1．（3分）下列各數(shù)中，是無理數(shù)的是（ ）
A．B．0.C．D．
2．（3分）二元一次方程x﹣2y＝3有無數(shù)多個解，下列四組值中不是該方程的解是（ ）
A．B．C．D．
3．（3分）下列式子正確的是（ ）
A．B．C．D．
4．（3分）將一副直角三角板如圖放置，已知∠F＝45°，∠B＝60°，EF∥BC，則∠BGE的度數(shù)為（ ）
A．115°B．105°C．110°D．120°
5．（3分）下列各組數(shù)中，能作為直角三角形三邊的是（ ）
A．1，2，B．3，3，6C．4，6，8D．，，
6．（3分）下列命題中是真命題的是（ ）
A．無限小數(shù)都是無理數(shù) B．?dāng)?shù)軸上的點表示的數(shù)都是有理數(shù)
C．一個三角形的最大內(nèi)角不會小于60° D．同旁內(nèi)角互補
7．（3分）某配餐公司需用甲、乙兩種食材為在校午餐的同學(xué)配置營養(yǎng)餐，兩種食材的蛋白質(zhì)含量和碳水化合物含量如下表所示：
若每位中學(xué)生每餐需要21單位蛋白質(zhì)和40單位碳水化合物，那么每餐甲、乙兩種食材各多少克恰好滿足一個中學(xué)生的需要？設(shè)每餐需要甲食材x克，乙食材y克，那么可列方程組為（ ）
A． B． C． D．
8．（3分）如圖是我國古代著名的“趙爽弦圖”，大正方形ABCD是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼接而成，連接EC，若正方形ABCD的面積為10，EC＝BC，則小正方形EFGH的面積為（ ）
A．2B．2.5C．3D．3.5
9．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣x+3與x軸，y軸交于A，B兩點，一束光從點C（2，0）發(fā)出，射向y軸上的點D（0，1），經(jīng)點D反射后經(jīng)過AB上一點E，則點E的坐標(biāo)是（ ）
A．B．C．D．
二、填空題（每小題3分，共15分，請把答案填到答題卡相應(yīng)位置上）
10．（3分）點A（﹣2，1）關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)為 ．
11．（3分）若一個正數(shù)的平方根為n﹣1和2n﹣5，則n＝ ．
12．（3分）某射擊運動隊進(jìn)行了五次射擊測試，甲、乙兩名選手的測試成績?nèi)鐖D所示，甲、乙兩選手成績的方差分別記為S甲2、S乙2，則S甲2 S乙2．（填“＞”“＜”或“＝”）
13．（3分）請寫出一個二元一次方程組，使該方程組無解．你寫的方程組是 ．
14．（3分）如圖，在長方形ABCD中，AB＝6，BC＝8，點E為AB上一點，將△BCE沿CE翻折至△FCE，延長CF交AB于點O，交DA的延長線于點G，且EF＝AG，則BE的長為 ．
三、解答題（本題共7小題，其中第16題8分，第17題6分，第18題8分，第19題8分，第20題8分，第21題8分，第22題9分，共55分）
15．（8分）計算題：
（1）； （2）．
16．（6分）解方程組．
17．（8分）2022年11月5日，第二十三屆深圳讀書月盛大開幕，本屆讀書月以“讀時代新篇創(chuàng)文明典范”為年度主題，2300余場文化活動“閱”動全城．春海學(xué)校積極響應(yīng)深圳讀書月的號召，在校內(nèi)推廣課外閱讀活動．為了解七、八年級學(xué)生每周課外閱讀的情況，分別從兩個年級隨機抽取了10名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，并對調(diào)查數(shù)據(jù)進(jìn)行整理分析．現(xiàn)將參與調(diào)查的每個學(xué)生每周課外閱讀的時間用x（小時）表示，并將兩個年級的調(diào)查數(shù)據(jù)分別分成四組：A．0≤x＜4，B．4≤x＜8，C．8≤x＜12，D．12≤x≤16，以下是相關(guān)的數(shù)據(jù)信息：
