1.已知復(fù)數(shù)z=i(1?i)，則|z|=( )
A. 2B. 2C. 5D. 5
2.命題“?a>1，函數(shù)f(x)=xa在[a,+∞)上單調(diào)遞增”的否定為( )
A. ?a>1，函數(shù)f(x)=xa在[a,+∞)上單調(diào)遞減
B. ?a>1，函數(shù)f(x)=xa在[a,+∞)上不單調(diào)遞增
C. ?a≤1，函數(shù)f(x)=xa在[a,+∞)上單調(diào)遞減
D. ?a≤1，函數(shù)f(x)=xa在[a,+∞)上不單調(diào)遞增
3.已知|a|=2，b=( 2,1)，且a⊥b，則|a?2b|=( )
A. 2 2B. 2 3C. 4D. 2 5
4.水稻是世界最重要的食作物之一，也是我國60%以上人口的主糧．以袁隆平院士為首的科學(xué)家研制成功的雜交水稻制種技術(shù)在世界上被譽(yù)為中國的“第五大發(fā)明”.育種技術(shù)的突破，雜交水稻的推廣，不僅讓中國人端穩(wěn)飯碗，也為解決世界糧食短缺問題作出了巨大貢獻(xiàn)．某農(nóng)場種植的甲、乙兩種水稻在面積相等的兩塊稻田中連續(xù)6年的產(chǎn)量(單位：kg)如表：
根據(jù)以上數(shù)據(jù)，下面說法正確的是( )
A. 甲種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)比乙種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)大
B. 甲種水稻產(chǎn)量的中位數(shù)比乙種水稻產(chǎn)量的中位數(shù)小
C. 甲種水稻產(chǎn)量的極差與乙種水稻產(chǎn)量的極差相等
D. 甲種水稻的產(chǎn)量比乙種水稻的產(chǎn)量穩(wěn)定
5.已知△ABC的周長是16，A(?3,0)，B(3,0)，則動點(diǎn)C的軌跡方程是( )
A. x225+y216=1B. x225+y216=1(y≠0)
C. x216+y225=1D. x216+y225=1(y≠0)
6.若函數(shù)f(x)=sinx+3|sinx|在x∈[0,2π]與直線y=2a有兩個交點(diǎn)，則a的取值范圍為( )
A. (2,4)B. (1,3)C. (1,2)D. (2,3)
7.已知正四棱臺上底面邊長為1，下底面邊長為2，體積為7，則正四棱臺的側(cè)棱與底面所成角的正切值為( )
A. 3 22B. 2C. 2 25D. 3 2
8.已知函數(shù)f(x)=x2?csx，則f(ln22),f(?ln33),f(?ln55)的大小關(guān)系為( )
A. f(?ln55)1，函數(shù)f(x)=xa在[a,+∞)上單調(diào)遞增”的否定為“?a>1，函數(shù)f(x)=xa在[a,+∞)上不單調(diào)遞增”．
故選：B．
3.C
【解析】解：因?yàn)閎=( 2,1),a⊥b，則b2=3,a?b=0，
則|a?2b|2=a2?4a?b+4b2=4?0+4×3=16，故|a?2b|=4．
故選：C．
4.D
【解析】解：選項(xiàng)A：甲種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)為：900+920+900+850+910+9206=900，
乙種水稻產(chǎn)量的平均數(shù)為：890+960+950+850+860+8906=900，
即甲乙種的水稻產(chǎn)量的平均數(shù)相等，故A錯誤，
選項(xiàng)B：甲種的水稻產(chǎn)量分別為：850，900，900，910，920，920，中位數(shù)為900+9102=905，
乙種的水稻產(chǎn)量分別為：850，860，890，890，950，960，中位數(shù)為890，而89070，故C錯誤，
選項(xiàng)D：結(jié)合甲乙兩組數(shù)據(jù)可以看出，乙組波動性較大，甲組穩(wěn)定性較強(qiáng)，故甲種的水稻產(chǎn)量穩(wěn)定，故D正確，
故選：D．
5.B
【解析】解：由于△ABC的周長是16，A(?3,0)，B(3,0)，
則BC+AC=10>AB，
故頂點(diǎn)A的軌跡是以A、B為焦點(diǎn)的橢圓，除去與x軸的交點(diǎn)．
