1．已知集合A＝{x|﹣3＜x＜2}，集合B＝{x|0＜x＜5}，則圖中陰影部分表示的集合為（ ）
A．{x|﹣3＜x＜5}B．{x|0＜x＜2}
C．{x|﹣3＜x≤0}D．{x|﹣3＜x≤0或2≤x＜5}
2．已知x∈R，則“x3＞27”是“|x|＞3”的（ ）
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
3．若，且，則＝（ ）
A．B．C．D．
4．最早發(fā)現(xiàn)勾股定理的人是我國(guó)西周數(shù)學(xué)家商高，商高比畢達(dá)哥拉斯早500多年發(fā)現(xiàn)勾股定理，如圖所示，△ABC滿足“勾三股四弦五”，其中股AB＝4，D為弦BC上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），且△ABD滿足勾股定理，則cs＜＞＝（ ）
A．B．C．D．
5．函數(shù)f（x）＝的圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
6．若函數(shù)在R上是單調(diào)函數(shù)，則t的最大值為（ ）
A．B．C．D．
7．近來(lái)國(guó)內(nèi)天氣干旱，各地多次發(fā)布干旱紅色預(yù)警信號(hào)，導(dǎo)致白菜價(jià)格不穩(wěn)定，假設(shè)第一周、第二周的白菜價(jià)格分別為a元/斤、b元/斤（a≠b），甲和乙購(gòu)買白菜的方式不同，甲每周購(gòu)買20元錢的白菜，乙每周購(gòu)買6斤白菜，甲、乙兩次平均單價(jià)為分別記為m1，m2，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．m1＝m2
B．m1＞m2
C．m2＞m1
D．m1，m2的大小無(wú)法確定
8．已知函數(shù)f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，，若函數(shù)y＝f（x）﹣a（0＜a＜1）有六個(gè)零點(diǎn)，分別是x1，x2，x3，x4，x5，x6，則x1+x2+x3+x4+x5+x6的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．（2，4）
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
（多選）9．已知向量，，則（ ）
A．
B．向量在向量上的投影向量為
C．與的夾角余弦值為
D．若，則
（多選）10．牛頓曾提出了物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型：若物體初始溫度是θ0（單位：℃），環(huán)境溫度是θ1（單位：℃），其中θ0＞θ1、則經(jīng)過(guò)t分鐘后物體的溫度θ將滿足θ＝f（t）＝θ1+（θ0﹣θ1）?e﹣kt（k∈R且k＞0）．現(xiàn)有一杯100℃的熱紅茶置于10℃的房間里，根據(jù)這一模型研究紅茶冷卻情況，下列結(jié)論正確的是（ ）（參考數(shù)值ln2≈0.7，ln3≈1.1）
A．若f（3）＝40℃，則f（6）＝20℃
B．若，則紅茶下降到55℃所需時(shí)間大約為6分鐘
C．5分鐘后物體的溫度是40℃，k約為0.22
D．紅茶溫度從80℃下降到60℃所需的時(shí)間比從60℃下降到40℃所需的時(shí)間多
（多選）11．已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
B．函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
C．函數(shù)f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增
D．y＝1與圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．已知扇形OAB的圓心角為4，其面積是2cm2，則該扇形的周長(zhǎng)是 cm．
13．已知，是互相垂直的單位向量，若﹣與+λ的夾角為60°，則實(shí)數(shù)λ的值是 ．
14．定義在[﹣2019，2019]的函數(shù)的最大值為M，最小值為m，則f（x）的增區(qū)間為 ；M+m＝ ．
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.