七年級學(xué)生調(diào)查數(shù)據(jù)：3，14，8，9，9，11，8，11，16，11
八年級學(xué)生調(diào)查數(shù)據(jù)位于C組中的是：9，10，10，10
七、八年級抽取的學(xué)生每周課外閱讀時間統(tǒng)計表
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）上述圖表中a＝ ，b＝ ，c＝ ；
（2）若七、八年級共有1000名學(xué)生，請你估計該校七、八年級學(xué)生每周課外閱讀時間不低于12小時的共有 人．
18．（8分）列方程解應(yīng)用題：某校舉行了“歌唱祖國，愛我中華”合唱比賽，學(xué)校購買了A，B兩種型號的筆記本對表現(xiàn)優(yōu)異的班級進(jìn)行獎勵．若購買40本B型筆記本比20本A型筆記本多20元，購買30本A型筆記本和50本B型筆記本價格相同，請計算A，B兩種筆記本的單價分別是多少元？
19．（8分）如圖，在△ABC中，過點B作BD⊥CA交CA的延長線于點D，過點C作CE⊥BA交BA的延長線于點E，延長BD，CE相交于點F，BF＝AC＝．
（1）求證：△BEF≌△CEA；
（2）若CE＝2，求BD的長．
20．（8分）學(xué)校飲用水安全問題事關(guān)重大，直接影響到廣大青少年的身體健康．為了全力保障校園飲水安全，讓學(xué)生喝上放心水、健康水，星月學(xué)校在教學(xué)樓每個樓層都安裝了飲水機．為了解飲水機的使用情況，小亮所在綜合實踐小組進(jìn)行了調(diào)查研究，他們發(fā)現(xiàn)：飲水機的容量是25L，共有三個放水管，且每個水管出水的速度相同；三個水管同時打開時，飲水機的存水量（升）與放水時間（分）的關(guān)系如表所示．
（1）當(dāng)三個放水管全部打開時，每分鐘的總出水量為 L．
（2）某天課間休息時，同學(xué)們依次用飲水機接水．假設(shè)前后兩人接水的間隔時間忽略不計，且水不發(fā)生潑灑，每個同學(xué)所接的水量相同．剛開始時，只打開了其中兩個放水管，過了一會兒，來接水的同學(xué)越來越多，三個放水管全部打開．飲水機的存水量y（L）與放水時間x（min）的函數(shù)關(guān)系如圖所示．
①求飲水機中的存水量y（L）與放水時間x（min）（x≥3）的函數(shù)關(guān)系式；
②如果前3分鐘恰好有10名同學(xué)接完水，則前25個同學(xué)接完水共需多少時間？
21．（9分）點P、點P′和點Q為平面直角坐標(biāo)系中的三個點，給出如下定義：若PQ＝P′Q，且∠PQP′＝90°，則稱P′為點P關(guān)于點Q的等垂點．
（1）已知點Q的坐標(biāo)為（4，0），
①如圖1，若點P為原點，直接寫出P關(guān)于Q的等垂點P′的坐標(biāo) ；
②如圖2，P為y軸上一點，且點P關(guān)于點Q的等垂點P′恰好在一次函數(shù)y＝2x+3的圖象上，求點P′的坐標(biāo)；
（2）如圖3，若點Q的坐標(biāo)為（1，﹣2），P為直線y＝2上一點，P關(guān)于點Q的等垂點P′位于y軸右側(cè)，連接OP′，QP′，請問OP′+QP′是否有最小值？若有，請求出最小值；若無，請說明理由．
2022-2023學(xué)年廣東省深圳市寶安區(qū)八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷
參考答案與試題解析
一、選擇題（共9小題，每小題3分，共30分，每小題有四個選項，其中只有一個是正確的，請把答案按要求填涂到答題卡相應(yīng)位置上）
1．（3分）下列各數(shù)中，是無理數(shù)的是（ ）
A．B．0.C．D．
