1. 22cs15°+ 22sin15°=( )
A. 32B. 12C. ? 32D. ?12
2.在復(fù)平面內(nèi)，常把復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)和向量OZ進(jìn)行一一對應(yīng).現(xiàn)把與復(fù)數(shù)2+i對應(yīng)的向量繞原點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，所得的向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為( )
A. 1?2iB. ?1?2iC. 1+2iD. ?1+2i
3.下列各組向量中，可以作為基底的是( )
A. e1=(0,0)，e2=(1,?2)B. e1=(?1,2)，e2=(5,7)
C. e1=(2,?3)，e2=(12,?34)D. e1=(3,5)，e2=(6,10)
4.復(fù)數(shù)z滿足z?(1+i)=i3，則其共軛復(fù)數(shù)z?的虛部為( )
A. 12B. 12iC. ?12D. ?12i
5.在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊.若A=60°，b=1，S△ABC= 3，則a+csinA+sinC=( )
A. 133B. 2 133C. 393D. 2 393
6.已知正四面體P?ABC的棱長為1，空間中一點M滿足PM=xPA+yPB+zPC，其中x，y，z∈R，且x+y+z=1.則|PM|的最小值為( )
A. 33B. 63C. 23D. 1
7.已知sin(70°?α)=sin(50°+α)+cs(40°+α)，則tanα=( )
A. 33B. ? 33C. 3D. ? 3
8.如圖，已知三棱柱ABC?A1B1C1的所有棱長均為2，滿足A1B⊥B1C，則該三棱柱體積的最大值為( )
A. 3
B. 3
C. 2 3
D. 4
二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。
9.已知z1，z2為復(fù)數(shù)，則( )
A. z1z2?=z1?z2?B. |z1z2|=|z1||z2|
C. 若z1>z2，則z1?z2>0D. 若z1?z2>0，則z1>z2
10.已知非零向量a，b，記x=|a+b|，y=|a?b|，則( )
A. 若a⊥b，則x=y B. 若a//b，則x>y
C. 若x= 3，y= 7，且|a|=2|b|，則a，b的夾角為120° D. 若xy=32a?b，則x=3y
11.如圖，在矩形ABCD中，AB=2，BC=23 3，將三角形ACD沿直線AC翻折得到三角形ACD′，在翻折過程中，下列說法正確的是( )
A. 存在某個位置，使得三棱錐D′?ABC的外接球半徑大于23 3
B. 存在某個位置，使得異面直線BD′與AC的所成的角為π4
C. 點B到平面ACD的距離的最大值為1
D. 直線BD′與平面ABC所成角的正弦值最大為 3010
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12.已知向量a=(2,1)，b=(x,2)，若a⊥(2a?5b)，則實數(shù)x的值為______．
13.求值：(csπ4+isinπ4)(cs3π4+isin3π4)(cs2π3+isin2π3)(csπ3+isinπ3)= ______．
14.已知正四棱錐P?ABCD的所有棱長均為2，以點A為球心，2為半徑的球與該四棱錐的所有表面的交線總長為______．
四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。
15.(本小題13分)
在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)x軸為始邊的銳角α和鈍角β的終邊分別交單位圓于A，B兩點.已知點A的橫坐標(biāo)為 55，點B的縱坐標(biāo)為 210．
(1)求sin(α+β)；
(2)求2α?β的值．
16.(本小題15分)
在底面為正三角形的三棱柱ABC?A1B1C1中，已知點M，N分別是A1C1，B1C的中點．
(1)求證：MN//平面AA1B1B；
(2)若A1A=A1C.求證：AC⊥平面B1CM．
17.(本小題15分)
在銳角△ABC中，其內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知2b2=2c2?a2．
(1)求tanBtanC的值；
(2)求1tanA+2tanB+3tanC的最小值．
18.(本小題17分)
類比高中函數(shù)的定義，引入虛數(shù)單位，自變量為復(fù)數(shù)的函數(shù)稱之為復(fù)變函數(shù)．
已知復(fù)變函數(shù)f(x)=xn+1xn，x∈C，n∈N?．
(1)當(dāng)n=1時，解關(guān)于x的方程：f(x)=1；
(2)當(dāng)n=2時，
①若|x|=1，求f(x)的最小值；
②若存在實部不為0的虛數(shù)x和實數(shù)M，使得f(x)≥M成立，求|x|的取值范圍．
19.(本小題17分)
在三棱臺ABC?A1B1C1中，△AB1C為正三角形，AB=BC=2，且AB⊥BC，點D為AC的中點，平面ABC⊥平面AB1C.
(1)若C1D⊥B1C，證明：平面CBB1C1⊥平面DBC1；
(2)當(dāng)AA1=CC1=4時，
①設(shè)平面ABA1與平面DBC1的交線為l，求二面角A1?l?C1的余弦值；
②若點E在棱B1C1上，滿足B1C1=3EC1.問：在棱BC上是否存在點P，使得過點A1，E，P三點的平面將三棱臺ABC?A1B1C1分為兩個多面體，且體積相等？若存在，求出BP的長度；若不存在，請說明理由．
答案解析
1..A
【解析】解： 22cs15°+ 22sin15°=cs45°cs15°+sin45°sin15°=cs(45°?15°)=cs30°= 32，
故選：A．
2..A
【解析】解：與復(fù)數(shù)2+i對應(yīng)的向量繞原點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°，
則所得的向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為(2+i)[cs(?90°)+isin(?90°)i]=1?2i．
故選：A．
3..B
【解析】解：A．e1與e2共線，不能作為基底；
B.e1與e2不共線，可以作為基底．
C.e1=4e2，∴e1與e2共線，不能作為基底；
D.2e1=e2，e1與e2共線，不能作為基底．
故選：B．
A.e1為零向量與e2共線；
B.e1與e2不共線，可以作為基底．
C.e1與e2共線；
D.e1與e2共線．
4..A
【解析】解：z?(1+i)=i3=?i，
則z=?i1+i=?i(1?i)(1+i)(1?i)=?12?12i，
故z?=?12+12i，其虛部為12．
故選：A．
5..D
【解析】解：因為A=60°，b=1，S△ABC= 3，
所以S△ABC=12bcsinA，
即 3=12×1×c× 32，解得c=4，
由余弦定理可得a= b2+c2?2bccsA= 1+16?2×1×4×12= 13，
由正弦定理可得asinA=csinC，
可得sinC=ca?sinA=4 13? 32=2 3 13，
則a+csinA+sinC= 13+4 32+2 3 13= 13+4 32+2 3 13=2 393．
故選：D．
6..B
【解析】解：由PM=xPA+yPB+zPC，且x+y+z=1，
可知M與A，B，C共面，
則|PM|的最小值為三棱錐的高，
設(shè)O為P在平面ABC上的射影，連接CO并延長交AB于點H，
則CH⊥AB，所以CH= 32，所以CO= 33，
所以三棱錐的高為 1?( 33)2= 63．
故選：B．
7..D
【解析】解：sin(70°?α)=sin[30°+(40°?α)]
=sin30°cs(40°?α)+cs30°sin(40°?α)
=12 cs(40°?α)+ 32sin(40°?α)，
12cs(40°?α)+ 32sin(40°?α)=cs(40°?α)+cs(40°+α)，
32 sin(40°?α)?12cs(40°?α)=cs(40°+α)，
sin[(40°?α)?30°]=cs(40°+α)，
sin(10°?α)=cs(40°?α)cs(40°+α)，
sin(10°?α)=cs[90°?(50°?α)]=sin(50°?α)，
所以10°?α=50°?α，α無解，
10°?α+50°?α=180°+360°?k，k∈Z，
解得α=?60°?180°?k，k∈Z，
所以tanα= tan(?60°?180°?k)=?tan60°=? 3．
故選：D．
8..B
【解析】解：如圖，對稱補形成平行六面體，
易知A1D//B1C，又A1B⊥B1C，
∴A1B⊥A1D，又易知BD=2 3，且A1F=12BD= 3，
∴當(dāng)A1F⊥平面ABC時，該三棱柱的高最大，
∴該三棱柱體積的最大值為12×2×2× 32× 3=3．
故選：B．