15．已知角θ的終邊與單位圓x2+y2＝1在第四象限交于點(diǎn)P，且點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，y）．
（1）求tanθ的值；
（2）求的值．
16．已知函數(shù)f（x）＝cs4x﹣2sinxcsx﹣sin4x．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）當(dāng)時(shí)，求f（x）的最小值以及取得最小值時(shí)x的集合．
17．已知函數(shù)f（x）＝2x．
（1）若f（x）＝2，求x的值；
（2）若2tf（2t）+mf（t）≥0對(duì)于t∈[1，2]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
18．（17分）已知函數(shù)是偶函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)k的值；
（2）設(shè)，若函數(shù)y＝f（x）﹣g（x）有唯一的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
19．（17分）在校園策化、改造活動(dòng)中，甲、乙兩所學(xué)校各要修建一個(gè)矩形的觀賽場(chǎng)地．
（1）甲校決定在半徑為30m的半圓形空地O的內(nèi)部修建一矩形觀賽場(chǎng)地ABCD．如圖所示，求出觀賽場(chǎng)地的最大面積；
（2）乙校決定在半徑為30m、圓心角為的扇形空地O的內(nèi)部修建一矩形現(xiàn)賽場(chǎng)地ABCD，如圖所示，
①請(qǐng)你確定B點(diǎn)的位置，使觀賽場(chǎng)地的面積最大．
②求出最大面積．
參考答案
一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在等小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1．已知集合A＝{x|﹣3＜x＜2}，集合B＝{x|0＜x＜5}，則圖中陰影部分表示的集合為（ ）
A．{x|﹣3＜x＜5}B．{x|0＜x＜2}
C．{x|﹣3＜x≤0}D．{x|﹣3＜x≤0或2≤x＜5}
【分析】由A＝{x|﹣3＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜5}，由此能求出A∩B，從而能求出圖中陰影部分表示的集合．
解：由A＝{x|﹣3＜x＜2}，B＝{x|0＜x＜5}，
則A∩B＝{x|0＜x＜2}，A∪B＝{x|﹣3＜x＜5}，
可得圖中陰影部分表示的集合為：{x|﹣3＜x≤0或2≤x＜5}．
故選：D．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查集合的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查分類討論思想、集合性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，是基礎(chǔ)題．
2．已知x∈R，則“x3＞27”是“|x|＞3”的（ ）
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
【分析】根據(jù)題意，利用充分必要條件的概念進(jìn)行正反論證，即可得到本題的答案．
解：當(dāng)x3＞27時(shí)，可得x＞3，由此可得|x|＞3，
反之，當(dāng)|x|＞3時(shí)，可能x＜﹣3，不能推出x3＞27．
因此，“x3＞27”是“|x|＞3”的充分不必要條件．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了不等式的性質(zhì)、充要條件的判斷及其應(yīng)用等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．
3．若，且，則＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】由已知結(jié)合誘導(dǎo)公式及同角基本關(guān)系即可求解．
解：因?yàn)椋遥?br>所以﹣＜ ，
所以cs（）＝，
則＝sin[﹣（）]＝cs（）＝．
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了同角平方關(guān)系及誘導(dǎo)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
4．最早發(fā)現(xiàn)勾股定理的人是我國(guó)西周數(shù)學(xué)家商高，商高比畢達(dá)哥拉斯早500多年發(fā)現(xiàn)勾股定理，如圖所示，△ABC滿足“勾三股四弦五”，其中股AB＝4，D為弦BC上一點(diǎn)（不含端點(diǎn)），且△ABD滿足勾股定理，則cs＜＞＝（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)題意，可得△ABC中csC＝，由相似三角形的性質(zhì)可得∠DAB＝∠C，而＜＞＝∠DAB，即可得答案．
解：根據(jù)題意，△ABC滿足“勾三股四弦五”，其中股AB＝4，則△ABC為Rt△，且csC＝，
△ABD滿足勾股定理，則△ABD為Rt△，且∠ADB＝90°，
則有∠DAB＝∠C，
又由＜＞＝∠DAB，
則cs＜＞＝cs∠DAB＝csC＝，