【答案】D
【分析】根據(jù)無理數(shù)的定義逐一判斷，即可解答．
【解答】解：A、∵＝2，
∴是有理數(shù)，
故A不符合題意；B、0.是有理數(shù)，故B不符合題意；C、是有理數(shù)，故C不符合題意；
D、是無理數(shù)，故D符合題意；
故選：D．
2．（3分）二元一次方程x﹣2y＝3有無數(shù)多個解，下列四組值中不是該方程的解是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】將各項中x與y的值代入方程檢驗即可．
【解答】解：A、當(dāng)x＝1，y＝﹣1時，x﹣2y＝1﹣2×（﹣1）＝3，是方程的解，不合題意；
B、當(dāng)x＝﹣1，y＝﹣3時，x﹣2y＝﹣1﹣2×（﹣3）＝5，不是方程的解，符合題意；
C、當(dāng)x＝5，y＝1時，x﹣2y＝5﹣2×1＝3，是方程的解，不合題意；
D、當(dāng)x＝﹣1，y＝﹣2時，x﹣2y＝﹣1﹣2×（﹣2）＝3，是方程的解，不合題意；
故選：B．
3．（3分）下列式子正確的是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)二次根式的加法，減法，乘法法則，二次根式的性質(zhì)進(jìn)行計算，逐一判斷即可解答．
【解答】解：A、＝2，故A不符合題意；
B、與不能合并，故B不符合題意；
C、×＝2，故C符合題意；
D、2﹣＝，故D不符合題意；
故選：C．
4．（3分）將一副直角三角板如圖放置，已知∠F＝45°，∠B＝60°，EF∥BC，則∠BGE的度數(shù)為（ ）
A．115°B．105°C．110°D．120°
【答案】B
【分析】根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯角相等得出∠GDB＝45°，進(jìn)而利用三角形外角性質(zhì)解答即可．
【解答】解：∵EF∥BC，
∴∠GDB＝∠E＝45°，
∴∠BGE＝∠B+∠GDB＝60°+45°＝105°，
故選：B．
5．（3分）下列各組數(shù)中，能作為直角三角形三邊的是（ ）
A．1，2，B．3，3，6C．4，6，8D．，，
【答案】A
【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行計算，逐一判斷即可解答．
【解答】解：A、∵12+（）2＝4，22＝4，
∴12+（）2＝22，
∴能組成直角三角形，
故A符合題意；
B、∵3+3＝6，
∴不能組成三角形，
故B不符合題意；
C、∵42+62＝52，82＝64，
∴42+62≠82，
∴不能組成直角三角形，
故C不符合題意；
D、∵（）2+（）2＝，（）2＝，
∴（）2+（）2≠（）2，
∴不能組成直角三角形，
故D不符合題意；
故選：A．
6．（3分）下列命題中是真命題的是（ ）
A．無限小數(shù)都是無理數(shù)
B．?dāng)?shù)軸上的點表示的數(shù)都是有理數(shù)
C．一個三角形的最大內(nèi)角不會小于60°
D．同旁內(nèi)角互補
【答案】C
【分析】根據(jù)有理數(shù)、平行線的性質(zhì)、三角形的內(nèi)角、無理數(shù)的概念判斷即可．
【解答】解：A、無限不循環(huán)小數(shù)都是無理數(shù)，故本選項說法是假命題，不符合題意；
B、數(shù)軸上的點表示的數(shù)都是實數(shù)，故本選項說法是假命題，不符合題意；
C、一個三角形的最大內(nèi)角不會小于60°，是真命題，符合題意；
D、兩直線平行，同旁內(nèi)角互補，故本選項說法是假命題，不符合題意；
故選：C．
7．（3分）某配餐公司需用甲、乙兩種食材為在校午餐的同學(xué)配置營養(yǎng)餐，兩種食材的蛋白質(zhì)含量和碳水化合物含量如下表所示：
