1．在我國古代著名的數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》中，首次引入負(fù)數(shù)．如果收入10元記作元，則元表示（ ）
A．支出5元B．收入5元C．支出10元D．收入10元
2．下列各式中，計算正確的是（ ）
A．B．C．D．
3．在一次中考體育模擬測試中，某班41名學(xué)生參加測試（滿分為70分），成績統(tǒng)計如表，部分?jǐn)?shù)據(jù)被遮蓋，下列統(tǒng)計量中，與被遮蓋的數(shù)據(jù)無關(guān)的是（ ）
A．中位數(shù)、眾數(shù)B．中位數(shù)、方差
C．平均數(shù)、眾數(shù)D．平均數(shù)、方差
4．如圖，在中，，，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)60°得到，此時點B的對應(yīng)點D恰好落在邊上，則的長為（ ）
A．1.5B．2C．2.5D．3
5．中國自古就是禮儀之邦，班會課開展“禮儀待人，學(xué)作揖禮”活動，平輩行禮，上半身前彎15°，晚輩行禮，上半身前彎45°．班主任和小賢示范遇見師長行作揖禮．小賢面向班主任行了一個45°的作揖禮，班主任面向小賢回了一個15°的作揖禮．已知小賢身高150cm，上半身高70cm（把臂部到頭頂?shù)木嚯x視為上半身），小賢行禮時頭距離地面的高度約為（ ）
A．B．
C．D．
6．如圖，正五邊形內(nèi)接于，點F為劣弧上的一點，則的度數(shù)為（ ）
A．36°B．45°C．60°D．72°
7．《九章算術(shù)》中有“盈不足術(shù)”的問題，原文如下：“今有共買羊，人出五，不足四十五；人出七，余下三．問人數(shù)、羊價各幾何?”題意是：若干人共同出資買羊，每人出5文錢，則差45文錢；每人出7文錢，則多3文錢，求人數(shù)和羊價各是多少?若設(shè)買羊人數(shù)為x人，則根據(jù)題意可列方程為（ ）
A．B．
C．D．
8．已知點，，在同一個函數(shù)圖象上，則這個函數(shù)圖象可能是（ ）
A．B．
C．D．
9．如圖，在中，，以點A為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交，于點M，N，再分別以M，N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧在的內(nèi)部相交于點P，畫射線與交于點D，作交于F，于E，，．則下列結(jié)論錯誤的是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知點，都在拋物線上，若當(dāng)時，都有，則實數(shù)k的取值范圍是（ ）
A．B．
C．D．或
二、填空題（本大題共6個小題，每小題4分，共24分）請將答案填在答題卡對應(yīng)的橫線上．
11．計算： ．
12．今年春節(jié)電影《第二十條》《熱辣滾燙》《飛馳人生2》《熊出沒?逆轉(zhuǎn)時空》在網(wǎng)絡(luò)上持續(xù)引發(fā)熱議，根據(jù)國家電影局2月18日發(fā)布數(shù)據(jù)，我國2024年春節(jié)檔電影票房達(dá)80.16億元，創(chuàng)造了新的春節(jié)檔票房紀(jì)錄．則其中數(shù)據(jù)80.16億用科學(xué)記數(shù)法表示為 ．
13．如圖，隨機閉合開關(guān)S1、S2、S3中的兩個，則燈泡發(fā)光的概率為 ．
14．如圖，點B為劣弧上的中點，延長交于點A，，，則的長為 ．
15．定義一種新運算：，例如：．根據(jù)上述定義，不等式組的整數(shù)解為 ．
16．如圖，在矩形中，，于點F．下面四個結(jié)論：①；
②；③；④．其中正確的結(jié)論有 ．（填寫序號）
三、解答題（本大題共9個小題，共86分）解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟。
17．先化簡，再求值：，其中．
18．如圖，四邊形為菱形，E為對角線上的一個動點（不與點A，C重合），連接并延長交射線于點F，連接．
（1）求證：；
（2）求證：．
19．某中學(xué)為了解學(xué)生課外閱讀的情況，對學(xué)生進(jìn)行了隨機抽樣調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果制成如下不完整的扇形統(tǒng)計圖和統(tǒng)計表．