∴2a=10，c=3，∴b=4，
故頂點(diǎn)C的軌跡方程為x225+y216=1(y≠0)，
故選：B．
6.C
【解析】解：函數(shù)f(x)=sinx+3|sinx|
當(dāng)x∈[0,π]時，f(x)=4sinx．
當(dāng)x∈[π,2π]時，f(x)=?2sinx．
可得f(x)的圖象為：
從圖象可知f(x)與直線y=2a有兩個交點(diǎn)．
則2a>2，且2aln55>0，而ln44=ln22，
所以f(ln33)>f(ln22)>f(ln55)，
∴f(?ln55)b，充分性成立，故A錯誤；
對于B，f(x)=x2+5 x2+4= x2+4+1 x2+4≥2+12=52，當(dāng)x=0時，等號成立，故B錯誤；
對于C，A?B，則A∩?RB=?，故C正確；
對于D，集合B={x|x2?2x?3=0}={3,?1}，
滿足??A?B的集合A為{3}，{?1}，總個數(shù)為2個，故D正確．
故選：CD．
10.AD
【解析】解：因?yàn)閄～N(2,σ2)且P(X>6)=0.4，所以P(?21時，則有a2?a=2，解得a=2(?1舍)；
當(dāng)a≤1時，則有2a?1=2，解得a=lg23(舍)，
綜上，a=2．
故答案為：2．
15.解：(1)∵ 3a= 3ccsB+csinB，∴ 3sin(B+C)= 3sinCcsB+sinCsinB，
∴ 3sinBcsC+ 3csBsinC= 3sinCcsB+sinCsinB，∵sinB≠0，∴tanC= 3，∴∠C=π3；
(2)設(shè)DC=x，csπ3=12=x2+36?2812x，∴6x=x2+8，∴x=2或4，
當(dāng)x=2時，AC=6，C=π3，此時三角形為正三角形，S=9 3
當(dāng)x=4時，AC=12，AB2=BC2+AC2?2AC?BCcsC=108，
滿足AB2+BC2=AC2，此時三角形為直角三角形，S=18 3．
【解析】(1)代入正弦定理和兩角和的正弦公式即可；(2)先確定DC長度，再確定AC，即可判斷三角形形狀，確定面積．
16.(Ⅰ)證明：∵等腰梯形ABCD，AB=2，CD=6，AD=2 2，
E，F(xiàn)是CD的兩個三等分點(diǎn)，
∴ABEF是正方形，
∴BE⊥EF，
∵BE⊥PE，且PE∩EF=E，PE，EF?平面PEF，
∴BF⊥面PEF，
又BF?平面ABEF，
∴平面PEF⊥平面ABEF．
(Ⅱ)解：過P作PO⊥EF于O，過O作BE的平行線交AB于G，
則PO⊥面ABEF，
以O(shè)為原點(diǎn)，OE，OP為y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，
則A(2,?1,0)，B(2,1,0)，E(0,1,0)，P(0,0, 3)，
∴AE=(?2,2,0)，EP=(0,?1, 3)，
AB=(0,2,0)，PA=(2,?1,? 3)，
設(shè)平面PAE的法向量n=(x,y,z)，
則n?AE=?2x+2y=0n?EP=?y+ 3z=0,
取z=1，得n=( 3, 3,1)，
設(shè)平面PAB的法向量m=(x,y,z)，
則m?AB=0m?PA=0，∴2y=02x?y? 3z=0，
取x= 3，得m=( 3,0,2)，
設(shè)平面P平面PAE與平面PAB所成銳二面角為θ，
則csθ=|n?m||n|?|m|=5 7? 7=57．
∴平面PAE與平面PAB所成銳二面角的余弦值為57．
【解析】(Ⅰ)推導(dǎo)出BE⊥EF，BE⊥PE，從而BF⊥面PEF，由此能證明平面PEF⊥平面ABEF．
(Ⅱ)過P作PO⊥EF于O，過O作BE的平行線交AB于G，則PO⊥面ABEF，以O(shè)為原點(diǎn)，OE，OP為y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出AE與平面PAB所成銳二面角的余弦值．
17.解：(1)當(dāng)n=1時，3a1?2S1=3a1?2a1=1，即a1=1；
當(dāng)n≥2時，由3an?2Sn=1得3an?1?2Sn?1=1，
則兩式相減得3an?3an?1?2(Sn?Sn?1)=0，
即an=3an?1,anan?1=3，
綜上可知，{an}是首項(xiàng)a1=1，公比q=3的等比數(shù)列，
則an=a1qn?1=1×3n?1=3n?1，即an=3n?1．
故an=3n?1．