若每位中學(xué)生每餐需要21單位蛋白質(zhì)和40單位碳水化合物，那么每餐甲、乙兩種食材各多少克恰好滿足一個中學(xué)生的需要？設(shè)每餐需要甲食材x克，乙食材y克，那么可列方程組為（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根據(jù)題意和表格中的數(shù)據(jù)，可以列出方程組，從而可以判斷哪個選項符合題意．
【解答】解：由題意可得，
，
故選：C．
8．（3分）如圖是我國古代著名的“趙爽弦圖”，大正方形ABCD是由四個全等的直角三角形和一個小正方形拼接而成，連接EC，若正方形ABCD的面積為10，EC＝BC，則小正方形EFGH的面積為（ ）
A．2B．2.5C．3D．3.5
【答案】A
【分析】設(shè)正方形EFGH的邊長為a，用a表示四個全等的直角三角形和一個小正方形的面積，由正方形ABCD的面積為10，建立方程求a．
【解答】解：∵四邊形EFGH是正方形，
∴CH⊥BE，
∵EC＝BC，
∴HE＝HB，
∴BE＝2HE，
∴HC＝2HE，
設(shè)正方形EFGH的邊長為a，則HB＝HE＝a，HC＝2a，
∴S正方形ABCD＝S正方形EFGH+4S△BHC＝a2+4××HB?HC＝a2+4××a?2a＝5a2＝10，
∴a2＝2，
故選：A．
9．（3分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線y＝﹣x+3與x軸，y軸交于A，B兩點，一束光從點C（2，0）發(fā)出，射向y軸上的點D（0，1），經(jīng)點D反射后經(jīng)過AB上一點E，則點E的坐標(biāo)是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】在D上方取點F，使DF＝OD＝1，過F作FG⊥y軸交DE延長線于G，證明△FDG≌△ODC（AAS），可求出G（2，2），直線DG函數(shù)表達(dá)式為y＝x+1，聯(lián)立，解得E（，）．
【解答】解：在D上方取點F，使DF＝OD＝1，過F作FG⊥y軸交DE延長線于G，如圖：
由反射定律可得，∠EDF＝∠CDO，
∵OD＝DF．∠DFG＝90°＝∠AOD，
∴△FDG≌△ODC（AAS），
∴FG＝OC＝2，
∴G（2，2），
由G（2，2），D（0，1）得直線DG函數(shù)表達(dá)式為y＝x+1，
聯(lián)立，解得，∴E（，），
故選：B．
二、填空題（每小題3分，共15分，請把答案填到答題卡相應(yīng)位置上）
10．（3分）點A（﹣2，1）關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)為 （2，1） ．
【答案】見試題解答內(nèi)容
【分析】根據(jù)平面直角坐標(biāo)系關(guān)于坐標(biāo)軸成軸對稱的兩點的坐標(biāo)之間的關(guān)系，易得答案．
【解答】解：根據(jù)平面內(nèi)關(guān)于y軸對稱的點，縱坐標(biāo)相同，橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，
已知點A（﹣2，1），則點A關(guān)于y軸對稱的點的橫坐標(biāo)為﹣（﹣2）＝2，縱坐標(biāo)為1，
故點（﹣2，1）關(guān)于y軸對稱的點的坐標(biāo)是（2，1）．
故答案為（2，1）．
11．（3分）若一個正數(shù)的平方根為n﹣1和2n﹣5，則n＝ 2 ．
【答案】2．
【分析】根據(jù)一個正數(shù)的平方根有兩個且互為相反數(shù)列出方程，求出n的值即可．
【解答】解：∵一個正數(shù)的平方根為n﹣1和2n﹣5，
∴n﹣1+2n﹣5＝0，
解得：n＝2．
故答案為：2．
12．（3分）某射擊運動隊進(jìn)行了五次射擊測試，甲、乙兩名選手的測試成績?nèi)鐖D所示，甲、乙兩選手成績的方差分別記為S甲2、S乙2，則S甲2 ＞ S乙2．（填“＞”“＜”或“＝”）