故選：A．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查向量夾角的計(jì)算，注意向量夾角的定義，屬于基礎(chǔ)題．
5．函數(shù)f（x）＝的圖象大致為（ ）
A．B．
C．D．
【分析】求得f（x）的定義域和奇偶性，可得圖象的特點(diǎn)，即可得到所求函數(shù)的圖象．
解：函數(shù)f（x）＝
的定義域?yàn)镽，
由f（﹣x）＝＝﹣f（x），
則f（x）為奇函數(shù)，
圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)的圖象的畫法，注意運(yùn)用函數(shù)的定義域和性質(zhì)，主要是奇偶性和對(duì)稱性，考查數(shù)形結(jié)合思想方法，屬于基礎(chǔ)題．
6．若函數(shù)在R上是單調(diào)函數(shù)，則t的最大值為（ ）
A．B．C．D．
【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)單調(diào)性的定義可得，解可得t的取值范圍，即可得答案．
解：根據(jù)題意，函數(shù)，
當(dāng)x≤﹣1時(shí)，f（x）＝﹣x2+2t為增函數(shù)，所以當(dāng)x＞﹣1時(shí)，f（x）＝tx+4也為增函數(shù)，
所以，解得．故t的最大值為，
故選：B．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)單調(diào)性的定義和性質(zhì)的應(yīng)用，涉及分段函數(shù)的解析式，屬于基礎(chǔ)題．
7．近來(lái)國(guó)內(nèi)天氣干旱，各地多次發(fā)布干旱紅色預(yù)警信號(hào)，導(dǎo)致白菜價(jià)格不穩(wěn)定，假設(shè)第一周、第二周的白菜價(jià)格分別為a元/斤、b元/斤（a≠b），甲和乙購(gòu)買白菜的方式不同，甲每周購(gòu)買20元錢的白菜，乙每周購(gòu)買6斤白菜，甲、乙兩次平均單價(jià)為分別記為m1，m2，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．m1＝m2
B．m1＞m2
C．m2＞m1
D．m1，m2的大小無(wú)法確定
【分析】根據(jù)題意可得，，再結(jié)合a≠b，即可得m1，m2的大小關(guān)系．
解：根據(jù)題意可得，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b等號(hào)成立，
，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b等號(hào)成立，
由題意可得a≠b，所以，則m2＞m1，
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．
8．已知函數(shù)f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，且當(dāng)x＞0時(shí)，，若函數(shù)y＝f（x）﹣a（0＜a＜1）有六個(gè)零點(diǎn)，分別是x1，x2，x3，x4，x5，x6，則x1+x2+x3+x4+x5+x6的取值范圍是（ ）
A．B．C．D．（2，4）
【分析】作出函數(shù)在R上的圖象，利用二次函數(shù)對(duì)稱性以及對(duì)勾函數(shù)單調(diào)性數(shù)形結(jié)合即可
解：因?yàn)楹瘮?shù)為奇函數(shù)，根據(jù)解析式作出函數(shù)在R上的圖象如圖：
由圖可知x1+x2＝﹣8，x5+x6＝8，且﹣lg2x3＝lg2x4，即lg2（x3x4）＝0，所以是x3x4＝1，
因?yàn)?＜a＜1，故0＜﹣lg2x3＜1，即x3∈（，1）
故x1+x2+x3+x4+x5+x6＝x3+x4＝x3+，
根據(jù)對(duì)勾函數(shù)y＝x+在（0，1）上單調(diào)減，在（1，+∞）上單調(diào)增，
故而x1+x2+x3+x4+x5+x6＝x3+x4＝x3+在x3∈（，1）上單調(diào)減，
則x1+x2+x3+x4+x5+x6＝x3+x4＝x3+∈（2，），
故選：C．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根的關(guān)系，以及對(duì)數(shù)函數(shù)圖象、二次函數(shù)圖象的變換，利用數(shù)形結(jié)合法是解題關(guān)鍵，屬于中檔題．
二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.
（多選）9．已知向量，，則（ ）
A．
B．向量在向量上的投影向量為
C．與的夾角余弦值為
D．若，則
【分析】根據(jù)平面向量的坐標(biāo)表示與運(yùn)算法則，判斷選項(xiàng)中的命題是否正確即可．
解：對(duì)于A，向量，，所以+＝（﹣1，2），且﹣1×1﹣2×2＝﹣5≠0，所以+與不平行，A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，向量在向量上的投影向量為||csθ?＝?＝?＝，所以B正確；
對(duì)于C，因?yàn)椹仯剑?，0），所以cs＜，﹣＞＝＝＝，所以C正確；
對(duì)于D，因?yàn)椋?＝2×+1×（﹣）＝0，所以，選項(xiàng)D正確．
故選：BCD．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算與命題真假性判斷問(wèn)題，也考查了計(jì)算與推理能力，是基礎(chǔ)題．