【解析】解：對于A：設(shè)z1=a+bi，z2=c+di，(a、b、c、d∈R)，
可得z1?z2=(a+bi)(c+di)=(ac?bd)+(ad+bc)i，
則z1?z2?=(ac?bd)?(ad+bc)i，
又z1?=a?bi，z2?=c?di，
z1??z2?=(a?bi)(c?di)=(ac?bd)?(ad+bc)i，
即z1?z2?=z1??z2?，故A正確；
對于B：設(shè)z1=a+bi，z2=c+di，(a、b、c、d∈R)，
故|z1?z2|=|(a+bi)(c+di)|=|(ac?bd)+(ad+bc)i|= (ac?bd)2+(ad+bc)2= a2c2+a2d2+b2c2+b2d2，
|z1||z2|= a2+b2? c2+d2= a2c2+a2d2+b2c2+b2d2，
即|z1z2|=|z1||z2|，故B正確；
對于C：若z1>z2，可得z1，z2都是實數(shù)，即有z1?z2>0，故C正確；
對于D：若z1?z2>0，可取z1=2+i，z2=1+i，此時z1?z2=1>0，但z1，z2不能比較大小，因為兩個虛數(shù)不能比較大小，故D錯誤．
故選：ABC．

【解析】解：對于A，若a⊥b，則a?b=0，所以x=|a+b|= (a+b)2= a2+2a?b+b2= a2+b2，
y=|a?b|= (a?b)2= a2?2a?b+b2= a2+b2，所以x=y，故A項正確；
對于B，當(dāng)a/?/b時，若a、b同向，則x>y，若a、b反向，則x

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