【答案】＞．
【分析】直接根據(jù)圖表數(shù)據(jù)的波動大小進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：圖表數(shù)據(jù)可知，
甲數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)數(shù)據(jù)較大，乙數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)數(shù)據(jù)較小，
即甲的波動性較大，即方差大，
故答案為：＞．
13．（3分）請寫出一個二元一次方程組，使該方程組無解．你寫的方程組是 （答案不唯一） ．
【分析】根據(jù)二元一次方程組的定義，結(jié)合方程組的解即可得到結(jié)論．
【解答】解：根據(jù)二元一次方程組的定義，結(jié)合方程組無解得，
14．（3分）如圖，在長方形ABCD中，AB＝6，BC＝8，點E為AB上一點，將△BCE沿CE翻折至△FCE，延長CF交AB于點O，交DA的延長線于點G，且EF＝AG，則BE的長為 ．
【答案】．
【分析】由折疊可知∠B＝∠CFE＝90°，BE＝EF，BC＝CF＝8，易通過AAS證明△EFO≌△GAO，得到OF＝OA，OE＝OG，于是AE＝FG，設(shè)BE＝x，則EF＝AG＝x，AE＝FG＝6﹣x，進(jìn)而可得DG＝8+x，CG＝14﹣x，在Rt△CDG中，利用勾股定理建立方程，求解即可．
【解答】解：∵四邊形ABCD為矩形，AB＝6，BC＝8，
∴AB＝CD＝6，BC＝AD＝8，∠B＝∠D＝90°，
由折疊可知，∠B＝∠CFE＝90°，BE＝EF，BC＝CF＝8，
∴∠EFO＝90°＝∠GAO，
在△EFO和△GAO中，
，
∴△EFO≌△GAO（AAS），
∴OF＝OA，OE＝OG，
∴OF+OG＝OA+OE，即AE＝FG，
設(shè)BE＝x，則EF＝AG＝x，AE＝FG＝AB﹣BE＝6﹣x，
∴DG＝AD+AG＝8+x，CG＝CF+FG＝8+6﹣x＝14﹣x，
在Rt△CDG中，CD2+DG2＝CG2，
∴62+（8+x）2＝（14﹣x）2，
解得：x＝，
∴BE＝．
故答案為：．
三、解答題（本題共7小題，其中第16題8分，第17題6分，第18題8分，第19題8分，第20題8分，第21題8分，第22題9分，共55分）
15．（8分）計算題：
（1）；
（2）．
【答案】（1）3；
（2）4﹣3．
【分析】（1）原式第一項分母有理化，第二項利用平方差公式化簡，計算即可求出值；
（2）原式利用二次根式性質(zhì)，零指數(shù)冪，立方根定義，以及絕對值的代數(shù)意義計算即可求出值．
【解答】解：（1）原式＝+5﹣4
＝2+5﹣4
＝3；
（2）原式＝3+1﹣3+﹣1
＝4﹣3．
16．（6分）解方程組．【答案】．
【分析】利用加減消元法解方程組即可．
【解答】解：原方程組化為，
①﹣②得：x＝4，
將x＝4代入②得：4﹣y＝1，
解得：y＝3，故原方程組的解為．
17．（8分）2022年11月5日，第二十三屆深圳讀書月盛大開幕，本屆讀書月以“讀時代新篇創(chuàng)文明典范”為年度主題，2300余場文化活動“閱”動全城．春海學(xué)校積極響應(yīng)深圳讀書月的號召，在校內(nèi)推廣課外閱讀活動．為了解七、八年級學(xué)生每周課外閱讀的情況，分別從兩個年級隨機抽取了10名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，并對調(diào)查數(shù)據(jù)進(jìn)行整理分析．現(xiàn)將參與調(diào)查的每個學(xué)生每周課外閱讀的時間用x（小時）表示，并將兩個年級的調(diào)查數(shù)據(jù)分別分成四組：A．0≤x＜4，B．4≤x＜8，C．8≤x＜12，D．12≤x≤16，以下是相關(guān)的數(shù)據(jù)信息：