（多選）10．牛頓曾提出了物體在常溫環(huán)境下溫度變化的冷卻模型：若物體初始溫度是θ0（單位：℃），環(huán)境溫度是θ1（單位：℃），其中θ0＞θ1、則經(jīng)過(guò)t分鐘后物體的溫度θ將滿足θ＝f（t）＝θ1+（θ0﹣θ1）?e﹣kt（k∈R且k＞0）．現(xiàn)有一杯100℃的熱紅茶置于10℃的房間里，根據(jù)這一模型研究紅茶冷卻情況，下列結(jié)論正確的是（ ）（參考數(shù)值ln2≈0.7，ln3≈1.1）
A．若f（3）＝40℃，則f（6）＝20℃
B．若，則紅茶下降到55℃所需時(shí)間大約為6分鐘
C．5分鐘后物體的溫度是40℃，k約為0.22
D．紅茶溫度從80℃下降到60℃所需的時(shí)間比從60℃下降到40℃所需的時(shí)間多
【分析】由題知θ＝f（t）＝10+90e﹣kt，根據(jù)指對(duì)數(shù)運(yùn)算和指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)依次討論各選項(xiàng)求解．
解：由題知θ＝f（t）＝10+90e﹣kt，
A選項(xiàng)：若f（3）＝40℃，即40＝10+90e﹣3k，所以，
則，A正確；
B選項(xiàng)：若，則，則，
兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)得，所以t＝10ln2≈7，
所以紅茶下降到55℃所需時(shí)間大約為7分鐘，B錯(cuò)誤；
C選項(xiàng)：5分鐘后物體的溫度是40℃，即10+90?e﹣5k＝40，
則，得，所以，故C正確；
D選項(xiàng)：f（t）為指數(shù)型函數(shù)，如圖，
可得紅茶溫度從80℃下降到60℃所需的時(shí)間（t2﹣t1）比從60℃下降到40℃所需的時(shí)間（t3﹣t2）少，故D錯(cuò)誤．
故選：AC．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．
（多選）11．已知函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱
B．函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于直線對(duì)稱
C．函數(shù)f（x）在區(qū)間上單調(diào)遞增
D．y＝1與圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為
【分析】由頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由五點(diǎn)作圖求出φ，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，可得函數(shù)的解析式．再利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，得出結(jié)論．
解：根據(jù)函數(shù)f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|＜π）的部分圖象，
可得A＝2，×＝﹣，∴ω＝2．
結(jié)合五點(diǎn)法作圖，可得2×+φ＝π，∴φ＝，故f（x）＝2sin（2x+）．
令x＝﹣，求得f（x）＝0，可得函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故A正確；
令x＝，求得f（x）＝﹣1，不是最值，故函數(shù)f（x）的圖象關(guān)不于直線對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；
在區(qū)間上，2x+∈[﹣，]，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，故C正確；
當(dāng)x∈[﹣，]，2x+∈[0，4π]，
直線y＝1與圖象的4個(gè)交點(diǎn)關(guān)于直線2x+＝對(duì)稱．
設(shè)這4個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為a、b、c、d，a＜b＜c＜d，
則（2a+）+（2d+）＝2×，（2b+）+（2c+）＝2×，
故所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為a+b+c+d＝，故D正確，
故選：ACD．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查由函數(shù)y＝Asin（ωx+φ）的部分圖象求函數(shù)的解析式，由頂點(diǎn)坐標(biāo)求出A，由周期求出ω，由五點(diǎn)作圖求出φ，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于中檔題．
三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。
12．已知扇形OAB的圓心角為4，其面積是2cm2，則該扇形的周長(zhǎng)是 6 cm．
【分析】利用已知條件求出扇形的半徑，即可得解周長(zhǎng)．
解：設(shè)扇形的半徑r，扇形OAB的圓心角為4弧度，弧長(zhǎng)為：4r，
其面積為2cm2，
可得×4r×r＝2，解得r＝1．
扇形的周長(zhǎng)：1+1+4＝6cm．
故答案為：6．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查扇形的面積公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．