(2)由(1)知，cn=bnan=2n?13n?1，
則Tn=130+331+532+?+2n?13n?1①，
13Tn=131+332+533+?+2n?13n②，
①?②得23Tn=130+3?131+5?332+?+2n?1?(2n?3)3n?1?2n?13n，
整理得23Tn=1+2(131+132+?+13n?1)?2n?13n
=1+2×13×(1?13n?1)1?13?2n?13n=1+(1?13n?1)?2n?13n=2?2(n+1)3n，
即23Tn=2?2(n+1)3n，∴Tn=3?n+13n?1．
【解析】(1)根據(jù)條件求得首項(xiàng)，由3an?2Sn=1得3an?1?2Sn?1=1，兩式相減即可得到{an}為等比數(shù)列，進(jìn)一步求解即可；
(2)利用錯位相減法求和即可．
18.解：(1)設(shè)事件A表示“該小組比賽勝利”，
則P(A)=34+14×23+14×13×12=2324；
(2)由題意可知，X的所有可能取值為1，2，3，
則P(X=1)=p1，P(X=2)=(1?p1)p2，P(X=3)=(1?p1)(1?p2)，
所以X的分布為：123p1(1?p1)p2(1?p1)(1?p2)，
所以E(X)=p1+2(1?p1)p2+3(1?p1)(1?p2)=p1p2?2p1?p2+3；
(3)若依次派甲乙丙進(jìn)行闖關(guān)，設(shè)派出人員數(shù)目的期望為E1，
由(2)可知，E1=p1p2?2p1?p2+3，
若依次派丙乙甲進(jìn)行闖關(guān)，設(shè)派出人員數(shù)目的期望為E2，
則E2=p3p2?2p3?p2+3，
所以E1?E2=(p1p2?2p1?p2+3)?(p3p2?2p3?p2+3)=p1p2?2p1?p3p2+2p3=p2(p1?p3)?2(p1?p3)=(p1?p3)(p2?2)，
因?yàn)?>p1>p2>p3，所以p1?p3>0，p2?22?2t2，
所以yA+yB=?2mtm2?2，
聯(lián)立x=my+tx2?2y2=0，消去x得(m2?2)y2+2mty+t2=0，Δ=4m2t2?4t2(m2?2)=8t2>0，
所以yC+yD=?2mtm2?2，
所以yC+yD=?2mtm2?2=yA+yB，
即線段AB，CD的中點(diǎn)重合，
所以|AC|=|BD|；
(3)由題意得方程x2?2y2=1的初始解為(3,2)，
根據(jù)循環(huán)構(gòu)造原理得：xn+ 2yn=(3+2 2)n,xn? 2yn=(3?2 2)n，
從而xn=12[(3+2 2)n+(3?2 2)n],yn= 24[(3+2 2)n?(3?2 2)n]，
記OQn=(xn,yn)，則OQn+1=(xn+1,yn+1)，設(shè)OQn，OQn+1的夾角為α，
則△OQnQn+1的面積S△OQnQn+1=12|OQn|?|OQn+1|sinα=12 |OQn|2?|OQn+1|2sin2α
=12 |OQn|2?|OQn+1|2?|OQn|2?|OQn+1|2cs2α
=12 |OQn|2?|OQn+1|2?(OQn?OQn+1)2
=12 (xn2+yn2)(xn+12+yn+12)?(xnxn+1+ynyn+1)2
=12|xnyn+1?xn+1yn|，
令a=(3+2 2)n,b=(3?2 2)n，則ab=1，
則S△OQnQn+1= 216|{(a+b)[(3+2 2)a?(3?2 2)b]?(a?b)[(3+2 2)a+(3?2 2)b]}|
= 216×8 2ab=1，
所以△OQnQn+1的面積為定值1．
【解析】(1)根據(jù)雙曲線a，b，c關(guān)系和漸近線、實(shí)軸相關(guān)概念進(jìn)行列式計(jì)算即可求解．
(2)分別聯(lián)立直線l與E及其漸近線方程求出C、A、B、D的坐標(biāo)或坐標(biāo)的關(guān)系，進(jìn)而得出線段AB，CD的中點(diǎn)重合，即可得證．
(3)結(jié)合題目所給的循環(huán)構(gòu)造的方法得xn，yn，用向量面積公式表示出面積，再換元，化簡即可求解．品種
第1年
第2年
第3年
第4年
第5年
第6年
甲
900
920
900
850
910
920
乙
890
960
950
850
860
890

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