七年級學(xué)生調(diào)查數(shù)據(jù)：3，14，8，9，9，11，8，11，16，11
八年級學(xué)生調(diào)查數(shù)據(jù)位于C組中的是：9，10，10，10
七、八年級抽取的學(xué)生每周課外閱讀時間統(tǒng)計表
根據(jù)以上信息，解答下列問題：
（1）上述圖表中a＝ 11 ，b＝ 10 ，c＝ 9.5 ；
（2）若七、八年級共有1000名學(xué)生，請你估計該校七、八年級學(xué)生每周課外閱讀時間不低于12小時的共有 200 人．
【答案】（1）11，10，9.5；
（2）200人．
【分析】（1）分別根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義解答即可；
（2）用1000乘樣本中每周課外閱讀時間不低于12小時所占比例即可．
【解答】解：（1）七年級10名學(xué)生數(shù)據(jù)中，11出現(xiàn)的次數(shù)最多，故眾數(shù)a＝11，
把七年級10名學(xué)生數(shù)據(jù)從小到大排列，排在中間的兩個數(shù)分別為9、11，故中位數(shù)b＝＝10，
把八年級10名學(xué)生數(shù)據(jù)從小到大排列，排在中間的兩個數(shù)分別為9、10中位數(shù)b＝＝9.5，
故答案為：11，10，9.5；
（2）1000×＝200（人），
即估計該校七、八年級學(xué)生每周課外閱讀時間不低于12小時的大約共有200人．
故答案為：200．
18．（8分）列方程解應(yīng)用題：某校舉行了“歌唱祖國，愛我中華”合唱比賽，學(xué)校購買了A，B兩種型號的筆記本對表現(xiàn)優(yōu)異的班級進(jìn)行獎勵．若購買40本B型筆記本比20本A型筆記本多20元，購買30本A型筆記本和50本B型筆記本價格相同，請計算A，B兩種筆記本的單價分別是多少元？
【答案】A型筆記本的單價為5元，B型筆記本的單價為3元．
【分析】設(shè)A型筆記本的單價為x元，B型筆記本的單價為y元，由“若購買40本B型筆記本比20本A型筆記本多20元，購買30本A型筆記本和50本B型筆記本價格相同”，列出二元一次方程組，解方程組即可．
【解答】解：設(shè)A型筆記本的單價為x元，B型筆記本的單價為y元，
由題意得：，
解得：，
答：A型筆記本的單價為5元，B型筆記本的單價為3元．
19．（8分）如圖，在△ABC中，過點B作BD⊥CA交CA的延長線于點D，過點C作CE⊥BA交BA的延長線于點E，延長BD，CE相交于點F，BF＝AC＝．
（1）求證：△BEF≌△CEA；
（2）若CE＝2，求BD的長．
【答案】（1）證明見解答過程；
（2）BD的長為．
【分析】（1）由CE⊥BA，得∠BEF＝90°＝∠AEC，又BD⊥CA，∠DAB＝∠EAC，可得∠ABD＝∠ACE，即∠EBF＝∠ACE，根據(jù)AAS即可證明△BEF≌△CEA；
（2）由△BEF≌△CEA，得BE＝CE＝2，利用勾股定理得BC＝＝2，EF＝＝1，利用BC2﹣BD2＝CD2＝CF2﹣DF2，可得（2）2﹣BD2＝32﹣（﹣BD）2，即可解得答案．
【解答】（1）證明：∵CE⊥BA，
∴∠BEF＝90°＝∠AEC，
∵BD⊥CA，
∴∠ADB＝90°＝∠AEC，
∵∠DAB＝∠EAC，
∴∠ABD＝∠ACE，即∠EBF＝∠ACE，
在△BEF和△CEA中，
，
∴△BEF≌△CEA（AAS）；
（2）解：由（1）知△BEF≌△CEA，
∴BE＝CE＝2，
∴BC＝＝＝2，EF＝＝＝1，
∴CF＝CE+EF＝2+1＝3；
∵BC2﹣BD2＝CD2＝CF2﹣DF2，
∴BC2﹣BD2＝CF2﹣（BF﹣BD）2，
∴（2）2﹣BD2＝32﹣（﹣BD）2，
解得BD＝；
∴BD的長為．