13．已知，是互相垂直的單位向量，若﹣與+λ的夾角為60°，則實(shí)數(shù)λ的值是 ．
【分析】根據(jù)平面向量的數(shù)量積運(yùn)算與單位向量的定義，列出方程解方程即可求出λ的值．
解：【方法一】由題意，設(shè)＝（1，0），＝（0，1），
則﹣＝（，﹣1），
+λ＝（1，λ）；
又夾角為60°，
∴（﹣）?（+λ）＝﹣λ＝2××cs60°，
即﹣λ＝，
解得λ＝．
【方法二】， 是互相垂直的單位向量，
∴||＝||＝1，且?＝0；
又﹣ 與+λ的夾角為60°，
∴（﹣）?（+λ）＝|﹣|×|+λ|×cs60°，
即+（﹣1）?﹣λ＝××，
化簡(jiǎn)得﹣λ＝××，
即﹣λ＝，
解得λ＝．
故答案為：．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了單位向量和平面向量數(shù)量積的運(yùn)算問(wèn)題，是中檔題．
14．定義在[﹣2019，2019]的函數(shù)的最大值為M，最小值為m，則f（x）的增區(qū)間為 [﹣2019，2019] ；M+m＝ 2 ．
【分析】首先可得f（﹣x）+f（x）＝2，即可得到f（x）的圖象關(guān)于（0，1）對(duì)稱，再根據(jù)指數(shù)、對(duì)數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷f（x）的單調(diào)性，即可得解．
解：函數(shù)的定義域?yàn)閇﹣2019，2019]，
且，
所以f（x）的圖象關(guān)于（0，1）對(duì)稱，
因?yàn)椋?br>又當(dāng)x＞0時(shí)、y＝lnx、y＝ex+1、均為增函數(shù)，
所以與在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
所以f（x）在（0，2019]上單調(diào)遞增，
又f（x）為連續(xù)函數(shù)，所以f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[﹣2019，2019]，
因?yàn)閒（x）的最大值為M，最小值為m，所以M+m＝2．
故答案為：[﹣2019，2019]；2．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查函數(shù)的最值和單調(diào)區(qū)間，屬于中檔題．
四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.
15．已知角θ的終邊與單位圓x2+y2＝1在第四象限交于點(diǎn)P，且點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，y）．
（1）求tanθ的值；
（2）求的值．
【分析】（1）首先由已知求出y值，然后利用任意角的三角函數(shù)定義求出tanθ的值即可；
（2）原式利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再利用同角三角函數(shù)間基本關(guān)系變形，把tanθ的值代入計(jì)算即可得答案．
解：（1）由已知θ為第四象限角，終邊與單位圓交于點(diǎn)P（，y），
得（）2+y2＝1，y＜0，解得y＝﹣．
∴tanθ＝＝；
（2）∵tanθ＝，
∴＝＝．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角函數(shù)的基本定義、誘導(dǎo)公式以及基本關(guān)系式的運(yùn)用，屬于基礎(chǔ)題．
16．已知函數(shù)f（x）＝cs4x﹣2sinxcsx﹣sin4x．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）當(dāng)時(shí)，求f（x）的最小值以及取得最小值時(shí)x的集合．
【分析】（1）先根據(jù)三角函數(shù)的二倍角公式化簡(jiǎn)為y＝cs（2x+），再由T＝可得答案．
（2）先根據(jù)x的范圍確定2x+的范圍，再由余弦函數(shù)的性質(zhì)可求出最小值．
解：f（x）＝cs4x﹣2sinxcsx﹣sin4x
＝（cs2x+sin2x）（cs2x﹣sin2x）﹣2sinxcsx
＝cs2x﹣sin2x＝cs（2x+）
（1）T＝π
（2）∵
∴
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角函數(shù)最小正周期的求法和三角函數(shù)的最值的求法．一般都先把函數(shù)化簡(jiǎn)為y＝Asin（ωx+ρ）或y＝Acs（ωx+ρ）的形式再解題．
17．已知函數(shù)f（x）＝2x．
（1）若f（x）＝2，求x的值；
（2）若2tf（2t）+mf（t）≥0對(duì)于t∈[1，2]恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【分析】（1）當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＝0≠2，舍去；當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）＝2x﹣＝2，即（2x）2﹣2?2x﹣1＝0，2x＞0．基礎(chǔ)即可得出．
（2）當(dāng)t∈[1，2]時(shí)，2tf（2t）+mf（t）≥0，即+m≥0，即 m（22t﹣1）≥﹣（24t﹣1）．化簡(jiǎn)解出即可得出．