平均每周課外閱讀時間的頻數(shù)統(tǒng)計表
請根據(jù)圖表信息，回答下列問題．
（1）參加此次調(diào)查的總?cè)藬?shù)是 人，頻數(shù)統(tǒng)計表中 ；
（2）在扇形統(tǒng)計圖中，C組所在扇形的圓心角度數(shù)是 ；
（3）該校準(zhǔn)備開展以“卓閱者”為主題的書香校園教育活動，要從已報名的2名男生和2名女生中隨機挑選2人在活動中分享閱讀心得，請用畫樹狀圖或列表的方法求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
20．已知關(guān)于x的一元二次方程有兩個實數(shù)根．
（1）求m的取值范圍；
（2）設(shè)方程的兩個實數(shù)根為，，且，求m的值．
21．如圖，一次函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)的圖象交于，兩點．
（1）求反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式；
（2）點P是y軸上一點，且，求點P的坐標(biāo)．
22．如圖，在中，，B為上一點，E為上一點，且，，以為直徑作，交于點F．
（1）試判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；
（2）若，，求的長．
23．紅燈籠，象征著闔家團(tuán)圓，紅紅火火，掛燈籠成為我國的一種傳統(tǒng)文化．某商店在春節(jié)前購進(jìn)甲、乙兩種紅燈籠，用2600元購進(jìn)甲燈籠與用3500元購進(jìn)乙燈籠的數(shù)量相同，已知乙燈籠每對進(jìn)價比甲燈籠每對進(jìn)價多9元．經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，甲燈籠每天的銷量（單位：對）與銷售單價z（單位：元/對）的函數(shù)關(guān)系為，乙燈籠每天的銷量（單位：對）與銷售單價x（單位：元/對）的函數(shù)關(guān)系，其中x，z均為整數(shù)．商場按照每對甲燈籠和每對乙燈籠的利潤相同的標(biāo)準(zhǔn)確定銷售單價，銷售單價均高于進(jìn)價．
（1）求甲、乙兩種燈籠每對的進(jìn)價：
（2）當(dāng)乙燈籠的銷售單價為多少元/對時，這兩種燈籠每天銷售的總利潤的和最大?最大利潤是多少元?
24．如圖，在正方形中，P是邊上的動點，交延長線于點E，交于點F，連接．
（1）求證：；
（2）當(dāng)點P運動到的中點時，試探究線段與的關(guān)系，并說明理由；
（3）當(dāng)?shù)拿娣e最大時，求的值．
25．如圖1，拋物線與x軸交于，B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，．
（1）求拋物線的解析式；
（2）若點P在拋物線上，點Q在x軸上，是否存在以A，C，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在，求點Q的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由；
（3）如圖2，若點D是第四象限拋物線上的一個動點，直線與直線交于點E，連接，設(shè)的面積為，的面積為，求的最大值及此時點D的坐標(biāo)．
答案
1．【答案】A
2．【答案】C
3．【答案】A
4．【答案】D
5．【答案】B
6．【答案】D
7．【答案】B
8．【答案】D
9．【答案】C
10．【答案】B
11．【答案】
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】
15．【答案】，0，1
16．【答案】①③④
17．【答案】解：原式
當(dāng)時，原式
18．【答案】（1）∵四邊形是菱形，
∴，，
∵，
∴；
（2）∵四邊形是菱形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
19．【答案】（1）50；20
（2）158.4°
（3）記兩名男生為男1，男2，兩名女生為女1，女2，畫樹狀圖如下：
一共有12種等可能的情況，其中抽到1名男生和1名女生有8種可能的情況，
∴P（抽到1名男生和1名女生）