20．（8分）學(xué)校飲用水安全問題事關(guān)重大，直接影響到廣大青少年的身體健康．為了全力保障校園飲水安全，讓學(xué)生喝上放心水、健康水，星月學(xué)校在教學(xué)樓每個樓層都安裝了飲水機．為了解飲水機的使用情況，小亮所在綜合實踐小組進(jìn)行了調(diào)查研究，他們發(fā)現(xiàn)：飲水機的容量是25L，共有三個放水管，且每個水管出水的速度相同；三個水管同時打開時，飲水機的存水量（升）與放水時間（分）的關(guān)系如表所示．
（1）當(dāng)三個放水管全部打開時，每分鐘的總出水量為 2.5 L．
（2）某天課間休息時，同學(xué)們依次用飲水機接水．假設(shè)前后兩人接水的間隔時間忽略不計，且水不發(fā)生潑灑，每個同學(xué)所接的水量相同．剛開始時，只打開了其中兩個放水管，過了一會兒，來接水的同學(xué)越來越多，三個放水管全部打開．飲水機的存水量y（L）與放水時間x（min）的函數(shù)關(guān)系如圖所示．
①求飲水機中的存水量y（L）與放水時間x（min）（x≥3）的函數(shù)關(guān)系式；
②如果前3分鐘恰好有10名同學(xué)接完水，則前25個同學(xué)接完水共需多少時間？
【答案】（1）2.5；
（2）①y＝﹣2.5x+27.5（3≤x≤11）；
②前25個同學(xué)接完水共需多6min．
【分析】（1）由表列出算式計算即可；
（2）①求出打開其中兩個放水管，當(dāng)x＝3時，飲水機的存水量y＝25﹣×3＝20（L），再用待定系數(shù)法可得飲水機中的存水量y與放水時間x的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣2.5x+27.5（3≤x≤11）；
②求出每個同學(xué)接水＝0.5（L），可知前25個同學(xué)共接水0.5×25＝12.5（L），此時飲水機中的存水量y＝25﹣12.5＝12.5，故12.5＝﹣2.5x+27.5，即可解得答案．
【解答】解：（1）由表可知，當(dāng)三個放水管全部打開時，每分鐘的總出水量為＝2.5（L），
故答案為：2.5；
（2）①根據(jù)題意知，打開其中兩個放水管，每分鐘的總出水量為×2＝（L），
∴當(dāng)x＝3時，飲水機的存水量y＝25﹣×3＝20（L），
當(dāng)x≥3時，設(shè)y＝kx+b，把（3，20），（5，15）代入得：
，
解得，
∴飲水機中的存水量y與放水時間x的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣2.5x+27.5（3≤x≤11）；
②∵前3分鐘恰好有10名同學(xué)接完水，
∴每個同學(xué)接水＝0.5（L），
∴前25個同學(xué)共接水0.5×25＝12.5（L），
此時飲水機中的存水量y＝25﹣12.5＝12.5，
∴12.5＝﹣2.5x+27.5，
解得x＝6，
∴前25個同學(xué)接完水共需多6min．
21．（9分）點P、點P′和點Q為平面直角坐標(biāo)系中的三個點，給出如下定義：若PQ＝P′Q，且∠PQP′＝90°，則稱P′為點P關(guān)于點Q的等垂點．
（1）已知點Q的坐標(biāo)為（4，0），
①如圖1，若點P為原點，直接寫出P關(guān)于Q的等垂點P′的坐標(biāo) （4，4）或（4，﹣4） ；
②如圖2，P為y軸上一點，且點P關(guān)于點Q的等垂點P′恰好在一次函數(shù)y＝2x+3的圖象上，求點P′的坐標(biāo)；
（2）如圖3，若點Q的坐標(biāo)為（1，﹣2），P為直線y＝2上一點，P關(guān)于點Q的等垂點P′位于y軸右側(cè)，連接OP′，QP′，請問OP′+QP′是否有最小值？若有，請求出最小值；若無，請說明理由．
【答案】（1）①（4，4）或（4，﹣4）；②（﹣，﹣4）或（，4）；（2）OP′+QP′有最小值，最小值為．