解：（1）當(dāng)x＜0時(shí)，f（x）＝0≠2，舍去；
當(dāng)x≥0時(shí)，f（x）＝2x﹣＝2，即（2x）2﹣2?2x﹣1＝0，2x＞0．
解得 2x＝1+，
∴x＝．
（2）當(dāng)t∈[1，2]時(shí)，2tf（2t）+mf（t）≥0，即+m≥0，
即 m（22t﹣1）≥﹣（24t﹣1）．
∵22t﹣1＞0，∴m≥﹣（22t+1）．
∵t∈[1，2]，∴﹣（22t+1）∈[﹣17，﹣5]．
故m的取值范圍是[﹣5，+∞）．
【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、不等式的性質(zhì)與解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．
18．（17分）已知函數(shù)是偶函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)k的值；
（2）設(shè)，若函數(shù)y＝f（x）﹣g（x）有唯一的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【分析】（1）通過(guò)f（﹣x）＝f（x），推出2x+2kx＝0，對(duì)于一切x∈R恒成立，求解即可．
（2）函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，等價(jià)于方程有唯一實(shí)數(shù)解，且，利用換元法轉(zhuǎn)化為：方程只有一個(gè)正實(shí)根，且，通過(guò)a與1的大小比較，轉(zhuǎn)化求解a的范圍即可．
解：（1）∵f（x）是偶函數(shù)，∴f（﹣x）＝f（x），
∴，………………
∴2x+2kx＝0．
∵此式對(duì)于一切x∈R恒成立，
∴k＝﹣1．……………
（2）函數(shù)f（x）與g（x）的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，
等價(jià)于方程f（x）＝g（x）有唯一的實(shí)數(shù)解，
等價(jià)于方程有唯一實(shí)數(shù)解，且，………………
令t＝2x，則此問(wèn)題等價(jià)于方程只有一個(gè)正實(shí)根，且，…………，、
從而有：
當(dāng)a﹣1＝0，即a＝1時(shí)，則不合題意舍去，……………………
當(dāng)a﹣1≠0，即a≠1時(shí)，
①若，即或a＝﹣3，……………………
當(dāng)時(shí)，代入方程得t＝﹣2，不合題意；………………
當(dāng)a＝﹣3時(shí)，得，符合題意；………………
②方程有一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，即，
即a＞1，符合題意．……………
綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是{﹣3}∪（1，+∞）．……………
【點(diǎn)評(píng)】本題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系，分類討論思想的應(yīng)用，是中檔偏難題目．
19．（17分）在校園策化、改造活動(dòng)中，甲、乙兩所學(xué)校各要修建一個(gè)矩形的觀賽場(chǎng)地．
（1）甲校決定在半徑為30m的半圓形空地O的內(nèi)部修建一矩形觀賽場(chǎng)地ABCD．如圖所示，求出觀賽場(chǎng)地的最大面積；
（2）乙校決定在半徑為30m、圓心角為的扇形空地O的內(nèi)部修建一矩形現(xiàn)賽場(chǎng)地ABCD，如圖所示，
①請(qǐng)你確定B點(diǎn)的位置，使觀賽場(chǎng)地的面積最大．
②求出最大面積．
【分析】（1）根據(jù)題意，設(shè)∠COD＝θ，得到OD＝30csθ，CD＝30sinθ，從而得到SABCD＝2×30csθ×30sinθ＝900sin2θ，再利用三角函數(shù)圖像的性質(zhì)算出面積的最大值；
（2）首先設(shè)CD中點(diǎn)為M，連接OM交AB于N，記∠COM＝θ，得到OM＝30csθ，MC＝30sinθ，BN＝CM＝30sinθ，，從而得到，然后利用三角恒等變換，結(jié)合三角函數(shù)的圖像性質(zhì)加以計(jì)算，即可得到面積的最大值
解：（1）如圖所示：設(shè)∠COD＝θ，則且OD＝30csθ，CD＝30snθ，
S矩形ABCD＝2?OD?CD＝2×30csθ×30sinθ＝900sin2θ，
當(dāng)，即時(shí)，（S矩形ABCD）max＝900，故觀賽場(chǎng)地的面積的最大值為900m2；
（2）如圖所示：設(shè)CD中點(diǎn)為M，連接OM交AB于N，
記∠COM＝θ，則且OM＝30csθ，MC＝30sinθ，BN＝CM＝30sinθ，．
S△ACD＝2BN?BC＝＝
＝＝＝．
當(dāng)，即時(shí)，，此時(shí)．
綜上所述，當(dāng)時(shí)，矩形ABCD的面積最大，最大值為．
【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角恒等變換及其應(yīng)用、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、函數(shù)的值域與最值等知識(shí)，屬于中檔題．

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