
D．若，則
【答案】AC
【分析】根據(jù)復數(shù)運算、共軛復數(shù)、復數(shù)相等等知識確定正確答案.
【詳解】A選項，，A選項正確.
B選項，，B選項錯誤.
C選項，，
，
若，則，解得，所以C選項正確.
D選項，當時，，所以D選項錯誤.
故選：AC
10．已知為的外接圓圓心，，下列說法正確的是（）
A．三點共線
B．
C．
D．向量在向量上的投影向量為
【答案】ACD
【分析】作出圖，根據(jù)平面向量的基本定理運算判斷選項A，利用圓周角的性質(zhì)判斷得，再結合是等邊三角形，可判斷得，從而得可判斷選項B，在直角三角形中，利用三角函數(shù)列式計算可判斷選項C，根據(jù)投影的概念，再結合三角函數(shù)計算可判斷選項D.
【詳解】如圖，根據(jù)平行四邊形法則，即，
所以為的中點，即為與的交點，
所以為的中點，所以三點共線，故A正確；
因為為的外接圓圓心，所以為圓的直徑，
所以，所以，
又，所以是等邊三角形，
所以，，故B錯誤；
在中，，所以，故C正確；
作于點，則向量為向量在向量上的投影向量，
因為，所以，，
所以，即向量在向量上的投影向量為，故D正確.
故選：ACD

11．在中，角所對的邊分別為，已知，則下列判斷中正確的是（）
A．若，則B．若，則該三角形有兩解
C．周長有最大值12D．面積有最小值
【答案】ABC
【分析】對于ABC，根據(jù)正、余弦定理結合基本不等式即可解決；對于D，由正弦定理得，根據(jù)三角恒等變換解決即可.
【詳解】對于A，，，由正弦定理得，
所以，故A正確；
對于B，由正弦定理得得，所以，
因為，則有兩個解，所以該三角形有兩解，故B正確；
對于C，由，得
，
所以，當且僅當時取等號，此時三角形周長最大為等邊三角形，周長為12，故C正確；
對于D，由得,
故
由于，無最小值，
所以面積無最小值，有最大值為，故D錯誤.
故選：C.
三、填空題
12．已知復數(shù)，則．
【答案】
【分析】先化簡復數(shù)，然后由復數(shù)模的公式直接計算可得.
【詳解】因為，所以.
故答案為：
13．已知非零向量，的夾角為，，，則．
【答案】
【分析】根據(jù)向量垂直滿足的關系可得，進而根據(jù)數(shù)量積的定義即可求解.
【詳解】，，，
，，
非零向量，的夾角為，
．
故答案為：．
14．撫仙湖，位于澄江市、江川區(qū)、華寧縣之間，湖面積僅次于滇池和洱海，為云南省第三大湖，也是我國最大的深水型淡水湖泊．如圖所示，為了測量撫仙湖畔M，N兩點之間的距離，現(xiàn)取兩點E，F(xiàn)，測得公里，，，，則M，N兩點之間的距離為公里．

【答案】
【分析】在中由正弦定理可得，在中等邊對等角可得，則在中由余弦定理可得.
【詳解】在中=
由正弦定理可得：
即
在中
所以，則,
中由余弦定理可得：
即
故答案為：.
四、解答題.
15．在中，內(nèi)角的對邊分別為，已知，且滿足.
（1）求邊長；
（2）若是銳角三角形，且面積，求外接圓的半徑.
【答案】（1）;（2）.
【詳解】試題分析：（1）由結合正弦定理可得，可得.
（2）由，和（1）中所得可求，又由余弦定理，再用正弦定理求得外接圓的半徑.
試題解析：（1）∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴.
（2）∵，
∴，∴，
又為銳角，
∴，
∴，
∴，
∴外接圓的半徑.
16．如圖，在中，，，，P是內(nèi)一點，且.
（1）若，求線段的長度；
（2）若，設，求.
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）先由中條件，求出，，，再由余弦定理，即可得出結果；
（2）由，得，根據(jù)題中條件，求出，在中，由正弦定理，得到，進而可求出結果.
【詳解】（1）因為，
所以在中，，，，所以；
在中，，，，
由余弦定理，得，
所以；
（2）由，得，
在中，，，，所以，
在中，，，，，
由正弦定理得，
所以，又，所以，
由，得．
【點睛】思路點睛：
平面幾何圖形中研究或求與角有關的長度、角度、面積的最值，優(yōu)化設計等問題，通常是轉化到三角形中，利用正、余弦定理通過運算的方法加以解決.在解決某些具體問題時，常先引入變量，如邊長、角度等，然后把要解三角形的邊或角用所設變量表示出來，再利用正、余弦定理列出方程，解之，若研究最值，常使用函數(shù)思想.
17．在①，②，③這三個條件中任選一個補充在下面問題中，并解答．
問題：在中，角所對的邊分別為，且________．
（1）求C；
（2）若的面積為為的中點，求的值．
【答案】選擇見解析；（1）；（2）．
【分析】（1）選①,正弦定理化邊為角后，由三角恒等變換求得；
選②，由正弦定理化邊為角，同時切化弦，轉化后可得；
選③，由正弦定理化邊為角，然后由兩角差的正弦公式變形求得；
（2）由面積求得，從而可求得，由向量數(shù)量積得，可計算．
【詳解】解：選①：
（1）因為，，三角形中，
所以，
所以，又因為C為的一個內(nèi)角，所以
（2）因為的面積為
所以，所以
因為D為的中點，所以，
從而，所以
選②：
（1）因為所以，三角形中，
所以，又因為C為的一個內(nèi)角，所以
（2）下同選①．
選③：
（1）因為，所以，三角形中，
所以
所以，又因為C為的一個內(nèi)角，所以
（2）下同選①．
18．在中，，，的對邊分別為，，，已知.
(1)求證：；
(2)若，求邊的最小值.
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)，移項后平方消元，求出再應用同角三角函數(shù)關系求出即可；
（2）因為再應用余弦定理結合基本不等式求出的最小值.
【詳解】（1）依題意,否則，則，矛盾，
由得，即得
故，
整理得，從而又因為可得，
從而.
（2）由，由（1）可得
故為銳角，，
故，
從而當且僅當時取等號，的最小值為.
19．如圖，某公園內(nèi)有兩條道路，，現(xiàn)計劃在上選擇一點，新建道路，并把所在的區(qū)域改造成綠化區(qū)域．已知，．
（1）若綠化區(qū)域的面積為，求道路的長度；
（2）若綠化區(qū)域改造成本為10萬元，新建道路成本為10萬元．設，當為何值時，該計劃所需總費用最??？
【答案】（1）；（2）.
【解析】（1）根據(jù)三角形的面積公式，和余弦定理即可求出，
（2）先根據(jù)正弦定理結合三角形的面積可得，，令，利用導數(shù)求出函數(shù)的最值．
【詳解】解：（1）在中，，，
，
解得，
在中，由余弦定理得：，
；
（2）由，則，，
在中，，，由正弦定理得，
，，
記該計劃所費用為，
則，，
令，
則，
由，解得，
當時，，單調(diào)遞減，
當，時，，單調(diào)遞增，
時，該計劃所需費用最?。?br>

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