【分析】（1）①利用等垂點的定義，畫出圖形解答即可；
②利用分類討論的思想方法分兩種情形解答：Ⅰ．當(dāng)點P在y軸的正半軸上時，過點P′作P′A⊥x軸于點A，設(shè)P′（m，2m+3），則P′A＝﹣2m﹣3，利用全等三角形的判定與性質(zhì)得到AP′＝OQ＝4，則﹣2m﹣3＝4，求得m值，則結(jié)論可得；Ⅱ．當(dāng)點P在y軸的正半軸上時，過點P′作P′B⊥x軸于點B，利用Ⅰ中的方法解答即可得出結(jié)論；
（2）過點Q作平行于x軸的直線a，交y軸于點B，過點P作PC⊥a于點C，交x軸于點A，過點P′作P′D⊥a于點D，利用全等三角形的判定與性質(zhì)得到PC＝QD＝4，則BD＝BQ+QD＝1+4＝5，于是得到點P′的橫坐標(biāo)為5，即點P′在直線x＝5上運動，再利用將軍飲馬模型解答即可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）①作出點P關(guān)于點Q的等垂點，如圖，
則P′Q＝PQ，
∵點Q的坐標(biāo)為（4，0），若點P為原點，
∴PQ＝4，
∴P′Q＝PQ＝4，
∵P′Q⊥x軸，
∴P關(guān)于Q的等垂點P′的坐標(biāo)為（4，4）或（4，﹣4）．
故答案為：（4，4）或（4，﹣4）；
②Ⅰ．當(dāng)點P在y軸的正半軸上時，過點P′作P′A⊥x軸于點A，如圖，
∵P′恰好在一次函數(shù)y＝2x+3的圖象上，
∴設(shè)P′（m，2m+3），
∴P′A＝﹣2m﹣3，
∵點Q的坐標(biāo)為（4，0），
∴OQ＝4．
∵PQ⊥P′Q，
∴∠PQA+∠AQP′＝90°，
∵∠AQP′+∠AP′Q＝90°，
∴∠AP′Q＝∠OQP．
在△AP′Q和△OQP中，
，
∴△AP′Q≌△OQP（AAS），
∴AP′＝OQ＝4，
∴﹣2m﹣3＝4，
∴m＝﹣，
∴P′（﹣，﹣4）；
Ⅱ．當(dāng)點P在y軸的負(fù)半軸上時，過點P′作P′B⊥x軸于點B，如圖，
∵P′恰好在一次函數(shù)y＝2x+3的圖象上，
∴設(shè)P′（m，2m+3），
∴P′B＝2m+3，
同Ⅰ可得：△P′BQ≌△QOP，
∴P′B＝OQ＝4，
∴2m+3＝4，
∴m＝，
∴P′（，4）．
綜上，點P′的坐標(biāo)為（﹣，﹣4）或（，4）；
（3）OP′+QP′有最小值，最小值為，理由：
過點Q作平行于x軸的直線a，交y軸于點B，過點P作PC⊥a于點C，交x軸于點A，過點P′作P′D⊥a于點D，如圖，
則OB＝2，BQ＝1，PA＝2，AC＝OB＝2，
∴PC＝PA+AC＝4．
∵∠CPQ+∠CQP＝90°，∠CQP+∠P′QD＝90°，
∴∠CPQ＝∠DQP′．
在△PCQ和△QDP′中，
，
∴△PCQ≌△QDP′（AAS），
∴PC＝QD＝4，
∴BD＝BQ+QD＝1+4＝5，
∴點P′的橫坐標(biāo)為5，即點P′在直線x＝5上運動，
作點O關(guān)于直線x＝5的對稱點O′，連接O′Q，交直線x＝5于點P″，
則P″O＝P″O′，
∴當(dāng)點P′與點P″重合時，且Q，P″，O′在一條直線上時，OP′+QP′的值最小，最小值為O′Q．
過點Q作QE⊥OO′于點E，則OE＝1，QE＝2，
∴O′E＝OO′﹣OE＝10﹣1＝9，
∴O′Q＝＝＝．
∴OP′+QP′有最小值，最小值為．
聲明：試題解析著作權(quán)屬菁優(yōu)網(wǎng)所有，未經(jīng)書面同意，不得復(fù)制發(fā)布日期：2023/12/30 19:40:40；用戶：初中數(shù)學(xué)；郵箱：zqxdwh@xyh.cm；學(xué)號：37246586

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直飲水機的存水量（升）
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