20．【答案】（1）解：（1）根據(jù)題意得
，且
解得且
（2）根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得
，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
解得，，
經(jīng)檢驗，是原方程的根，
∴m的值為或
21．【答案】（1）解：∵點，在反比例函數(shù)的圖象上，
∴，
解得，
∴，，
∴反比例函數(shù)解析式為：，
∵點，在一次函數(shù)的圖象上，
∴，解得：，
∴一次函數(shù)的解析式為：
（2）設(shè)直線與y軸交于點C，
∴點C的坐標(biāo)為，
∴，
設(shè)點P的坐標(biāo)為，
由題意得，，
解得，，
∴點P的坐標(biāo)為或．
22．【答案】（1）解：與相切，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴．
∴，
∵是的半徑
∴為的切線；
（2）解：設(shè)與交于點G，連接，，如圖，
∵為的直徑，
∴，
∵，
∴四邊形為矩形．
∴，．
在中，
∵，，
∴，．
設(shè)，則．
∵，
∴，
解得：，
∴，．
∴．
∵，，
∴．
∴，
∴，
∴，
∴．
23．【答案】（1）解：設(shè)甲種燈籠每對的進(jìn)價為a元，則乙種燈籠每對的進(jìn)價為元，
由題意得：，
解得，
經(jīng)檢驗是原方程的根，
∴，
答：甲種燈籠每對的單價為26元，乙種燈籠每對的單價為35元；
（2）設(shè)兩種燈籠每天的銷售的總利潤的和為w元，乙燈籠的銷售單價為x元/對，
則
∵商場按照每對甲燈籠和每對乙燈籠的利潤相同的標(biāo)準(zhǔn)確定銷售單價，
∴，即
∴
∵，
∴當(dāng)時，w最大，最大為（元），
答：當(dāng)乙燈籠的銷售單價為60元/對時，這兩種燈籠每天銷售的總利潤的和最大，最大利潤是3125元．
24．【答案】（1）證明：在正方形中，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
又∵，（對頂角相等），
∴，
在和中，
∴，
∴，
∴，
（2）解：，．理由：
如圖，過點A作交于點H，
在和中，
，
∴，
∴，
由（1）知：，
∴，
∴．
∵，
，
∴．
在和中，
∴，
∴，，
由（1）知：，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∵，
∴，
∴，
∴，．
（3）連接，，設(shè)它們交于點O，連接，交于點G，如圖，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴．
∴點E在以為弦，所含圓周角為135°的圓弧上運動，
即點E在以正方形的中心O為圓心，對角線的一半為半徑的圓弧上，
當(dāng)點E運動弧的中點時，點E到的距離最大，此時面積的最大，
∴，
設(shè)，
∴，
∴．
∴，，
∴，
∵
∴，
∴
∴
∴，即
∴
∴，
∴．
25．【答案】（1）解：（1）∵
∴
∴
∴
把，代入拋物線解析式得：，
解得：，
∴該拋物線解析式為；
（2）存在以點A，C，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，
設(shè)，，
分三種情況考慮：
①當(dāng)與為對角線時，由，，
得：，
解得：（舍去），
∴；
②當(dāng)與為對角線時，
得：，
解得：（舍去），
∴；
③當(dāng)與為對角線時，
得：，
解得：，，
∴或；
綜上，存在以點A，C，P，Q為頂點的四邊形是平行四邊形，Q的坐標(biāo)為或或或．
（3）∵拋物線對稱軸為直線，
∴，
設(shè)直線的解析式為，
∴，解得，
∴，
過點D作軸交于點M，過點A作軸交于點N，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
設(shè)，則，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴當(dāng)時，有最大值，
此時點D的坐標(biāo)為．
成績（分）
62
64
66
67
68
69
70
人數(shù)（人）
▆
▆
2
6
19
▆
7
課外閱讀時間小時
頻數(shù)
3
a
22
5

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